Nhóm đơn đại số toán học

u t t TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN =====***===== ĐỖ THỊ THANH LAN NHĨM ĐƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI, 2014 36 - u t t LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn đóng góp ý kiến thầy cô giáo tổ Đại số, đóng góp ý kiến bạn sinh viên giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.SĐỗ Văn Kiên, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình giúp em hồn thành khóa luận Trong q trình thực đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, mong thầy, tồn thể bạn sinh viên đóng góp ý kiến, sửa chữa đề tài để đề tài ngày hoàn thiện mang giá trị thực tiễn cao Hà Nộ , t ăm 2014 Sinh viên Đỗ Thị Thanh Lan 36 - u t t LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập nghiên cứu em Khóa luận hồn thành sở kiến thức mà em học, số tài liệu tham khảo bảo thầy cô giáo , đặc biệt bảo tận tình thầy giáo - Th.S Đỗ Văn Kiên Với đề tài “nhóm đơn”, khóa luận khơng có trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin hồn toàn chịu trách nhiệm Hà Nộ , t ăm 2014 Sinh viên Đỗ Thị Thanh Lan 36 - u t t Mục lục A Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận B Nội dung Chương Các kiến thức cần chuẩn bị 1.1 Nhóm 1.2 Nhóm 1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 1.4 Nhóm sinh tập – Nhóm cyclic 1.5 Nhóm hữu hạn 1.6 Nhóm đối xứng 1.7 P – nhóm 1.8 Đồng cấu nhóm 12 1.9 Tác động nhóm lên tập hợp 13 Chương Nhóm đơn 15 2.1 Nhóm đơn 15 2.1.1 Định nghĩa vài tính chất nhóm đơn 15 2.1.2 Nhóm thay phiên 25 2.1.3 Tính đơn nhóm thay phiên 27 2.1.4 Sự phân loại nhóm đơn hữu hạn 31 Chương Nhóm giải 33 KẾT LUẬN CHUNG 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 36 - u t t Mở đầu Lý chọn đề tài Có thể nói ngành toán học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số tất nhiên hiểu biết sâu sắc cấu trúc Đối tượng chủ yếu cấu trúc đại số nhóm, vành , trường, mơ đun… nhóm đơn khái niệm quan trọng đại số đại có nhiều ứng dụng ngành tốn Việc phân loại nhóm đơn hữu hạn hàng trăm nhà toán học nghiên cứu, vào năm 1950 đầu năm 1980 giới thiệu qua hàng nghìn trang báo khác Tới năm 1970, chiến lược toàn cầu đưa nhằm giải triệt để vấn đề Qua đó, nhiều nhóm đơn đời liên tiếp nhóm Chevalley, biến phân Steinberg, nhóm Suzuki Ree 21 nhóm bất định “hiện đại” khác trước xây dựng nhóm bất định cuối vào đầu năm 1980 F1 J4 Sau đó, phương pháp nghiên cứu nhóm đơn bước phát triển ứng dụng nhiều toán học Với lý với lòng say mê nghiên cứu khoa học, em mạnh dạn chọn đề tài “nhóm đơn” để làm khóa luận Nhưng điều kiện thời gian mức độ hiểu biết hạn chế thân nên em nghiên cứu vài nét phân loại nhóm đơn Mục đích nghiên cứu Q trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu đại số đặc biệt tìm hiểu sâu nhóm đơn, phân loại nhóm đơn nhóm hữu hạn 36 - u t t Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu, làm bật khái niệm, tính chất nhóm đơn, nhóm giải việc phân loại nhóm đơn hữu hạn Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Chương Các kiến thức cần chuẩn bị Chương Nhóm đơn Chương Nhóm giải Trong suốt trình nghiên cứu, thầy giáo- Th.SĐỗ VănKiên bảo, giúp đỡ tận tình, em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Một lần em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Em mong thầy cô giáo bạn sinh viên khoa đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện 36 - u t t Chƣơng Các kiến thức cần chuẩn bị 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho X t X đ X ợ , (.) m ếu c c đ ều k é t ô trê s u t ỏ mã ( xy) z  x( yz ) v mọ x, y, z  X i tạ ii ầ tử e  X cho xe  ex  x v mọ x  X c iii mọ x  X ầ tử x  X cho xx  xx  e Chú ý 1.1.1 +) Phần tử e gọi phần tử đơn vị nhóm X +) Phần tử x thỏa mãn điều kiện iii) gọi phần tử nghịch đảo x thường kí hiệu x 1 +) Nhóm X gọi nhóm giao hốn hay Abel nếu: xy  yx , với x, y  X Ví dụ 1.1.1 +) Tập hợp số nguyên với phép toán nhân thơng thường lập thành nhóm +) Tập hợp số hữu tỉ với phép tốn cộng thơng thường lập thành nhóm Mệnh đề 1.1.1 Cho X i) M ầ tử x củ m X c ỉ tồ tạ ất ầ tử c đả x 1 ặc b t : e 1  e ii) r mc u t ả c, tức v mọ x, y, z  X : xy  xz  y  z yx  zx  y  z 36 - u t t iii) Trong nhóm X , ươ ax  b ( ặc xa  b ) c trì m ất x  a 1b ( x  ba 1 ) iv) Trong nhóm ta có ( xy ) 1  y 1 x 1 với x, y hai phần tử nhóm X 1.2 Nhóm Định nghĩa 1.2.1.Cho X A cù v ổ đ é t m cù v củ X A ọ cảm s t é t ô (.), mc củ X ếu A nhóm Ví dụ 1.2.1 i) Mỗi nhóm cộng sau nhóm nhóm đứng sau:    ii) Giao họ nhóm nhóm X nhóm X Định lý 1.2.1 Một t c X ếu c ỉ ếu đ ều k A củ ii) e  A v mc củ s u t ỏ mã e ầ tử v củ X mọ x  A x 1  A ) Hệ 1.2.1 Cho X đươ i) t mọ x, y  A xy  A ) tươ mX : A ) v m, A ≠ , A  X C c đ ều k mc củ X mọ x, y  A xy  A , x 1  A iii) x, y  A xy 1  A 36 - s u u t t 1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thƣơng Định nghĩa 1.3.1 Một mc ếu c ỉ ếu x 1ax  A v A củ c uẩ tắc t tồ tạ ọ c uẩ tắc mọ a  A, x  X Định nghĩa 1.3.2 Cho X mc mX đạ m N mc ếu H H củ X ọ mc c uẩ tắc k ô c uẩ tắc K củ G mà H  K  G mc Ví dụ 1.3.1 +) Cho X nhóm Các nhóm tầm thường X  e là chuẩntắc +) Mọi nhóm nhóm Abel chuẩn tắc Định lý 1.3.1.G ả sử A tươ mc củ X , c c đ ều k s u đươ i A c uẩ tắc tr ii xA  Ax , v X mọ x  X Định nghĩa 1.3.3 Cho X củ X đ X A ( xA)( yA)  xyA m, A   xA, x  X  cù m, ọ mc v m t ươ Nhận xét 1.3.1 Nếu X nhóm Abel X é c uẩ tắc t ô củ X A A nhóm Abel Chú ý 1.3.1 Cho A nhóm X , phần tử x  A xA  Ax  A 1.4 Nhóm sinh tập – Nhóm cyclic Định nghĩa 1.4.1 G ả sử U c c c s r mc củ X c ứ U bở U , kí trườ X s củ mc u U > ây ợ  U >= X t mc rằ m X.G củ tất củ X c ứ U ọ ỏ U t ất củ X c ứ U s củ X hay bở U m 36 - u t t Nếu = X X k U ta nói U t s s ĩ c c ũy t c t ực củ cực t ểu củ X Định nghĩa 1.4.2.Cho X đ bở t m a uyê a m , m củ a ầ tử t uộc X Ta ưs u a0  e a m  a.a a , m  m 1  m a  (a ) , m  m a n a m  a n m ,(a n ) m  a n m , n, m  (a m ) 1  a  m a n a m  a m a n , n, m  Định nghĩa 1.4.3 Nhóm X ọ một ầ tử a s c mọ m cyc c X , ký c ứ ũy t uyê ầ tử củ X bằ đ củ a P ầ tử a c tí củ m cyc c ếu c ất v y ọ ầ tử s u X   a Chú ý 1.4.1 +) Nếu phép tốn hai ngơi X phép tốn cộng :  a   ka k   +) Nếu phép tốn hai ngơi trongXlà phép tốn nhân thì:   a  a k k   Ví dụ 1.4.1 Nhóm ( , ) nhóm cyclic với phần tử sinh -1 Định nghĩa 1.4.4 Cấ củ củ X ếu X có ữu m X , kí ầ tử, bằ vô cù u X às ếu X c vô tử 36 - ầ tử ầ u t t Suy  An tập tất phép lẻ Vậy S n tách thành hai lớp ghép An An Suy  Sn : An    An  Sn :  Sn : An   n! Vì nhóm thương S n / An có hai phần tử nên phải nhóm cyclic cấp số nguyên tố ( 1.5.2) Hệ 2.1.2.Nhóm Sn , n  k mc c uẩ tắc k ô ả tầm t ườ m c ứ An , n  Định lý 2.1.5 Nhóm thay phiên An , n  s r bở c c xíc c độ dà 3, đặc b t H  (1 3),(1 4), ,(1 n)  An Chứng minh: Với  thuộc vào An ta phân tích   1  2k , 1 , ,, k chuyển trí.Hơn chuyển trí (i0 jo ) có dạng (i0 jo )  (1 i0 )(1 j0 )(1 i0 ) nên  viết dạng tích số chẵn phép loại (1 i) Do ta cần chứng minh tích (1 j )(1 k ) thuộc vào H với  j  k  n xong Ta xét bốn trường hợp sau đây: +) Trường hợp 1: j  k Ta có (1 j )(1 j )  (1)  (1 3)(1 3)1  (1 i)(1 j)  H +) Trường hợp 2: j  k , j  Ta có (1 2)(1 k )  (1 k 2)  (1 k )1  H +) Trường hợp 3: j  k , k  26 36 - u t t Ta có: (1 j )(1 2)  (1 j )  H +) Trường hợp 4: j  k ,3  j  k Ta có (1 j )(1 k )  (1 j )(1 2)(1 2)(1 k )  (1 j )(1 k 2)  (1 j )(1 k ) 1  H Suy An  H  H  An Như ta chứng minh xong định lý 2.1.3 Tính đơn nhóm thay phiên Định lý 2.1.6.Cho H mc c uẩ tắc củ An , n  Nếu H c ứ xíc c độ dà H  An Chứng minh : Khơng giảm tính tổng qt, khơng đặt lại thứ tự, ta giả sử (1 3)  H Suy với  thuộc An ta có  1 (1 3)   H Lại H chuẩn tắc An nên với k  ta có (2 k )1 (1 3)(2 k )  (1 k 2)  H Suy với k > 3ta có (1 k 2)2  H Mặt khác, theo đ ý 2.1.5 An sinh xích có độ dài H  An Định lý 2.1.7.Nhóm A5 nhóm Chứng minh: Giả sử N nhóm chuẩn tắc A5 , N  (1) Chúng ta cần N  A5 27 36 - u t t Vì N nhóm A5 nên N phải chứa phép chẵn  Rõ ràng  phải dạng sau:   (a b c d e)   (a b)(c d )   (a b c) +) Trường hợp 1:   (a b c d e) Lấy   (a b)(c d ) thuộc A5 Khi     1  (a b)(c d )(a b c d e)(a b)(c d )  (a d c e b) Vì N chuẩn tắc A5 nên    N ta có    (a b c d e)(a d c e b)  (a e c)  N  N chứa xích có chiều dài +) Trường hợp 2:   (a b)(c d ) Đặt   (a b e) 1 Khi     1  (a b e)(a b c d e)(a e b )  (b e)(c d ) Vì N chuẩn tắc A5 nên    (a b)(c d )(b e)(c d )  (a b e)  N  N chứa xích có chiều dài +) Trường hợp 3:   (a b c) Hiển nhiên ta có N chứa xích có chiều dài Theo đ ý 2.1.5 2.1.6 N phải chứa tất xích có độ dài chứa tất phần tử A5 Vậy N  A5 A5 nhóm đơn Định lý 2.1.8 An m v mọ n  Chứng minh : Giả sử tồn H  (1) là nhóm chuẩn tắc An Ta cần chứng minh H  An Với   H Phân tích  thành tích xích rời rạc ta :   12 k Xảy trường hợp sau : +) Trường hợp : Tồn xích có độ dài lớn chẳng hạn 1 28 36 - u t t Khơng giảm tính tổng qt, giả sử m)2   (12 k Đặt   (1 2) Do H chuẩn tắc An nên (1 3)(1 2)  H Mà (132) giao hoán với 2 k Suy m)2 k (1 2) m)(1 2)2 k (1 3)(1 2)  (1 3)(1  (1 3)(1  (1 m 3)2 k Suy (1 m 3)2 k  1  (1 Suy H  An theo đ 1)  (1 4)  H m 3)(m ý2.1.6 +) Trường hợp :  tích xích rời rạc có độ dài Nếu có hai xích có độ dài giả sử 1 2 Khơng giảm tính tổng quát, giả sử :   (1 3)(4 6)3 k Đặt   (3 4) ta có : (3 5)(3 4)  (3 5)(1 3)(4 6) 3  (3 5)(1 3)(4 6)(3 4)3  (1 4)(3 5)3 k (3 4) k k  H Suy (1 4)(3 5)3 k  1  (1 5)  H Điều mâu thuẫn với giả thiết Nếu  chứa xích có chiều dài Khơng làm giảm tính tổng quát giả sử 1  (1 3) Suy (1 2)  (1 3)2 k (1 3)2 k  H 29 36 - u t t Suy H  An theo đ ý2.1.6 +) Trường hợp :  tích chuyển trí khác   (1 2)(3 4)3 m Xét xích   (1 2) Ta có : (1 4)(1 2)  3 k  H Suy (1 3)(2 4)3 k  1  (1 4)(2 3)  H Xét xích   (2 5) ta có : (2 3)(1 4)(2 3)(2 5)  (1 4)(2 5)  H Suy (1 4)(2 5)(2 3)(1 4)  (2 5)  H Suy H  An Như định lý chứng minh xong Nhận xét 2.1 Chỉ có nhóm số S n , n  An có nhóm H mà S n : H   H chuẩn tắc S n Suy H  An chuẩn tắc An Mà An nhóm đơn với n  nên H  An (1)hoặc An Suy H  An  An Do An  H Mặt khác S n : H   An  H Chú ý 2.1.4 : ý 2.1.8vẫ đú v n  Với n  1, An  (1) An nhóm đơn 1  1  Với n  Đặt f   , g    1 An  (1), f , g 3 2   30 36 - u t t Ta thấy 1 1 1  1  f 1 gf        1 3  A3  1 1   1 Suy f khơng chuẩn tắc A3 Tương tự g khơng chuẩn tắc A3 Do A3 chứa hai nhóm chuẩn tắc tầm thường {(1)} Vậy A3 nhóm đơn 2.1.4 Sự phân loại nhóm đơn hữu hạn Nhóm đơn hữu hạn phần quan trọng đại số Việc phân loại nhóm đơn hữu hạn nhà tốn học nghiên cứu, hồn thiện, bổ xung từ năm 1950 cơng khai hồn thành vào năm 1983 Daniel Gorenstein Do cấu trúc việc phân loại phức tạp nên em nêu lên kết cuối Định lý 2.1.9 ( ữu m bất đ : ý +) Nhóm cyclic ữu â m cyc c cấ e, m ữu ).Mọ uyê t , ặc tr 26 mt m y m ê , ữu p +) Nhóm thay phiên An , n  hay kí hiệu Altn +) Họ nhóm loại Lie bao gồm : Các nhóm Chevalley An (q), n  ; Bn (q), n  ; Cn (q), n  ; Dn (q), n  ; E6 (q) ; E7 (q) ; E8 (q) ; F4 (q) , G2 (q) , Các nhóm Steinberg D4 (q); Các nhóm Suzuki : 2 An (q), n  1; Dn (q), n  1; E6 (q); B2 (2 n1 ), n  ,Các nhóm Ree, nhóm Tits F4 (2 n1 ), n  ,Các nhóm Ree G2 (32 n1 ), n  +) Các nhóm rời rạc bao gồm : Các nhóm Mathieu M 11, M 12 , M 22 , M 23 , M 24 ; nhóm Janko J , J , J , J ; nhóm Conway Co1 , Co2 , Co3 ; nhóm Fischer 31 36 - u t t  ; nhóm Higman-Sims HS ; nhóm McLaughlin McL Fi22 , Fi23 , Fi24 ;nhóm Held He ; nhóm Rudvalis Ru ; nhóm Suzuki Suz (Sz ) ; nhóm O’Nan O' N ; nhóm Harada-Norton HN ; nhóm Lyons Ly ; nhóm Thompson Th ; nhóm Baby Monster B ; nhóm Fischer-Gries Monster F1 Chƣơng Nhóm giải đƣợc Việc nghiên cứu lớp nhóm giải hay không giải bước tiến quan trọng lý thuyết nhóm Vấn đề đề cập cơng trình E Galois nhóm S n nhằm giải đáp cho vấn đề 32 36 - u t t tính giải hay khơng giải thức phương trình đại số Trước nghiên cứu định nghĩa tính chất nhóm giải được, tìm hiểu số định lý sau : Định lý 3.1 G ả sử f : G  G đồ G  N mc cấu đ từ c uẩ tắc củ G v m G đế N   f (N ) m đ t có : N  i f :G ii c uẩ tắc củ m f (G)  f (G )  N N xN  f ( x) N  đồ iii mc cấu Nếu N  f 1 ( N ) f đẳ cấu Chứng minh : i) Với x  f (G), a  N  ta có : x 1ax  f ((x) 1 ) f (a) f ( x) a  N , x  G Do f đồng cấu nên ta có : x 1ax  f ((x) 1 ) f (a) f ( x)  f ((x) 1 ax)  f ( N ) Vậy N  nhóm chuẩn tắc f (G) ii) Với xN , yN  G  f ( x) 1 N ta có xN  yN x 1 y  N f ( y)  f ( x 1 y)  N  Suy f ( x) N   f ( y) N  hay f ( xN )  f ( yN ) Vậy f ánh xạ Mặt khác : f ( xN yN )  f ( xyN )  f ( xy) N   f ( x) f ( y) N   f ( x) N f ( y) N   f ( xN ) f ( yN ) 33 36 - u t t Vậy f đồng cấu Lại có Im f  f (G)  nên f tồn cấu N iii) Vì Ker f  f 1 ( N )   N nên f đơn cấu Kết hợp với ii) ta có f đẳng cấu Định lý 3.2 Cho G mc m H c uẩ tắc củ G HN H  N mc cấu H H N đẳ đ mc N củ G N mc c uẩ tắc củ H Hơ  HN N c uẩ tắc củ ữ t cò Chứng minh : +) Trước hết ta chứng minh H  N nhóm chuẩn tắc H Với a  H  N , x  H ta có x 1ax  H Lại có a  H  N  a  N mà N lại nhóm chuẩn tắc x 1ax  N  x 1ax  H  N Vậy H  N nhóm chuẩn tắc H +) Ta có e  ee  HN Mặt khác lấy x1 , x2  H y1 , y2  N 1 1 ( x1 y1 ) 1 x2 y2  y1 x1 x2 y2 Do N nhóm chuẩn tắc , nên 1 1 1 1 HN  NH Do y1 x1 x2  NH  HN y1 x1 x2  ab a  H , b  N Từ suy ( x1 y1 ) 1 x2 y2  aby2  HN Vậy HN nhóm G kéo theo N nhóm chuẩn tắc HN f : H  HN +) Ta xét tồn cấu N x  xN Ta có : Ker f   x  H xN  N   H  N Từ điều suy H  N nhóm chuẩn tắc H Do ta có đẳng cấu : H H N  HN N 34 36 - u t t Hệ 3.1.Nếu G N m Abe t ì H H N cũ m Abel Định nghĩa 3.1 C dãy uc c ( 1) c uẩ tắc ếu Gi mc c uẩ tắc i  1,2,, n Gi 1 v Dãy (1) ọ t đồ củ G :  Gn   1 G  G0  G1  Dãy (1) ọ t mc t Gi 1 / Gi Nhóm G ọ Abe (cyc c) ếu t c uẩ tắc i  1,2,, n m Abe (cyc c) v ả ếu tồ tạ t Abe (1) c G Ví dụ 3.1 +) Các nhóm Abel nhóm giải +) Nhóm S giải tồn dãy S3  (123)  (1) Định lý 3.3 Mọ đồ mc cấu ( d đ củ m t ươ m ) củ ả m ả Ả ả ả Chứng minh : G nhóm G  G0  G1  giải nên tồn tháp Abel  Gn   1 Với H nhóm G , đặt H i  H  Gi Vì Gi 1 / Gi nhóm Abel nên H i 1 /( H i 1  Gi )  H i 1 / H i nhóm Abel Do ta có tháp Abel H  H  H1   H n   1 Vậy H giải Giả sử f : G  G đồng cấu Đồng cấu cảm sinh toàn cấu f : Gi 1 / Gi  f (Gi 1 ) / f (Gi ) theo định lý 2.1.1 Lại Gi 1  Gi Abel nên f (Gi 1 ) / f (Gi ) Abel Như ta có tháp Abel f (G)  f (G0 )  f (G1 )  35  f (Gn )   f (1)  36 - u t t Vậy f (G) giải Định lý 3.4 M m c cấ ũy t củ s uyê t ả Chứng minh : Giả sử G nhóm có cấp m , m  p n p số nguyên tố +) Nếu n  m  G giải +) Nếu n  m  p p số nguyên tố nên G nhóm cyclic Do G giải Giả sử kết với k  n  , ta chứng minh kết với   k  n Với a thuộc vào G Ta  xax 1 x  G Khi tập Ta rời trùng a  Ta Bây gọi C  { a  G ax  xa với x  G }thì C tâm G C vừa nhóm giao hốn vừa nhóm chuẩn tắc G Rõ ràng, Ta  {a} Ta  C C , nên dễ thấy G  C   Ta với Ta  Đặt Na   x  G ax  xa  Khi N a nhóm G Giả sử G phân tích thành s y N i i 1 a lớp ghép trái N a không giao Với y i ta thấy tập ( y x)a( y x) i i 1  x  N a  yi ayi 1  gồm phần tử Do xax 1  yay 1  y 1 x  N a nên Ta gồm s phần tử Điều cho thấy Ta  s  G : N a  số N a 36 36 - u t t Vậy số Ta ước p n Mà Ta  1nên C  Lại có C ước p n nên C  p k ,1  k  n Vì nhóm thương G / C có cấp p nk (n  k  n) nên theo giả thiết quy nạp giải ta có tháp Abel G / C  G0 / C  G1 / C    Gs / C  C / C Vì Gi 1 / C Gi / C  Gi 1 / Gi nên ta có tháp Abel G  G0  G1    Gs  C  e Vậy G giải n  S n k ô Định lý 3.5 ả Để chứng minh định lý cần chứng minh định lý quan trọng sau : Định lý 3.6 Nếu G vò xíc đồ m t ươ mc t H G / H củ S n , n  G c ứ tất c c m c c uẩ tắc củ G s m Abe , t ì H cũ c c ứ tất c c vò xíc củ S n Chứng minh : Đặt G  G / H , x ảnh x  G G Bây ta giả sử (a b c) vòng xích S n Do n  nên tồn hai phần tử d , m không thuộc vào (a b c) Đặt x  (d b a), y  (a m c) Ta có u  x1 y 1xy  (a b d )(c m a)(d b a)(a m c)  (a b c) Lại có u  x 1 y 1 x y  (1)  G (vì G nhóm giao hốn) Do u  H ( a b c)  H 37 36 - u t t Dựa vào định lý chứng minh định lý tiếng Galois đ ý 3.5 Giả sử trái lại S n giải được, tồn tháp Abel Sn  G0  G1   Gm   (1) Vì Gi / Gi 1 Abel G0 chứa tất vòng xích kéo theo tất Gi , i  1,2,, m chứa tất vòng xích cấp Điều mâu thuẫn với Gm   (1)  Vậy Sn , n  khơng giải Định lý 3.6 n  S n ả Chứng minh : Với n  ta có S1  {(1)} hiển nhiên giải Với n  ta có S nhóm Abel nên giải 1  1  Với n  lấy f   , g     A3  (1), f , g nhóm  1   chuẩn tắc S tháp S3  A3   (1)  Vậy S giải Với n  ,ta đặt t1  (1 2)(3 4), t2  (1 3)(2 4), t3  (1 4)(2 3), s1  (1 3), s2  (1 4) s3  (1 2), s4  (1 4), s5  (1 2), s6  (1 3), s7  (2 4), s8  (2 3) A4  t1, t2 , t3 , s1, s2 , , s8 ,(1) ; B4  t1, t2 , t3 ,(1) ; C4  t1,(1) Khi S4  A4  B4  C4   (1)  tháp Abel Vậy S giải Kết luận chung Nhóm đơn có vai trò quan trọng lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Vấn đề nghiên cứu nhiều lí thú bổ ích Qua khóa luận thân em khơng lĩnh hội thêm tri thức đại số mà có hiểu biết 38 36 - u t t định nghiên cứu khoa học.Việc nghiên cứu sâu lí thuyết nhóm đơn góp phần bổ sung thêm kết quan trọng vào lí thuyết đại số - mơn có tầm quan trọng đặc biệt tốn học lí thuyết tốn học ứng dụng Mặc dù có cố gắng song điều kiện thời gian khả hạn chế thân nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo khoa tốn, thầy cô giáo tổ Đại số đặc biệt thầy giáoTh.S Đỗ Văn Kiên, người giúp đỡ em tận tình q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nộ , t ăm 2014 Sinh viên Đỗ Thị Thanh Lan Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), đạ s đạ cươ ,NXB giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2007), rộ trườ ý t uyết G s ý t uyết c c mở , NXB đại học sư phạm 39 36 - u t t [3] Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon (1994), TheClassification of the Finite Symple Groups, NXB Amarican Mathematical Society [4] George W.Polites (1968), An Introduction to the Theory of Groups, NXB international textbook company 40 36 - ... tốn học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số tất nhiên hiểu biết sâu sắc cấu trúc Đối tượng chủ yếu cấu trúc đại số nhóm, vành , trường, mơ đun… nhóm đơn khái niệm quan trọng đại số. .. phân loại nhóm đơn Mục đích nghiên cứu Q trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu đại số đặc biệt tìm hiểu sâu nhóm đơn, phân loại nhóm đơn nhóm hữu... Chƣơng Nhóm đơn Trong tốn học, nhóm đơn phận quan trọng có nhiều ứng dụng rộng rãi thực tế, đặc biệt nhóm đơn hữu hạn xét khía cạnh cụ thể nhóm đơn hữu hạn “khối xây 14 36 - u t t dựng bản” tất nhóm