Phương pháp hàm Green

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******** * NGUYỄN THỊ YÊN PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội2011 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích khoa Tốn bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng tận tình giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên khố luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Yên LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng , khóa luận tốt nghiệp "Phương pháp hàm Green” hồn thành, khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình làm khóa luận, em kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Yên Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kiến thức Rn 1.2 Ma trận liên hợp A∗ 1.3 Định lý luân phiên Fredholm 1.4 Cách giải phương trình .7 1.4.1 Trường hợp loại trừ thứ 1.4.2 Trường hợp loại trừ thứ hai Chương Phương trình tích phân 11 2.1 Khơng gian L2 [0, 1] tốn tử tuyến tính 11 2.1.1 Không gian L2 [0, 1] 11 2.1.2 Phương trình tích phân toán tử vi phân 13 2.2 Định lý luân phiên Fredholm 15 2.3 Giải y = Ky + f K có hạch tách biến 18 2.4 Giải phương trình y = Ky + f với K nhỏ 21 2.5 Giải phương trình y = Ky + f K khơng có hạch tách biến khơng nh Chương Bài tốn giá trị biên cho phương trình vi phân thường 32 3.1 Một số kiến thức bổ xung không gian L2 [0, 1] 32 3.2 Toán tử vi phân liên hợp chúng 36 3.3 Định lý luân phiên Fredholm 39 3.4 Phương pháp xây dựng hàm Green trường hợp loại trừ thứ 3.4.1 Trường hợp điều kiện ban đầu 42 3.4.2 Trường hợp điều kiện biên hai điểm không hỗn tạp 45 3.4.3 Trường hợp điều kiện biên hai điểm hỗn tạp 47 41 3.5 Cách hiểu phương trình L(y) = δ(x, t) 48 3.6 Trường hợp loại trừ thứ hai 51 Chương Phương pháp hàm Green cho phương trình đạo hàm riêng 55 4.1 Sự phân loại phương trình tuyến tính cấp hai 55 4.2 Một số kiến thức giải tích .59 4.3 Các công thức Green .61 4.4 Liên hợp toán tử vi phân mặt phẳng 63 4.5 Xây dưng hàm Green cho toán tử hai chiều với điều kiện biên Dirichlet 67 4.6 Nguyên lý cực đại 73 4.7 Ví dụ xác định hình dạng mặt trống .78 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giải tích, lý thuyết phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng chiếm vị trí quan trọng Với lý thuyết làm cho chun ngành giải tích ngày hút nhiều người sâu vào tìm hiểu đam mê nghiên cứu Một toán xét đến giải toán biên Chúng ta có nhiều phương pháp để giải tốn như: sử dụng phương pháp tách biến, phương pháp chuỗi Fourier Trong phương pháp đặc biệt phương pháp hàm Green Với lý với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ tận tình của TS.Trần Văn Bằng, em chọn đề tài ”Phương pháp hàm Green” Nội dung đề tài gồm bốn chương Chương Trình bày số kiến thức Rn, định lý luân phiên Fredholm, cách giải phương trình Chương Chương dành cho việc trình bày số kiến thức quan trọng phương trình tích phân tốn tử vi phân Giải phương trình tích phân y = Ky + f trường hợp: K có hạch tách biến, K nhỏ, K khơng có hạch tách biến khơng nhỏ Chương Xây dựng hàm Green trường hợp loại trừ thứ loại trừ thứ hai Nghiên cứu tốn giá trị biên cho phương trình vi phân thường sử dụng định lý luân phiên Fredholm vào tìm nghiệm cho tốn Chương Trong chương nghiên cứu ứng dụng phương pháp hàm Green cho phương trình đạo hàm riêng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng hàm Green để tìm nghiệm cho tốn - Nghiên cứu ứng dụng hàm Green: phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Green Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kiến thức Rn Cho E khơng gian tuyến tính trường (K = R C) Khi ta có: (a) (b) E < x, y > = < y, x > ∀x, y ∈ E × E, < αx + y, z >= α < x, z > + < y, z >, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ Hơn ta có bất đẳng thức Cauchy- Schwartz |< x, y >|2 ≤< x, x >< y, y >, ∀x, y ∈ E Ta có E khơng gian định chuẩn với chuẩn "x" =< x, y > Ví dụ 1.1 Cho dãy số dương {ap}n n n số {ap} p= R định nghĩa p= Khi tích vơ hướng với trọng n < x, y >= a pxp yp p= Dễ dàng kiểm tra công thức không gian Rn Khi ap = 1, ∀p = 1, n ta có khơng gian thơng thường Rn Khoảng cách x y |x − y| góc x y θ ∈ [0, π] cho < x, y > cosθ = x, y ƒ= "x" "y" Hơn x y gọi trực giao với < x, y >= Một cách tự nhiên, ta định nghĩa dãy điểm {vp}n p= ∈ Rn hội tụ đến y ∈ Rn lim "vp − y" = n→∞ Tuy nhiên viết lim vp = y ta nghĩ tới ba cách hiểu giới thiệu n→∞ khác vp = y ∀i = 1, (1) Sự hội tụ theo n ta có tọa độ tức lim n→∞ lim (vp)i = yi n→∞ (2) Sự hội vp = y tụ lim n→∞ lim ( max (vp)i − yi ) = n→∞ 1≤i≤n (3) Sự hội tụ vp = y theo chuẩn: lim n→∞ lim "vp − y" = n→∞ Mặc dù Rn ba hội tụ tương đương ta thấy, ba hội tụ khơng gian vơ hạn chiều nói chung khơng tương đương Về bản, việc xây dựng hàm Green dựa vào định lý biểu diễn Riezs.Vì vậy, ta phát biểu định lý bối cảnh phương trình ma trận Định lý 1.1 Nếu L phiếm hàm tuyến tính từ Rn vào R tồn véctơ v Rn để L(u) =< u, v > ∀u ∈ Rn Tổng quát ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rn biểu diễn ma trận 1.2 Ma trận liên hợp A∗ Cho ma trận A cấp n Xét tất điểm x y ∈ Rn liên hệ : < Au, x >=< u, y >, ∀u ∈ Rn (∗) ∂ r ... giải toán biên Chúng ta có nhiều phương pháp để giải tốn như: sử dụng phương pháp tách biến, phương pháp chuỗi Fourier Trong phương pháp đặc biệt phương pháp hàm Green Với lý với lòng say mê nghiên... cứu - Xây dựng hàm Green để tìm nghiệm cho toán - Nghiên cứu ứng dụng hàm Green: phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Green Phương pháp nghiên cứu... 41 3.5 Cách hiểu phương trình L(y) = δ(x, t) 48 3.6 Trường hợp loại trừ thứ hai 51 Chương Phương pháp hàm Green cho phương trình đạo hàm riêng 55 4.1 Sự phân loại phương trình tuyến