DS2 t2 ThongNV MinhND da thuc xe va dem so hoan vi

ĐA THỨC XE VÀ BÀI TOÁN ĐẾM SỐ HOÁN VỊ Nguyễn Văn Thơng-Nguyễn Đình Minh GV báo cáo: Nguyễn Đình Minh (Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng ĐC: Số 01 Vũ Văn Dũng-Quận Sơn Trà-TP Đà Nẵng) Lý thuyết quân xe mà đối tượng chủ yếu đa thức xe nghiên cứu Kaplansky Riordan, sau mở rộng Goldman ứng dụng nhiều lý thuyết đồ thị, lý thuyết biểu diễn nhóm Đặc biệt với tốn tổ hợp liên quan đến việc đếm số hoán vị, vận dụng đa thức xe vào giải lại đơn giản Tuy nhiên, với học sinh chuyên toán trường phổ thông, lý thuyết quân xe chưa phổ biến rộng Bài viết giới thiệu bạn đọc lý thuyết quân xe với ứng dụng vấn đề đếm liên quan đến hoán vị Các định nghĩa 1.1 Hoán vị độ dài n Cho số nguyên dương n Một hoán vị  có độ dài n song ánh từ tập 1,2, ,n đến Kí hiệu Sn tập tất hốn vị có độ dài n Hoán vị   Sn cho i   i với i thỏa  i  n gọi xáo trộn tập 1, 2, , n 1.2 Bàn cờ Một bàn cờ tập hợp vng có hình dạng Hai bàn cờ A, B gọi độc lập khơng có vng A B chung hàng chung cột Ví dụ bàn cờ bên A, B hai bàn cờ độc lập A B Nhận xét Với   Sn thỏa i   j ta đặt tương ứng xe vị trí i, j  (tức dòng i, cột j ) bàn cờ vng n n Như hốn vị  có độ dài n cho tương ứng với cách đặt n quân xe cho không ăn lẫn bàn cờ vng kích thước n  n , xáo trộn có độ dài n cách đặt n quân xe bàn cờ vuông n  n cho khơng có hai xe “ăn nhau” khơng có xe nằm đường chéo bàn cờ 1.3 Block bàn cờ Cho bàn cờ C , miền ô vuông S gọi block bàn cờ C thỏa mãn điều kiện sau i) Với hai dòng i, i ' chứa S cột j khơng chứa S hai ô i, j  i ', j  ô vuông C không vng C ii) Với hai cột j , j ' chứa ô S dòng i khơng chứa S hai ô i, j  i, j ' ô vuông C không ô vuông C Nhận xét Nếu C bàn cờ gồm vng vng C xem block C Ví dụ Xét bàn cờ hình vẽ C Khi bảng vng S xác định gồm ô vị trí (2;2);(3,2); (3;3);(3;4) (ô tô) block C 1.4 Đa thức quân xe bàn cờ Cho bàn cờ C gồm m hàng n cột, đa thức quân xe bàn cờ C  R C, x   r0 C   r1 C  x   rk C  x k    rk C  x k k0 rk C số cách k xe không “ăn nhau” bàn cờ C Nhận xét Hệ số r0 C   có cách đặt quân xe lên bàn cờ C r1 C số vng C số cách đặt quân xe C Nếu C có m dòng n cột rk C  với số nguyên k  m, n Ví dụ Cho bàn cờ hình bên A B Đa thức quân xe bàn cờ R  A, x    x  18 x  x R  B, x    x  x  x  Ví dụ Cho m, n số nguyên dương thỏa m  n , tìm đa thức quân xe bàn cờ C hình chữ nhật kích thước m  n  m Giải Với  k  m có   cách chọn k dòng m dòng có  k  n   cách chọn k cột n cột Với dòng thứ k dòng chọn ta có k cách k  đặt quân xe k cột chọn, với dòng thứ hai ta có k  cách đặt quân xe k  cột lại (trừ cột chứa quân xe dòng chọn Tiếp tục cách chọn , suy số cách đặt k quân xe bàn cờ cho quân không ăn nm n! m! rk C     k !  k  k  k ! n  k !m  k ! Vậy đa thức quân xe bàn cờ C m R C, x    k0 n! m! xk k !n  k ! m  k !  n Từ kết suy đa thức xe cho bàn cờ vuông n  n R C, x      k ! x k   k 0  k  n Nhận xét Theo cách làm trên, việc tìm đa thức xe bàn cờ bàn hình chữ nhật, hình vng tương đối đơn giản, bàn cờ phức tạp ta cần nhiều phép biến đổi dòng cột để đưa bàn cờ đơn giản để tính Các tính chất sau cho phép thực điều 1.4 Tính chất đa thức xe Tính chất 1.4.1 Cho bàn cờ C , gọi Cd , Cc bàn cờ tương ứng có đổi chỗ hai dòng hai cột C Khi R C, x   R Cd , x   R Cc , x  Chứng minh Vì với cách đặt k quân xe bàn cờ C dòng cột chứa qn xe có quân xe C k quân nên với phép đổi hai dòng cho hay hai cột cho ta nhận cách đặt cho bàn cờ Cd , Cc Do  ta có điều cần chứng minh Tính chất 1.4.2 Nếu A, B hai bàn cờ độc lập R  A  B, x   R  A, x .R  B, x  Chứng minh Sắp xếp k quân xe bàn cờ A  B , có rs  A cách s 1  s  k  quân xe A có rks  B  cách k  s quân lại B nên số cách k quân xe bàn cờ A  B k rk  A  B    rs  A rks  B  s Vậy đa thức xe bàn cờ A  B   k  R  A  B, x     rs  A rks  B  x k  R  A, x  R  B, x    k   s Tính chất 1.4.3 Cho C bàn cờ vng có block S nằm m dòng n cột, đặt p  m; n ; với  k  p , kí hiệu Dk  S  bàn cờ có từ bàn cờ C sau thực bước sau: (a) Bỏ tất ô S (b) Bỏ tất thuộc k dòng tùy ý số m dòng chứa S (c) Bỏ tất ô thuộc k cột tùy ý số n cột chứa S  Khi đó, đa thức xe bàn cờ C p R C, x    rk  S  x k R  Dk  S , x  k0 Chứng minh Vì S block nên với hai gồm k (  k  p ) ô vuông chứa k quân xe khơng ăn S bàn cờ sinh không thay đổi thực phép bỏ tất ô S , k dòng k cột chứa này, bàn cờ Dk  S  Do đó, t quân xe bàn cờ C , có rk  S  cách k   k  t  quân xe vào S tương ứng với cách có rtk  Dk  S  cách quân lại vào bàn cờ Dk  S  Vậy số cách t quân xe bàn cờ C t rt C    rk  S  rt k  Dk  S  k0 Vì ri  S   với i  p Do đó, đa thức xe C p   t  R C, x     rk  S  rtk  Dk  S  x t   rk  S  x k R Dk S , x    t 0  k  k0  Trong trường hợp S vng C ta có hệ sau Hệ 1.4.4 Cho a vng có bàn cờ C Gọi Y bàn cờ có từ C cách xóa hàng cột chứa a, X bàn cờ có từ C cách xóa a Khi đó, ta có R C, x   R  X , x   xR Y , x  Ví dụ Tìm đa thức xe bàn cờ C  C Giải Đánh dấu vị trí (2;2) hình vẽ R C, x   R  A, x   xR  B, x  Trong bàn cờ A, B đánh dấu ô biến đổi sau   A D E B Suy R  A, x   R  D, x   xR  E, x   1  x  1  x  x   x 1  x 1  x    x  14 x  10 x  x Vậy R  B, x    x  x R C, x    x  18 x  12 x  x  Nhận xét r4 C   số hốn vị 4 tập 1, 2,3, 4 cho 1  2, 2  3  2,  4  Ví dụ Cho bàn cờ vng C2 n kích thước n  n, tìm đa thức quân xe bàn cờ tạo ô tô bên … C2 n Giải Gọi M2 n bàn cờ tạo ô tô, với k  1,2, , n , gọi Ak bàn cờ tạo có vị trí sau  k; k ;k;2n  k  1;2n  k  1; k ;2n  k  1;2n  k  1 Khi A1 , A2 , , An bàn cờ vng kích thước  2, đơi độc lập đa thức xe bàn cờ M2 n R  M2 n , x   1  x  x  n  Áp dụng đa thức xe vào toán đếm 2.1 Bài toán đếm hốn vị với vị trí cấm Cho bàn cờ C tập M   thỏa M  C Tìm số hốn vị   Sn cho i   j với i, j   M Hoán vị  thỏa yêu cầu toán gọi hốn vị với vị trí cấm, tập M gọi tập cấm bàn cờ C, ô i, j   M gọi vị trí cấm C Như tốn tìm số cách n quân xe bàn cờ C cho khơng có hai qn xe ăn khơng có xe vị trí cấm, hệ số rn C \ M  Tuy nhiên, để tìm số cách đặt xe phức tạp, xét bàn cờ tạo bị cấm M ta dễ dàng tìm hệ số đa thức xe R  M, x  , từ suy số cách xếp theo yêu cầu qua định lý sau Định lý 2.1.1 Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m  n với M tập hợp vị trí cấm Đặt p  m, n , gọi rk  M  số cách đặt k quân xe không ăn bàn cờ M , k rk C \ M    1 l l m  l!n  l ! r M  m  k ! n  k !k  l ! l 1 đa thức quân xe bàn cờ C \ M p  k  m  l !n  l ! l R C \ M , x     1 rl  M  x k 2  l  m  k !n  k !k  l ! k0   Chứng minh Với  k  p , ta xét cách đặt k quân xe C Giả sử có s dòng bàn cờ C chứa ô bị cấm d1 , d2 , , ds Với i thỏa  i  s  m, n , gọi Ai k  cách k quân xe bàn cờ C cho có qn xe dòng di vị trí cấm ti số vng bị cấm dòng di Khi số cách k quân xe bàn cờ C \ M s rk C \ M   rk C    Ai k   i 1 s m !n!   Ai  k   m  k !n  k !k ! i1 TH1 Với p  k  s Xét Ai k  , ta có ti cách đặt qn xe vị trí cấm di , k  quân xe lại nằm k  vng C khơng chứa cột dòng qn xe nằm ô bị cấm di nên số cách xếp k  quân xe  m  1 m 1!n  1! n  1k  1!    k   k  1  m  k ! n  k !k  1! s  Vậy i 1 Ai  k   s m  1!n  1! m 1!n  1! ti  r1  M   m  k !n  k !k 1! i1 m  k !n  k !k  1! Tương tự ta có  1i1 i2  il s Ai  k   Ai k    Ai k   rl  M  l  m  l! n  l ! * m  k !n  k !k  l ! Theo nguyên lý bù trừ suy s s l1  A k    1 i 1 i l 1 rl  M   m  l! n  l !  m  k !n  k !k  l ! Vì s rk C \ M    1 rl  M  l l m  l!n  l ! m  k ! n  k !k  l ! Vì rj  M   với j  s nên có 1,2  TH2 Với  k  s thực tương tự chứng minh * ý Ai  k   Ai k    Ai  k    l  k nên xét tập Ai k  với l  k , l l từ ta có 1 2  Hệ 2.1.2 Cho C bàn cờ vuông n  n M tập hợp vị trí cấm Gọi rk  M  số cách đặt k quân xe không ăn bàn cờ M , n  l! r C \ M    1 r M  n  k ! k  l! k k l l l đa thức quân xe bàn cờ C \ M  k  n  l!  l R C \ M , x     1 rl  M  x k   k   l n  k ! k  l!   n Hệ 2.1.3 Cho C bàn cờ vuông n  n M tập hợp vị trí cấm Gọi rk  M  số cách đặt k quân xe không ăn bàn cờ M , số hốn vị n   Sn cho i   j với i, j   M rn C \ M    1  n  l ! rl  M  l l Ví dụ Tìm số cách đặt quân xe không ăn bàn cờ C kích thước  bên với vị trí cấm vng tô C Giải Gọi B bàn cờ tạo ô bị cấm, đánh dấu ô (2;2) ta thực biến đổi hình bên  B D E  D E F Khi R  B, x   R  D, x   xR  E, x   R  E, x .R  F, x   xR  E, x   1  x 1  x  x    x  14 x  x Suy số cách xe bàn cờ C thỏa r5 C \ B   5! 4!.7  3!.14  2!.8  20  Ví dụ Có cách bố trí học sinh a,b,c,d,e,f vào ghế đánh số thứ tự 1,2,3,4,5,6 Biết học sinh a khơng thích ngồi ghế số ghế số 4; học sinh b khơng thích ngồi ghế 1,2; học sinh c d khơng thích ngồi ghế 2,3; học sinh e f ngồi vị trí Giải Số cách xếp thỏa yêu cầu đề số cách quân xe vào bàn cờ C cho khơng có hai ăn lẫn khơng có xe vị trí cấm (các ô tô) bàn cờ sau a b c d E f C Bàn cờ M tạo ô bị cấm bàn cờ ví dụ phần trước, ta có đa thức xe bàn cờ M R  M, x    x  18 x  12 x  x Do đó, số cách bố trí vị trí cho học sinh r6 C \ M   6! 5!.8  4!.18  3!.12  2!.2  124  Đối với bàn cờ vuông, vị trí cấm bàn cờ rơi vào trường hợp đặc biệt hai đường chéo bàn cờ vị trí theo quy luật định, cách tổng quát, ta tính đa thức xe bàn cờ tạo bị cấm từ suy số cách đặt quân xe bàn cờ cho chúng khơng ăn lẫn khơng có qn xe nằm vị trí bị cấm Minh họa cho điều ta xét ví dụ sau Ví dụ (Derangement problem) Tìm số cách xếp chỗ ngồi cho n người P1 , P2 , , Pn vào dãy gồm n ghế A1 , A2 , , An cho người thứ Pi không ngồi vị trí Ai với i  1,2, , n Giải Bài tốn đưa tìm số xếp qn xe lên bàn cờ vng C kích thước n  n với tập cấm M  1;1;2;2; ;n; n  tức đường chéo … … … … … … C Khi đó, đa thức quân xe M n n n R  M , x   1  x      x k k 0  k  Do đó, số cách xếp thỏa yêu cầu toán k n n  1 Dn    1    n  k !  n ! k! k 0 k 0 k  n k  Ví dụ (Ménage problem) Cho số nguyên dương n  Tìm số cách xếp n cặp vợ chồng vào bàn tròn 2n chỗ cho ông chồng ngồi xen kẻ với bà vợ không xảy trường hợp chồng ngồi bên cạnh vợ Giải Xếp n ơng chồng ngồi quanh bàn tròn có  n  1! cách xếp Với cách xếp ơng chồng bàn tròn, ta kí hiệu a1 , a2 , , an ông chồng theo thứ tự ngồi chiều kim đồng hồ bàn tròn với  i  n bi bà vợ ông chồng Ta đánh số thứ tự 1,2, , n cho vị trí trống bàn tròn sau n ơng chồng xếp ngồi bàn tròn cho vị trí i hai ông chồng 1 an1  a1  Theo đề bà vợ bi ngồi vị trí i  cho i   i; i  1 (có thể xem vị trí trùng với vị trí n ) Như số cách n bà vợ vào n vị trí lại số cách xếp n quân xe bàn cờ Cn khơng nằm vị trí cấm (các ô tô) sau b1 b2 b3 … bn1 bn … … … … … … … n 1 n Cn Với  k  n  , kí hiệu Nk bàn cờ tạo k ô bị cấm theo thứ tự từ trái sang phải, từ xuống bàn cờ Cn \ n;1 Ta đánh dấu ô cuối Nk R N0 , x   1; R N1 , x    x ; R  Nk , x   R Nk1 , x   xR Nk2 , x , k   … … Nk Nk1 Ta có 2 1 3 2  R N1 , x    x       x, R N2 , x    x       x 0 1 0  1 Giả sử k 1  k   i  k 1  x i , R N , x   2 k   i  x i R N2 k3 , x      k 2   i i   i  i 0  Khi đó, … Nk2 k 1 2 k   i  k k 1    x i  2k   i x i   2 k  i  1  2 k  i  1 x i R N2 k1 , x       i 1    i   i 1   i  i  i 1 i 1   k 2 k  i  x i     i  i  k 2 k  i  k k  x i  2 k  i  x i  2 k   i x i R N2 k , x        i     i  i 0  i 1  i   i  Vậy với n  n 2 n  i  n  x i , R  N , x   2 n   i  x i R N2 n1 , x      2n  i   i  i  i 0  Gọi Mn bàn cờ tạo tất ô bị cấm Cn Đánh dấu vị trí  n,1 n 2 n  i  n  x i  2 n  i  1x i R  Mn , x   R N2 n1 , x   xR  N2 n3 , x       i   i   i 0  i 1  n  1  i 1 n n 2 n  i i n 2 n  i i  x   x   n  i  i  i  i n  i  Vậy số cách n người vợ vào bàn n rn Cn \ Mn    1 i i 0 2n 2 n  i  n  i !  n  i  i  Vậy số cách cặp vợ chồng thỏa yêu cầu toán n Sn  n  1!  1 i i n 2 n  i  n  i !  n  i  i   Ví dụ 10 Hỏi có cách phát 2n đề kểm tra khác T1 , T2 , , T2 n cho 2n học sinh A1 , A2 , , A2 n thỏa mãn đồng thời điều kiện sau i) Mỗi học sinh nhận đề thi; ii) Với i 1  i  n, học sinh Ai nhận đề Tj 1  j  n  cho i  j   mod 2 Giải Từ giả thiết, học sinh A2 k 1   k  n không nhận đề kiểm tra T2 , T4 , , T2 n học sinh A2 k 1  k  n không nhận đề kiểm tra T2 s1   s  n Vậy số cách phát 2n đề kiểm tra cho học sinh số cách đặt 2n quân xe bàn cờ vuông C2 n kích thước n  n với vị trí cấm hình bên T1 T2 T3 T4 … A1 … A2 … A3 … … … … … T2n-1 T2n … … A2n-1 … A2n … … … C2 n Gọi K 2n bàn cờ gồm ô vuông không bị cấm (không tô) Nn bàn cờ vuông gồm n2 ô vuông lấy cột T2 , T4 , , T2 n K2 n Khi đó, bàn cờ K 2n tạo hai bàn cờ Nn khơng dòng cột nên 2  n  n2  2n n n k    k     k !x     i ! j !    x i   j   k0  k  k  0i , j n  R  K2 n , x    R Nn , x  i  j k Vậy số cách phát thỏa yêu cầu đề  n r2 n  K2 n    i ! j !  i  0i , j n i  j 2 n n    n !2  j   Nhận xét Gọi M2 n tập hợp ô vuông bị cấm C2 n M2 n  K n  C2 n \ M2 n nên ta có r2 n  M2 n   r2 n C2 n \ M2 n   r2 n  K2 n  2.2 Bài toán đếm số hốn vị với khối vng Latinh 2.2.1 Khối vng Latinh Một ma trận L kích thước m  n với m  n gọi khối chữ nhật Latinh số 1,2, , n xuất dòng lần cột không lần Nếu m  n ta gọi khối vng Latinh kích thước n  n 2.2.2 Bài tốn đếm với khối vng Latinh Ví dụ 11 Cho khối vng Latinh  với hai dòng đầu sau 5 Tìm số cách thêm vào dòng thứ khối vng ? Giải Số cách thêm vào dòng thứ số hốn vị   S5 với vị trí cấm bàn cờ bên C Gọi A bàn cờ tạo ô 1;1;1;3;3;1;3;3 B bàn cờ tạo bị cấm lại bàn cờ Đặt M  A  B , A,B bàn cờ độc lập nên R  M, x   R  A, x .R  B, x   1  x  x  R  B , x  A B    B D E Ta có R  B, x   R  D, x   xR  E, x   1  x   x 1  x   x 1  x  x  2  1 6x  9x2  2x3 Vậy R  M, x    10 x  35 x  50 x  26 x  x Suy số cách điền thỏa r5 C \ M   5! 4!.10  3!.35  2!.50  1!.26   12 Ví dụ 12 Cho khối vng Latinh có kích thước n  n cho dòng đầu cho trước số cột lẻ sau … 2n  2n Tìm số điền số vào dòng thứ khối? Giải Số cách thêm vào dòng thứ số hoán vị   S2n với vị trí cấm bàn cờ bên … … … … C2 n Gọi M2 n bàn cờ tạo bị cấm Vì M2 n hợp bàn cờ đơi độc lập có kích thước 1 nên đa thức quân xe M2 n n R  M2 n , x   1  x    k x k n k0 Vậy số cách điền dòng thứ thỏa n r2 n C2 n \ M2 n    2 2 n  k ! k  k0 Một số tập tự luyện Cho khối vng Latinh kích thước n  n với hai dòng đầu 1,2, ,2n n,2 n  1, ,1 Tìm số cách điền dòng thứ vào khối vng cho? Giả sử Dk số cách xáo trộn 1,2, , k với D0  Chứng minh n n n!     Dk   k k  Tính số cách xếp cho học sinh H1 , H2 , H3 , H4 , H5 , H6 vào chỗ ngồi K1 , K2 , K3 , K , K5 , K6 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau (a) Mỗi học sinh ngồi chỗ, (b) H1 khơng thích ngồi K1 , K3 , (c) H2 khơng thích ngồi K5 (d) H3 , H4 thích ngồi vị trí K3 , K4 (e) H5 , H6 ngồi vị trí Hốn vị   Sn gọi khơng liên tiếp tập 1,2, , n thảo mãn điều kiện i   i  với  i  n  Tính số hốn vị khơng liên tiếp? TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mathematical Diary, Lý thuyết quân xe, 2000 [2] Tạp chí THTT năm 2009, 2013 [3] Tài liệu internet, diễn đàn toán học, mathlinks [4] Joseph M.Santmyer, Five discordant permutations; Graphs anh Combinatorics, 1993 [5] D.C Foata and M.P Schutzenberger, On the Rook Polynomials of Ferrers Reations; Colloq Math Soc Janos Bolyai, 4, Combinatorial Theory and its Applications, vol.2, 1970  ... n quân xe bàn cờ C cho khơng có hai qn xe ăn khơng có xe vị trí cấm, hệ số rn C M  Tuy nhiên, để tìm số cách đặt xe phức tạp, xét bàn cờ tạo bị cấm M ta dễ dàng tìm hệ số đa thức xe R ... hình bên T1 T2 T3 T4 … A1 … A2 … A3 … … … … … T2n-1 T2n … … A2n-1 … A2n … … … C2 n Gọi K 2n bàn cờ gồm ô vuông không bị cấm (không tô) Nn bàn cờ vuông gồm n2 ô vuông lấy cột T2 , T4 , , T2 n K2 n... cách k  đặt quân xe k cột chọn, với dòng thứ hai ta có k  cách đặt quân xe k  cột lại (trừ cột chứa quân xe dòng chọn Tiếp tục cách chọn , suy số cách đặt k quân xe bàn cờ cho quân không