Tổ hợp là vấn đề nghiên cứu vô cùng phong phú và đa dạng, một trong những đề tài phổ biến trong toán học ngày nay, ngay cả ở trường và cả đối với các nhà toán học. Vì vậy bộ tài liệu này hứa hẹn sẽ đem lại cho bạn đọc ít nhiều kiến thức và sự hiểu biết
1 Problem: 108_bai_toan_to_hop Tác giả: Nhóm Maths Link: http://sigmaths.com/tai-lieu/108-bai-toan-to-hop-cho-moi-nguoi.html Solution: Tác giả: Nhóm “Ham Học Tốn” Link: https://www.facebook.com/groups/hamhoctoan/ Mục lục I II III IV V VI VII VIII Các toán đếm Biểu đồ ven – Logic Nguyên lý Dirichlet 13 Các toán bàn cờ 15 Tổ hợp – Hình học 20 Trò chơi – Games 24 Qui nạp 28 Mini Combinatorics 33 Lưu ý: Các tốn tích dấu đỏ mà chưa có lời giải Mình mong bạn đọc đóng góp lời giải tốn cho Và cảm ơn bạn, anh, chị, thầy giúp đỡ em hồn thành lời giải tốn khó nhằn I CÁC BÀI TỐN ĐẾM • Các toán đếm dạng toán chủ yếu tổ hợp Các tốn đếm xử lý nhiều cách nguyên lý bù trừ tổng quát (sẽ giới thiệu phần sau); phương pháp sử dụng song ánh; phương pháp truy hồi; phương pháp đếm hai cách… Nhưng toán đề cập tới; cần bao gồm phép đếm kẹo Euler công thức tổ hợp • Lời giải : Cố định chữ số đứng đầu, số cách lập số có chữ số thỏa mãn toán là: 24 cách a) Có: 100 : 24 = dư Vậy số đứng thứ 100 số thứ số thỏa mãn tốn mà có chữ số 51234; 51243; 51324; 51342; 51423; 51432 Vậy số đứng thứ 100 51432 b) Cố định chữ số thứ thứ hai, số số thỏa mãn toán là: số Dễ thấy 42531 số cuối dãy số có chữ số 42 đứng đầu Vậy dãy số, thứ tự số 42531 là: 3.24 + 2.6 – = 83 c) Nhận xét: Cố định chữ số vị trí cố định có 24 số thỏa mãn u cầu tốn Mà chữ số vị trí Do đó, tính tổng, giá trị chữ số a là: a.24.11111 Vậy tổng số lập là: (1 + + + + 5).24.11111 = 3999960 Với quân xúc xắc, số kết thu là: 6.6=36 Trong đó, số trường hợp quân có số là: Do xác suất tung quân xúc xắc số là: Xác suất tung quân xúc xắc số là: 6 Do đó, xác suất tung xúc xắc để kết nêu đề 3 Nhận xét: Mỗi học sinh chọn trường hợp sau: ▪ Chọn sách ban đầu ▪ Khơng nhận sách Do có 10 học sinh nên số trường hợp xảy là: 510 Số số có chữ số khơng có điều kiện tốn là: 9000 Số số có chữ số mà khơng có chữ số là: 94 6561 Vậy số số có chữ số thỏa mãn điều kiện toán là: 9000 – 6561 = 2439 Do số câu trả lời nhận nên sau câu trả lời ta phân giá trị x thành vùng Hơn số giá trị x 16; lũy thừa Từ ta suy chia miền giá trị x sau: Lần 1: 1;8 9;16 Lần 2: 1; 4 5;8 9;12 13;16 Tiếp tục lần ta thu giá trị x Vậy số lần hỏi là: • Mở rộng: Số câu hỏi x nhận n giá trị cho trước log n Có cách điền số 1;2;…;8 vào dấu quan hệ: ….….>… Nhận xét: Số chẵn đứng vị trí thứ Do ta tìm cách xếp số lại vào vị trí lại NX: Nếu ta chọn số phân biệt có cách xếp số Và số lại có cách xếp Do đó; số cách điền số vào dấu quan hệ với số cách chọn số từ số: 1;2;…;7 Số cách chọn ba số là: C37 35 (cách chọn) Nếu theo cơng thức có số câu cần hỏi log 10 - Do số câu cần hỏi phải Có thể bạn thắc mắc hỏi Câu trả lời ta chia vùng giá trị x theo số thập phân ta cần hỏi câu Cụ thể sau: Sau lần thứ ta có x Sau lần thứ hai ta có x 2,5 Sau lần thứ ba ta có x 1, 25 Tuy nhiên đoạn giá trị có độ dài lớn Do tình xấu 3,75 x ta phải chia đôi khoảng giá trị lần Vậy số câu cần hỏi Số hình chữ nhật chứa ô vuông là: 64 Số cách chọn ô vuông phân biệt 64 ô vuông là: C642 2016 Trong số cách chọn ô thuộc hàng cột là: 16.C82 448 (cách) Suy có 448 hình chữ nhật mà có chiều rộng 1(các vng thuộc hàng cột) Vậy số cách chọn ô vuông mà không hàng hay cột là: 2016 – 448 = 1568 (cách) Nhận xét: Với ô vuông không hàng cột ta tạo hình chữ nhật cách chiếu đường song song với cạnh bàn cờ qua vng Cụ thể sau: Với ô vuông C5 F3 ta tạo thành hình chữ nhật có đỉnh là: C5; C3; F3; F5 Như hình chữ nhật tạo cặp ô vuông không hàng cột Do số hình chữ nhật trường hợp là: 1568: 784 (hình chữ nhật) Từ trường hợp; số hình chữ nhật là: 64 448 784 1296 (hình) Đáp số: 1296 Bình luận: Việc nghĩ đến việc chia trường hợp toán tự nhiên Nhờ việc chia trường hợp mà ta dễ dàng thấy mối liên hệ số hình chữ nhật số cách chọn vng có phép tốn bù trừ thích hợp Đánh dấu số thứ tự sách 1;2;…;10 Gọi số thứ tự sách mà ta lấy xuống x; y; z x y z Suy y x 1; z y Đặt m y 1; n z Vậy x; m; n số phân biệt số 1;2;…;8 Suy số số x; y; z số số x; m; n là: C8 56 (bộ) Vậy có 56 cách lấy sách thỏa mãn tốn 10.Đặt số thỏa mãn tốn có dạng: abc a; c b; a Nhận xét: Với b thỏa mãn b có: b cách chọn chữ số a (các chữ số từ tới b – 1) b cách chọn chữ số c (các chữ số từ tới b – 1) Suy với cách chọn chữ số b số số abc thỏa mãn toán là: b b 1 Suy số số abc thỏa mãn toán là: b b 1 240 (số) i 2 11.Nhận xét: Rõ ràng a; b; c Do vai trò chữ số Vậy ta giả sử a max a; b; c nhân lần số số đếm trường hợp b a x a max a; b; c x; y c a y Suy ra: a a x a y x y a Đặt x y z a z 0 Mà a suy x y z Đặt x y z t t 0 Vậy số số thỏa mãn toán đếm trường hợp số nghiệm phương trình Theo toán đếm kẹo Euler; số nghiệm phương trình là: C12 220 (cách) Vậy trường hợp a max a; b; c có 220 số thỏa mãn tốn Vậy với trường hợp lại ta có 220 số thỏa mãn toán Vậy số số thỏa mãn tốn là: 660(số) Đáp số: 660 số 12.Ta phát biểu lại tốn sau: Có cách xếp vừa khít hình vng 1x1 hình chữ nhật 1x2 lên hình chữ nhật 1x8 Đặt số hình chữ nhật x; số hình vng y x; y N ;0 x 4; y Từ dễ dàng có phương trình sau: x y Nhận xét: Nếu với hình chữ nhật ta bỏ vng đằng sau hình chữ nhật 1x8 ban đầu trở thành dãy tồn vuông 1x1 Vậy ta cần ghép cặp x ô vuông loại với x – x ô vng x lại Với số x; số cách ghép là: C8 x Vậy tổng số cách lên cầu thang thỏa mãn toán là: C i 1 i 8i 33 Đáp số: 33 13.Bằng phép lập luận đơn giản; ta thấy số cách phủ thỏa mãn tốn đáp số 12 ta chia đôi bàn cờ thành phần theo chiều ngang 14.✓ 15.Ta xét tổng: x1 x2 x8 x1 ; x2 ; ; x8 a) Số cách viết thành tổng số là: C70 Số cách viết thành tổng số là: C71 Số cách viết thành tổng số là: C72 … Số cách viết thành tổng số là: C77 Vậy số cách viết thành tổng số nguyên dương thỏa mãn toán là: C i 0 i 27 128 b) Tác giả rơi vào tình bế tắc: 1 3 11 1 1 3 3 111 11 11 3 1 1111 111 11 11111 1111 111111 11111111 Vậy có 22 cách phân tích thỏa mãn tốn 16.Các số thỏa mãn tốn có dạng: abc (a;b;c chữ số; a ) Theo đề ta có: a b c Đặt d a 1(d chữ số) Vậy ta có: b c d Nhận xét: Số số thỏa mãn toán vơi số nghiệm ko âm phương trình Theo tốn đếm kẹo Euler số nghiệm phương trình là: C10 45 Đáp số: 45 số 17.✓ 18.✓ 19.Nếu ta vẽ lưới tọa độ ta phát biểu lại tốn sau: Tìm số cách từ điểm A tới điểm B mà lên sang phải: Công thức tổng quát để tính số cách với hình chữ nhật có kích thước m x n là: Cmmn Áp dụng với toán này, số cách thỏa mãn toán là: C224 15 (cách) 20.Bài toán tốn tổ hợp thấy nhiều trình bắt đầu học tổ hợp bạn THCS Và đáp số chung là: 10.9 45 II BIỂU ĐỒ VEN – LOGIC • Các tốn “biểu đồ ven” có tên khác nghe “kinh khủng” nguyên lý bù trừ tổng quát : A1 A2 An 1 1i1 i2 i j n j 1 Ai1 Ai2 Ai j • Cơng thức bạn đọc tự chứng minh sơ đồ ven, đó, tốn phức tạp ta trực tiếp sử dụng cơng thức tổng qt • Lời giải cho toán “biểu đồ ven” (Nguyên lý bù trừ tổng quát) 1) Gọi tập hợp người biết tiếng Đức A A 35 Tập hợp người biết tiếng Anh B B 47 Vậy tập hợp người biết thứ tiếng A B A B 23 a) Vậy số người biết thứ tiếng là: A B A B A B 35 47 23 59 Vậy số người tứ tiếng là: 67 59 (người) b) Gọi tập hợp người biết tiếng Pháp C C 20 Tập hợp người biết tiếng Pháp tiếng Anh là: B C B C 12 Tập hợp người biết tiếng Pháp tiếng Đức là: A C A C 11 Vậy số người biết thứ tiếng nói là: A B C A B C A B B C C A A B C 35 47 20 23 12 11 61 Vậy số người thứ tiếng là: 67 61 (người) 2) Bình luận: Bài thực chất toán giải toán cách lập phương trình nên tơi khơng muốn dùng cơng thức cồng kềnh với toán Gọi số người lạc Quýt a; số người lạc lại b a; b N * Vậy số người lạc thích quýt là: b 10 Vậy tổng số người thích quýt đảo là: a b 10 Do đó, ta có Pt: b 46 a b 100a 10b 46a 46b 54a 36b 10 100 a b ab a a b 40% a Vậy số người lạc Quýt chiếm 40% dân số đảo 3) Số người điểm 10 mơn là: 12 16 22 (bạn) Do đó, số học sinh lớp là: 22 30 (bạn) 4) Gọi số người học piano a số bạn học violin 2a a N * Suy số học sinh học nhạc cụ số học sinh lớp là: a 2a 3a 5(bạn) Suy ta có Pt: 3a 22 a Suy có bạn học piano 14 bạn học violin 5) Đặt tập hợp học sinh tham gia điền kinh A A 19 Tập học sinh chơi bóng chuyền B B 21 Tập hợp học sinh tham gia bơi lội C C 12 Vậy số người tham gia điền kinh bóng chuyền là: A B A B Số người tham gia điền kinh bơi lội là: A C A C Số người tham gia bóng chuyền bơi lội là: B C B C 10 4) NX: Nếu có đống sỏi (1;1) hay (2;2) người bốc thứ hai từ bắt đầu chơi với đống sỏi ln thắng Ngược lại với toán trên, với trường hợp này, người thứ hai lại có chiến thuật mang tính “Tùy ứng biến” sau: 1;2;3 0;2;3 0;2;2 1;2;3 1;1;3 1;1;0 1;2;3 1;0;3 1;0;1 1;2;3 1;2;2 0;2;2 1;2;3 1;2;1 1;0;1 Vậy người thứ hai có chiến thuật để thắng người thứ 5) Tương tự hai toán đầu tiên, trường hợp người thứ hai có chiến thuật để ln chiến thắng sau: Nếu người thứ lật đồng xu người thứ hai lật đồng xu đối xứng với đồng xu qua tâm đường tròn Cơ sở chiến thuật tương tự với sở toán 6) Nếu coi số bước để tới ô cạnh phải bàn cờ a; số bước để tới cạnh bàn cờ b; ta mơ hình hóa lại tốn: Cho đống sỏi có a; b viên sỏi Hai người chơi trò chơi có luật sau: Tới lượt người chơi nào, người phải bốc viên sỏi bốc đống Ai bốc viên sỏi cuối người chiến thắng Hỏi có chiến thuật chơi để chắn thắng cuộc? NX: Nếu có đống sỏi (1;1) hay (2;2) người bốc thứ hai từ bắt đầu chơi với đống sỏi ln thắng TH1: đống sỏi khơng có viên Người thứ chắn thắng TH2: Cả đống sỏi có viên Người thứ hai thắng 26 TH3: đống sỏi có viên đống sỏi nhiều viên Người thứ bốc cho đống sỏi viên Người thứ thắng TH4: Cả đống sỏi có viên Người thứ hai thắng TH5: Có đống sỏi có viên đống sỏi nhiều viên Người thứ bốc cho đống sỏi có viên Người thứ thắng TH6: Cả đống sỏi có nhiều viên Đầu tiên, người thứ để lại đống sỏi viên người thứ hai bốc cho đống sỏi lại nhiêu viên Sau đó, người thứ bốc đống viên người thứ hai bốc đống lại nhiêu viên Dễ thấy người thứ hai chiến thắng 7) Tương tự tốn trên, ta mơ hình hóa lại tốn: Có đống sỏi có a;b viên Hai người chơi trò chơi có luật sau: Tới lượt người chơi, người bốc số viên sỏi đống sỏi bốc đống sỏi số sỏi Ai bốc viên sỏi cuối người chiến thắng Hỏi người có chiến thuật chơi để chắn thắng cuộc? Việc lập luận trường hợp chiến thuật mong bạn đọc tự giải 8) Người thứ có chiến thuật để đảm bảo chiến thắng sau: Đầu tiên, người thứ bốc que diêm Sau đó, người thứ hai bốc n que diêm người thứ bốc – n que diêm Dễ thấy với chiến thuật này, số diêm lại Từ dễ thấy người thứ người chiến thắng 9) Nhận xét: Người nói số 35 hiển nhiên thắng Phần lập luận dành cho bạn đọc Ta có chiến thuật chơi người thứ hai để nói số 35 sau: 27 Lượt Số người thứ nói Số người thứ hai nói số từ tới 10 11 12 hoặ 13 14 số từ 15 đến 19 20 21 22 23 số từ 24 tới 28 30 số từ 31 đến 33 35 10) Đầu tiên, người thứ đặt đồng xu có tâm trùng với giao điểm đường chéo mặt bàn Sau đó, người thứ hai đặt đồng xu vị trí người thứ đặt đồng xu đối xứng với vị trí qua tâm đồng xu đặt Vậy người đặt xu th người thứ ln đặt xu Như vậy, người thứ nắm phần thắng VII QUI NẠP • Đây phương pháp hiệu số học, đại số tổ hợp Các bạn hiểu kĩ thơng qua lời giải tốn • Lời giải cho toán quy nạp: 1) Điều xảy là: Tất buổi học khóa học bị bỏ 2) Điều ta nghiêm thấy rõ ràng: Châu chấu nhảy đến độ cao số tự nhiên khơng nhỏ 10 3) Ta chứng minh hình vng ban đầu chia số lớn hình vng nhỏ TH1: Số vuông cần chia lớn NX: ô vuông ban đầu chia thành a vng nhỏ Trong a vng nhỏ ta hợp b2 ô vuông nhỏ thành ô vuông lớn Vậy tổng số vng có là: a b2 (ơ vng) Để chia hình vng ban đầu thành n ô vuông a b2 n a b a b n 28 Nếu n – lẻ n dễ chứng minh tồn số nguyên dương a; b phân biệt thỏa mãn đẳng thức Vậy ta có cách chia thỏa mãn tốn Nếu n – chia dư Ta chia hình vng ban đầu thành hình vng nhỏ chọn hình vng số chia thành hình vng nhỏ trường hợp Vậy với n lớn ln tồn cách chia hình vng ban đầu thành n hình vng nhỏ (đpcm) 4) Chia hình tam giác theo cách sau: Nếu đoạn chia thành n đoạn nối với hình bên tạo thành: a tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ban đầu Nếu ta hợp b b a tam giác nhỏ “đỉnh” thành tam giác lớn số tam giác tạo là: a b2 tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu - Dễ C/m với n chia dư n chẵn ln tồn số ngun dương a;b thỏa mãn điều kiện: a b2 n Vậy chia tam giác ban đầu thành n tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ban đầu - Nếu n 3 mod ta có cách khác sau: Chia tam giác ban đầu thành a tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ban đầu Trên cạnh tam giác ban đầu Đánh số đoạn thẳng 1;2;3…;a Chia cạnh thành đoạn thẳng với độ dài b a – b Từ điểm kẻ đường song song với cạnh tam giác Từ điểm chia tam giác thành đoạn có tỉ lệ b – a – b +1, kẻ đường song song với cạnh lại tam giác Xét tam giác có đỉnh đỉnh tam giác ban đầu cạnh đường nhắc đến bên trên, tam giác nhỏ nằm tam giác ta hợp thành tam giác lớn 29 Vậy số tam giác chia là: a b 1 a b 2b a b 1 2 Vậy để chia tam giác ban đầu thành 4k 3 k N * tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu thì: b a b 1 2k Luôn tồn số nguyên dương a; b thỏa mãn đẳng thức Vậy ln chia tam giác ban đầu thành n > tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu 5) Xét số 10n 8.10 10 3.10 2k k - Với n 2k k N * rõ ràng 10 6.10 - Với n 2k 1 k N ta có 10 k 1 k k k Vậy suy với n tự nhiên, lũy thừa bậc n số 10 ln viết thành tổng bình phương 6) Ta chứng minh phương pháp quy nạp: Đặt n số đường thẳng cho - Với n ; rõ ràng tơ màu miền mà đường thẳng chia màu khác Giả sử với n k tồn cách tơ màu miền thỏa mãn toán Ta C/m với n k tồn cách tơ màu thỏa mãn toán Thật vậy, thêm đường thẳng chia mặt phẳng thành miền Xét miền có bờ đường thẳng thêm Mỗi miền nhỏ thuộc miền ta đổi màu miền thành màu lại Như miền tô theo cách thỏa mãn tốn Theo ngun lý quy nạp với n tự nhiên tồn cách tô màu miền mà n đường thẳng tạo thỏa mãn toán 7) TH1: Với số người chơi Rõ ràng tồn cách xếp thỏa mãn toán Giả sử toán với số người chơi k, ta chứng minh toán với số người chơi k+1 30 Đánh số người chơi xếp theo cách thỏa mãn toán trường hợp số người chơi k lầ lượt 1;2;…;k - Nếu tồn người chơi i i+1 mà i thắng người chơi thứ k+1 i+1 thua người chơi k+1 hiển nhiên tốn chứng minh - Nếu không tồn người chơi Suy người chơi thứ k+1 thắng tất k người chơi thua k người chơi Vậy người thứ k+1 đứng đầu cuối hàng tương ứng với trường hợp Vậy câu trả lời toán khẳng định 8) Ta xây dựng thuật toán cho câu b) áp dụng tương tự cho câu a) Dễ thấy: Nếu xếp số n; n – 1; n – 2; n – 3; theo thứ tự cuối dãy số số chắn thỏa mãn tốn khơng liên quan với dãy số trước Mỗi lần thực thế, dãy số rút gọn số Cho đến dãy số nhiều số: - Nếu dãy số 1;2;3;4 Sắp xếp lại thành 4;3;2;1 ta dãy thỏa mãn toán - Nếu dãy số 1;2;3;4;5 Sắp xếp lại thành 4;5;2;1;3 ta dãy thỏa mãn toán - Nếu dãy số 1;2;3;4;5;6 Sắp xếp lại thành 4;5;6;1;2;3 ta dãy thỏa mãn tốn - Nếu dãy số 1;2;3;4;5;6;7 Dễ C/m dãy ban đầu có số, khơng thể xếp dãy thỏa mãn tốn Do ta thêm vào số để 11 số 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 Sắp xếp lại thành 4;5;2;1;3;9;10;11;6;7;8 ta dãy thỏa mãn toán Kết luận: Với n không nhỏ khác tồn dãy thỏa mãn tốn • Tổng quát: Với n không nhỏ k khác 2k + tồn dãy có n số mà số tình trạng ngược với k số dãy a) Tương tự với phần b) ta dựng dãy thỏa mãn toán sau: 3;4;1;2;7;6;5 9) Ta chứng minh số tập n phương pháp quy nạp: Nếu n hiển nhiên số tập (tập rỗng) Giả sử số tập tập hợp gồm k phần tử k Ta chứng minh số tập tập hợp gồm k phần tử 2k 1 31 Thật vậy, thêm phần tử a vào tập hợp gồm k phần tử Xét tập chứa phần tử a tập không chứa phần tử a NX: Số tập không chứa phần tử a số tập tập hợp gồm k phần tử là: k Với tập chứa phần tử a , ta bỏ phần tử a tập trở thành tập không chứa phần tử a Suy có k tập Vậy tổng số tập là: 2k 2k 2k 1 (tập) Vậy theo nguyên lý quy nạp, số tập tập hợp gồm n phần tử n 10) Giả sử tập hợp ban đầu là: 1;2; ;n Chia tập thành tập 1;2; ; n 1 n Chọn tập tập 1;2; ; n 1 a Nếu tập có số lẻ phần tử ta giữ tập b Nếu tập có số chẵn phần tử, ta thêm phần tử n ta tập có lẻ phần tử Vậy suy số tập có lẻ phần tử tập 1;2; ;n số tập tập 1;2; ; n 1 Tương tự suy số tập có chẵn phần tử tập 1;2; ;n số tập tập 1;2; ; n 1 Vậy suy số tập có lẻ phần tử số tập có chẵn phần tử 1;2; ;n (đpcm) 32 VIII MINI COMBINATORICS • Phần tổng hợp lại kiến thức có chương trước Các bạn đọc sử dụng sáng tạo để tìm lời giải hay lời giải sau • Lời giải: 1) Đây toán tiểu học Đáp số 45 số 2) Ta tính số số có chữ số mà chữ số chẵn là: 20 số Vậy số số có chữ số mà có chữ số lẻ là: 90 – 20 = 70(số) 3) Số số có chữ số khơng chứa chữ số là: 729 số Vậy số số có chữ số thỏa mãn tốn là: 900 – 729 = 171 (số) 4) Số số có chữ số khác là: 9.9.8.7 = 4536 (số) Vậy số số có chữ số chứa chữ số trùng lặp là: 9000 – 4536 = 4464 (số) 5) Tính hết Số số có chữ số mà chữ số chẵn là: 4.5.5 = 100 (số) Số số có chữ số mà chữ số lẻ là: 5.5.5 = 125 (số) Vậy số số có chữ số chẵn số số có chữ số lẻ 6) Ta xét trường hợp có chữ số lẻ chữ số lẻ: TH1: Có chữ số lẻ • Nếu chữ số lẻ khơng phải hàng trăm Số số là: 2.4.5.5 = 200 (số) • Nếu chữ số lẻ hàng trăm Số số là: 5.5.5 = 125 (số) TH2: Có chữ số lẻ Số số là: 5.5.5 = 125 (số) Vậy số số thỏa mãn điều kiện toán là: 200 + 125 + 125 = 450 (số) 7) NX: Nếu ta có cấu hình chữ số đầu có cấu hình chữ số cuối Do ta cần đếm số cấu hình chữ số đầu là: 9.10.10 = 900 (số) 33 8) Dĩ nhiên ta liên tưởng đến toán đếm kẹo Euler Đặt số có chữ số thỏa mãn yeu cầu toán abc a Đặt b1 b 1; c1 c Vậy số số có chữ số thỏa mãn toán số nghiệm nguyên dương phương trình: a b1 c1 Mà theo toán đếm kẹo Euler, số nghiệm phương trình là: C72 21 Vậy có 21 số có chữ số thỏa mãn tốn 9) Đặt số có chữ số thỏa mãn yeu cầu toán abc a Vậy ta có: a b c d d N * Đặt b1 b 1; c1 c Vậy số số có chữ số thỏa mãn tốn nghiệm nguyên dương phương trình: a b1 c1 d Mà theo toán đếm kẹo Euler, số nghiệm phương trình là: C53 10 Vậy có 10 số có chữ số thỏa mãn toán 10) Dễ thấy số có chữ số chứa chữ số Suy số thỏa mãn toán có nhiều chữ số Mà số tạo chữ số 3;4;5;7;8;9 - Số lập có chữ số Suy số có dạng abc a Để abc a b c • TH1: a; b; c chia có số dư ▪ Nếu a; b; c chia hết cho Vậy chữ số a; b; c Vậy số số abc là: 23 Tương tự với trường hợp a; b; c chia dư 2, lập số abc Vậy trường hợp lập 24 số • TH2: a; b; c chia dư 0;1;2 Giả sử a mod3 ; b 1 mod 3 ; c mod3 sau ta nhân với số hoán vị a; b; c Nhận xét: Có cách chọn a (3 9) Có cách chọn b (4 7) 34 Có cách chọn c (5 8) Suy số số abc lập là: Vậy số số abc có chữ số thỏa mãn toán là: 24 + = 32 - Số lập có chữ số Số có dạng ab a; b3;4;5;7;8;9 a; b a 1 mod 3 ; b mod 3 ab a mod 3 ; b 1 mod 3 • a; b Có cách chọn a (3 9) Có cách chọn b (3 9) • a 1 mod3 ; b mod3 Có cách chọn a (4 7) Có cách chọn b (5 8) • a mod3 ; b 1 mod3 Có cách chọn a (5 8) Có cách chọn b (4 7) Vậy số số thỏa mãn tốn có chữ số là: 2.2 + 2.2 + 2.2 = 12 (số) - Số lập có chữ số Số Vậy số số thỏa mãn toán là: 32 + 12 + = 46 (số) 11) Để tổng số số chẵn có khơng có số lẻ TH1: Có số chẵn số lẻ Số chẵn chọn từ tập hợp 0;2;4; ;30 số lẻ chọn từ tập hợp 1;3; ;29 Vậy số cách chọn số thỏa mãn tốn là: 16.C152 1680 (cách) TH2: Có số chẵn Suy số chọn từ 16 số 0;2;4; ;30 Số cách chọn số là: C163 560 (cách) Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn toán là: 1680 + 560 = 2240 (cách) 35 12) Số tam giác thỏa mãn toán số cách chọn điểm 24 điểm cho đỉnh tam giác không suy biến Số cách chọn điểm 24 điểm là: C24 2024 (cách) Trên cạnh, số cách chọn điểm là: C63 20 (cách) Vậy số cách chọn điểm thỏa mãn toán là: 2024 4.20 1944 (cách) 13) Số cách chọn tứ giác số cách chọn điểm Do có: C64 15 (cách chọn) 14) Nếu nhảy từ điểm tới điểm bước thì: Trong bước nhảy đó, phải lùi bước Số cách chọn thứ tự bước lùi bước nhảy là: C92 36 Tuy nhiên, khơng thể lùi bước đầu tiên, số cách mà lùi bước là: cách (bước lùi bước lại) Nó khơng thể tiến lên bước lùi liên tiếp bước Có cách Suy ra, số cách bọ là: 36 – – = 27 (cách) 15) Số cách chia khơng có điều kiện ràng buộc là: 28 : 128 Số cách chia mà có đội khơng có bạn nam hay có đội chứa bạn nam là: 25 32 Vậy số cách chia đội thỏa mãn toán là: 128 – 32 = 96 (cách) 16) Số cách chọn khơng ràng buộc u cầu tốn là: C11 462 (cách chọn) Số cách chọn người mà khơng có người đàn bà là: C76 (cách) 36 Số cách chọn người mà có người đàn bà là: 4.C75 84 (cách) Vậy số cách chọn người thỏa mãn toán là: 462 – – 84 = 371 (cách) 17) Có: a.b.c 2310 2.3.5.7.11 Nhận xét: Số số a; b; c thỏa mãn toán số cách mà thừa số nguyên tố 2;3;5;7;11 chọn số a; b; c mà phân tích thừa số ngun tố có chứa thừa số nguyên tố Thừa số nguyên tố thuộc số a; b; c Thừa số nguyên tố thuộc số a; b; c Thừa số nguyên tố thuộc số a; b; c Thừa số nguyên tố thuộc số a; b; c Thừa số nguyên tố 11 thuộc số a; b; c Vậy số số a; b; c thỏa mãn toán là: 35 18) Số cách thắp khơng ràng buộc u cầu tốn là: 210 Số cách thắp mà 10 đèn sáng tắt là: Vậy số cách thắp đèn thỏa mãn tốn là: 210 19) Nhìn lại toán số 12 “Các toán đếm” Áp dụng cơng thức, đáp án tốn là: C i 1 i i 54 20) Với toán này, áp dụng toán đếm kẹo Euler, chữ số kẹo, chữ số que Đặt số chữ số x Vậy số chữ số là: 10 x x 5 x chữ số “nhét” vào x 10 x 11 x khoảng trống chữ số 5 Vậy số số thỏa mãn toán là: C i 1 21) Tổng số thỏa mãn toán là: 567 576 657 675 756 765 3996 37 i 11i 143 22) Giả sử chữ số đứng Suy số thỏa mãn toán có dạng 1abc NX: Có cách chọn a Có cách chọn b Có cách chọn c Vậy số số thỏa mãn tốn có chữ số đứng vị trí là: 64 Tương tự, suy với vị trí, chữ số lặp lại 64 lần Vậy tổng số thỏa mãn toán là: (1 + + + 4) 1111 64 = 711040 23) Tương tự cách lập luận trên, vị trí, chữ số lặp lại 25 lần Do đó, tổng số lập là: (0 + + + + 8).111.25 = 55500 Tuy nhiên, với số có chữ số 0, ta khơng tính số hạng Tổng số lập dãy có chữ số là: (0 + + + + 8).11.5 = 1100 Suy tổng số thỏa mãn điều kiền toán là: 55500 – 1100 = 54400 24) Số khối lập phương khơng có mặt đen là: 8.8.8 = 512 Mà tổng số khối lập phương 1000 Suy số khối lập phương có mặt đen là: 1000 – 512 = 488 25) Quá easy 26) Số kết khác mà không chứa số là: 53 Mà tổng số kết xảy là: 63 Suy số kết khác chứa số là: 63 53 Đáp án 65 27) Đầu tiên ta đếm số cách lấy giày Đôi giày người thứ có khả năng: trái phải Tương tự suy số cách chọn giày là: Tiếp theo ta đếm số cách mà người lấy sai giày • Ta phát biểu lại phép đếm toán tổng quát: Cho số 1;2; ;n Tìm số hốn vị số mà khơng có số vị trí 38 • Giải: Gọi tập hốn vị mà số i vị trí Ai i 1; n n Có: Ai n 1! Ai n ! i 1 Ai Aj n ! Tương tự 1i j n 1i1 i2 i j n Ai Aj Cn2 n ! Ai1 Ai2 Ai j n! 2! n! j! Vậy số các hoán vị mà có số vị trí là: j 1 Ai1 Ai2 Ai j 1 j 1 i i i n j n n j 1 n ! 1 j! j 1 n 1 1 n ! 1 1 n! 2! 3! 4! Suy số hoán vị mà khơng có số vị trí là: 1 n 1 n 1 1 n ! n ! 1 1 n ! 1 n! n! 2! 3! 4! 2! 3! 4! • Áp dụng: Số cách để người lấy người giày mà không người lấy là: 1 1 3! (cách) 2! 3! Suy số cách lấy giày người thỏa mãn toán là: 23.2 16 (cách) 39 28) Ta thực phép tơ màu hình đây: Những điểm đỉnh tô màu đỏ (Red), trung điểm cạnh tô màu xanh (Blue), điểm tâm hình vng tơ màu vàng (Yellow) Giả sử bọ qua tất chốt theo cách thỏa mãn toán Do bọ xuất phát từ tâm hình lập phương nên điểm mà đến phải điểm vàng Vì mà ta coi hành trình bọ từ điểm màu vàng qua tất chốt phòng mà chốt để qua lần Gọi tập hợp điểm đỏ vàng A A 14 Tập hợp điểm xanh B B 12 Rõ ràng, sau lần từ điểm thuộc A tới điểm thuộc B từ điểm thuộc B tới điểm thuộc A c Nếu trình bọ kết thúc điểm thuộc A A B d Nếu trình bọ kết thúc điểm thuộc B A B A B (Vô lý A B 14 12 ) Vậy bọ qua hết tất chốt phòng mà chốt qua lần 40 ... thể qn cờ thỏa mãn tốn TỔ HỢP – HÌNH HỌC • Những tốn tổ hợp hình học mang tính trực quan, dễ so với kiến thức tổ hợp đề cập đến Tuy nhiên, tổ hợp hình học lại sở cho toán tổ hợp khó mơ hình hóa... dụng cơng thức tổng qt • Lời giải cho toán “biểu đồ ven” (Nguyên lý bù trừ tổng quát) 1) Gọi tập hợp người biết tiếng Đức A A 35 Tập hợp người biết tiếng Anh B B 47 Vậy tập hợp người biết... người 6) Gọi tập hợp người tham gia lần thứ A Tập hợp người tham gia lần thứ hai B Tập hợp người tham gia lần thứ ba C A B C 15 Tập hợp người lần là: A B A B Tập hợp người lần là: