Bài 12 (tr 180 186) nguyễn thùy trang

HÀM SỐ MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Nguyễn Thùy Trang THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp Trong số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trường trung học phổ thơng chun đề Phương trình hàm ln nội dung khó thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp Chính vậy, làm để bồi dưỡng chun đề thật hiệu vấn đề mà Giáo viên trực tiếp phụ trách đội tuyển toán quan tâm Khi dạy chuyên đề Phương trình hàm, thường cho học sinh ý đến đặc trưng số hàm số sơ cấp Nhờ đặc trưng mà ta dự đốn đáp số tập phương trình hàm tập tương ứng với đặc trưng Trong viết này, xin bàn hàm số mũ với đặc trưng hàm f (x+y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Bài toán tổng quát đặt ra: Tìm tất hàm số f xác định R cho ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x)f (y) (∗) Để giải toán này, thiết nghĩ trước hết, cần nhắc lại đơi nét hàm số mũ I HÀM SỐ MŨ Định nghĩa hàm số mũ ∀a > 0, ∀x ∈ R ta định nghĩa ax đẳng thức sau ax = ex ln a Hàm số f : x → ax gọi hàm số mũ số a Chú ý Nếu a = ax = Trong phần tiếp theo, ta giả sử a = Tính đơn điệu hàm số mũ Hàm số fa liên tục có đạo hàm R, fa (x) = ln a.fa (x) Ta khảo sát tính đơn điệu hàm fa trường hợp Trường hợp 1: a > Khi đó, ln a > fa (x) > nên suy fa (x) > 0, ∀x ∈ R Vậy a > fa hàm số đồng biến R Ta lại có fa (0) = lim fa (x) = +∞; lim fa (x) = x→+∞ x x→−∞ −∞ +∞ +∞ fa 180 Trường hợp 2: a < Trong trường hợp này, fa (x) < 0, ∀x ∈ R Vậy a < fa hàm số nghịch biến R Ta có bảng biến thiên sau: x −∞ +∞ +∞ fa Tính chất ∀(x, y) ∈ R2 , ∀a > 0, fa (x + y) = fa (x).fa (y), tức ax+y = ax ay II HÀM SỐ MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM f (x + y) = f (x)f (y) TRÊN R Dễ thấy hàm số fa thỏa mãn phương trình hàm : f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R Bây giờ, tập trung giải toán tổng quát đặt trường hợp hàm số có đạo hàm tập số thực trường hợp hàm số liên tục điểm thuộc tập số thực Bài toán (liên quan đến tính có đạo hàm hàm số) Tìm tất hàm số f xác định R cho ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x)f (y) (∗) Để giải toán 1, ta xét định lý Định lý Hàm số f xác định có đạo hàm R thỏa mãn phương trình hàm (*) hai khẳng định sau đúng: f hàm số - không; Tồn a ∈ R, a > cho ∀x ∈ R f (x) = ax Chứng minh Định lý Trước tiên, ta nhận thấy hàm số - không hàm số mũ với số tùy ý lớn thỏa mãn điều kiện (*) Như vậy, vấn đề lại kiểm tra điều kiện cần, tức ta cần tìm câu trả lời cho câu hỏi : Nếu hàm số thỏa (*) chúng có phải hàm số - không hàm số mũ hay không? Giả sử f xác định , có đạo hàm R thỏa mãn điều kiện (*) Khi đó, ta nhận kết sau: i Nếu f triệt tiêu điểm f hàm số - không Thật vậy, giả sử tồn x ∈ R cho f (x0 ) = Với x ∈ R , ta có f (x) = f (x0 + x − x0 ) = f (x0 ).f (x − x0 ) = ii Nếu f khơng hàm số - khơng f hàm số mũ Ta giả sử f không triệt tiêu R Khi đó, ∀x ∈ R ta có f (x) = f x2 + x2 = f x2 f x2 > Vậy f nhận giá trị dương 181 Đặc biệt, f (0) = f (0 + 0) = f (0).f (0) = (f (0))2 Suy f (0) = (vì f (0) = ) Mặt khác, cách lấy đạo hàm (*) theo biến y ta ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x).f (y) Tiếp theo, cho y = 0, ta có : ∀x ∈ R, f (x) = f (x).f (0) Do đó, hàm số f nghiệm phương trình vi phân y − f (0)y = Suy ∀x ∈ R, f (x) = f (0)ef (0)x = ef (0)x (vì f (0) = ) Đặt a = ef (0) , ta ∀x ∈ R, f (x) = ax Chú ý : Nếu a = f (x) hàm số khơng đổi R (vì f (x) = 1).) Bài tốn (liên quan đến tính liên tục hàm số) Tìm tất hàm số f xác định R liên tục điêm thuộc R cho ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x)f (y) (∗) Để giải toán 2, ta xét định lý Định lý Hàm số f xác định R liên tục điểm thuộc R thỏa mãn phương trình hàm (*) hai điều kiện sau đúng: f hàm số - không; Tồn a ∈ R, a > cho ∀x ∈ R, f (x) = ax Ba phép chứng minh Định lý Phép chứng minh thứ cho Định lý (Sử dụng tính chất tích phân hàm số liên tục phương trình vi phân y − by = 0) Cũng giống định lý 1, kiểm tra điều kiện cần thông qua ba bước sau i Nếu triệt tiêu điểm hàm số - khơng Xem chứng minh định lý Bước tiếp theo, ta xét hàm f không triệt tiêu Cũng giống kết chứng minh định lý 1, ta có f (x) > 0, ∀x ∈ R f (0) = ii f hàm số liên tục R Giả sử hàm số f liên tục điểm x0 ∈ R Với x, h ∈ R, ta có f (x + h) = f (x0 + h + x − x0 ) = f (x0 + h).f (x − x0 ) Vì f hàm số liên tục x0 nên lim f (x0 + h) = f (x0 ) h→0 Từ lim f (x + h) = lim [f (x0 + h).f (x − x0 )] = f (x0 ).f (x − x0 ) = f (x) h→0 h→0 Điều chứng tỏ f hàm số liên tục R iii Nếu f khơng triệt tiêu f có đạo hàm R 182 Vì f hàm liên tục R nên ta lấy tích phân (*) theo biến y Từ ∀(x, y) ∈ R2 , y y f (x + t)dt = f (x) f (t)dt 0 Xét tích phân vế trái, đặt u = x + t, ta x+y ∀(x, y) ∈ R2 , y f (u)du = f (x) x f (t)dt y Đến đây, ta gán cho y số cố định khác (chẳng hạn cho y = 1) đặt α = f (t)dt (α > tích phân hàm số liên tục, dương) Khi đó, f hàm liên tục R nên f có nguyên hàm hàm số liên tục R Gọi F nguyên hàm f ta có đẳng thức ∀x ∈ R, αf (x) = F (x + y) − F (x) (1) Điều chứng tỏ f hàm số có đạo hàm R iv Nếu f khơng triệt tiêu f hàm số mũ Phương pháp : Tương tự phần chứng minh định lý Phương pháp : Bằng cách lấy đạo hàm biểu thức (1), ta ∀x ∈ R, αf (x) = F (x + y) − F (x) Ký hiệu b = [f (y)−1] α = f (x + y) − f (x) = f (x)f (y) − f (x) = f (x) [f (y) − 1] Khi đó, f nghiệm phương trình vi phân R :y − by = Từ suy ∀x ∈ R, f (x) = f (0)ebx Vì f (0) = nên cách đặt a = eb , ta : ∀x ∈ R, f (x) = ax Phép chứng minh thứ hai cho Định lý (Sử dụng hàm số g(x) = ln x phương trình hàm f (x + y) = f (x) + f (y) ) Như chứng minh trên, ta kiểm tra điều kiện cần Ta có : f triệt tiêu điểm f hàm số - khơng Trong phần tiếp theo, ta xét f không triệt tiêu, thế, tương tự trên, ta có f (x) > 0, ∀x ∈ R f (0) = Bổ đề Giả sử h(x) hàm số xác định R liên tục điểm thuộc R Hai khẳng định sau tương đương : h thỏa mãn phương trình hàm h(x + y) = h(x) + h(y) Tồn số thực k cho ∀x ∈ R, h(x) = kx Chứng minh Bổ đề (dựa tính trù mật tập Q trongR ) • Ta có h(0) = Thật h(0) = h(0) + h(0) = 2h(0) Suy h(0) = • Với n ∈ N, ta có h(nx) = nh(x) Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta có - Với n = 0, h(0.x) = h(0) = = 0.h(x) - Giả sử h(kx) = kh(x), ∀k ∈ N Ta có h((k + 1)x) = h(kx + x) = h(kx) + h(x) = kh(x) + h(x) = (k + 1)h(x) 183 Vậy h(nx) = nh(x), ∀n ∈ N • Với n ∈ Z, ta có h(nx) = nh(x) Thật vậy, ∀y ∈ R, ta có = h(0) = h(y + (−y)) = h(y) + h(−y) Suy h(−y) = −h(y) • Với r ∈ Q, ta có h(r) = rh(1) Thật vậy, giả sử r = pq ∈ Q, vớip ∈ Z vàq ∈ N ∗ Ta có h(p/q) = ph(1/q) qh(1/q) = h(1) Từ suy h(1/q) = (1/q)h(1) Dẫn đến h(p/q) = (p/q)h(1) = rh(1) • Hàm số h liên tục điểm thuộc R Thật vậy, giả sử hàm số h liên tục điểm x0 ∈ R Khi đó, với (x, m) ∈ R2 , ta có h(x + m) = h((x − x0 ) + (x + m) = h(x − x0 ) + h(x0 + m) Vì lim h(x0 + m) = h(x0 ) Suy m→0 lim h(x + m) = lim (h(x − x0 ) + h(x0 + m)) = h(x − x0 ) + h(x0 ) = h(x) m→0 m→0 Vậy hàm số h liên tục R Bổ đề Giả sử f hàm xác định, liên tục điểm thuộc R thỏa mãn phương trình hàm (*) Khi đó, hàm số h = gof (với g(x) = ln x xác định, liên tục điểm thuộc R thỏa mãn h(x + y) = h(x) + h(y) Chứng minh Bổ đề Trước hết, ta nhận thấy hàm số f nhận giá trị dương nên đảm bảo hàm số h = gof xác định Giả sử hàm số f liên tục tạix ∈ R Hàm số g(x) = ln x liên tục R+ nên liên tục f (x) > Theo tính chất hàm hợp ta, có h(x) liên tục x Với (x, y) ∈ R2 ta có h(x + y) = ln (f (x + y)) = ln (f (x).f (y)) (tính chất hàm số ) = ln (f (x)) + ln (f (y)) = h(x) + h(y) (tính chất logarit) Theo bổ đề 1, tồn k ∈ R cho: ∀x ∈ R, kx = gof (x) = ln (f (x)) Như vậy, ∀x ∈ Rf (x) = ekx = (ek )x = ax với a = ek Chứng minh thứ cho Định lý (Sử dụng tính trù mật tập Q R ) Chứng minh dựa theo cách chứng minh bổ đề Ta kiểm tra điều kiện cần thông qua năm bước sau: Nếu f triệt tiêu điểm f hàm số - không Xem chứng minh định lý Bước tiếp theo, ta xét hàm f không triệt tiêu, giống kết chứng minh định lý 1, f (x) > 0, ∀x ∈ R f (0) = Ta đặt f (1) = a Hàm số liên tục R.Xem chứng minh Với số nguyên n ta có : ∀x ∈ R, f (nx) = [f (x)]n Thật vậy, phép quy nạp đơn giản, ta chứng minh ∀n ∈ N, f (nx) = [f (x)]n 184 Mặt khác, ta có: ∀y ∈ R, f (0) = = f (y − y) = f (y).f (−y) Từ ∀y ∈ R, f (−y) = [f (y)]−1 Điều cho phép khẳng định f (nx) = [f (x)]n với số nguyên âm Với số hữu tỷ r ta có : f (r) = [f (1)]r = ar Thật vậy, r = pq (với p ∈ Z, q ∈ N ∗ ), ta có f (p) = f q p q =f p q q = f (r)q Từ f (r) = f (p)1/q Vì f (p) = [f (1)]p , ta có f (r) = [f (1)]p/q Với số thực x ta có : f (x) = ax Chú ý hàm g(x) = ax xác định R với số hữu tỷ r ta có g(r) = ar Vậy hàm số f g liên tục trùng Q Ngoài ra, ta lại có Bổ đề sau Bổ đề Giả sử ϕ ϕ hai hàm số xác định liên tục R giá trị chúng với số hữu tỷ Khi đó, ϕ ψ R Chứng minh Bổ đề Thật vậy, giả sử với x ∈ R (rn )n∈N dãy số hữu tỷ hội tụ x Vì hàm số ψ ϕ liên tục nên ta có ϕ(x) = lim ϕ(rn ) ψ(x) = lim ψ(rn ) n→+∞ n→+∞ Do ϕ ϕ trùng tập Q nên ϕ(rn ) = ψ(rn ) với n ∈ N Suy lim ϕ(rn ) = lim ψ(rn ) hay ϕ(x) = ψ(x), ∀x ∈ R n→+∞ n→+∞ Từ bổ đề trên, ta dễ dàng nhận thấy hàm f (x) = g(x) = ax , ∀x ∈ R III ÁP DỤNG Dưới đây, xét số toán mà để giải chúng, ta cần đưa phương trình hàm dạng (*) Bài toán Xác định tất hàm số f liên tục R thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x).f (y), ∀(x, y) ∈ R2 Lời giải Đặt g(x) = f (x) + Khi g(x + y) = f (x + y) + g(x).g(y) = f (x).f (y) + f (x) + f (y) + Suy g(x + y) = g(x).g(y) ⇔ f (x + y) + = f (x).f (y) + f (x) + f (y) + ⇔ f (x + y) = f (x).f (y) + f (x) + f (y) Mà ta biết nghiệm phương trình g(x + y) = g(x).g(y) g(x) = ax , ∀x ∈ R, a > Vậy nghiệm phương trình cho f (x) = ax − 1, ∀x ∈ R, a > Bài toán Xác định tất hàm số f liên tục R thỏa mãn f (x + y) + x + y = (f (x) + x) (f (y) + y) , ∀(x, y) ∈ R2 Lời giải Đặt g(x) = f (x) + x Khi g(x + y) = f (x + y) + x + y g(x).g(y) = (f (x) + x) (f (y) + y) 185 Suy g(x + y) = g(x).g(y) ⇔ f (x + y) + x + y = (f (x) + x) (f (y) + y) Mà nghiệm phương trình g(x + y) = g(x).g(y) g(x) = ax , ∀x ∈ R, a > Vậy nghiệm phương trình cho f (x) = ax − x, ∀x ∈ R, a > Bài toán Xác định tất hàm số f liên tục R thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀(x, y) ∈ R2 + f (x).f (y) Lời giải Trước hết, chứng minh tốn α ∈ R cho f (α) = f (x) = 1, ∀x ∈ R Thật vậy, ta có f (x) = f (x − α + α) = Ta đặt g(x) = 1+f (x) 1−f (x) f (x − α) + f (x − α) + f (α) = = 1 + f (x − α).f (α) + f (x − α) 1+f (x+y) g(x).g(y) 1−f (x+y) 1+f (x) 1+f (y) 1+f (x+y) = 1−f (x) 1−f (y) 1−f (x+y) Khi g(x + y) = Như g(x + y) = g(x).g(y) ⇔ = 1+f (x) 1+f (y) 1−f (x) 1−f (y) f (x)+f (y) 1+f (x).f (y) g(x)−1 = g(x)+1 ⇔ f (x + y) = Mà f (x) nghiệm phương trình g(x + y) = g(x).g(y) g(x) = ax nên x nghiệm phương trình f (x) = aax −1 , ∀x ∈ R, a > +1 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Tiến, Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, Nhà xuất giáo dục Việt Nam 2010 [2] A Delcroix, Quelques équations fonctionnelles classiques, PLC1-Mathématiques [3] Équation fonctionnelle pour les fonctions exponentilles, Universités Claude Bernard – Lyon I, Capes de Mathematiques – Oral, Année 2007-2008 [4] Martial Lenzen, Caractérisation des fonctions exponentielles réelles par l’équation fonctionnelle f (x + y) = f (x).f (y), Année 2011 186 ... ax nên x nghiệm phương trình f (x) = aax −1 , ∀x ∈ R, a > +1 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Tiến, Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ... Đặt a = ef (0) , ta ∀x ∈ R, f (x) = ax Chú ý : Nếu a = f (x) hàm số khơng đổi R (vì f (x) = 1).) Bài tốn (liên quan đến tính liên tục hàm số) Tìm tất hàm số f xác định R liên tục điêm thuộc R cho... ∀x ∈ R III ÁP DỤNG Dưới đây, xét số toán mà để giải chúng, ta cần đưa phương trình hàm dạng (*) Bài toán Xác định tất hàm số f liên tục R thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x).f (y), ∀(x,