Áp dụng mệnh đề toán logic Phạm Đăng Long Trường ĐHKH Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội Mệnh đề tốn học loại mệnh đề cho giá trị Đúng Sai Khác với loại mệnh đề văn học, chẳng hạn: “Ôi Tổ quốc giang sơn hùng vĩ!” (câu cảm thán), “Thầy Mậu ơi!” (câu gọi), “Gọi đấy?” (câu hỏi), Trong báo ta gọi mệnh đề toán học đơn giản mệnh đề mã hóa giá trị Đúng Sai Một số khái niệm cơng thức tốn mệnh đề Các phép tốn mệnh đề sau: Định nghĩa (Phép hội ) Phép hội hai mệnh đề: A B, A and B, A ∧ B, ký hiệu A.B a, hay AB hay B AB = ⇔ (A = B = 1) (đồng thời), A.B = ⇔ (A = B = 0) Định nghĩa (Phép tuyển) Phép tuyển hai mệnh đề: A B, A or B, ký hiệu A ∨ B A, hay A + B hay B A+B = ⇔ (A = B = 1), A+B = ⇔ (A = B = 0) (đồng thời) Định nghĩa (Phép loại trừ ) Phép loại trừ hai mệnh đề: A loại trừ với B, A xor B, ký hiệu A ∨ B A ∨ B = ⇔ (A =1 B = 0) (A = B = 1), (A, B không giá trị), A ∨ B = ⇔ (A =1 B = 1) (A = B = 0), (A, B giá trị) Định nghĩa (Phép kéo theo) Phép kéo theo hai mệnh đề: Nếu A B, if A then B, ký hiệu A → B hay A ⇒ B A → B = ⇔ A = B = 0, A → B = ⇔ (A = B = 1) (A = B = 0) (A = B = 1) Định nghĩa (Phép tương đương) Phép tương đương hai mệnh đề: A ⇔ B, A B giá trị: A ⇔ B = ⇔ (A = B = 1) (A = B = 0) Định nghĩa (Phép phủ định ) Phép phủ định mệnh đề: Phủ định A, not(A), ký hiệu A Giá trị A khác với A (đối kháng với nhau) Chú ý Hai mệnh đề có giá trị ngược gọi đối kháng Chẳng hạn: A = “Cái bảng mầu đen”, B = “Cái bảng không đen” A B đối kháng 65 Nhiều mệnh đề khơng giá trị gọi bất đồng Ví dụ: A = “Cái bảng mầu đen”, B = “Cái bảng mầu xanh” A B đối kháng Như vậy, ta có Bảng giá trị phép toán mệnh đề sau: A 0 1 B 1 A+B 1 A.B 0 A∨B 1 A→B 1 A↔B 0 A 1 0 Nhiều mệnh đề liên kết với [các] phép toán mệnh đề tạo thành Biểu thức mệnh đề Mệnh đề Y phụ thuộc vào hay nhiều biến mệnh đề X1, X2, gọi Hàm mệnh đề Hai mệnh đề nối với gọi Đẳng thức mệnh đề Đẳng thức mệnh đề với giá trị biến gọi Hằng đẳng thức mệnh đề! Ví dụ A = “x chia hết cho 3” hàm mệnh đề biến B = “x + y số nguyên chẵn” hàm mệnh đề hai biến (A + B) ∨ (AB) → (A ∨ B) biểu thức mệnh đề Một số tính chất phép tốn mệnh đề hay Các đẳng thức mệnh đề: Tính giao hoán: a) A.B = B.A, b) A + B = B + A Tính kết hợp: a) (A.B).C = A.(B.C), b) (A + B) + C = A + (B + C) Tính phân phối: a) A.(B + C) = (A.B) + (A.C), b) A + (B.C) = (A + B).(A + C) Phần tử trung hoà: a) A.1 = 1.A = A, b) A + = + A = A Luật khử: a) A.A = A.A = 0, b) A + A = A + A = Luật nuốt: a) A + = 1, b) A.0 = Luật lũy đẳng: a) A + A = A, b) A.A = A Phủ định kép: A = A Luật De Morgan: a) A + B = A.B, b) AB = A + B 10 Chuyển đổi phép xor : A ∨ B = A B + A.B 11 Chuyển đổi phép kéo theo: A → B = A + B 12 Chuyển đổi phép tkéo theo: A ⇔ B = A.B + AB Có nhiều cách chứng minh hẳng đẳng thức mệnh đề, cách lập bảng hay dùng Chứng minh tính chất 10: 66 A 0 1 B 1 A∨B 1 A B+A.B 1 Rõ ràng hai vế nhau! Người ta chứng minh rằng: Đại số Boole Tập hợp B = 0, 1, phép toán hội, tuyển phủ định (1.1 = 1, 1+1 = 1, = 0, 1.0 = 0, 1+0 = 1, = 1, 0.1 = 0, 0+1 = 1, 0.0 = 0, 0+0 = 0) xác định B đại số Đó đại số Boole Quy ba phép tốn có bản: Mọi biểu thức mệnh đề đề viết lại dạng gồm ba phép tốn hội, tuyển phủ định (dựa theo tính chất 10, 11 12) Biểu thức tường minh: Nếu biết bảng giá trị biểu thức biết tường minh biểu thức Cũng nói rằng: Biết bảng giá trị cùa hàm mệnh đề tức tìm hàm Chú ý Phép XOR (hoặc loại trừ ∨) hay dùng nên nhà điện tử, tin học thiết kế tế bào (chíp) AND, OR, XOR NOT Ví dụ Từ bảng giá trị hàm hai biến A B sau: A 0 1 B 1 f(A,B) 1 Ta có biểu thức tường minh f(A,B) = A B + A.B = A ∨ B Ví dụ Thiết kế hai công tắc cầu thang A B để đèn tối bật cơng tắc sáng sáng bật cơng tắc tắt Giải: Cách (Điện kỹ thuật): Ngày trước chưa có điện tử người ta thiết kế sau: Ở A B công tắc “đổi pha” dễ dàng kiểm Cách (Điện tử): Ngày có tốn mệnh đề điện tử tương tự làm ví dụ ta có S = A ∨ B cần chíp XOR đủ! Giả sử chíp XOR hình bên: A B A XOR B Ví dụ Tìm biểu thức mạch điện tử cho ba cơng tắc A, B C cho phòng lớn có ba cửa vào cho bật ba cơng tắc đèn S đổi trạng thái Giải: 67 Bảng giá trị để tìm biểu thức đèn S qua biến A, B C sau: A 0 1 B 0 1 1 C 0 1 1 S 1 0 → A.B C → A B C → A B C Từ bảng ta có S = A.B C + A B C +A B C + A.B.C = = (A.B +A B) C + (A B + A.B).C = (A xor B)C + AxorB C = (A xor B) xor C Như ta cần dùng hai chíp XOR thơi Ta nối sau : ABC Còn dùng điện kỹ thuật phức tạp: Tận dụng cơng tắc A B, bỏ hai đoạn thay vào để lắp thêm cơng tắc C chuyển mạch kép hình vẽ đây: Ở cơng tắc C bật nhát hai kim tiếp xúa xuống phía hay lên (theo hình vẽ) cách đồng thời Hai kim kết nối với khơng truyền điện sang nhau! Ví dụ Tìm biểu thức mạch điện tử cho bốn công tắc A, B, C D cho phòng lớn có bốn cửa vào cho bật bốn cơng tắc đèn S đổi trạng thái Khái qt hóa tốn! Giải: Bằng cách lập bảng trênta đến công thức S = ((A xor B) xor C) xor D Ta nối sau : 68 ABCD Bằng cách nối thêm công tắc thế, người ta giải tốn n cơng tắc (n>1) Khái qt: Mạch điện tử cho n công tắc A1, A2, , An cho phòng lớn có n cửa vào cho bật n công tắc đèn S đổi trạng thái Sn = ((A1 xor A2) xor An-1) xor An (1) Chứng minh (quy nạp) 1)- Rõ ràng (1) với n = (Xem ví dụ 3) 2)- Gỉa sử (1) với n = k, ta chứng minh với n = k + Ta có Sk = ((A1 xor A2) xor Ak-1) xor Ak thỏa mãn toán Phải chứng minh cơng thức sau thỏa mãn tốn Sk+1 = ((A1 xor A2) xor Ak) xor Ak+1 thỏa mãn toán Ta bật công tắc i bất kỳ, ≤ i ≤ k+1 Sk+1 đổi trạng thái Thật vậy: - Nếu i ≤ k theo giả thiết Sk đổi trạng thái mà Ak+1 chưa đổi trạng thái dẫn đến Sk xor Ak+1 đổi trạng thái liền - Nếu i = k+1 Sk khơng đổi trạng thái mà Ak+1 đổi trạng thái dẫn đến Sk xor Ak+1 dẫn đến đổi trạng thái liền Từ 1) 2) suy Bài tốn chứng minh Còn dùng điện kỹ thuật phức tạp Nhưng trước người ta có giải pháp (Xem hình vẽ!) Một số tập lơgic giải toán mệnh đề Bài tập Trong điều tra có nhân chứng A, B C ngồi với nghe ý kiến Cuối ban điều tra hỏi lại người để tìm xem nói Kết là: A B đối kháng nhau, B C đối lập C bảo A B nói sai Vậy ban điều tra tin ai? Giải: Theo đầu ta có đẳng thức sau: 69 A.B + A B = 1, BC + B C = 1, C A B + C A + C B = (1) (2) (3) Nhân (1) (2) ta thu được: (AB + A B).( BC + B C) = 1, A.B B.C + A.B.B C + A B.B.C + A B.B C = Ta có số hạng đầu cuối (theo tính chất 5), B.B = B B.B = B (tính chất 7), nên: (4) A.B C + A B.C = Nhân (3) (4) rút gọn A B.C = 1, tức A sai, B C sai Tóm lại B nhân chứng nói đúng! Bài tập Có làng A B bên đường Dân làng A thi ln nói thật, hỏi điều gật đầu, sai lắc đầu Dân làng B ln nói dối, hỏi điều lắc đầu, sai gật đầu Một người khách lạ đến hai làng đó, khơng biết làng nào, gặp người dân, khơng biết dân làng nào, họ hay qua lại hai làng Người khách muốn hỏi câu để người dân gật đầu biết làng A, lắc biết làng B Bạn giúp người khách với! Giải: Gọi X câu hỏi: “Đây làng A?”, Y câu hỏi: “Bạn người làng A à?” Câu hỏi người khách biểu thức tạo từ X từ Y, có bảng giá trị sau: X 1 0 Y 1 Q 0 Câu hỏi (1) → Q=XY (2) (3) (4) → Q=X Y Ý nghĩa (1): Nếu làng A gặp dân làng A muốn người gật, ta phải hỏi câu (2): Nếu làng A gặp người dân làng B muốn người gật, ta phải hỏi câu sai 70 (3): Nếu làng B gặp người dân làng A muốn người lắc, ta phải hỏi câu sai (4): Nếu làng B gặp người dân làng B muốn người lắc, ta phải hỏi câu Từ bảng giá trị tìm biểu thức tường minh câu hỏi: Q = X.Y + X Y Câu hỏi tường minh “Đây làng A bạn người làng A à?” “Đây không làng A bạn không người làng A?” Phối hợp cho gọn hơn, ta có: Câu hỏi = “Bạn người làng à?” Lết luận Có nhiều tốn đố mẹo dùng tốn mệnh đề để tìm lời giải cách xác Tuy nhiên khơng tốn khó đưa toán mệnh đề Tài liệu tham khảo Sách hướng dẫn Toán rời rạc – Nguyễn Duy Phương – Học viện Bưu – Viễn thơng Hà Nội Bảy phương pháp giải toán logic – Đặng Huy Ruận – Khoa Toán – Cơ học – Tin học – Trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội 80 Bài tốn thơng minh – Hà Ngọc Đức – Mạng Internet 71