Đề kiểm tra đội tuyển tháng 3/2009

PHÒNG GD-ĐT MAI SƠN TRƯỜNG THCS CHẤT LƯỢNG CAO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THÁNG 3/2009 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (1,5 điểm) Tìm dư trong phép chia: A = 3 8 + 3 6 + 3 2004 cho 91. Câu 2: (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: 2 2 3 3 2y x xy 2y 2x 7 x y x y 8      − − + − = + + − = Câu 3: (1,5 điểm) Cho x không âm. Tìm GTLN của f(x) biết: f(x) = 2 x 1 x 2x 2 + − − Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2 - 2(m - 1)x + 2m 2 - 3m + 1 = 0 (*) a/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm. b/ Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: 1 2 1 2 9 x x x x 8 + + ≤ Câu 5. (3,5 điểm) Cho (O, R) đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi (CD ≠ AB) vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt (d) tại P và Q. a/ Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp. b/ chứng minh: trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD. c/ Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP. Chứng minh E di động trên đường tròn cố định khi đường kính CD thay đổi. Đáp án và biểu điểm: Toán 9 Câu Nội dung Điểm 1 Ta có 3 6 - 1 = 729 - 1 = 728 M 91, do đó A = 3 8 + 3 6 + 3 2004 = (3 8 - 3 2 ) + (3 6 - 1) + (3 2004 - 1) + 3 2 + 1 + 1 = 3 2 (3 6 - 1) + (3 6 - 1) + [(3 6 ) 334 - 1] + 11 Vậy A = 3 8 + 3 6 + 3 2004 chia cho 91 dư 11. 1,5 2 2 2 3 3 2y x xy 2y 2x 7 x y x y 8      − − + − = + + − = ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 3 x 2y 2 x y 7 (1) x y x y 8 2      + + − = − + = − = Từ (1) do x, y nguyên ta có; a/ x - y = -1 ⇒ x + 2y + 2 = 7 ⇒ x = 1, y = 2 (thoả mãn 2) b/ x - y = 1 ⇒ x + 2y + 2 = -7 ⇒ x + 2y = - 9 (x ∉ Z) c/ x - y = 7 ⇒ x + 2y + 2 = - 1 ⇒ x + 2y = -3 (x ∉ Z) Vậy (x;y) = (1; 2) 1,5 3 f(x) = 2 x 1 x 2x 2 + − − f(x) có nghĩa ⇔ 1 - x - 2x 2 ≥ 0 ⇔ 9x + 1) (1 - 2x) ≥ 0 ⇔ -1 1 x 2 ≤ ≤ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 1 và 1 - x - 2x 2 ta có; ( ) ( ) 2 2 1 1 x 2x 1. 1 x 2x 2 + − − − − ≤ Do đó f(x) ≤ 2 2 x 2 x 2x 1 x 1 2 2 − − + = − ≤ Đẳng thức xảy ra ⇔ 2 1 x 2x 1 x 0    − − = = x 0⇔ = Vậy Max f(x) = - 1 ⇔ x = 0 1,5 4 a/ Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' = 9m - 1) 2 - (2m 2 - 3m + 1) ≥ 0 ⇔ m 2 - m ≤ 0 ⇔ m(m - 1) ≤ 0 ⇔ m 0 m 1 0 m 0 m 1 0  ≥    − ≤    ≤    − ≥    0 m 1⇔ ≤ ≤ b/ Khi 0 m 1≤ ≤ theo định lí Vi-et: 1 2 2 1 2 x x 2(m 1) x .x 2m 3m 1      + = − = − + Suy ra Q = 1 2 1 2 x x x x+ + ( ) 2 2 m 1 2m 3m 1= − + − + = 2 2m m 1− − = 2 2 m 1 m 2 2 − − = 2 2 1 9 m 4 16    ÷   − − 2 Vì 0 m 1 ≤ ≤ ⇔ 1 3 m 4 4 − ≤ 1 9 m 4 16    ÷   ⇒ − ≤ ⇒ Q = 2 2 9 1 9 1 16 4 8        ÷       − − ≤ 5 d A d' O B Q E I C D I c/ Ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD. Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với CD. Từ I vẽ đường thẳng PQ, đường thẳng này là đường trung trực của PQ. Hai đường thẳng này cắt nhau tại E, E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD. Ta có IE // OA (cùng vuông góc với PQ), OE // AI (cùng vuông góc với CD) Suy ra tứ gíac AOEI là hình bình hành, nên IE = OA = R (không đổi) Ta có khoảng cách từ E đến (d) bằng R nên E di động trên đường thẳng (d') // (d) cách d một khoảng R (không đổi) 3,5 GT (O,R), đường kính AB, đường kính CD thay đổi,tiếp tuyến (d) tại B, AC ∩ (d) = {P}, AD ∩ (d) = {Q} E là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ CDP KL a/ Tứ giác CPQD nội tiếp b/ AE ⊥ CD c/ E di động trên đường tròn cố định khi CD thay đổi. Giải: a/ · · ( ) 0 CPQ PAB 90 AB PQ+ = ⊥ · · ( ) 0 PAB OAD 90 AC AD+ = ⊥ · · CPQ OAD⇒ = Mặt khác: · · OAD ODA= (do OA = OD) · · CPQ ODA⇒ = do đó tứ giác CPQD nội tiếp. b/ Ta có: · · · ( ) 0 0 AQP APQ 90 PAQ 90+ = = Hay · · · · ( ) 0 AQP ODA 90 APQ ODA+ = = · · · · ( ) 0 IAQ ODA 90 IAQ AQI⇒ + = = AI CD⇒ ⊥ . HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THÁNG 3/2009 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (1,5