SH tien v bai toan lien quan voi cac ham so hoc

Các bài toán về tính chất của các hàm số học.. Các bài toán về ước số, bội số, số nguyên tố, số chính phương 3.. Các bài toán về số hoàn hảo, số thiếu, số thừa, số Mersrenne... Một số mả

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỚI CÁC HÀM SỐ HỌC

Giáo viên: Võ Tiến Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam

Địa chỉ email: tiennbk2009@gmail.com

A Tóm tắt báo cáo :

Chương I

- Nêu định nghĩa, tính chất của các hàm số học

- Tóm tắt các hàm số học thường gặp như : Hàm MÖbius; hàm Euler ; hàm

(n), hàm (n), hàm k(n), hàm Liouville, hàm (n), hàm S(n), hàm g(n) và hàm h(n.)

- Nêu định nghĩa số hoàn hảo, số thiếu, số thừa và số Mersenne

(không chứng minh các định lý)

Chương II Các bài toán số học liên quan đến các hàm số học

1 Các bài toán về tính chất của các hàm số học

2 Các bài toán về ước số, bội số, số nguyên tố, số chính phương

3 Các bài toán về đẳng thức số học:

4 Các bài toán về bất đẳng thức số học

5 Các bài toán về số hoàn hảo, số thiếu, số thừa, số Mersrenne

Kết luận

B MỤC LỤC Trang

TÓM TẮT BÁO CÁO ……… 1

NỘI DUNG BÁO CÁO ……… 3

Chương 1 CÁC HÀM SỐ HỌC THƯỜNG DUNG …… ……… 3

1.1 Định nghĩa hàm số học và các tính chất cơ bản……….……….3

2.1.1 Định nghĩa hàm số học ……… 3

2.1.2 Tính chất nhân tính và cộng tính của hàm số học ………3

2.2 Hàm MÖbius và công thức nghịch đảo của MÖbius ……… 4

2.2.1 Hàm MÖbius ………4

2.2.2 Công thức nghịch đảo của MÖbius ……….5

2.3 Hàm Euler ……… …… 6

2.4 Hàm (n), hàm (n), hàm k(n), hàm Liouville, hàm (n), hàm S(n), hàm g(n) và hàm h(n)……… 8

2.4.1 Hàm (n), hàm (n), hàm k(n) ……… 8

2.4.2 Hàm Liouville, hàm số (n), hàm S(n), hàm g(n), và h(n) ……….9

2.5 Số hoàn hảo, số thiếu, số thừa và số Mersenne ……….…… 10

2.5.1 Số hoàn hảo, số thiếu, số thừa ……….10

2.5.2 Số Mersenne ……….… 12

Chương 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỚI CÁC HÀM SỐ HỌC 13

3.1 Các bài toán về tính chất của các hàm số học ……….… 13

3.2 Các bài toán về ước số, bội số, số nguyên tố, số chính phương ……… 17

3.3 Các bài toán về đẳng thức số học ……… ……… ………… 23

3.4 Các bài toán về bất đẳng thức số học ……… ……….……… 28

3.5 Các bài toán về số hoàn hảo,số thiếu, số thừa,số Mersrenne……….32

Bài tập đề nghị ………37

KẾT LUẬN ……… 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 39

C NỘI DUNG BÁO CÁO Chương 1 CÁC HÀM SỐ HỌC THƯỜNG DÙNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày khá đầy đủ về định nghĩa và các tính chấtcủa các hàm số học một cách tóm tắc Một số mảng kiến thức có liên quan đến lýthuyết các hàm số học, như: số hoàn hảo, số siêu hoàn hảo, số thiếu, số thừa, sốMersenne…, cũng được nghiên cứu tương đối kỹ bởi vì các khái niệm và phươngpháp nghiên cứu chúng thường được tái hiện ít nhiều trong các đề thi chọn học sinhgiỏi Toán

a) Cho hàm f: ¥  ¡ xác định bởi ( ) sin* f n  n Khi đó f là hàm số học.

b) Cho hàm : ¥ * ¥ xác định bởi ( )*  n =số các ước dương của n.

c) Cho hàm :¥ * ¥ xác định bởi ( )*  n =tổng các ước dương của n.

1.1.2 Tính chất nhân tính và cộng tính của hàm số học

Định nghĩa 1.2 ([08]) Một hàm số học f được gọi là có tính chất nhân (hay hàm

nhân tính) nếu với mọi số nguyên dương m, n nguyên tố cùng nhau, ta có:

( ) ( ) ( )

thiết nguyên tố cùng nhau), hàm f được gọi là một hàm có tính chất nhân đầy đủ

(hay tính chất nhân hoàn toàn)

Định nghĩa 1.3 ([08]) Một hàm nhân tính được gọi là hàm nhân mạnh nếu và chỉ

nếu (f p k) f p( ) với mọi số nguyên tố p và mọi số nguyên dương k.

Định nghĩa 1.4 ([08]) Một hàm số học f thỏa mãn đẳng thức

f mn  f m  f n với tất cả các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m và n

được gọi là một hàm cộng tính; nếu công thức trên thỏa với mọi số nguyên dương

m và n thì f được gọi là một hàm hoàn toàn cộng tính (hay cộng tính đầy đủ).

Định nghĩa 1.6 ([08]) Cho f là hàm số học Hàm “tổng giá trị của f trên các ước

dương” là hàm F được xác định bởi:

nhau, đồng thời mỗi cặp ước dương d 1 của m, d 2 của n tương ứng với một ước

dương d d d1 2 của mn Do đó ta có thể viết

1 2

1 2 0

Định nghĩa 1.7 ([05]) Cho f và g là các hàm số học, ta gọi tích Dirichlet của f và g

là hàm số học *f g được xác định bởi công thức:

1.2.2 Công thức nghịch đảo Möbius

Định lý 1.6 (công thức nghịch đảo Möbius, [08]) Giả sử f và F là các hàm số học

liên hệ với nhau bởi công thức:

* 0

Định nghĩa 1.9 ([08]) Hàm Euler :¥* ¥* (còn gọi là Phi-hàm Euler) là hàm

số học có giá trị tại n (n¥ bằng số các số nguyên dương không vượt quá n và*)

nguyên tố cùng nhau với n.

Định lý 1.8 ([01]) Giả sử r r1, , ,2 r( )n là một hệ thặng dư thu gọn môđulô n, a là số

nguyên mà ( , ) 1.a n  Khi đó, tập hợp ar ar1, 2, ,ar( )n cũng là một hệ thặng dư thu

gọn môđulô n.

Ví dụ 1.10 Tập hợp 1, 3, 5, 7 là một hệ thặng dư thu gọn môđulô 8 Do (3,8)=1 nên

3, 9, 15, 21 cũng là một hệ thặng dư thu gọn môđulô 8

Định lý 1.9 (Định lý Euler, [01]) Giả sử m là số nguyên dương và a là số nguyên

với (a, m)=1 Khi đó a( )m 1(mod ).m

Nhận xét: Ta có thể tìm nghịch đảo môđulô m bằng cách sử dụng định lý Eurler.

Giả sử a, m là các số nguyên tố cùng nhau, khi đó

2  2  2 32 5 (mod 9) là một nghịch đảo của 2 môđulô 9

Ví dụ 1.12 Giải đồng dư 3x  7 (mod 10) Ta có (10) 1 3

Để thiết lập công thức tính ( ) n khi biết phân tích ra thừa số của n, trước tiên ta

cần chứng tỏ ( ) n là hàm nhân tính Chúng ta minh họa ý tưởng sau với ví dụ:

Ví dụ 1.14 Giả sử m=4 và n=9, ta có m.n=36 Chúng ta viết các số nguyên từ 1 đến

36 trong bảng hình chữ nhật, như hình sau:

Dòng thứ hai và dòng thứ tư đều không chứa những số nguyên tố cùng nhau với

36, bởi vì những phần tử trong những dòng đó không nguyên tố cùng nhau với 4nên nó không nguyên tố cùng nhau với 36 Chúng ta xét hai dòng còn lại, mỗi phần

tử của dòng này thì nguyên tố cùng nhau với 4, mỗi dòng có 6 số nguyên tố cùngnhau với 9, ta khoanh tròn nó thì có 12 số nguyên trong danh sách những số nguyên

tố cùng nhau với 36 Do vậy (36) 2.6  (4) (9).

Định lý 1.12 ([01]) Nếu m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thì

trong đó tổng được lấy theo mọi ước dương của n.

Ví dụ 1.16 Chúng ta minh họa phần chứng minh của định lý 2.15 khi n=18 Những

số nguyên từ 1 đến 18 có thể chia thành những lớp C với d18, như vậy lớp d C d

Chúng ta xác định lớp C gồm d (18/d) số nguyên, với 6 lớp bao gồm (18)=6;

(9)=6; (6)=2; (3)=2; (2)=1; và (1)=1 số nguyên tách biệt (lần lượt theo thứ tựđịnh sẵn)

Chúng ta chú ý rằng 18=(18)+(9)+(6)+(3)+(2)+(1)=0 d18( )d



1.4 Hàm (n), hàm (n), hàm k (n), hàm Liouville, hàm số (n), hàm S(n), hàm g(n) và h(n).

1.4.1 Hàm (n), hàm (n), hàm k (n)

Định nghĩa 1.11 ([08]) Hàm tổng các ước dương, kí hiệu qua , được xác định bởi:

(n) bằng tổng mọi ước dương của số nguyên dương n.

Ví dụ 1.17 Trong bảng sau, chúng ta đưa ra (n) của 1 n 12

(n

Ta có (12)=1+2+3+4+6+12=28

Định nghĩa 1.12 ([08]) Hàm số các ước dương, kí hiệu qua , được xác định bởi:

(n) bằng số các ước dương của số nguyên dương n.

Ví dụ 1.18 Trong bảng sau, chúng ta đưa ra (n) của 1 n 12

Từ bổ đề 1.1 và hệ quả 1.4 ta suy ra công thức sau

Định lý 1.16 ([08]) Giả sử số nguyên dương n có phân tích tiêu chuẩn ra thừa số

j s

Định nghĩa 1.13 ([08]) Hàm k( )n là hàm tính tổng các lũy thừa bậc k của các ước

dương của n Kí hiệu

1

ka k a

p p

ka k m

Định lý 1.21 ([08]) Hàm Liouville là hàm nhân tính đầy đủ.

Định lý 1.22 ([08]) Với n là một số nguyên dương thì

0

0

( ) 0( ) 1

d n

d n

d d

Định nghĩa 1.16 ([02]) Cho n là số nguyên dương Ta định nghĩa hàm S(n) là tổng

các chữ số của n, khi biểu diễn nó trong hệ thập phân.

Mệnh đề 1.2 ([02]) Cho n là số tự nhiên dương, ta có:

a) ( )S n n(mod9);

b) 0S n( )n;

c) ( )S n    n 1 n 9;

d) (S m n ) S m( )S n( ), với mọi m, n nguyên dương;

e) (S mn)S m S n( ) ( ), với mọi m, n nguyên dương;

Chú ý Bằng qui nạp chúng ta cũng chứng minh được công thức tổng quát hơn:

a) Nếu a a1, , ,2 a là các số nguyên dương, thì k

Định nghĩa 1.17 ([02]) Cho n là số nguyên dương Ta định nghĩa hàm g(n) là tổng

các chữ số biểu diễn trong hệ nhị phân của n.

Ví dụ 1.22 g(14)=3 vì 14=11102

Định nghĩa 1.18 ([02]) Cho n là số nguyên dương Ta định nghĩa hàm h(n) là số

nguyên k không âm lớn nhất sao cho n chia hết cho 2 k

1.5 Số hoàn hảo, số thiếu, số thừa và số Mersenne.

1.5.1 Số hoàn hảo, số thiếu, số thừa.

Định nghĩa 1.19.([08]) Số nguyên dương n được gọi là số hoàn hảo nếu 2 n( ).n

Số nguyên n gọi là k-hoàn hảo nếu ( ) n kn

Số nguyên dương n được gọi là số siêu hoàn hảo nếu ( ( )) 2   n  n

Ví dụ 1.23

- 28 là số hoàn hảo, vì 56=1+2+4+7+14+28

- 120 2 3.5 3 là số 3-hoàn hảo, vì (120)=3.120

- Số 16 là số siêu hoàn hảo Vì ta có ((16))=(31)=32=2.16

Định lý 1.24 ([01]) Số nguyên dương chẵn n là số hoàn hảo nếu và chỉ nếu

1

2 (2m m 1),

trong đó m là số nguyên dương sao cho 2 m là số nguyên tố.1

Định lý 1.25 ([01]) Nếu 2m  là số nguyên tố thì m là số nguyên tố.1

Chứng minh

Giả sử ngược lại, m ab , trong đó 1 a m,1 b m;

Số nguyên n được gọi là k-số thừa nếu ( ) ( n  k 1) n

Hai số nguyên dương m, n được gọi là một cặp số thân tình nếu

Định lý 1.28 ([08])

a) Mọi bội số của một số hoàn hảo mà lớn hơn chính số hoàn hảo đó đều là một

số thừa

b) Bội số dương của một số thừa cũng là một số thừa

Chứng minh.

Giả sử m là một bội số dương của n Nếu m n,  và n là một số thừa thì hiển

nhiên m cũng là một số thừa Vậy ta chỉ còn phải xét trường hợp m n  trong đó, n;

có thể là một số thừa hay một số hoàn hảo Lúc này, m kn với k là một số nguyên lớn hơn 1 Rõ ràng, khi d chạy (một lần) trên tập các ước số dương của n, các số kd

sẽ lập nên một họ các ước lớn hơn 1 (và đôi một khác nhau) của m Do đó, vì n là

một số thừa hoặc hoàn hảo, ta có:

Định lý 1.27 và định lý 1.28 được xuất phát từ hai bài toán trong cuốn sách

Elementary Number Theory and Its Applications của tác giả Kenneth H.Rosen.

Nhưng chúng tôi đưa vào làm định lý, vì nó xem như một công cụ để tìm số thiếuhoặc số thừa Trong hai bài này tác giả cuốn sách có hướng dẫn một bài (tương ứngđịnh lý 1.28) nhưng theo tôi có chỗ sai, ví dụ tác giả viết :

Giả sử nm thì m=kn với k nguyên, ước của m bao gồm các số nguyên kd và d

M   đều có dạng 2kp  trong đó k là số nguyên dương.1,

Nhờ định lý 1.33, để kiểm tra một số Mersenne M có phải là số nguyên tố hay không, ta không cần chia nó cho mọi số nguyên tố bé hơn M , mà chỉ cần chia cho các số nguyên tố có dạng đã nói trong định lý và nhỏ hơn M

Ví dụ 1.26 Số 13

M   có phải là số nguyên tố không ?

Ta có 13

2  1 8191, để xem 8191 có phải là số nguyên tố hay không, ta chỉ cần

xem 8191 có ước nguyên tố nào dạng 26k+1 và bé hơn 8191 90,50 hay không.Như vậy, chỉ cần làm phép chia 8191 cho 53 và 79, ta rút ra kết luận 8191 là sốnguyên tố Mersenne

Chương 2MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỚI CÁC HÀM SỐ HỌC

Trong chương này, chúng tôi đưa ra các bài toán từ dễ đến khó, từ bài toán nhỏ

để xây dựng một bài toán lớn và áp dụng các kiến thức của các hàm số học để giải.Các bài toán này hầu hết được dịch và giải từ các bài toán chưa có lời giải cụ thể

nào trên cuốn sách Elementary Number Theory and Its Applications của tác giả

Kenneth H.Rosen Các dạng toán này được phân loại dựa trên cơ sở các phần lýthuyết của các hàm số học

1.1 Các bài toán về tính chất của các hàm số học.

Dạng bài tập này mở rộng thêm các tính chất của các hàm số học, có thể đượcxem như những bài toán cơ sở để giải quyết những bài toán số học khác Bên cạnh

đó cũng nêu thêm cách chứng minh khác cho các tính chất đã nêu ở chương hai

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng

Bài toán 2.2 Chứng minh rằng nếu f và g là hàm nhân tính thì fg cũng là hàm nhân

tính, với ( )( )fg n  f n g n( ) ( ) với mọi số nguyên dương

Giải:

Với mọi m n, ¥ mà ( , ) 1,* m n  ta có:

( )( fg mn) f mn g mn( ) ( )  f m f n g m g n( ) ( ) ( ) ( ) (vì f,g là hàm nhân tính)

 f m g m f n g n( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ). fg m fg n

Vậy fg là hàm nhân tính.

Bài toán 2.3.Chứng minh rằng nếu f và g là hàm nhân tính đầy đủ thì fg cũng là

hàm nhân tính đầy đủ, với ( )( )fg n  f n g n( ) ( ) với mọi số nguyên dương

Giải:

Với mọi m n, ¥ , ta có *

( )(fg mn) f mn g mn( ) ( )

 f m f n g m g n( ) ( ) ( ) ( ) (vì f,g là hàm nhân đầy đủ)

 f m g m f n g n( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ). fg m fg n

Vậy fg là hàm nhân tính đầy đủ.

Bài toán 2.4 Chứng minh rằng nếu f là một hàm cộng tính và nếu g n( ) 2 f n( ) thì

Bài toán 2.7 Giả sử n là số nguyên dương Lập dãy n n n1, , , 2 3 bằng cách đặt

Suy ra ,n i i 1, 2,3, là một dãy số nguyên dương giảm dần, vậy tồn tại một số

nguyên dương r sao cho n r  1.

Kết luận của bài toán là hiển nhiên khi n1

Bài toán 2.8 Giả sử n là số nguyên dương, n Lập dãy 2 n n n1, , , 2 3 như sau:

tại một số nguyên dương r sao cho 2n r n r1n r2 

Bài toán 2.9 Sử dụng công thức nghịch đảo MÖbius (định lý 1.6-1.7) và công thức

b) Cho m,n¥*mà ( m,n )1 Theo bổ đề, mỗi ước dương d của mn có biểu diễn

duy nhất dưới dạng d d d với 1 2 d và 1 d tương ứng là các ước dương của m và n;2

đồng thời mỗi cặp ước dương d của m, 1 d của n cho ta một ước dương 2 d d d1 2

của mn Vì thế dùng (2.1) và tính nhân của hàm MÖbius  (mệnh đề 1.1), ta có:

1 2

với S(m) là số nguyên dương.

Bài toán 2.11 Chứng minh rằng:

chia hết cho 10k-1

k chữ số 9

Trước hết xét trường hợp m10k Khi đó 1 2 10t

S  m  k điều phải chứng minh

Hình minh họa phép trừ 10 m k cho m (trong trường hợp m  10k )

Hai bài toán 2.10 và 2.11 cho ta những tính chất đẹp của hàm ( );S n với hai kết

quả này, ta có thể giải quyết được một số các bài toán khác nữa

2.2 Các bài toán về ước số, bội số, số nguyên tố, số chính phương

Bài toán 2.12 Gọi ( ) n là tích của tất cả các ước số dương của số nguyên dương n.

    điều phải chứng minh.

Kết quả của bài toán trên được vận dụng rất nhiều trong các bài toán số họckhác, ví dụ như bài tập 2.19 của chương này

Bài toán 2.13 Với số nguyên dương n nào thì

2

n ( n )

Giải:

Ta sẽ dùng p để ký hiệu biến số nguyên tố.

Ta luôn viết được mọi số nguyên dương n dưới dạng 2 k

  là k>0 Với điều kiện đó,

n¥ thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 2k

n với *

Bài toán 2.14 Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dương có k ước số nguyên

tố lẻ khác nhau thì (n) chia hết cho 2 k

( ) ( 1)( ) 2

p n k





trong đó, k là số ước nguyên tố lẻ của n.

Bài toán 2.15 Với số nguyên dương n nào thì ( n ) chia hết cho 4 ?

(i) Với k hiển nhiên ta có 3, ( ) (2 ) 2n M k  k 1M4

(ii) Với k=2 thì ( ) n  (4) ( ) 2 ( )p s   p s nên

( ) 4n ( ) 2p s s 1

 M  M   (theo bài toán 2.14)

(iii) Với k 0,1 thì (2 ) 1 k  , suy ra

Kết hợp các trường hợp 1), 2(i), 2(ii), 2(iii) ta thấy ( ) 4 n M khi và chỉ khi n có ít nhất

2 ước nguyên tố lẻ, hoặc 8n M , hoặc n chia hết đồng thời cho 4 và một số nguyên tố

lẻ, hoặc n chia hết cho một số nguyên tố p mà p1(mod 4)

Bài toán 3.16 Với số nguyên dương n nào thì (n)n ?

nên n thỏa yêu cầu bài toán.

2) Chỉ còn phải xét trường hợp n2 k t với k¥ còn t là một số nguyên dương lẻ, lớn hơn 1 Rõ ràng: t có ít nhất một ước nguyên tố lẻ

( ) 2t

 M (theo kết quả của bài toán 2.14) ( )n (2 ) ( ) 2.k  t M