TH2 e3 TruongVN phuong phap to mau

Giả sử bàn cờ được tô màu như sau: Có tất cả 4n2 + 4n ô, để một nửa là các domino nằmg ngang thì số domino nằm ngang bằng số domino nằm dọc và bằng n2 + n.. Một domino nằm ngang sẽ che p

PHƯƠNG PHÁP TÔ MÀU

Vũ Nam Trường (Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM)

Phương pháp tô màu sử dụng như việc chia một tập hợp thành một số hữu hạn các tập con, các phần tử của cùng một tập con được tô cùng một màu Phương pháp tô màu cũng giống như đánh số để tạo nên sự bất biến Phương pháp tô màu thường liên quan đến tính chẵn, lẻ

1 Phương pháp 1: Tô màu xen kẽ

Ví dụ 1: Chứng minh một hình vuông 10 × 10 không thể được bao phủ bởi 25 tetromino hình chữ T sau:

Giải: Ta tô màu hình vuông giống như một bàn cờ với 50 ô màu đen và 50 ô màu trắng xen kẽ Tetromino hình chữ T luôn luôn bao gồm 3 ô màu đen và 1 ô màu trắng hoặc 3 ô màu trắng và một ô màu đen Có 25 tetromino hình chữ T nên số lượng ô màu trắng 25 tetromino bao phủ luôn là số lẻ trong khi số ô màu trắng là 50 (là số chẵn)

2 Phương pháp 2: Tô màu dựa vào tính chia hết:

Ví dụ 2: Chứng minh một hình vuông 10 × 10 không thể được bao phủ bởi 25 tetromino thẳng sau:

Giải: Tô màu hình vuông bởi các số 0, 1, 2, 3 như hình vẽ

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

3 0 1 2 3 0 1 2 3 0

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

3 0 1 2 3 0 1 2 3 0

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

Một tetromino thẳng luôn bao gồm đủ 4 số 0, 1, 2, 3 Như vậy, 25 tetromino thẳng sẽ bao gồm 25 số 1, nhưng trên bảng có 26 số 1

3 Phương pháp 3: Tô màu để tạo nên sự khác biệt khi sắp xếp các vật:

Ví dụ 3: Một góc của một bàn cờ (2n + 1) x ( 2n + 1) bị cắt Tìm n để ta có thể bao phủ bàn cờ còn lại bằng các domino kích thước 2 x 1, trong đó một nửa là các domino nằm ngang?

Giải:

Phân tích: Nếu ta tô màu xen kẽ thì một domino nằm ngang cũng sẽ có tính chất như một domino nằm dọc (đều bao phủ một ô màu trắng và một ô màu đen) Vì vậy ta phải

tô màu sao cho domino nằm ngang và domino nằm dọc bao phủ lượng ô màu đen và ô màu trắng khác nhau

Giả sử bàn cờ được tô màu như sau:

Có tất cả 4n2 + 4n ô, để một nửa là các domino nằmg ngang thì số domino nằm ngang bằng số domino nằm dọc và bằng n2 + n Nếu bỏ đi dòng trên cùng và cột bên phải thì còn hình vuông kích thước 2n x 2n có ô màu đen và ô màu trắng bằng nhau và bằng 2n2 Dòng trên cùng có 2n ô màu đen, cột bên phải có 2n ô và có ô màu đen và ô màu trắng bằng nhau và bằng n Vậy có 2n2 + 3n ô màu đen và 2n2 + n ô màu trắng Một domino nằm dọc sẽ che phủ một ô màu đen và một ô màu trắng, Sau khi n2 + n domino nằm dọc che phủ thì còn lại n2 + 2n ô màu đen và n2 ô màu trắng Một domino nằm ngang sẽ che phủ 2 ô cùng màu, do đó để che phủ n2 ô màu trắng còn lại bằng các domino nằm ngang thì n phải là số chẵn Thử lại với n là số chẵn, ta có cách bao phủ như sau: Dòng trên cùng bao phủ bởi các domino nằm ngang, cột bên phải bao phủ bởi các domino nằm dọc, hình vuông 2n x 2n có nửa phía trên là các domino dọc và nửa phía dưới là các domino ngang

BÀI TẬP:

Bài 1: Chứng minh một hình vuông 8 × 8 không thể được bao phủ bởi 15 tetromino

hình chữ T và một tetromino vuông sau:

Giải: Ta tô màu hình chữ nhật giống như một bàn cờ với 32 ô màu đen và 32 ô màu trắng xen kẽ Một tetromino vuông bao gồm hai ô màu đen và hai ô màu trắng Vậy còn 30 ô màu đen và 30 ô màu trắng cho 15 tetromino hình chữ T mà tetromino hình chữ T luôn luôn bao gồm 3 ô màu đen và 1 ô màu trắng hoặc 3 ô màu trắng và một ô màu đen

Bài 2: Có thể tạo thành một hình chữ nhật với năm tetromino trong hình được không?

Các tetromino từ trái sang phải lần lượt gọi là: tetromino thẳng, tetromino hình chữ T, tetromino vuông, tetromino hình chữ L và tetromino nghiêng

Giải: Mỗi tetromino gồm 4 ô nên hình chữ nhật sẽ gồm 20 ô Để các tetromino bao phủ hình chữ nhật thì hình chữ nhật phải có dạng 2 x 10 hay 4 x 5 Ta tô màu hình chữ nhật giống như một bàn cờ với 10 ô màu đen và 10 ô màu trắng xen kẽ Bốn trong số các tetromino sẽ bao gồm 2 ô màu đen và 2 ô màu trắng 2 ô màu đen và 2 ô màu trắng còn lại không thể được bao phủ bởi tetromino có hình chữ T vì tetromino đó luôn luôn bao gồm 3 ô màu đen và 1 ô màu trắng hoặc 3 ô màu trắng và một ô màu đen

Bài 3: Một sàn nhà hình chữ nhật được bao phủ bởi những viên gạch dạng 2 × 2 và 1

x 4 Một viên gạch bị bể, chỉ còn những viên của loại khác với viên bị bể Chứng minh sàn nhà không thể được bao phủ lại bởi các viên gạch còn lại

Giải: Ta tô hai màu trắng, đen cho sàn nhà sao cho mỗi viên gạch dạng 2 x 2 bất kỳ trên sàn nhà chỉ che phủ được số lượng ô màu đen là chẵn (hay lẻ) và mỗi viên gạch dạng 1 x 4 bất kỳ trên sàn nhà chỉ che phủ được số lượng ô màu đen ngược tính chẵn,

lẻ với viên 2 x 2 Ta có thể tô như sau:

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X

X: ô được tô màu đen Một viên 2 x 2 bất kỳ che phủ 1 ô màu đen, một viên 1 x 4 bất

kỳ che phủ 0 hay 2 ô màu đen Vì vậy không thể bao phủ lại sàn nhà

Bài 4: Có cách nào để đóng gói 250 viên gạch loại 1 × 1 × 4 vào hộp có kích thước

10 × 10 × 10 không?

Gọi tọa độ (x, y, z) cho các ô của hộp, 1 ≤ x, y, z ≤ 10 Ta tô màu các ô bằng 0, 1, 2, 3

Ô có toạ độ (x, y, z ) được tô màu i nếu x + y + z ≡ i (mod 4); suy ra mỗi viên gạch luôn chứa đủ 4 số 0, 1, 2, 3 Như vậy 250 viên gạch loại 1 × 1 × 4 gồm 250 số 0, 250

số 1, 250 số 2, 250 số 3 Ta xét lớp đầu tiên trong hộp (những ô có toạ độ z = 0), ta có bảng sau:

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

3 0 1 2 3 0 1 2 3 0

2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

3 0 1 2 3 0 1 2 3 0

2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

Ta có 26, 25, 24, 25 số 0, 1, 2, 3 ở lớp thứ nhất Ở lớp thứ hai, số được tăng lên 1 xét theo mod 4 (3 thì thay bới 0) Do đó ở lớp thứ hai có 26, 25, 24, 25 số 1, 2, 3, 0 Tương

tự, ở lớp thứ ba có 26, 25, 24, 25 số 2, 3, 0, 1; lớp thứ tư có 26, 25, 24, 25 số 3, 0, 1, 2 Lớp thứ 5 giống lớp thứ nhất, Vậy số số 0 được đánh dấu trong hộp là (26 + 25 + 24 + 25).2 + 26 + 25 = 251 (số) (vô lý)

Bài 5: Chứng minh một sàn nhà hình chữ nhật kích thước a x b có thể được bao phủ

bởi các viên gạch hình chữ nhật kích thước 1 x n khi và chỉ khi n | a hoặc n | b

Giải: Để có thể bao phủ được thì n phải là ước của a.b Nếu n | a thì sàn nhà được bao phủ bởi các viên gạch kích thước 1 x n nằm ngang; nếu n | b thì sàn nhà được bao phủ bởi các viên gạch kích thước 1 x n nằm dọc Nếu n không là ước của b thì b = qn + r (0

< r < n) Tô màu sàn nhà như hình vẽ sau (tô các số 1, 2, , n)

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

Có tất cả a(q + 1) ô được tô màu 1, 2, , r và aq ô được tô màu r + 1, r + 2, , n Giả

sử bao phủ được sàn nhà và sử dụng tất cả h viên gạch nằm ngang Một viên gạch nằm ngang sẽ phủ mỗi màu 1 lần, h viên gạch nằm ngang thì sẽ còn lại a(q + 1) – h ô được

tô màu 1, 2, , r và aq – h ô được tô màu r + 1, r + 2, , n Một viên gạch nằm dọc sẽ bao phủ n ô cùng một màu, do đó, để bao phủ được những ô còn lại bằng các viên gạch nằm dọc thì n phải là ước của a(q + 1) – h và là ước của aq – h; suy ra n là ước của a(q + 1) – h – aq + h hay n là ước của a

Bài 6: Bản đồ đường đi kết nối 14 thành phố được cho như sau:

Hỏi có một con đường đi qua tất cả các thành phố, mỗi thành phố đúng một lần hay không?

Giải: Ta tô màu các thành phố thành hai màu đen và trắng để thành phố lân cận có màu sắc khác nhau như hình sau:

Do hai thành phố lân cận có màu khác nhau nên nếu có con đường đi qua 14 thành phố thì đường đó phải có dạng tđtđtđtđtđtđtđ hay đtđtđtđtđtđtđt, nghĩa là có 7 thành phố màu trắng và 7 thành phố màu đen; nhưng trên hình vẽ có 8 thành phố màu trắng và 6 thành phố màu đen

Bài 7: Mỗi con bọ cánh cứng ngồi trên mỗi ô của bàn cờ 9 × 9 Khi đèn bật lên, mỗi

con bọ bò theo đường chéo để qua một hình vuông lân cận (do đó có thể một số con bọ cánh sẽ cùng ngồi trên một ô và sẽ có ô không có con bọ nào cả Tìm số hình vuông nhỏ nhất không có con bọ?

Giải: Tô màu bàn cờ theo cột luân phiên màu đen và trắng, có 45 ô màu đen và 36 ô màu trắng Khi đèn bật lên, do con bọ chỉ bò theo đường chéo nên con bọ sẽ bò sang ô khác màu, do đó, có ít nhất 9 ô vuông màu đen không có con bọ Xét từng cột bất kỳ suy ra có đúng 9 ô vuông màu đen không có con bọ

Bài 8: Mỗi điểm trên mặt phẳng lưới có màu đỏ hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn

tại một hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu? Tổng quát bài toán

Giải: Xét bài toán với n màu Xét các điểm lưới (x, y) với 1 ≤ x ≤ n + 1, 1 ≤ y ≤ nn + 1 +

1 Một hàng có thể được tô màu bằng nn + 1 cách Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai trong số (nn + 1 + 1) hàng có cùng màu, giả sử hai hàng đó là k và m Với i ∈ {1, ,

n + 1}, điểm (i, k) và (i, m) có cùng một màu Vì chỉ có n màu, nên sẽ có ít nhất môt màu lặp lại Giả sử (a, k) và (b, k) có cùng một màu Do đó, hình chữ nhật với các đỉnh (a, k), (b, k), (b, m), (a, m) có bốn đỉnh cùng màu

Bài 9: Cho một bàn cờ 5 × 5, viết –1 vào một ô vuông bất kỳ và viết 1 vào 24 ô

vuông còn lại Mỗi bước đi, ta có thể đổi dấu của tất cả các ô chứa trong hình vuông a

x a với a > 1 Hỏi để sau một vài bước đi, ta có thể đưa về bàn cờ có tất cả các ô vuông đều là số 1 thì số –1 phải đặt ở ô vuông nào?

Giải: Ta tô màu bàn cờ như trong hình sau:

Mỗi một hình vuông a x a với a > 1 đều chứa một số chẵn các hình vuông màu đen Nếu số –1 ở hình vuông màu đen thì sau 1 bước đi, số lượng số –1 ở hình vuông màu đen đều là số lẻ, nếu thoả yêu cầu đề bài thì số lượng số –1 ở hình vuông màu đen bằng 0 (là số chẵn) nên không thể đưa về bàn cờ có tất cả các ô vuông đều là số 1

được Nếu số –1 ở hình vuông màu trắng, không phải là hình vuông trung tâm thì ta quay bàn cờ một góc 900 và tô màu lại bạn cờ (cột ở giữa màu trắng) thì số –1 sẽ ở hình vuông màu đen nên không thể đưa về bàn cờ có tất cả các ô vuông đều là số 1 được Nếu –1 ở hình vuông trung tâm thì ta có thể làm thoả yêu cầu đề bài sau 5 bước: Bước 1: Đổi dấu các ô vuông chứa trong hình vuông 3 x 3 ở phía dưới bên trái

Bước 2: Đổi dấu các ô vuông chứa trong hình vuông 3 x 3 ở phía trên bên phải

Bước 3: Đổi dấu các ô vuông chứa trong hình vuông 2 x 2 ở phía trên bên trái

Bước 4: Đổi dấu các ô vuông chứa trong hình vuông 2 x 2 ở phía dưới bên phải

Bước 5: Đổi dấu các ô vuông chứa trong hình vuông 5 x 5

Bài 10: Cho n điểm (n ≥ 5) trên mặt phẳng Hãy chỉ cách tô các điểm đó thành 2 màu

sao cho không có đường thẳng nào chia mặt phẳng ra thành hai nửa mà mỗi nửa mặt phẳng gồm các điểm cùng màu

Giải: Do n ≥ 5 nên ta có thể chọn 4 điểm tạo thành tứ giác lồi và ta tô 2 đỉnh đối diện của tứ giác đó cùng một màu Khi đó, không có đường thẳng nào chia mặt phẳng ra thành hai nửa mà mỗi nửa mặt phẳng gồm các điểm cùng màu

Bài 11: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0; 0); B(1; 0); C(0; 1) Ở mỗi bước

đi, ta chọn 1 điểm trong số các điểm đã có và lấy đối xứng của điểm đã chọn qua 1 điểm khác trong số các điểm đã có Hỏi sau một số hữu hạn bước đi, từ 3 điểm ban đầu, ta có thể làm xuất hiện điểm D(1; 1) được không? (Sau mỗi bước đi, số lượng điểm tăng lên một hoặc giữ nguyên)

Giải: Với mỗi điểm M(xM; yM), ta tô điểm M màu đen nếu xM.yM lẻ và tô màu trắng nếu xM.yM chẵn Gọi N(xN; yN) đối xứng với M(xM; yM) qua K(xK; yK) thì xN + xM = 2xK; yN + yM = 2yK nên xN và xM cùng tính chẵn, lẻ; yN và yM cùng tính chẵn, lẻ nên M

và N được tô cùng màu Mà A, B, C được tô màu trắng và D được tô màu đen nên không thể

Bài 12: Một sàn nhà 7 × 7 được lát bởi mười sáu viên gạch 3 x 1 và một viên gạch 1 x

1 Các vị trí cho phép đặt viên gạch 1 × 1 là chỗ nào?

Giải: Ta tô màu các ô vuông bởi các màu 0, 1, 2 theo hình sau:

a b c d e f g

1 0 1 2 0 1 2 0

2 1 2 0 1 2 0 1

3 2 0 1 2 0 1 2

4 0 1 2 0 1 2 0

5 1 2 0 1 2 0 1

6 2 0 1 2 0 1 2

7 0 1 2 0 1 2 0

Mỗi viên gạch 3 x 1 sẽ bao phủ một số 0, mà có tất cả 17 số 0, nên viên gạch 1 x 1 sẽ ở

vị trí số 0 Ta quay bàn cờ một góc 900 thì viên gạch 1 x 1 cũng phải ở vị trí số 0; suy

ra những vị trí viên gạch có thể đặt là a1; d1; g1; a4; d4; g4; a7; d7; g7 Thử lại ta thấy các vị trí này đều thoả

Bài 13: Một hình vuông 6 x 6 được lát bằng các domino 2 x 1 một cách bất kỳ Chứng

minh luôn có thể cắt được hình vuông theo một đường thẳng sao cho không phải cắt domino nào

Giải: Giả sử mọi đường thẳng đều cắt ít nhất 1 domino, ta xét các đường thẳng nằm

ngang và dọc Xét một đường thẳng d nằm ngang bất kỳ, giả sử đường thẳng d cắt 1 domino, khi đó đường thẳng d sẽ cắt hình vuông ban đầu thành hai hình chữ nhật có kích thước m x 6 Nếu d không cắt thêm domino nào khác thì các domino phải phủ kín hai hình chữ nhật, mỗi hình chữ nhật bỏ đi một ô của domino, mà diện tích hai hình chữ nhật bỏ đi một ô của domino có dạng 6m – 1, diện tích của các domino phủ kín là

số chẵn nên suy ra d phải cắt ít nhất 1 domino nữa Vậy mọi đường thẳng d nếu cắt domino thì phải cắt ít nhất hai domino và mỗi domino bị cắt chỉ 1 lần Có 10 đường thẳng nằm ngang và dọc, mỗi đường thẳng cắt ít nhất 2 domino nên các domino bị cắt

ít nhất là 20 Do diện tích hình vuông là 36, diện tích các domino bị cắt ít nhất là 40 nên vô lý Vậy luôn có thể cắt được hình vuông theo một đường thẳng sao cho không phải cắt domino nào

Bài 14: Một bảng số gồm 25 dòng và 25 cột được ghi số 1 hay –1 Đặt ai là tích các phần tử ở dòng i và bj là tích các phần tử ở cột j Chứng minh:

a1 + b1 + … + a25 + b25≠ 0

Giải: a1a2…a25 = b1b2…b25 bằng tích của các phần tử của bảng số Giả sử

a1 + b1 + … + a25 + b25 = 0 thì số số –1 bằng số số 1 Giả sử a1, a2, …, a25 có n số bằng

1, suy ra có 25 – n số bằng –1, suy ra b1, b2, …, bn có n số bằng –1 và 25 – n số bằng

1

Nếu n chẵn thì 25 – n lẻ nên a1a2…a25 = –1 và b1b2…b25 = 1 (vô lý) Tương tự với n là

số lẻ

Bài 15: Có thể đóng gói 53 viên gạch có kích thước 1 x 1 x 4 vào hộp 6 x 6 x 6 sao

cho các mặt của viên gạch song song với các mặt của hộp được không?

Giải: Hộp kích thước 6 x 6 x 6 được chia thành 27 khối lập phương 2 x 2 x 2 và tô màu đen, trắng xen kẽ như bàn cờ, do đó sẽ có 14 khối lập phương được tô màu đen và

13 khối lập phương được tô màu trắng Mỗi khối lập phương 2 x 2 x 2 gồm 8 khối lập phương 1 x 1 x 1 nên có 112 khối lập phương 1 x 1 x 1 màu đen và 104 khối lập phương 1 x 1 x 1 màu trắng Một viên gạch 1 x 1 x 4 khi xếp vào hộp sẽ sử dụng 2 khối lập phương màu trắng và 2 khối lập phương màu đen; suy ra 53 viên gạch sẽ sử dụng 106 khối lập phương màu trắng (trong khi chỉ có 104 khối lập phương màu trắng) nên không thể đóng gói 53 viên gạch

Bài 16: Một sàn nhà hình vuông 23 x 23 được lát hoàn toàn bằng các viên gạch loại

1 x 1; 2 x 2 và 3 x 3 Hãy tìm số lượng gạch 1 x 1 nhỏ nhất cần sử dụng? (AUO 1989) Giải: Giả sử không có viên gạch 1 x 1 nào cần sử dụng, suy ra chỉ có các viên gạch loại 2 x 2 và 3 x 3 được sử dụng Ta tô sàn nhà theo hàng có các màu đen, trắng xen kẽ (hàng trên cùng màu đen), có 276 màu đen và 253 màu trắng (số ô màu đen hơn số ô màu trắng là 23 ô) Một viên gạch loại 2 x 2 bao phủ số ô đen và số ô trắng như nhau (đều là 2 ô); một viên gạch loại 3 x 3 bao phủ thì số ô màu đen và số ô màu trắng hơn, kém nhau 3, suy ra nếu chỉ sử dụng các viên gạch loại 2 x 2 và 3 x 3 thì số ô màu đen

và số ô màu trắng hơn kém nhau theo bội của 3, mà thực tế số ô màu đen hơn số ô màu trắng là 23 ô không phải là bội của 3 Như vậy ta cần ít nhất một viên gạch loại 1 x 1

Ta chứng minh chỉ 1 viên gạch loại 1 x 1 ta có thể lát sàn nhà: Đặt viên 1 x 1 ở ô trung tâm của sàn nhà, chia sàn nhà còn lại thành 4 hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là

11 và 12 (12 x 11) Mỗi hình chữ nhật 12 x 11 ta xếp dòng trên cùng 6 viên gạch loại

2 x 2 và bên dưới xếp thành 3 dòng, mỗi dòng là 4 viên gạch loại 3 x 3

Bài 17: Trên bàn cờ vua 8 x 8, con mã có thể đi được bao nhiêu nước?

Giải: Ta chia bàn cờ vua thành 4 khu và tô màu như hình (a luôn ở góc bàn cờ) và mỗi khu được chia thành 4 loại

a b c c

b c d d

c d e e

c d e e

Con mã ở ô loại a có thể đi 2 nước; ở ô loại b có thể đi 3 nước; ở ô loại c có thể đi 4 nước; ở ô loại d có thể đi 6 nước; ở ô loại e có thể đi 8 nước Vậy con mã có thể đi 336 nước

Bài 18: Cho một bàn cờ 4 x n Một con mã nằm ở vị trí bất kỳ trên bàn cờ, hỏi con mã

có thể đi tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và trở về ô ban đầu được không?

Giải: Ta tô màu bàn cờ như hình:

a b a b a b a b a b

c d c d c d c d c d

d c d c d c d c d c

b a b a b a b a b a

Một con mã ở ô a chỉ có thể qua được ô c; con mã ở ô b chỉ có thể qua ô d; con mã ở ô

d muốn qua ô a phải qua ít nhất một ô c; con mã ở ô b muốn qua ô a phải qua ít nhất một ô d và một ô c Vì con mã đi qua tất cả các ô, mỗi ô một lần thì con mã phải qua tất cả các ô a, nhưng muốn qua một ô a thì con mã phải qua ít nhất một ô c, và sau khi qua ô a đó thì ô kế tiếp con mã qua bắt buộc là ô c nên số ô c trên bàn cờ phải lớn hơn

số ô a, mà ở mỗi cột chỉ có một ô c và một ô a nên số ô c bằng số ô a (vô lý)