Bài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ ptBài giảng phương trình hệ pt
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT §.PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ĐẶC BIỆT 1.x3 − x2 − 8x + 12 = 2.x3 − 9x2 + 27x − 27 + 3.x5 − 8x4 + 20x3 − 20x2 + 19x − 12 = 0( 1,3,4) −3 4.6x5 − 5x4 − 5x3 − 4x3 − 34x + 12 = 0 ,2, ÷ 2 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1.x − 5x3 + 20x − 16 = 2.x4 + 7x3 + 11x2 + 7x + 10 = PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 1.( x2 + x + 4) + 3x( x2 + x + 4) + 2x2 = 2.( x2 − x + 1) − 6x2 ( x2 − x + 1) + 5x4 = 3.( x2 − 16) ( x − 3) + 9x2 = PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BA d c ax + bx + cx + d = ví i = ÷ a b c b 4x + 3x = m,∀m PHƯƠNG TRÌNH DAÏNG: 4x − 3x = m,∀m: m > Phương trình có nghiệm Ta nghiên cứu khai triển sau: Phương trình có nghiệm laø: x0 = − 3 1 1 1 3 1 * a + ÷ = a + + a + ÷⇒ a + ÷ = a + ÷+ a + ÷ a a a 2 a a 8 a 1 1 1 ⇒ a + ÷ = a + ÷+ a + ÷ a a 2 a 2 1 1 ⇒ a + ÷ − a + ÷ = a a 2 2 1 a + ÷ 2 a 1 1 * a − ÷ = a3 − − a − ÷ a a a 1 1 ⇒ a − ÷ + a − ÷ = a − ÷ a a a 2 2 Do với việc chọn a thích hợp ta có nghiệm phương trình PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: 4x − 3x = m,∀m: m ≤ Phương trình có không ba nghiệm Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT Đặt m = cos α = cos ( α ± 2π ) ; α ∈ [ 0; π ] Khi ñoù: α α m = cos α = cos − 3cos 3 α ± 2π α ± 2π m = cos ( α ± 2π ) = cos − 3cos 3 α α ± 2π Vậy phương trình có ba nghiệm: x = cos ; x = cos 3 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: t + at + bt + c = a B1: Khử bậc hai cách đặt: t = y − → y − py = q p B2: Đưa pt bản: 4x3 ± 3x = m cách đặt y = PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 2 Cho phương trình x + ( 1− 2a) x + a − 1= Đònh tham số để: Pt vô nghiệm Phương trình có nghiệm Phương trình có hai nghiệm Phương trình có nghiệm Phương trình có bốn nghiệm Phương trình có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 4 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG : ( x + α ) + ( x + β ) = χ 1.( x + 4) + ( x + 6) = 4 2.( x + 4) + ( x + 2) = 82 ( x + 3) 4 + ( x − ) = 706 10 PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BỐN e d ax + bx + cx + dx + e = 0, ® k: = ÷ a b 1.4x + 12x + 47x + 12x + = 2.2x4 − 21x3 + 74x2 − 105x + 50 = 3.Đònh mđể phương trình vô nghieâïm: x4 + mx3 + mx2 + mx + 1= 11 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ( x + a) ( x + b) ( x + c) ( x + d) = e, a + b = c + d 1.( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) = 10 2.( 6x + 5) 12 ( 3x + 2) ( x + 1) = 35 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: A( x2 + ax) + B ( x2 + ax) + C = 1.x4 + 4x3 − 3x2 − 14x + = 2.3x4 − 6x3 + 5x2 − 2x − = 13 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ( x2 + α ) = a( x + β ) Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 2 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai 1.x4 + 4x − 1= Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 2.x4 − 3x2 − 10x − = 3.x4 + 2x2 + 8x − = LUYỆN TẬP: Bài tập12: 1.( x − 1) + ( x + 1) = 16 4 2.( 2x − 3) + ( 2x − 5) = 4 3.x4 + 6x3 + 16x2 + 21x + 12 = ( ) x2 − 6x − = x3 − 4x2 − 9x 5.2x8 − 9x7 + 20x6 − 33x5 + 46x4 − 66x3 + 80x2 − 72x + 32 = ( )( )( 7.( x − 6x) − 2( x − 3) = 81 ) x2 − 3x + x2 + 3x + x2 − 9x + 20 = −30 2 8.x4 − 2x3 − 6x2 + 16x − = 9.x4 − 4x3 + 3x2 − 8x + = ( ) ( ( 2;2;−1± 3) ( α = 1) ) ( )( ) 10.2x 2x2 + x + + 13x 2x2 − 5x + = 2x2 + x + 2x2 − 5x + ⇔ ⇔ 2x + 13x ( 2x − 5x + 3) ( 2x + x + 3) 2 =6 13 + =6 3 2x + − 2x + + x x 11.x6 − 7x2 + = → t3 − 7t + = ( t = 6) 12.x7 − 2x6 + 3x5 − x4 − x3 + 3x2 − 2x + 1= Phương trình hồi qui với hệ số đối xứng bậc lẻ nên phương trình có nghiệm đặc biệt x = −1 thu phương trình hồi qui bậc chẵn giải cách chia số hạng → ( x + 1) ( x6 − 3x5 + 6x4 − 7x3 + 6x2 − 3x + 1) = Baøi tập13: Cho phương trình : x4 + ax3 + x2 + ax + 1= Đònh tham số để phương trình : Có bốn nghiệm phân biệt Có không hai nghiệm âm phân biệt Bài tập14: Cho phương trình : x − ax − ( 2a + 1) x + ax + 1= Đònh tham số để phương trình : Có bốn nghiệm phân biệt Có hai nghiệm phân biệt lớn Bài tập15: Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Tìm m để phương trình : x − ( 2m+ 1) x + ( 3m+ 1) x − ( m+ 1) = có nghiệm dương phân biệt Bài tập16: 2 Giải biện luận: x − ( 2a + 1) x + ( a + 2a) x − a = Bài tập17: Cho phương trình : x + 4x + ( m+ 4) x + 2mx + 2m= Giải phương trình m = Giải biện luận Bài tập18: Cho phương trình : x4 − 2x3 + x + = a Giải phương trình a = 132 Giải biện luận Bài tập19: Cho phương trình : x4 − 4x3 + 8x + = a Giải phương trình a = Giải biện luận Bài tập20: Cho phương trình mx3 − x2 − 2x + 8m= Đinh m để: Phương trình có nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm bội Phương trình có nghiệm phân biệt bé -1 ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO Bài tập21: Cho phương trình x3 + 3mx2 − 3x − 3m+ = Xác đònh m để phương trình có nghiệm tổng bình phương nghiệm chúng đạt giá trò nhỏ Xác đònh m để phương trình có nghiệm lập thành cấp số cộng Bài tập22: Xác đònh tham số để phương trình có nghiệm lập thành cấp số cộng 1.x3 − mx2 + 2m( m+ 1) x + 9m2 − m+ 2.x3 − 3ax2 − x + 4a3 = 3.x3 − 3x2 − 9x − m= 4.x3 − 3x2 + ( a − 9) x + 1− b = Bài tập23: Giả sử phương trình x3 + ax2 + bx + c = coù ba nghiệm x1, x2 , x3 Hãy tính Sn = x1n + x2n + x3n Bài tập24: Giả sử phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0, a, b,c ∈ ¢ có ba nghiệm x1, x2 , x3 Cho f(x) đa thức nguyên CMR : f (x1) + f (x2 ) + f (x3) ∈ ¢ Hd: Ta cm qui nạp dưa vào công thức : Sn + aSn−1 + bSn−2 + cSn−3 = §.DÙNG ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH A Hiểu ẩn phụ: Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT Là ẩn mà người giải tự đưa vào đề không nói tới Ta đưa ẩn phụ vào để chuyển dạng toán dạng dễ nhận dạng dạng quen thuộc B Điều kiện cho ẩn phụ: 1. nghóa, lý do: − Tìm điều kiện cho ẩn phụ tức tìm mxđ cho toán − Tuỳ vào mục đích ẩn phụ mà ta tìm đk ẩn phụ phù hợp ( dễ, không gây sai toán ) 2.Có hai kiểu tìm ẩn đk cho phụ: − Tìm đk cho ẩn phụ − Tìm thừa đk cho ẩn phụ C Một số dạng đặt ẩn phụ: Dạng 1: Giữ nguyên số ẩn 1, x − x2 − + x + x2 − = 2,10 x3 + = 3( x2 − x + 6) 3, x3 − = x2 + 3x − 4,2( x2 + x + 1) − 7( x − 1) = 13( x3 − 1) 2 5, 5x2 + 14x + − x2 − x − 20 = x + 6, x2 + a2x2 ( x + a) = 8a2 Có số toán đặc biệt gọn dùng ẩn phụ lượng giác Dùng ẩn phụ lượng giác tức ta lợi dụng công thức lượng giác để tự phá thức mà không dùng phép nâng luỹ thừa Vì hàm lượng giác hàm tuần hoàn nên ta cần lưu ý chọn miền xác đònh cho có lợi 7, x3 + ( 1− x ) ( = x a 1− x2 1+ 2x 1− x2 = 1− 2x2 9, 1+ 1− x2 ( 1− x) − ) 8, ( ( 1+ x) 10, 1+ 1− x2 = x 1+ 1− x2 11, ( )( 1+ x − ) ) = + 1− x 1− x + = 2x 12, a + x + a − x = a, a ≥ 13, 1+ ax − 1− ax = x 14,2 a + x − a − x = a − x + x( a + x) Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 2 3+ x − x 15, 3+ x + − x − ( 3+ x) ( 6− x) = m; HD : ÷ + ÷ =1 ÷ ÷ 16, Tìm nghiệm phương trình sau [ −1;1] : 8x( 1− 2x ) ( 8x − 8x + 1) = 1 x Daïng 2: Thay đổi số ẩn, thường tăng thêm số ẩn để giảm nhẹ rắc rối, đơn giản tính toán 2 17, Tìm nghiệm phương trình sau [ 0;1] : 32x( x − 1) ( 2x − 1) = 1− 1, x2 + + 10 − x2 = 2, + x + x2 + − x − x2 = 3, x2 − 3x + + x2 − 3x + = 4, 1+ x + 8− x + ( 1+ x) ( 8− x) =3 5, x − = ( x − 3) + 6, 5− x + x − = 7, 24 + x + 12 − x = 8, x + − x = 34 − x) x + 1− ( x + 1) 34− x ( 9, = 30 3 34 − x − x + 7− x − x − = 6− x 7− x + x − HD :6 − x = ( 7− x) − ( x − 5) 10 11 x + 1− x − x( x − 1) − 24 x( x − 1) = −1 12 x + x( x − 1) + ( 1− x) = 1− x + x3 + x2 ( x − 1) 13 8x + + 3x − = 7x + + 2x − 14 2x2 − + x2 − 3x − = 2x2 + 2x + + x2 − x + 15.3 7+ tgx + − tgx = 2 16.81sin x + 81cos x = 30 17.3 sin2 x + cos2 x = 18.sin x + − sin2 x + sin x − sin2 x = 5− x 5− x 19.x ÷ x + ÷= x + 1 x + 2 x2 − x− 2 x+ 2 20.20 ÷= ÷ − 5 ÷ + 48 x+ 1 x−1 x −1 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT Dạng 3: Chuyển theo phương trình ẩn phụ xem ẩn ban đầu tham số 1.( x + 3) log32 ( x + 2) + 4( x + 2) log3 ( x + 2) = 16 2.( 4x − 1) x2 + = 2x2 + 2x + 3.4 1+ x − 1= 3x + 1+ x + 1− x2 4.2( x − 1) x2 + 2x − = x2 − 2x − 5.1+ x − 2x2 = 3x2 − − 2x + 6.4( x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2 7.x2 + x + 12 x + = 36 sin x + sin x + sin2 x + cos x = x+ y 9.43 4x − x2 sin2 ÷+ 2cos( x + y) = 13+ 4cos ( x + y) x−1 1 − 1− − x − = x x x Dạng 4: Chuyển hệ phương trình gồm ẩn phụ ẩn Dạng hay dùng phương trình chứa hai hàm số ngược 10.2x + Loaïi 1: ( ax + b) = α n px + q + β x + γ n 1, x3 − 33 3x + = 2, x2 + x + = ( 3, x = 5− 5− x2 ) 1 = −a + a2 + x − ;0 < a < 16 16 y = −a + a + x − 16 HD : y = x2 + 2ax + → 16 x = −a ± a + y − 16 4, x2 + 2ax + 5,3+ 3+ x = x 6, x2 + x + = ( 7, x = a − b a − bx2 ) 8, x2 + x + a = a 29 12x + 61 = 36 29 12x + 61 3x2 + x − = ⇔ 18x2 + 6x − 29 = 12x + 61 36 9, 3x2 + x − Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Vì f (x) = 18x + 6x − 29 => f '( x ) = ( x + 1) → Đặt 12x + 61 = 6y + 10, x2 − x − 2004 1+ 16032x = 2004 (Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004) Xét hàm số f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – Đặt + 16032 x = 2t − 1, t ≥ 2 t − t = 4008 x Ta có hệ PT sau: x − x = 4008t 63 x3 3x − = − x + x 63 x3 9 3x − = − x + x ⇔ 24x − 63 = x3 − 3x2 + x 2 9 Xét hàm số f(x) = x3 − 3x2 + x ⇒ f '( x) = 2x2 − 6x + ⇒ f ''( x) = 4x − 2 Đặt 24x − 63 = 2y − 11, 12,( Toán học Tuổi trẻ Tháng năm 2001) Giải PT sau: 81x − = x − x + Xét hàm số f(x) = x − x + => f’’(x) = 6x – Đặt 13) 14) 15) 16) 17) 18) x−2 x − => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 81x − = y − x = 2− x +2 x − 4x − = x + x + = 33 x − 3x + = −4 x + 13 x − x + = x + 4x + 4x + = 7x2 + 7x 28 19) x − = x + x + Các phương trình kể phương trình đối xứng, nhiên hai ví dụ sau cần nghiên cứu 20,4x2 + 3x + + = 13x ⇔ ( 2x − 3) = − 3x + + x + ( 2x − 3) = 2y + x + Đặt − 3x + = 2y − → ( 2y − 3) = 3x + Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 21,8x3 + 53x = 36x2 + 3x − + ⇔ ( 2x − 3) = 3x − + x − ( 2x − 3) = 2y + x − Đặt 3x − = 2y − 3→ ( 2y − 3) = 3x − α x+ β = bloga ( px + q) + cx + d Loaïi 2: a PP: Đặt: loga ( px + q) = α y + β 22,7x = 2log7 ( 6x + 1) + 23,3x = 1+ x + log3 ( 1+ 2x) 2sin2 x 1 24, ÷ 2 + = cos2x + log4 ( 3cos2x − 1) § PHƯƠNG PHÁP “MÒ” NGHIỆM 1, x + + x + + x + x = +2 x +1 VT đồng biến, VP nghòch biến ⇒ có không nghiệm “Mò” x = nghiệm 2, ( 3) x − x−1 = Lập bảng biến thiên ⇒ có không hai nghiệm “Mò” x = 2, x = nghiệm ( x − a) ( x − b) + ( x − b) ( x − c) + ( x − c ) ( x − a ) = 3, c ( c − a) ( c − b) a ( a − b) ( a − c) b ( b − c) ( b − a ) x Trong a, b, c ba số khác khác không Pt bậc nên có không nghiệm “Mò” có ba nghiệm a, b, c 4, ( a − a ) (x − x + 1) = ( a − a + 1) 3 (x − x) Xét TH đặc biệt TQ: Pt bậc nên có không nghiệm 1 1 ,1 − , &1 − x x0 − NX: Nếu x0 nghiệm nghiệm, − x0 x0 x0 nghiệm Dễ thấy a nghiệm 5, x + x + x + + x + x < 35 6, x − x − x + 40 − 4 x + = Mò nghiệm x = nên ta phân tích thừa số chung ( x − 3) Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai x − x − x + 40 ⇔ = 4x + x − x − x + 40 ⇔ − = 4x + − 7, x + x − − x + = Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 8, x + 15 = x − + x + 9, x + + x − + x − + 13x − < 1 10,5 x + x + 3x + x = x + x + x − x + x − x + 17 § PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp hay dùng phương trình có nhiều ẩn, có nhiều loại hàm số, biểu thức phức tạp tan x + tan y = sin x + sin y 2 + tan x + tan y Ñaët a = tan x, b = tan y ⇒ a, b ≥ a+b a b = + Trở thành: 1+ a + b 1+ a 1+ b a a ≤ 1 + a + b + a a b a b ⇒ + ≤ + Ta coù: b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b b ≤ 1 + a + b + b 1, 2, ( x + yz ) + ( y + zx ) + ( z + xy ) = ( x + y + z ) r r 2 Xeùt vector a = 5; 6; , b = ( x + yz; y + zx; z + xy ) Khi đó, rr r r VT = a.b;VP = a b ( 3, 36 + x−2 ) = 28 − x − − y − y −1 Duøng CauChy 4; − x + − x + + x = *) − x ≤ *) − x + + x ≤ 1+ 1− x 1+ 1+ x + ≤ 2 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 10 1+ 1+1− x 1+1+ x 1+ 2 + =2 2 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai x2 + x + x2 2, + = x+4 x2 + Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT +2 x2 + x + x2 1 ⇔ − 1÷+ − ÷ = − ÷ ÷ 2 x2 + x+4 x −3 x2 − 3 − x2 ⇔ + = x2 + x + 2 x2 + + x2 + + 1÷ ( x + ) ÷ x + 3; x3 − 3x + ( a + 1) x − ( a + 1) = ( ) − ( a + 1) ( a + 1) ( a + 1) = ⇒ cn x = − −3 −3 3 4; x3 − x + ( a + 1) x − ( a + 1) = gÇn gièng cđa khai triĨn ( a − b ) → ( a + 1) x − 3x ( a + 1) + ( a + 1) x − ( a + 1) = 3 → ax3 + x3 − x ( a + 1) + ( a + 1) x − ( a + 1) = → ax3 + x − ( a + 1) = 5; x8 − x5 + x − x + = Không nhẩm nghiệm bậc cao nghiệm hữu tỷ pt ±1 Ta phân tích thành tổng bình phương x *) x − x → x − ÷ 2 x *) − x + → − 1÷ 2 2 x x x → x − x + x − x + = x − ÷ + − 1÷ + 2 2 6;cos x − 3 sin x = cos x ⇔ cos x − cos x − 3 sin x = ⇔ 2sin x.sin x − 3 sin x = ⇔ 2sin x.sin x ( − 4sin x ) − 3 sin x = Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 17 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT sin x = ⇔ 2sin x + 4sin x.cos x = 3 ( *) 3 ( *) ⇔ sin x.cos x + sin x.cos x = 2 Ta cã: cos x + sin x = cos x 1 + 4sin 2 x 2 1 4cos 2 x + + 4sin 2 x 25 3 2 = 4cos x 1 + 4sin x ≤ ⇔ x > → VT ≥ = VP ≥ 4, ∀ab > ab b)Đ kc: đểcó nghiệm x > a Đ kđ: Khi thìbpt thỏa yc bt 9;log log x = log log x x −1 § k x >1 t t log log x = t x = 22 = log Đặ t t = log log x → → t → 2t 3t log log x = t 3 x = 2 = t t log log ÷ = log 3 → →x=2 t x = 10;log x + log x + log x = log x.log x.log x § k: x > → log x ( log + log + 1) = log x.log x.log x log x = → log + log + = log x.log x = log ( log x ) x =1 → log + log + log x = ± log 11;log log log x = log log log x § k: x > → log ( log log x ) = log log log x ⇔ ( log log x ) = log log x ⇔ ( log log x ) = log ( 2log x ) = log + log log x ⇔ ( log log x ) − ( log log x ) − log = ⇔ ( log log x ) = + + 4log , l u ý ®k x > → ( log log x ) > Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai 12; x + ( x − 1) log x +1 ( x −1) log x +1 x Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT ≤2 § k: x > L u ý: a logb c = c logb a 13; x ( ) ≥ x § k: x > log x LÊy logrit c¬sè hai vÕ→ log ( x ) log x ≥ log ( x ) 14;log x + log ( x + 1) = log ( x + ) + log ( x + 3) § k: x > x x+2 x+2 x x + > > log > log > log 2 4 *) x > → → x + > x + > log x + > log x + > log x + 3 5 5 log x > log ( x + ) → log ( x + 1) > log ( x + 3) *) x < tt *) x = lµ no 2x + 15;2 x − x + = log 2 ( x − 1) § k: − < x ≠1 → x − x + = log ( x + 1) − log ( x − 1) ⇔ ( x − 1) − ( x + 1) + = log ( x + 1) − log ( x − 1) ⇔ ( x − 1) − ( x + 1) = log ( x + 1) − log 2 ( x − 1) 2 2 ⇔ ( x − 1) + log 2 ( x − 1) = ( x + 1) + log ( x + 1) ⇔ ( x − 1) = ( x + 1) , vìhàm số f ( t ) = t + log t đồng biến Đ MỘT SỐ BÀI VỀ HỆ ĐỐI XỨNG, ĐẲNG CẤP x + y + z = 1; xem z lµ tham sè 2 x + y − xy + z = Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 20 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT x + y + z = −3 2; xy + yz + zx = , đâ y hệđối xứng ba ẩn cơbản xyz = x +1 + z = a x + x = y + 2 y − y = x + 3; x + y + z = a 4; 5; x + y + z = a x − x = y + y + y = x + x + xy − y = x ( x − y ) ≤ y ( x + y ) 6; y x 7; 2 x − y = − − xy 2 x + y − xy = § PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN x + y ≤ x + y = − a, a ≥ x + y = − a, a ≥ 1; ⇔ ⇔ 2 xy = ( − a ) − x + y + xy = x + y + xy = § kcn0 → ≤ a ≤ + 2 a − − − 3( − a ) a − + − 3( − a ) x = x = 2 HÖcã nghiÖm: , ;0 ≤ a ≤ + 2 a − + − 3( − a ) a − − − 3( − a ) y = y = x + y ≤ xy + x + y = xy + + a 2; ⇔ , a ≤ 0, b ≤ 2 x + y ≤ xy x + y = xy + b 4a + − b 2 ( x + y ) = 2a + − b x + y = ⇔ , a ≤ 0, b ≤ ⇔ 2a + + b , a ≤ 0, b ≤ 2 a + − b x − y = ( ) 2 xy = a ≤ 0, b ≤ b −1 − ≤ a ≤ § kcno → 2a + − b ≥ ⇔ 2a + + b −2 ≤ b ≤ ≥0 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 21 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT x + y ≤ 3; Tìm gtnn, gtln P ( x, y ) = x + y − xy , biết x, y thỏa: 2 2 x + y + xy = x + y = − a x + y = − a , a ≥ ⇔ Ta viết lại điều kiện: 2 xy = ( − a ) − x + y + xy = § k∃( x, y ) → ≤ a ≤ Khi ®ã: P ( x, y ) = − ( a − ) x + y = x = maxP ( x, y ) = 9, a = → → xy = −3 y = − x + y = x = P ( x, y ) = 1, a = → → xy = y =1 § HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT Sau ta trình bày pp tổng quát để giải hệ bậc hai tổng quát Ta dựa vào nhận xét rằng: Nghiệm hệ chia làm hai nhóm: ( 0; y ) vaø ( x; tx ) , x ≠ x + y + x − y = 1; 2 x + y + ( x + y ) = 11 *) Ta tìm nghiệm dạng: ( 0; y ) y − y = → vno Tức hệ nghiệm dạng ( 0; y ) Ta coù: y + y = 11 *) Ta tìm nghiệm daïng ( x; tx ) , x ≠ : ( + t ) x + ( − 2t ) x = Ta coù, 2 ( + t ) x + ( + t ) x = 11 Ta xem hệ tuyến tính theo hai ẩn x vaø x D = ( + t ) ( 4t + 1) Dx = ( + t ) Dx2 = 26t − hệ vô nghiệm, điều có nghóa hệ cho nghiệm dạng x; − x ÷ t = 2 26t − 26t − *)t ≠ − → x = ;x = ⇒ = 44 ÷ ⇔ 2 4t + t + t=− + t t + 1 + t t + ( ) ( ) ( ) ( ) 23 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân *)t = − Trang 22 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT Đến ta hiểu hệ cho có nghiệm dạng 44 ( a; 2a ) b; b ữ vớ i ab mà 23 23 x= =1 44 x = 17 t =2→ → 4.2 + ; t = − 44 23 y = x = y= 17 2 x + y − x + y = −3 2; 2 x − xy + y + x − y = 12 1+ −1; hệ sau có nghiệm: ∀ m ∈ 3; Chứng minh 2 x + y + xy ≤ x + xy + x + y = m *) Ta tìm xem hệ có nghiệm dạng: ( 0; y ) ( ) y2 ≤ ⇒ m ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ Tức với −1 ≤ m ≤ hệ có nghiệm (cụ thể Ta có: y = m ( 0; m ) ) *) Ta tìm xem hệ có nghiệm dạng: ( x; x ) ≤x≤ 3 x ≤ − Ta caàn tìm m để pt (*) có nghiệm ⇔ Ta coù: x + x = m x + x = m ( *) 1 ; đoạn − 3 Dùng khảo sát hàm số ta có: − ≤ m ≤ ( ) ( 1+ 3 ) Tức với 1+ hệ cho có nghiệm dạng ( x; x ) ≤m≤ Từ kết ta có đpcm 2 x − xy + y − x ≤ m 4; Đònh m để hệ có nghiệm x − xy − x ≤ m − Ta coù: x − xy + y − x ≤ m x − xy + y − x ≤ m ⇔ x − xy − x + ≤ m ⇔ x − xy − x + ≤ m 2 2 ( x − y ) + ( x − 1) ≤ 3m 2 ( x − xy + y − x ) + ( x − xy − x + ) ≤ 3m Neáu m < hệ vô nghiệm − Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 23 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 1 Neáu m ≥ , ta thấy (3) với m ≥ 1; ÷ 2 1 Thử lại cụ thể ta thấy 1; ÷ nghiệm hệ cho m ≥ 2 Vậy hệ cho có nghiệm m ≥ § HỆ CHỨA CĂN THỨC x + + x + y + + y = 13 x + y = 1; ⇔ x + + y + = x + − x + y + − y = x + + x + y + + y = 13 ⇔ 5 + =3 x + + x y + + y ( ) ( ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) ) x + + − y = a 2; − x + y + = a § K: − ≤ x, y ≤ x +1 + − y = a Nhâ n l ợ ng liên hợ p đểrút đại l ợ ng chung ( x − y ) x + − y + + − y − − x = x + y + x + y + = 3; x + + y + = x ≥ − § K: y ≥ − x + y ≥ x + y + ≥ ( ) ( ) NX : ( x + y ) + ( x + y + ) = ( x + 1) + ( y + 1) Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 24 Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 2x +1 + 3y +1 = Bì nh ph ơng hai vế: x + + y + = x + y + x + y + x + y + = x + y x + y + x + + y + = x + = x + y y + = x + y + ⇔ x + + y + = x + = x + y + y + = x + y 4; Xác định a đểhệcó nghiệm nhÊt x + + y ≤ a y + + x ≤ a § K: x ≥ 0, y ≥ *)a < 1, hƯv« nghiƯm *)a = 1, hƯcã nghiƯm nhÊt *)a > 1, hệcó vô số nghiệm dạng ( 0; t ) , ≤ t ≤ ( a − 1) ≤ x ≤ 0 ≤ x ≤ 4 1− x y = 1− x x + y = ⇔ y = 1− x 5; ⇔ ⇔ y = 2 y = 1− x x + y = 1 − x − x 1 − x − x = ÷ ÷ = 1+ x 0 ≤ y ≤ 0 < y ≤ x ≥ xy + − y ≤ y x ≥ 6; ⇔ ⇔ xy + − y ≤ y xy − y − y = − xy + − y ≤ y xy − y − y = −1 2 xy − y − y = −1 ( 0 < y ≤ 0 < y ≤ x ≥ x ≥ ⇔ 1− y ⇔ 1− y ⇔ x = y =1 x+ ≤1 x = 1; =0 y y 2 xy − y − y = −1 2 xy − y − y = −1 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 25 ) ÷ ÷ Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT x ≤ y + y + 7; ⇒ y4 + y3 + y + ≤ y + y + ⇔ ( y + y3 ) + y + ≤ y + y + x − y − y − y = ⇔ ( y2 + y ) +1 ≤ y + y + 1, giải pt bậc tổng quát Đ HE LAậP BA ẨN (Hoán vò vòng quanh) x = f (y) Đònh nghóa: Hệ lặp ba ẩn hệ có dạng y = f (z) (∗) Trong f z = f (x) hàm số Phương pháp giải: Xét hệ lặp ba ẩn (∗) , với f hàm số có tập xác đònh D, tập giá trò T, T ⊆ D , hàm số f đồng biến T Cách 1: Đoán nghiệm chứng minh hệ có nghiệm Thường để chứng minh hệ có nghiệm ta cộng ba phương trình hệ vế theo vế, sau suy x=y=z Hay ta trừ vế theo vế đôi phương trình cho Cách 2: Từ T ⊆ D suy f(x), f(f(x)) f(f(f(x))) thuộc D Để (x;y;z) nghiệm hệ x ∈ T Nếu x>f(x) f tăng T nên f(x)>f(f(x)) Vậy f(f(x))>f(f(f(x))) Do x>f(x)>f(f(x))>f(f(f(x)))=x Điều mâu thuẫn chứng tỏ có x>f(x) Tương tự có x2 từ (1) ta có y3-8=6x(x-2)>0 ⇒ y>2 Từ y>2 từ (2) ta có z3-8=6y(y-2)>0 ⇒ z>2 Vậy 0=(x-2)3+(y-2)3+(z-2)3>0 Đây điều vô lí Nếu 00) từ (3) suy 6z(z-2)=x3-8