TH1 e3 ThangTN phuong phap to mau

PHƯƠNG PHÁP TÔ MÀU TRẦN NGỌC THẮNG - THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Phương pháp tô màu thường dùng để giải tập liên quan đến bảng ô vuông (bài toán phủ, cắt, ghép…), tùy theo giả thiết yêu cầu toán mà ta chọn màu tô màu theo cách phù hợp để chứng minh tốn Việc tơ màu theo cách bước quan trọng để giải tốn theo phương pháp tơ màu để trang bị phần cho học sinh qua trình học chun đề chúng tơi chọn lọc số tập liên quan đến phương pháp tơ màu Cho bảng 8×8 bị hai ô hai góc đối diện Hỏi lát phần lại bảng qn a) 2×1 (cùng với hình tạo cách quay góc tùy ý) b) Hình chữ L (cùng với hình tạo cách quay góc tùy ý) c) 2×1 qn hình chữ Hình chữ L (cùng với hình tạo cách quay góc tùy ý) Lời giải Tơ màu bảng 8×8 hình vẽ a) Khi qn 2×1 chiếm đen trắng Do phần lại bảng phủ quân số đen số trắng vơ lí số ô đen 32, số ô trắng 30 b) Khi qn hình chữ L chiếm đen trắng Do phần lại bảng phủ qn số đen số trắng vơ lí số đen 32, số trắng 30 c) Mỗi qn 2×1 qn hình chữ L có số trắng số đên Do phần lại bảng phủ qn số đen số trắng vơ lí số đen 32, số ô trắng 30 Xét bàn cờ vua 8×8 Chứng minh xuất phát từ góc, mã khơng thể qua tất ô bàn cờ, ô lần kết thúc góc đối diện với góc xuất phát Lời giải Xét bàn cờ vua 8×8 hình vẽ Mỗi nước qn mã chuyển đến khác màu với đứng trước Do xuất phát từ góc qua tất lại đến góc đối diện mã thực 63 nước Do mã đến khác màu với xuất phát vơ lí ô đối diện với ô xuất phát màu Vậy tốn chứng minh Một hình tròn chia thành 2014 hình quạt Trong hình quạt có viên bi Thực trò chơi sau: lần cho phép lấy hai viên bi hai hình quạt chuyển sang bên cạnh theo hai chiều ngược Hỏi sau số lần chuyển hết viên bi vào hình quạt khơng? Lời giải Ta tơ màu hình quạt hình vẽ, cho hai hình quạt cạnh khác màu Gọi S ( n) , T ( n) tổng số bi bước thứ n các hình quạt màu đen, hình quạt màu trắng Do S ( 0) = T ( 0) = 1005 S ( n) , T ( n) bất biến theo mod nên xảy trường hợp S ( n) = T ( n) = Vậy tốn chứng minh Nhận xét Bài tồn tổng quát nhứ sau: Cho n ∈ * , hình tròn chia thành n hình quạt Trong hình quạt có viên bi Thực trò chơi sau: lần cho phép lấy hai viên bi hai hình quạt chuyển sang ô bên cạnh theo hai chiều ngược Tìm tất số nguyên dương n cho sau số lần chuyển hết viên bi vào hình quạt (Romania TST 2000) Tìm tất cặp số nguyên dương ( m, n) cho bảng m×n lát qn hình chữ L (cùng với hình tạo cách quay góc tùy ý) Lời giải Phân tích: Giả sử bảng lát vài giá trị a Giả sử m ≤ n Nếu a = dễ thấy không thỏa mãn x quân hình chữ L suy mn = 4a , ta thử Nếu a = ta có mn = 12 ta có khả ( m, n) = ( 2,6) , ( 3,4) hai bảng khơng thể lát qn hình chữ L Nếu a = ta có mn = ta có khả ( m, n ) = ( 2, 4) bảng lát quân hình chữ L hình vẽ Như ta dự đốn để lát bảng m×n a phải số chẵn Trở lại toán: Ta chứng minh a chẵn cách lát trường hợp Ta tơ bảng m×n theo cách sau: Với cách tơ qn hình chữ L chiếm ô đen ô trắng ô trắng ô đen Giả sử a qn hình chữ L có u qn gồm ô đen ô trắng, v quân gồm đen trắng Khi ta có: u + v = a u = v ⇔  3u + v = 3v + u a = 2u Suy a   mn  Ta chứng minh với mn ln lát bảng m×n qn hình chữ L Ta xét trường hợp sau: TH1 Nếu hai số m, n chẵn: mn   hai số phải chia hết cho , giả sử n Khi ta chia bảng hình vẽ m×n thành bảng 2×4 bảng lát TH2 Nếu hai số m, n có số lẻ, giả sử m lẻ Khi ta viết m = k + 3, n = l suy m × n = ( 2k + 3) × ( 8l ) = 2lk ( × 4) + l ( 3× 8) Ta nhận thấy bảng 2×4 lát quân hình chữ L , ta cách lát cho bảng 3×8 xong Thật ta lát hình vẽ: Vậy số nguyên dương m, n thỏa mãn mn chia hết cho Bài tốn đề xuất Tìm tất cặp số ngun dương ( m, n) cho bảng m× n lát quân hình chữ L (cùng với hình tạo cách quay góc tùy ý) (VMO 2006) Xét bảng ô vuông m× n ( m, n số nguyên dương lớn 3) Thực trò chơi sau: lần đặt viên bi vào ô bảng (mỗi viên bi) mà tạo thành hình Hỏi sau số lần ta nhận bảng mà số bi ô không a) m = 2004 n = 2006 ? b) m = 2005 n = 2006 ? Lời giải a) Bảng vng 4× ghép hai qn Do với bảng 2004×2006 ta chia thành bảng 4× Khi với cách đặt bi yêu cầu ta đặt ô vuông đơn vị bảng 4× viên bi Do bảng 2004×2006 đặt vuông đơn vị viên bi b) Giả sử ta nhận bảng mà số bi có q viên bi Khi bảng 2005×2006 lát qn Ta tơ màu bảng 2005×2006 hình vẽ (các vng đơn vị hàng màu hai hàng cạnh khác màu) Gọi D( n) ,T ( n) tổng số bi ô đen, ô trắng bước cuối Do 2005×2006 gồm 2005 hàng 2006 cột nên D( n) = 2006.1003q,T ( n) = 2006.1002q  D( n) −T ( n) = 2006q Mỗi quân lát bảng chiếm ô đen ô trắng nên D( n) −T ( n) = D( 0) −T ( 0) = vô lý ( D( 0) ,T ( 0) tổng số bi ô đen, ô trắng lúc ban đầu) Vậy với m = 2005 n = 2006 khơng thỏa mãn u cầu tốn Nhận xét Với cách làm phần b ta chứng minh được: bảng m× n ( m, n > 3)thỏa mãn u cầu tốn m, n số chẵn Khi hai số m, n chia hết cho bảng thỏa mãn yêu cầu Khi m, n chẵn khơng chia hết cho bảng có thỏa mãn không? Cho k, n số nguyên dương Xét bảng ô vuông vô hạn, đặt 3k.n qn cờ hình chữ nhật 3k × n Thực trò chơi sau: quân cờ nhảy ngang dọc qua kề với có chứa qn cờ, để đến kề với (ô mà quân cờ nhảy đến phải ô trống) Sau làm ta loại bỏ quân cờ ô bị nhảy qua khỏi bàn cờ Chứng minh rằng, với cách chơi bảng vng khơng lại qn cờ Lời giải Ta tô bảng ô vuông vô hạn ba màu 1, 2, tô hình vẽ Gọi Sn ( i) tổng số quân cờ vng đơn vị có màu i ( i =1,2,3) bước chơi thứ n , n = lúc ban đầu Ta có S0 (1) = S0 ( 2) = S0 ( 3) = kn Trong lần chơi tổng số bi màu tăng giảm đơn vị nên tính chẵn lẻ tổng số bi màu khơng đổi Do khơng có trạng thái mà bảng lại quân cờ 3 3 3 1 3 1 Xét bảng ô vuông n×n ( n số nguyên dương lớn 4) xóa bỏ vng đơn vị bốn góc bảng Tìm tất giá trị có n cho bảng lát quân hình chữ L hình (cùng với hình tạo cách quay góc tùy ý) Lời giải Giả sử bảng n×n xóa bỏ bốn vng đơn vị bốn góc bảng lát quân hình chữ L giả sử cần a qn hình chữ L Khi ta có: n2 −4 = 4a Từ đẳng thức ta suy n phải số chẵn Khi ta tơ màu bảng n×n hình vẽ đây: Khi qn hình chữ L phủ đen ô trắng ô trắng ô đen Giả sử a qn hình chữ L có u quân gồm ô đen ô trắng, v quân gồm ô đen ô trắng Khi ta có: u + v = a u = v ⇔  3u + v = 3v + u a = 2u Suy a   n −   n ≡ ( mod ) Với n ≡ ( mod ) ta cách lát theo cách giống Một bảng 7×7 phủ kín 16 qn 3×1 qn 1×1 Hỏi qn 1×1 phải đặt vị trí nào? Lời giải Đầu tiên ta dự đốn vị trí qn 1×1 ta vị trí bốn góc bảng, tâm bảng trung điểm dòng 1, cột 1, Ta cách giải cho toán Cách Ta tô màu ô vuông đơn vị màu 0,1,2 hình A đây: 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 Hình A Nếu qn 1×1 khơng phủ màu chứa màu phải phủ quân 3×1 Do quân 3×1 gồm hai loại: loại quân chứa ô màu hai ô màu 1, loại quân chứa ô màu hai ô màu Do có tất có màu nên có quân 3×1 loại quân 3×1 loại Do 16 qn 3×1 phủ 9×2 + = 25 vng có màu 7×2 =14 vng có màu Với cách tơ màu bảng có 16 vng tơ màu 24 vng có màu vơ lí Vậy qn 1×1 phải đặt vng tô màu Ta nêu cách phủ trường hợp đặt quân 1×1 sau: Đặt quân 1×1 vào tơ màu đen Khi ta phủ qn 3×1 hình B đây: Hình B Các trường hợp đặt quân 1×1 làm tương tự Cách Đầu tiên ta tô màu ô vuông đơn vị màu 0,1,2 hình C đây: 2 2 2 1 2 2 2 1 2 Hình C Theo cách tơ màu có 17 vng đơn vị tơ màu 0, 16 ô vuông đơn vị tô màu 16 ô vuông đơn vị tô màu Mặt khác qn 3×1 chiếm vng đơn vị có màu 0,1,2 suy qn 1×1 phải đặt vng đơn vị có màu Tiếp theo ta tô màu ô vuông đơn vị màu 0,1,2 theo hình D 1 2 1 1 2 2 2 2 2 Hình D Theo cách tơ màu có 17 vuông đơn vị tô màu 0, 16 ô vuông đơn vị tô màu 16 ô vuông đơn vị tô màu Mặt khác quân 3×1 chiếm vng đơn vị có màu 0,1,2 suy qn 1×1 phải đặt vng đơn vị có màu Do để qn 1×1 giữ ngun vị trí theo hai cách tơ hình C hình D phải nằm vng đơn vị có màu tâm bảng, góc bảng trung điểm cạnh bảng Tương tự cách ta phủ bảng đặt quân 1×1 vào vị trí 10 Cách (sử dụng số phức) ε = cos Giả sử vị trí ( m, n ) không phủ, đặt 2π 2π Khi ta đặt vào ( j , k ) cách sau: + i sin 3 1) Đặt vào ô ( j, k ) số ε j ε k Khi tổng số hình chữ nhật kích thước ×1 1× Khi theo giả thiết ta 7 ε m ε n =  ε j ε k j =1 k =1    j =1   k =1  ε m+ n =   ε j    ε k  ε m+n   ε −1   ε −1  = − 1  − 1  ε −1   ε −1   ε −1   ε −1  ⇔ ε m+n =  − 1  − 1 ⇔ ε m + n = ε  ε −1   ε −1   m + n + (1) 2) Đặt vào ô ( j , k ) số ε j ε k Khi tổng số hình chữ nhật kích thước ×1 1× Khi theo giả thiết ta 7 ε m ε n =  ε j ε k j =1 k =1    j =1   k =1  ε m+ n =   ε j    ε k  ε m+2 n   ε −   ε 16 −  = − 1  − 1  ε −1   ε −1   ε −1   ε −1  ⇔ ε m+2n =  − 1  − 1 ⇔ ε m+ n = ε =  ε −1   ε −1   m + 2n (2) Từ (1) (2) ta 3 m + n + 3 m + n + 3 n −    3 m + 2n 3 m + n + + n − 3 m −  m, n ∈ {1, 4, 7} Kiểm tra lại ta thấy bỏ ô ( m, n ) , m, n ∈ {1, 4, 7} bảng hình vng kích thước × lát 16 hình chữ nhật kích thước ×1 1× 11 (Belarus 1999) Cho bảng 7×7 qn cờ có ba loại sau sau: 3×1, 1×1 qn hình chữ L gồm Người thứ có vơ hạn qn 3×1 qn hình chữ L , người thứ hai có qn 1×1 a) Chứng minh: cho người thứ hai trước, đặt qn cờ vào cho người thứ khơng thể phủ kín phần lại bảng b) Chứng minh cho người thứ thêm quân hình chữ L người thứ đặt quân cờ đâu người thứ hai phủ kín phần lại bảng Lời giải a) 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 3 2 1x1 2 1x1 3 3 3 3 1 3 Hình A Hình B Đầu tiên ta tơ màu bảng 7×7 ba màu 1, 2, hình A đặt qn 1×1 hình A Khi vng đơn vị tô màu 17, tô màu 15 tô màu 16 Mỗi quân 3×1được phủ đủ ba màu 1, 2, Do phần lại phủ kín qn hình chữ L phải gồm màu màu Tiếp theo giữ ngun vị trí qn 1×1 tơ màu bảng 7×7 hình B Khi vng đơn vị tơ màu 17, tô màu 15 tô màu 16 Mỗi quân 3×1được phủ đủ ba màu 1, 2, Do phần lại phủ kín qn hình chữ L phải gồm ô màu ô màu Nhưng ta nhận thấy qn cờ hình chữ L có hai dạng khác vơ lí có qn hình chữ L Vậy tốn chứng minh b) 12 Hình C Xét bảng vng 4×4 hình C bốn hình vng phủ kín bảng 7×7 suy qn cờ 1×1 thuộc bảng 4×4 Bảng 4×4 lại chia thành bốn bảng 2×2 khơng có phần chung suy qn cờ 1×1 nằm bảng 2×2 Khi qn hình chữ L qn cờ 1×1 phủ bảng 2×2 ba bảng 2×2 lại phủ quân hình chữ L qn 3×1, hình vẽ (màu vàng qn 1×1) 10 Cho a, b, n số nguyên dương Khi bảng vng b lát quân 1×n (và quân nhận quay góc) n a n b Lời giải Cách Ta xét hai trường hợp: Th1 Nếu n b dễ thấy bảng lát quân 1× n Th2 Nếu b không chia hết cho n , giả sử b = qn + r,0 < r < n Ta tô màu bảng vng b hình vẽ: 13 qn a r n r n r n r n r n r n r n r Kí hiệu quân R quân dạng 1×r chứa đủ r màu 1,2, , r ; quân N quân dạng 1× n chứa đủ n màu 1,2, , n quân N − R quân dạng 1×( n − r ) chứa đủ n − r màu r +1, r + 2, , n Ta nhận thấy bảng b có aq + a qn R có aq quân N Giả sử để phủ bảng a×b ta cần k quân N suy phần lại bảng aq + a − k quân R aq − k quân N − R Phần lại lát quân 1× n dạng thẳng đứng nên suy n aq + a − k, n aq − k  n ( aq + a − k ) −( aq − k )  n a Vậy bảng ô vuông a×b lát quân 1× n n a n b Cách (Sử dụng số phức) Ta giải tốn tổng qt sau: Giả sử bảng hình chữ nhật lát hữu hạn bảng hình chữ nhật có kích thước m×1 1× n , m, n số nguyên dương cho trước Chứng minh lát bảng hình chữ nhật cho hình chữ nhật kích thước m×1 hình chữ nhật có kích thước 1× n Lời giải Giả sử bảng hình chữ nhật cho có kích thước a × b , a, b số 2π 2π 2π 2π nguyên dương Đặt ε1 = cos , ε = cos + i sin + i sin m m n n Tại ô ( j , k ) ta đặt số ε1j ε 2k Khi tổng số bảng hình chữ nhật kích thước m×1 1× n Theo giải thiết bảng hình chữ nhật a × b lát hình chữ nhật kích thước m×1 1× n nên ta có 14 a b  a   j =1   k =1 b   ε1jε 2k = ⇔   ε1j    ε 2k  = j =1 k =1   a j    ε1  = m a j =1  ⇔    b nb   ε 2k  =   k =1  Từ suy lát bảng hình chữ nhật cho hình chữ nhật kích thước m×1 hình chữ nhật có kích thước 1× n 11 Cho số ngun dương a, b, n Tìm điều kiện n cho bảng vng n×n phủ kín bảng a×a b×b ? Lời giải BÀI TÂP TƯƠNG TỰ 12 Tồn hay khơng hốn vị dãy 1,1,2,2, ,2013,2013 có tính chất với k =1,2, ,2013 có k số nằm hai số k ? 13 Cho lục giác chia thành 24 tam giác với 19 đỉnh viết 19 số từ đến 19 Hỏi có tam giác ngược chiều kim đồng hồ thứ tự tăng dần? 14 Trên bàn cờ vơ hạn có trò chơi sau: ban đầu xếp n viên sỏi vào bảng n×n (mỗi viên bi) Mỗi viên bi nhảy theo chiều ngang chiều dọc qua ô sát cạnh (nếu trống) Khi qn ô nhảy qua bị loại bỏ Tìm tất số nguyên dương n cho trò chơi kết thúc (còn viên sỏi bàn cờ) 15 Trên bảng kẻ vng n×n, tơ vng ba màu khác nhau: X, T, Đ cho: cạnh ô màu X phải ô màu T, cạnh ô màu T phải ô màu Đ, cạnh ô màu n2 2n2 ≤ f ( X) ≤ Đ ô màu X Gọi số ô màu X f ( X ) Chứng minh 11 16 Có thể lát bảng vng 10×10 quân hình chữ T (hoặc quân nhận từ quân cách quay góc) khơng? 17 Có phủ bảng hình chữ nhật 5×7 quân (hoặc quân nhận từ quân cách quay góc) cho ô phủ số lần nhau? 15 18 Một người muốn lát bảng vng 9×9 viên đá dạng (hoặc quân nhận từ quân cách quay góc) Các viên đá khơng chờm lên tí Mỗi lần người đặt liền viên đá Hỏi người lát kín bảng cho khơng? 19 Cho bảng vng 11×12 , lần lấy ô liên tiếp hàng cột tô màu tất ô vuông đơn vị Hỏi tơ tất ô vuông đơn vị bảng cho sau 19 lần hay khơng? 20 Có viết hay khơng ô vuông đơn vị số nguyên tờ giấy trắng kẻ ô vuông vô hạn cho tổng số hình chữ kích thước 4×6 (và hình nhận cách quay góc) bằng: a) 10 b) 21 Cho bảng ô vuông 7×7 có loại qn ( qn có cách quay góc, số lượng quân vô hạn): L1 L2 L3 a) Chứng minh bỏ vng đơn vị bảng cho khơng thể lát phần lại với quân L3 quân L2 b) Chứng minh dù bỏ vng đơn vị bảng phần lại lát quân L3 số quân L2 22 Chứng minh tồn hai số nguyên dương m, n cho với m chàng trai n cô gái tồn chàng trai gái cặp nam nữ quen cặp nam nữ không quen 23 Hãy xác định xem liệu đánh số bàn cờ 8×8 số 1,2,3, ,64 (mỗi vuông đơn vị số hai ô vuông đơn vị khác hai số hai khác nhau) cho tổng số số bàn cờ có dạng sau chia hết cho 4: a) (và hình có cách quay góc) 16 b) (và hình có cách quay góc) 24 Có thể lát kín bảng vng 10×10 qn khơng? a) b) (và hình có cách quay góc) (và hình có cách quay góc) 25 (VMO - 1991) Cho bảng 1991×1992 Kí hiệu ( m, n) vng nằm giao hàng thứ m cột thứ n Tô màu ô vuông bảng theo quy tắc sau: lần thứ tô ba ô ( r, s) , ( r +1, s +1) , ( r + 2, s + 2) ; 1≤ r ≤1989,1≤ s ≤1990 , từ lần thứ hai, lần tô ba ô chưa có màu nằm cạnh hàng cột Hỏi cách tô màu tất ô bảng khơng? 26 Tìm tất số ngun dương n lẻ cho lát hình chữ nhật cỡ n × n bỏ vng đơn vị tâm cách dùng hình chữ nhật cỡ × (hoặc hình tạo cho hình quay góc tùy ý)? 27 Chứng minh bảng vng 10×10 khơng thể phủ kín 25 qn × (hoặc hình tạo cho hình quay góc tùy ý) 28 a) Cho a, b, n số ngun dương Khi bảng vng b lát quân 1× n n a n b b)Cho a, b, c, n số nguyên dương Khi khối ô vuông a×b×c lát quân 1×1×n n a n b n c 29 Chứng minh từ người ln chọn người đơi quen đội không quen 30 Cho điểm mặt phẳng ba điểm đỉnh tam giác có độ dài ba cạnh khác Chứng minh tồn đoạn thẳng nối hai điểm cho vừa cạnh nhỏ tam giác này, vừa cạnh lớn tam giác khác 31 Có thể đánh số ô bảng ô vuông 4× số tự nhiên từ đến 16 (mỗi số viết lần) cho tổng số phần bảng vng có dạng hình chữ T (có thể xoay phía) 32 Cho bàn cờ hình vng kích thước 6×6 Có thể dùng mảnh gỗ hình chữ nhật kích thước 1× ghép kín bàn cờ khơng? 17 33 Trên giấy kẻ vng tô màu ô cho ô tô có số lẻ bên cạnh tô hay không? (hai ô cạnh hai ô có cạnh chung) Cũng hỏi số 34 Có thể ghéo 250 dải 1×1× (có thể quay góc tùy ý) thành khối lập phương 10×10×10 khơng? 35 Cho bảng vng ( 2n +1) ×( 2n +1) bị vng đơn vị góc Tìm tất số nguyên dương n cho bảng phủ qn 2×1, có nửa qn 2×1 nằm ngang? 36 Một bảng vng 23×23 lát qn 1×1, 2×2, 3×3 Tìm số nhỏ quân 1×1 cần dùng? 37 (Argentina TST 2005) Tìm tất cặp số nguyên dương ( m, n) cho bảng vng m×n phủ kín qn 1×3 2×5 38 (IMO Shortlisted 2004) Ta đĩnh nghĩa viên gạch hình móc câu hình gồm vng đơn vị hình vẽ đây, hình nhận lật hình (sang phải, sang trái, lên trên, xuống dưới) hình nhận xoay hình góc Hãy xác định tất hình chữ nhật m×n , m, n số ngun dương cho lát hình chữ nhật viên gạch hình móc câu 39 Một bảng hình chữ nhật phủ kín qn 2×2 1×4 (và qn có từ qn quay góc) Chứng minh khơng thể phủ kín bảng hình chữ nhật cách thay tất quân 2×2 quân quân 1×4 thay tất quân 1×4 quân 2×2 40 (Moldova TST 2013) Cho bảng vng 2013×2013 Hỏi đặt tối đa quân mã cho khơng có hai mã ăn nhau? 18 ... = ( 2, 4) bảng lát quân hình chữ L hình vẽ Như ta dự đốn để lát bảng m×n a phải số chẵn Trở lại to n: Ta chứng minh a chẵn cách lát trường hợp Ta tơ bảng m×n theo cách sau: Với cách tơ qn hình... 2u Suy a   mn  Ta chứng minh với mn ln lát bảng m×n qn hình chữ L Ta xét trường hợp sau: TH1 Nếu hai số m, n chẵn: mn   hai số phải chia hết cho , giả sử n Khi ta chia bảng hình vẽ m×n... đốn vị trí qn 1×1 ta vị trí bốn góc bảng, tâm bảng trung điểm dòng 1, cột 1, Ta cách giải cho to n Cách Ta tô màu ô vuông đơn vị màu 0,1,2 hình A đây: 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 Hình