PHƯƠNGPHÁPTÔMÀU Vũ Nam Trường (Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM) Phươngpháptômàu sử dụng việc chia tập hợp thành số hữu hạn tập con, phần tử tập tômàuPhươngpháptômàu giống đánh số để tạo nên bất biến Phươngpháptômàu thường liên quan đến tính chẵn, lẻ Phươngpháp 1: Tơmàu xen kẽ Ví dụ 1: Chứng minh hình vng 10 × 10 bao phủ 25 tetromino hình chữ T sau: Giải: Ta tơmàu hình vng giống bàn cờ với 50 ô màu đen 50 màu trắng xen kẽ Tetromino hình chữ T luôn bao gồm ô màu đen ô màu trắng ô màu trắng màu đen Có 25 tetromino hình chữ T nên số lượng ô màu trắng 25 tetromino bao phủ số lẻ số ô màu trắng 50 (là số chẵn) Phươngpháp 2: Tômàu dựa vào tính chia hết: Ví dụ 2: Chứng minh hình vng 10 × 10 khơng thể bao phủ 25 tetromino thẳng sau: Giải: Tômàu hình vng số 0, 1, 2, hình vẽ 3 1 3 2 3 3 3 0 3 1 3 2 3 3 3 0 3 1 3 Một tetromino thẳng bao gồm đủ số 0, 1, 2, Như vậy, 25 tetromino thẳng bao gồm 25 số 1, bảng có 26 số Phươngpháp 3: Tômàu để tạo nên khác biệt xếp vật: Ví dụ 3: Một góc bàn cờ (2n + 1) x ( 2n + 1) bị cắt Tìm n để ta bao phủ bàn cờ lại domino kích thước x 1, nửa domino nằm ngang? Giải: Phân tích: Nếu ta tơmàu xen kẽ domino nằm ngang có tính chất domino nằm dọc (đều bao phủ ô màu trắng màu đen) Vì ta phải tơmàu cho domino nằm ngang domino nằm dọc bao phủ lượng ô màu đen ô màu trắng khác Giả sử bàn cờ tômàu sau: Có tất 4n2 + 4n ơ, để nửa domino nằmg ngang số domino nằm ngang số domino nằm dọc n2 + n Nếu bỏ dòng cột bên phải hình vng kích thước 2n x 2n có màu đen màu trắng 2n2 Dòng có 2n màu đen, cột bên phải có 2n có màu đen ô màu trắng n Vậy có 2n2 + 3n màu đen 2n2 + n ô màu trắng Một domino nằm dọc che phủ ô màu đen ô màu trắng, Sau n2 + n domino nằm dọc che phủ lại n2 + 2n màu đen n2 ô màu trắng Một domino nằm ngang che phủ màu, để che phủ n2 màu trắng lại domino nằm ngang n phải số chẵn Thử lại với n số chẵn, ta có cách bao phủ sau: Dòng bao phủ domino nằm ngang, cột bên phải bao phủ domino nằm dọc, hình vng 2n x 2n có nửa phía domino dọc nửa phía domino ngang BÀI TẬP: Bài 1: Chứng minh hình vng × khơng thể bao phủ 15 tetromino hình chữ T tetromino vng sau: Giải: Ta tơmàu hình chữ nhật giống bàn cờ với 32 ô màu đen 32 ô màu trắng xen kẽ Một tetromino vuông bao gồm hai ô màu đen hai ô màu trắng Vậy 30 màu đen 30 màu trắng cho 15 tetromino hình chữ T mà tetromino hình chữ T luôn bao gồm ô màu đen ô màu trắng ô màu trắng màu đen Bài 2: Có thể tạo thành hình chữ nhật với năm tetromino hình không? Các tetromino từ trái sang phải gọi là: tetromino thẳng, tetromino hình chữ T, tetromino vng, tetromino hình chữ L tetromino nghiêng Giải: Mỗi tetromino gồm nên hình chữ nhật gồm 20 Để tetromino bao phủ hình chữ nhật hình chữ nhật phải có dạng x 10 hay x Ta tơmàu hình chữ nhật giống bàn cờ với 10 ô màu đen 10 ô màu trắng xen kẽ Bốn số tetromino bao gồm ô màu đen ô màu trắng ô màu đen ô màu trắng lại bao phủ tetromino có hình chữ T tetromino ln bao gồm ô màu đen ô màu trắng ô màu trắng ô màu đen Bài 3: Một sàn nhà hình chữ nhật bao phủ viên gạch dạng × x Một viên gạch bị bể, viên loại khác với viên bị bể Chứng minh sàn nhà bao phủ lại viên gạch lại Giải: Ta tơ hai màu trắng, đen cho sàn nhà cho viên gạch dạng x sàn nhà che phủ số lượng ô màu đen chẵn (hay lẻ) viên gạch dạng x sàn nhà che phủ số lượng màu đen ngược tính chẵn, lẻ với viên x Ta tơ sau: X X X X X X X X X X X X X X X X X: ô tômàu đen Một viên x che phủ ô màu đen, viên x che phủ hay ô màu đen Vì khơng thể bao phủ lại sàn nhà Bài 4: Có cách để đóng gói 250 viên gạch loại × × vào hộp có kích thước 10 × 10 × 10 khơng? Gọi tọa độ (x, y, z) cho ô hộp, ≤ x, y, z ≤ 10 Ta tômàu 0, 1, 2, Ơ có toạ độ (x, y, z ) tômàu i x + y + z ≡ i (mod 4); suy viên gạch chứa đủ số 0, 1, 2, Như 250 viên gạch loại × × gồm 250 số 0, 250 số 1, 250 số 2, 250 số Ta xét lớp hộp (những có toạ độ z = 0), ta có bảng sau: 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 Ta có 26, 25, 24, 25 số 0, 1, 2, lớp thứ Ở lớp thứ hai, số tăng lên xét theo mod (3 thay bới 0) Do lớp thứ hai có 26, 25, 24, 25 số 1, 2, 3, Tương tự, lớp thứ ba có 26, 25, 24, 25 số 2, 3, 0, 1; lớp thứ tư có 26, 25, 24, 25 số 3, 0, 1, Lớp thứ giống lớp thứ nhất, Vậy số số đánh dấu hộp (26 + 25 + 24 + 25).2 + 26 + 25 = 251 (số) (vô lý) Bài 5: Chứng minh sàn nhà hình chữ nhật kích thước a x b bao phủ viên gạch hình chữ nhật kích thước x n n | a n | b Giải: Để bao phủ n phải ước a.b Nếu n | a sàn nhà bao phủ viên gạch kích thước x n nằm ngang; n | b sàn nhà bao phủ viên gạch kích thước x n nằm dọc Nếu n không ước b b = qn + r (0 < r < n) Tơmàu sàn nhà hình vẽ sau (tô số 1, 2, , n) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 1 2 2 2 Có tất a(q + 1) ô tômàu 1, 2, , r aq ô tômàu r + 1, r + 2, , n Giả sử bao phủ sàn nhà sử dụng tất h viên gạch nằm ngang Một viên gạch nằm ngang phủ màu lần, h viên gạch nằm ngang lại a(q + 1) – h tômàu 1, 2, , r aq – h ô tômàu r + 1, r + 2, , n Một viên gạch nằm dọc bao phủ n màu, đó, để bao phủ lại viên gạch nằm dọc n phải ước a(q + 1) – h ước aq – h; suy n ước a(q + 1) – h – aq + h hay n ước a Bài 6: Bản đồ đường kết nối 14 thành phố cho sau: Hỏi có đường qua tất thành phố, thành phố lần hay không? Giải: Ta tômàu thành phố thành hai màu đen trắng để thành phố lân cận có màu sắc khác hình sau: Do hai thành phố lân cận có màu khác nên có đường qua 14 thành phố đường phải có dạng tđtđtđtđtđtđtđ hay đtđtđtđtđtđtđt, nghĩa có thành phố màu trắng thành phố màu đen; hình vẽ có thành phố màu trắng thành phố màu đen Bài 7: Mỗi bọ cánh cứng ngồi bàn cờ × Khi đèn bật lên, bọ bò theo đường chéo để qua hình vng lân cận (do số bọ cánh ngồi có khơng có bọ Tìm số hình vng nhỏ khơng có bọ? Giải: Tômàu bàn cờ theo cột luân phiên màu đen trắng, có 45 màu đen 36 ô màu trắng Khi đèn bật lên, bọ bò theo đường chéo nên bọ bò sang khác màu, đó, có vng màu đen khơng có bọ Xét cột suy có ô vuông màu đen bọ Bài 8: Mỗi điểm mặt phẳng lưới có màu đỏ màu xanh Chứng minh tồn hình chữ nhật có đỉnh màu? Tổng qt tốn Giải: Xét toán với n màu Xét điểm lưới (x, y) với ≤ x ≤ n + 1, ≤ y ≤ nn + + Một hàng tơmàu nn + cách Theo ngun lý Dirichlet, có hai số (nn + + 1) hàng có màu, giả sử hai hàng k m Với i ∈ {1, , n + 1}, điểm (i, k) (i, m) có màu Vì có n màu, nên có mơt màu lặp lại Giả sử (a, k) (b, k) có màu Do đó, hình chữ nhật với đỉnh (a, k), (b, k), (b, m), (a, m) có bốn đỉnh màu Bài 9: Cho bàn cờ × 5, viết –1 vào vng viết vào 24 vng lại Mỗi bước đi, ta đổi dấu tất chứa hình vng a x a với a > Hỏi để sau vài bước đi, ta đưa bàn cờ có tất vng số số –1 phải đặt ô vuông nào? Giải: Ta tômàu bàn cờ hình sau: Mỗi hình vuông a x a với a > chứa số chẵn hình vng màu đen Nếu số –1 hình vng màu đen sau bước đi, số lượng số –1 hình vng màu đen số lẻ, thoả yêu cầu đề số lượng số –1 hình vng màu đen (là số chẵn) nên đưa bàn cờ có tất vng số Nếu số –1 hình vng màu trắng, khơng phải hình vng trung tâm ta quay bàn cờ góc 900 tơmàu lại bạn cờ (cột màu trắng) số –1 hình vng màu đen nên khơng thể đưa bàn cờ có tất vng số Nếu –1 hình vng trung tâm ta làm thoả u cầu đề sau bước: Bước 1: Đổi dấu ô vuông chứa hình vuông x phía bên trái Bước 2: Đổi dấu vng chứa hình vng x phía bên phải Bước 3: Đổi dấu ô vuông chứa hình vng x phía bên trái Bước 4: Đổi dấu ô vuông chứa hình vng x phía bên phải Bước 5: Đổi dấu ô vuông chứa hình vng x Bài 10: Cho n điểm (n ≥ 5) mặt phẳng Hãy cách tô điểm thành màu cho khơng có đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mà nửa mặt phẳng gồm điểm màu Giải: Do n ≥ nên ta chọn điểm tạo thành tứ giác lồi ta tô đỉnh đối diện tứ giác màu Khi đó, khơng có đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mà nửa mặt phẳng gồm điểm màu Bài 11: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(0; 0); B(1; 0); C(0; 1) Ở bước đi, ta chọn điểm số điểm có lấy đối xứng điểm chọn qua điểm khác số điểm có Hỏi sau số hữu hạn bước đi, từ điểm ban đầu, ta làm xuất điểm D(1; 1) không? (Sau bước đi, số lượng điểm tăng lên giữ nguyên) Giải: Với điểm M(xM; yM), ta tô điểm M màu đen xM.yM lẻ tômàu trắng xM.yM chẵn Gọi N(xN; yN) đối xứng với M(xM; yM) qua K(xK; yK) xN + xM = 2xK; yN + yM = 2yK nên xN xM tính chẵn, lẻ; yN yM tính chẵn, lẻ nên M N tômàu Mà A, B, C tômàu trắng D tômàu đen nên Bài 12: Một sàn nhà × lát mười sáu viên gạch x viên gạch x Các vị trí cho phép đặt viên gạch × chỗ nào? Giải: Ta tômàu ô vuông màu 0, 1, theo hình sau: a b c d e f g 1 2 2 2 2 2 2 2 Mỗi viên gạch x bao phủ số 0, mà có tất 17 số 0, nên viên gạch x vị trí số Ta quay bàn cờ góc 900 viên gạch x phải vị trí số 0; suy vị trí viên gạch đặt a1; d1; g1; a4; d4; g4; a7; d7; g7 Thử lại ta thấy vị trí thoả Bài 13: Một hình vng x lát domino x cách Chứng minh ln cắt hình vng theo đường thẳng cho khơng phải cắt domino Giải: Giả sử đường thẳng cắt domino, ta xét đường thẳng nằm ngang dọc Xét đường thẳng d nằm ngang bất kỳ, giả sử đường thẳng d cắt domino, đường thẳng d cắt hình vng ban đầu thành hai hình chữ nhật có kích thước m x Nếu d không cắt thêm domino khác domino phải phủ kín hai hình chữ nhật, hình chữ nhật bỏ domino, mà diện tích hai hình chữ nhật bỏ domino có dạng 6m – 1, diện tích domino phủ kín số chẵn nên suy d phải cắt domino Vậy đường thẳng d cắt domino phải cắt hai domino domino bị cắt lần Có 10 đường thẳng nằm ngang dọc, đường thẳng cắt domino nên domino bị cắt 20 Do diện tích hình vng 36, diện tích domino bị cắt 40 nên vơ lý Vậy ln cắt hình vng theo đường thẳng cho cắt domino Bài 14: Một bảng số gồm 25 dòng 25 cột ghi số hay –1 Đặt tích phần tử dòng i bj tích phần tử cột j Chứng minh: a1 + b1 + … + a25 + b25 ≠ Giải: a1a2…a25 = b1b2…b25 tích phần tử bảng số Giả sử a1 + b1 + … + a25 + b25 = số số –1 số số Giả sử a1, a2, …, a25 có n số 1, suy có 25 – n số –1, suy b1, b2, …, bn có n số –1 25 – n số Nếu n chẵn 25 – n lẻ nên a1a2…a25 = –1 b1b2…b25 = (vô lý) Tương tự với n số lẻ Bài 15: Có thể đóng gói 53 viên gạch có kích thước x x vào hộp x x cho mặt viên gạch song song với mặt hộp khơng? Giải: Hộp kích thước x x chia thành 27 khối lập phương x x tômàu đen, trắng xen kẽ bàn cờ, có 14 khối lập phươngtômàu đen 13 khối lập phươngtômàu trắng Mỗi khối lập phương x x gồm khối lập phương x x nên có 112 khối lập phương x x màu đen 104 khối lập phương x x màu trắng Một viên gạch x x xếp vào hộp sử dụng khối lập phươngmàu trắng khối lập phươngmàu đen; suy 53 viên gạch sử dụng 106 khối lập phươngmàu trắng (trong có 104 khối lập phươngmàu trắng) nên khơng thể đóng gói 53 viên gạch Bài 16: Một sàn nhà hình vng 23 x 23 lát hoàn toàn viên gạch loại x 1; x x Hãy tìm số lượng gạch x nhỏ cần sử dụng? (AUO 1989) Giải: Giả sử khơng có viên gạch x cần sử dụng, suy có viên gạch loại x x sử dụng Ta tô sàn nhà theo hàng có màu đen, trắng xen kẽ (hàng màu đen), có 276 màu đen 253 màu trắng (số ô màu đen số ô màu trắng 23 ô) Một viên gạch loại x bao phủ số ô đen số ô trắng (đều ô); viên gạch loại x bao phủ số màu đen số ô màu trắng hơn, 3, suy sử dụng viên gạch loại x x số màu đen số ô màu trắng theo bội 3, mà thực tế số ô màu đen số ô màu trắng 23 ô bội Như ta cần viên gạch loại x Ta chứng minh viên gạch loại x ta lát sàn nhà: Đặt viên x ô trung tâm sàn nhà, chia sàn nhà lại thành hình chữ nhật có kích thước hai cạnh 11 12 (12 x 11) Mỗi hình chữ nhật 12 x 11 ta xếp dòng viên gạch loại x bên xếp thành dòng, dòng viên gạch loại x Bài 17: Trên bàn cờ vua x 8, mã nước? Giải: Ta chia bàn cờ vua thành khu tơmàu hình (a ln góc bàn cờ) khu chia thành loại a b c c b c d d c d e e c d e e Con mã loại a nước; ô loại b nước; ô loại c nước; loại d nước; loại e nước Vậy mã 336 nước Bài 18: Cho bàn cờ x n Một mã nằm vị trí bàn cờ, hỏi mã tất ô, ô lần trở ô ban đầu không? Giải: Ta tômàu bàn cờ hình: a c d b b d c a a b a b a b a b c d c d c d c d d c d c d c d c b a b a b a b a Một mã ô a qua c; mã b qua d; mã ô d muốn qua ô a phải qua ô c; mã ô b muốn qua a phải qua d c Vì mã qua tất ơ, lần mã phải qua tất ô a, muốn qua a mã phải qua ô c, sau qua ô a mã qua bắt buộc ô c nên số ô c bàn cờ phải lớn số ô a, mà cột có c a nên số ô c số ô a (vô lý) ... 2, Ơ có to độ (x, y, z ) tô màu i x + y + z ≡ i (mod 4); suy viên gạch chứa đủ số 0, 1, 2, Như 250 viên gạch loại × × gồm 250 số 0, 250 số 1, 250 số 2, 250 số Ta xét lớp hộp (những có to độ... mặt phẳng lưới có màu đỏ màu xanh Chứng minh tồn hình chữ nhật có đỉnh màu? Tổng qt tốn Giải: Xét to n với n màu Xét điểm lưới (x, y) với ≤ x ≤ n + 1, ≤ y ≤ nn + + Một hàng tơ màu nn + cách Theo... đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mà nửa mặt phẳng gồm điểm màu Bài 11: Trong mặt phẳng to độ cho điểm A(0; 0); B(1; 0); C(0; 1) Ở bước đi, ta chọn điểm số điểm có lấy đối xứng điểm chọn