Bài 16 (tr 228 234) nguyễn hữu thiêm

ÁNH XẠ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Nguyễn Hữu Thiêm Tổ Toán Tin - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Cùng với khái niệm tập hợp, ánh xạ khái niệm quan trọng tốn học, có mặt lĩnh vực toán học Các toán liên quan đến ánh xạ thường khó phải sử dụng nhiều kiến thức khác để giải Trong viết tác giả trình bày khái niệm ánh xạ, số toán liên quan trực tiếp đến ánh xạ ứng dụng Khái niệm ánh xạ Định nghĩa ánh xạ f : Cho hai tập hợp A B, quy tắc đặt tương ứng phần tử thuộc A với phần tử thuộc B cho ta ánh xạ từ A vào B A gọi tập xác định hay tập nguồn f B gọi tập đích f Ánh xạ f từ A đến B ký hiệu f : A → B ; x → f (x) Khi A, B tập tập số thực f gọi hàm số xác định R Với a ∈ A ; b ∈ B , f(a) = b ta nói b ảnh a, a nghịch ảnh b qua ánh xạ f Mỗi phần tử A có ảnh (là phần tử f(a)) Mỗi phần tử b B có hay nhiều nghịch ảnh khơng có nghịch ảnh Tập f (A) = {b ∈ B a ∈ A, f (a) = b} gọi tập ảnh f, hay nói cách khác tập ảnh f(A) tập tất phần tử B mà có nghịch ảnh Ví dụ: Cho f ánh xạ từ Z đến Z đặt tương ứng số ngun n với bình phương Như f(n) = n2 Tập ảnh f tập số phương 0,1,4,9, Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Định nghĩa: +) Ánh xạ f: A→B gọi đơn ánh phần tử khác cho hai ảnh khác Tức f đơn ánh với a ∈ A ; b ∈ B mà f(a) = f(b) ta phải có a = b +) Ánh xạ f: A→B gọi toàn ánh phần tử b ∈ B tồn phần tử a ∈ A mà f(a) = b Như f: A→B toàn ánh f(A) = B +) Ánh xạ f: A→B gọi song ánh f vừa đơn ánh, vừa tồn ánh Ví dụ: +) Hàm số f : R → R cho f (x) = x đơn ánh f(1) = f(-1) +) Hàm số f : R → R cho f (x) = x đơn ánh +) Hàm số f : Z → Z cho f (n) = n + 2012 toàn ánh +) Hàm số f : Z → Z cho f (n) = 2n + không toàn ánh Ánh xạ ngược song ánh: 228 Ánh xạ f: A→B song ánh Khi b ∈ B tồn a ∈ A để f(a) = b Phần tử a ∈ A gọi ảnh phần tử b qua ánh xạ ngược f Tức ta có: Ánh xạ ngược f kí hiệu f −1 ánh xạ từ A→B gán cho phần tử b ∈ B phần tử a ∈ A mà f (a) = b Chú ý: Nếu f khơng song ánh f khơng có ánh xạ ngược, xét ánh xạ ngược song ánh Ví dụ: cho hàm số f : R → R xác định f (x) = x Ta có y = x ⇔ x = f −1 : R → R xác định f −1 (y) = 3 y , nên ánh xạ ngược y Ánh xạ hợp Cho g ánh xạ từ tập A đến tập B f ánh xạ từ tập b đến tập C, g(a)⊂B ta xác định ánh xạ từ A đến C theo quy tắc sau: Đặt tương ứng a ∈ A với phần tử f(g(a)) thuộc C Ánh xạ gọi ánh xạ hợp ánh xạ f ánh xạ g, kí hiệu f ◦ g Như ta có: Nếu g : A → B f : B → C g (A) ⊂ B ánh xạ hợp f ◦ g : A→C xác định bởi: ( f ◦ g )(a) = f(g(a)) Ánh xạ phép đếm: Giả sử ta cần đánh giá lực lượng tập hợp hữu hạn, việc so sánh trực tiếp, ta thiết lập ánh xạ tập từ ta giải tốn Ta thừa nhận khơng chứng minh định lý sau: Định lý: Cho A B hai tập hữu hạn • Nếu có đơn ánh f: A→B |A| ≤ |B | • Nếu có tồn ánh f: A→B |A| ≥ |B | • Nếu có song ánh f: A→B |A| = |B | Trong trường hợp A, B khơng hữu hạn ta xét ví dụ sau: “Chứng minh tập số tự nhiên N tập số nguyên dương lẻ L có lực lượng.” Thât vậy: Xét ánh xạ f: N→L xác định sau f (n) = 2n + Rõ ràng f vừa song ánh, vừa toàn ánh, f song ánh Suy : “Tập số tự nhiên N tập số nguyên dương lẻ L có lực lượng.” Chú ý: Ta thấy L tập thực N L có lực lượng với N Do với tập vô hạn, tập thực có lực lượng với Đối với tập hữu hạn ta ln có: Nếu A tập thực B |A| < |B | Sau ta xét số toán liên quan trực tiếp đến ánh xạ tính chất 229 Bài tốn 1: Cho A tập n phần tử, giả sử B tập khác rỗng B⊂A; |B | = m Tìm số ánh xạ f : A → A cho f (B ) ⊂ B Lời giải Hiển nhiên ta có: mm ánh xạ f : B → B Mỗi ánh xạ có nn-m cách mở rộng thành ánh xạ f ∗ : A → A thỏa mãn f ∗ (B ) ⊂ B Như có tất m m n n−m ánh xạ thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 2: Cho A tập có n phần tử, X tập A có k phần tử, k= Tìm số ánh xạ f : A → A thỏa mãn f (X ) = X Lời giải Xét f (X ) := f (x) : x ∈ X Do f (X ) = X nên f song ánh X Do X có k phần tử nên có k! song ánh từ X vào X Mỗi song ánh mở rộng thành n n−k ánh xạ thỏa mãn u cầu tốn Vậy có k!n n−k ánh xạ thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 3: Cho tập A = {1; 2; 3; ; n}; B = {1; 2; ; m} k ≤ {m; n} Tìm số ánh xạ f : A → B có k điểm cố định (x ∈ A gọi điểm cố định ánh xạ f f (x) = x ) Lời giải Xét hai trường hợp Trường hợp 1: n ≤ m A k tập k phần tử tập A Ta thấy có ánh xạ h : A k → A k thỏa mãn h (i ) = i ∀i ∈ A k Mỗi ánh xạ h có (m − 1)n−k cách mở rộng thành ánh xạ f : A → B mà f (i ) = i ∀i ∈ A\A k Như có tất cả: C nk (m − 1)n−k ánh xạ thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≤ n B k tập k phần tử tập B Ta thấy có ánh xạ h : B k → B k thỏa mãn h (i ) = i ∀i ∈ B k Mỗi ánh xạ h có (m − 1)m−k mở rộng thành ánh xạ g : A → B mà g (i ) = i ∀i ∈ B \B k Mỗi hàm g có m n−m cách mở rộng thành ánh xạ f : A → B để f có k điểm cố định Như có tất cả: C nk (m − 1)m−k m n−m ánh xạ thỏa mãn yêu cầu tốn Kết luận: Nếu n ≤ m có C nk (m − 1)n−k ánh xạ 230 Nếu m ≤ n có C nk (m − 1)m−k m n−m ánh xạ Bài tốn 4: Tìm giá trị lớn số phần tử = S = n i , j =1 f (i ) − f j Trong f : {1; 2; ; n} → {a; b; c} 3n ánh xạ từ {1; 2; ; n} → {a; b; c}, a; b; c ∈ R cho, n ∈ N∗ Lời giải Với f : {1; 2; ; n} → {a; b; c} Đặt: M a = f −1 ({a}) ; Mb = f −1 ({b}) ; Mc = f −1 ({c}) Gọi p, q, r số phần tử M a ; Mb ; Mc suy ra: p + q + r = n Không làm tổng quát, giải sử p ≥ q ≥ r Do đó, phần tử f (i ) − f j = i ; j thuộc tập: M a × Mb ; Mb × M a ; Mb × Mc ; Mc × Mb ; Mc × M a ; M a × Mc Như số phần tử khác tập S là: pq + qr + r p Do tốn chuyển về: Tìm giá trị lớn pq + qr + r p p + q + r = n p ≥ q ≥ r ≥ 0, số nguyên Giả sử p ; q0 ; r số mà pq + qr + r p đạt giá trị lớn Nếu p − r > 2, ta đặt: p −1 = p ; q = q ; r = r +1 Bộ ba số p ; q ; r tốt p ; q ; r , ta có trường hợp sau: • n = 3k giá trị lớn 2n n2 − n2 − • n = 3k + giá trị lớn • n = 3k + giá trị lớn Nhận xét: Ta phát biểu cách khác toán sau: Giả sử n điểm mặt phẳng tô màu khác Tìm số lớn đoạn thẳng có đỉnh n điểm cho tơ hai màu khác Bài tốn (Bài thi chọn HSG lớp 12 chuyên) Cho tập Ω = {1; 2; 3; ; 2009} tập 2009 số nguyên dương Hãy tìm số ánh xạ: f : Ω → Ω thỏa mãn: f f (k) = f (k) − f (k) + ∀k ∈ Ω Lời giải Giả sử f : Ω → Ω thỏa mãn Ω hữu hạn nên ∃y = m ax Im f ; f (x ) = y; x ∈ Ω Từ điều kiện suy ra: y ≥ y − 2y + ⇒ y − y − ≤ ⇒ y ∈ {1; 2} ⇒ Im f ∈ (1; 2) • Nếu Im f = {1} Im f = {2} Khi có ánh xạ thỏa mãn điều kiện: 231 f (i ) = ∀i ∈ 1; n ; f (i ) = ∀i ∈ 1; n • Nếu Im f = {1; 2} Khi có 22009 từ Ω → {1; 2}, số ánh xạ có hai ánh xạ làm f có phần tử, có: 22009 − ánh xạ Vậy có 22009 ánh xạ thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 6( Thi vô địch: Rumani 1998) Cho n nguyên ≥ Tìm số hàm số f : {1; 2; ; n} → {1; 2; ; n} thỏa mãn: f f (k) = f (k) − f (k) + 12 f (k) − ∀k = 1; 2; ; n Lời giải Vì f : {1; 2; ; n} → {1; 2; ; n}nên Xét y = m ax Im f ⇒ f y ≤ y Khi đó: y − 6y + 12y − ≤ y ⇔ y − y − y − ≤ ⇒ y ∈ {1; 2; 3} Suy ra: Im f ∈ {1; 2; 3} ⇒ Im f ≤ Im f = ta có hàm số Im f = ta có 2n−2 Im f = ta có 3n−3 Vậy có tất + 3.2n−2 + 3n−3 hàm số thỏa mãn yêu cầu tốn Bài tốn ( Thi vơ địch Phần Lan 2012) Với số nguyên n ≥ 3, ta kí hiệu f(n) số tam giác có độ dài cạnh số nguyên với chu vi n Ví dụ: f(3) = 1, f(4) = 0, f(7) = Chứng minh f (2015) ≥ f (2012) + Lời giải: Ta chứng minh f(n) = f(n+3) với n lẻ f(n+3) > f(n) với n chẵn ta f (2015) ≥ f (2012)+1 Gọi Sn tập hợp các (x,y,z) thỏa mãnx ≤ y ≤ z, x + y > z, x + y +z = n ⇒ f (n) = |Sn| Xét ánh xạ F : F (x, y, z) = (x + 1, y + 1, z + 1) Nếu (x, y, z) ∈ S n F (x, y, z) ∈ S n+3 ⇒ F đơn ánh với F : S n → S n+3 Nếu n chẵn: +) Xét n = 4k Ta có (k + 1, k + 1, 2k + 1) ∈ S n+3 (k, k, 2k) ∉ S n ⇒ F khơng tồn ánh +) Xét n = 4k + Ta có (k + 1, k + 2, 2k + 2) ∈ S n+3 (k, k + 1, 2k + 1) ∉ S n ⇒ F khơng tồn ánh Vậy f(n+3) > f(n) với n chẵn Nếu n lẻ: Giả sử (x + 1, y + 1, z + 1) ∈ S n+3 Ta chứng minh (x, y, z) ∈ S n Thật vậy: x + y + > z + ⇒ x + y + > z ⇒ x + y ≥ z x + y + z = n lẻ ⇒ x + y z khác tính chẵn lẻ ⇒ x + y > z 232 Nếu x = y ≥ z ≥ y ⇒ y = z → 2y = n lẻ (mâu thuẫn) ⇒ (x, y, z) ∈ S n ⇒ F song ánh Vậy f(n+3) > f(n) với n lẻ Từ có đpcm Bài tốn (Kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia VMO 2012) Tìm tất hàm số f xác định tập số thực R, lấy giá trị R thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 1/ f toàn ánh từ R đến R; 2/ f hàm số tăng R; 3/ f(f(x)) = f(x) + 12x với số thực x Lời giải Nếu f(x) = f(y) f(f(x)) = f((f(y)) nên từ phương trình hàm ta suy 12x = 12y, suy x = y Vậy f đơn ánh Theo đề bài, f toàn ánh từ R vào R nên từ ta có f song ánh Gọi f −1 hàm ngược f f −1 hàm tăng Thay x = vào phương trình hàm, ta f(f(0)) = f(0) Do f song ánh nên từ suy f(0) = Lấy f −1 hai vế ta suy f −1 (0) = Đặt f −n (x) = f −1 ( f −1 ( f −1 (x))), n lần, dễ thấy f −n hàm tăng f −n (0) = Xét dãy an với a0 = f (x), a1 = x, an = f −1 (an−1 ) với n ≥ Thay x → f −1 (an−1 ) vào phương trình hàm ta an−2 = an−1 + 12an Giải phương trình sai phân này, ta tìm f −n (x) = a n+1 = 4x − f (x) 3x + f (x) −n (−3)−n + 7 Xét với x > 0, cố định Khi f −n (x) > với n (do f −n hàm tăng), 3x + f (x) > Cho n = 2k, 2k + 1, ta thu −2k−1 > 4x − f (x) , 3x + f (x) −2k > f (x) − 4x 3x + f (x) Cho k → +∞ ta thu 4x ≤ f (x) ≤ 4x, suy f(x) = 4x Từ f(x) = 4x với x > Hoàn toàn tương tự ta suy f (x) = 4x với mọix < Kết hợp trường hợp ta f (x) = 4x với x ∈ R Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn phương trình hàm ban đầu Vậy f (x) = 4x hàm thỏa mãn yêu cầu toán Các tương tự toán Putnam 1988: Giải sử R + tập số thực dương Chứng minh tồn hàm số f : R + → R+, thỏa mãn diều kiện f ( f (x)) = 6x − f (x) với x (IMOSL 1992) Cho a,b hai số thực dương Chứng tỏ tồn hàm xác định tập số thực dương, nhận giá trị tập số thực dương thỏa mãn phương trình hàm sau với x: f ( f (x)) + a f (x) = b(a + b)x 233 MỘT SỐ BÀI TẬP Bài toán 1: Xác định xem hàm từ Z đến Z cho có đơn ánh khơng? f (n) = n − ; f (n) = n − 1; f (n) = n ; f (n) = n f(n) = n-1; Hàm hàm tồn ánh? Bài tốn 2: Cho g ánh xạ từ tập A đến tập B, f ánh xạ từ tập B đến tập C a) Chứng minh g f đơn ánh f ◦ g đơn ánh b) Chứng minh g f tồn ánh f ◦ g tồn ánh Bài tốn 3: Cho S = {1, 2, 2n} Một tập A gọi “tập cân” tập số số chẵn số số lẻ ( tập rỗng coi tâp cân) Gọi X tập hợp tất tập cân S, Y họ tất tập S có n phần tử a) Hãy thiết lập song ánh từ X vào Y b) Xác định số tập cân S? Tài liệu tham khảo Tạp chí Toán học tuổi trẻ Tài liệu Internet Các thi vô địch Romania 234 ... b(a + b)x 233 MỘT SỐ BÀI TẬP Bài toán 1: Xác định xem hàm từ Z đến Z cho có đơn ánh không? f (n) = n − ; f (n) = n − 1; f (n) = n ; f (n) = n f(n) = n-1; Hàm hàm toàn ánh? Bài toán 2: Cho g ánh... hạn, tập thực có lực lượng với Đối với tập hữu hạn ta ln có: Nếu A tập thực B |A| < |B | Sau ta xét số toán liên quan trực tiếp đến ánh xạ tính chất 229 Bài tốn 1: Cho A tập n phần tử, giả sử B... Giả sử n điểm mặt phẳng tô màu khác Tìm số lớn đoạn thẳng có đỉnh n điểm cho tô hai màu khác Bài toán (Bài thi chọn HSG lớp 12 chuyên) Cho tập Ω = {1; 2; 3; ; 2009} tập 2009 số nguyên dương Hãy