Bài 13 (tr 187 200) nguyễn đình thức

MỘT SỐ ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG BÀI TOÁN DÃY SỐ Nguyễn Đình Thức Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp , bài toán “Dãy số ” là dạng t

Trang 1

MỘT SỐ ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG BÀI TOÁN DÃY SỐ

Nguyễn Đình Thức Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định

Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp , bài toán “Dãy số ” là dạng thường xuyên xuất hiện Các dạng chính của dãy số có thể liệt kê như : tìm số hạng tổng quát ; xét các tính chất liên quan như tính chất số học; tính đơn điệu; bị chặn; giới hạn

Giải các dạng trên có thể dùng phương pháp quy nạp; phản chứng; sai phân;xét các hàm đặc trưng…

Trong số các bài toán cơ bản trên; việc sử dụng tính chất hàm số lượng giác để xử

lý làm cho cách giải được tối ưu Bài viết đề cập 2 vấn đề :

Vấn đề 1: Xét tính chất lượng giác trong bài toán dãy số

Vấn đề 2: Lượng giác hoá các dãy số phi tuyến tính

I/ BIỄU DIỄN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT; TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ;… NHỜ TÍNH CHẤT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi ta thường sử dụng cách biến đổi dãy; sai phân; để đưa về cấp số cộng; cấp số nhân;cấp số nhân cộng

Việc biễu diễn các số hạng; hệ số các số hạng bởi công thức lượng giác; lượng giác ngược; lượng giác hypebolic là một cách giải hay Sử dụng tính chất các hàm số trên thì khi biến đổi dãy sẽ đơn giản và cách giải sáng tỏ hơn.Ta xét một số ví dụ minh hoạ

Bài toán 1: Cho dãy số (un) có u1=cosa; u2=cos2a; un+1=2cosa.un -un-1 khi n>1 Tìm Sn =u1 +u2 +…+un

Lời giải:

Ta thấy số tổng quát của dãy có dạng un=k.cosna+l.sinna

Theo giả thiết suy ra cos sin cos

cos2 sin2 cos2





 k=1; l=0 Vậy: un=cosna

Sn =u1 +u2 +…+un =cosa+cos2a+…+cosna=

1 sin cos

sin 2

a



Trang 2

Bài toán 2: Cho số thực t 0 ; 1 và dãy số (wn) có w0=0 ; wn=

1 1

).

1 ( 2

2









n n

v u t

v t w

Hãy xác định công thức số hạng tổng quát wn của dãy số trên

Lời giải : Ta biễu diễn dạng lượng giác cho số thực t :

Do t 0 ; 1 t sin2a; 1 t  cos2 a và w n 

2 1

2

1

2sin

n

a w





 Đặt wn = n

n

u

v với un= un-1 +2vn-1sin

2a; vn= vn-1 +2un-1cos2a nZ

ta có wn=

1 1 2

2 1 1

cos 2

sin 2





n n

v u a

a v

u

=

2 1

2

1

2sin

n

a w





 Theo đề cho w0=0 nên ta chọn u0=0; v0=cosa ,

Xét un +kvn=(1+2kcos2a )un-1 +(k+2sin2a)vn-1

Cho tỉ lệ 1:k=(1+2kcos2a ):(k+2sin2a) ta có k=tana hoặc k=-tana

Vậy : un +tana.vn=(1+2sina.cosa )un-1 +(tana+2sin2a)vn-1

un –tana.vn=(1-2sina.cosa )un-1 +(-tana -2sin2a)vn-1

Suy ra: un +tana.vn=(1+sin2a)(un-1 +tana.vn-1 )

un –tana.vn=(1-sin2a)(un-1 –tana.vn-1)

Khi đó : un +tana.vn=(1+sin2a)n(u0 +tana.v0 )=(1+sin2a)n sina

un –tana.vn=(1-sin2a)n(u0 –tana.v0) =-(1-sin2a)n sina

Suy ra: un =1 sin [(1 sin2 ) (1 sin2 ) ]

vn=1 cos [(1 sin2 ) (1 sin2 ) ]

Suy ra: wn=tana(1 sin 2 ) (1 sin 2 )

t t t

t

t t t

t t

t w

n n



















) 1 ( 2 1 ( ) 1 ( 2 1 (

) 1 ( 2 1 ( ) 1 ( 2 1 ( 1

Bài toán 3: Cho dãy số (un) có un=

n

a

n43  khi n>1 Tìm a để u n  1 với mọi số nguyên dương n

Lời giải

Ta có un là đa thức xấp xỉ với đa thức Tsê-bư-sep bậc 3

Xét đa thưc P(x)= 4x3+mx có 2 tính chất :

a/Khi m=-3 thì P x( ) 1  khi x  1

Thật vậy khi x  1 thì x cost;t 0 ; 

Trang 3

P(x)=cos3x  P x( ) 1 

b/Nếu P x( ) 1  khi x  1 thì m=-3

Thật vậy P(x)=4x3+mx

m=-3 ; theo tính chất câu a P x( ) 1  khi x  1

m>-3; P(1)=4+m>1(không thoả P x( ) 1  )

m<-3; P(1

2)=

1

2(1+m)<-1(không thoả P x( ) 1  ) Vậy m= -3

Trở lại bài toán do 1  1

n và u n  1 nên sử dụng tính chất của đa thức xấp xỉ Tsê -bư-sep suy ra a=-3

Bài toán 4 (Đề VMO- 1990)

Cho dãy số (xn) có x1  1; xn=

2

3



khi n>1 a/Cần thêm điều kiện gì để dãy số đã cho toàn số dương

b/Dãy số trên có tuần hoàn không ?tại sao ?

Lời giải

a/Cho x1 0 ;x2  0

2

3 0

3

Ngược lại nếu

2

3















3

; 0

; sin 1



a a x

















3

; 0 3

);

3

sin(

2



a a

x

Suy ra x3  x1;x4  x2 ,…

Vậy ta cần điều kiện

2

3

0 x1

b/ Xét hai trường hợp

TH 1: x1 0

Nếu x2  0 Suy ra x3  x1;x4  x2 ,…

Nếu x2 0 ta cũng chứng minh được x3  x1;x4  x2 ,…

Vậy x1 0 thì dãy số trên tuần hoàn chu kỳ 2

TH 2: x1 0.Xét trong dãy số trên từ x2trở lên ta có x5 x3;x4  x2 ,…

Vậy dãy số trên có tuần hoàn chu kỳ 2 kể từ số hạng thứ hai trở lên

Trang 4

Bài toán 5: Cho số thực t và các dãy số (un) , (vn) với

















Z n t

u t

v t

v t u t

u

b v a u

n n

n n n

) 1 (

) 1 ( )

1 (

; )

1 (

4 )

1 (

;

2 2

1 2 2 1 2 2 2

2

1 2 1 2 2 0 0

Tìm số hạng tổng quát un; vn của các dãy số trên

Lời giải

Ta thấy tồn tại số thực  0 ; 2  sao cho 2

2 2

1

1 cos

; 1

2 sin

t

t t

t













u n n 1 n 1sin2 ; n n 1 n 1cos2 ;







u n n ( 1 cos2 ) n 1 ( sin2 ) n 1;

Chọn k lần lượt là tan  ;  tan  ta có:

u n v n   n u  n  sin 2 )n v ; nZ

2

1 1 ( tan )

2 sin 2

1 1 (

u n v n   n u  n  sin 2 )n v ; nZ

2

1 1 ( tan )

2 sin 2

1 1 (

] tan ].[

) 2 sin 2

1 1 ( ) 2 sin 2

1 1 [(

tan 2

1 tan

2

tan tan

2

tan

] tan ].[

) 2 sin 2

1 1 ( ) 2 sin 2

1 1 [(

2

1 2

tan 2

tan

:

0 0



n n

n n n

n

n n

n n n

n

v u v

u v u

v

v u v

u v u

u

ra

suy



























2

1

2 tan

; ) 1 (

) 1 ( 4 2

sin

t

t t

















































Z n t

t b a t

t t t

t v

Z n t

t b a t

t t t

t t u

n n

];

) 1

2 ( ].[

) ) 1 (

) 1 ( 2 1 ( ) ) 1 (

) 1 ( 2 1 [(

4 1

];

) 1

2 ( ].[

) ) 1 (

) 1 ( 2 1 ( ) ) 1 (

) 1 ( 2 1 [(

2 1

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

Tìm giới hạn của dãy số ta sử dụng các phép toán giới hạn; giới hạn kẹp; Đặc biệt đối với dãy số cho bởi công thức truy hồi x n+1 =f(x n ) ta thường sử dụng định lý Vâyestrat; trong đó ta cần xét sự biến thiên của hàm số y=f(x)-x để tìm điểm hội tụ

Tất nhiên nếu các dãy số chứa công thức lượng giác; ta phải vận dụng giới hạn

của hàm lượng giác liên quan

Bài toán 6 (Đề đã gửi cho Ban tổ chức VMO- 2008)

Cho dãy số (vn) có vn =3-nun và u1=1; un=



 1

1 ) (

n

k

u k

n ; với n nguyên và n>1

Tìm giới hạn của dãy số (

n

v

sin

) khi n 

Trang 5

Lời giải

Ta có :un=un-1+2un-2+…(n-1) u1

Suy ra un-un-1=2un-2+…(n-1) u1

= [un-2+…(n-2) u1]+[un-2+…+ u1]

Vậy : un-2un-1= un-2+…+ u1(*)

Thay n bởi n-1 có : un-1-2un-2= un-3+…+ u1(**)

Từ (*) và (**) ta có : un-2un-1= un-2 + un-1-2un-2

Suy ra un-3un-1+ un-2 =0 Phương trình đặc trưng: t2-3t+1=0 có nghiệm 1 3 5

2

t  

 un =A.( 3 5

2



)n+B.(3 5

2



)n

Do u1=1; u2=1 suy ra A=1- 2

5;B=1+

2 5

Vậy un =(1- 2

5).(

2



)n+(1+ 2

5).(

2



)n

Suy ra : vn =(1- 2

5).(

6



)n+(1+ 2

5).(

6



)n

Do 0<3 5

6



<1, 0<3 5

6



<1 nên lim

n vn =0 Vậy lim

n n

n

v

sin

=0

Bài toán 7: Cho dãy (un) có un=[

2 2 2

1 ( ) cos 1

n

a



2 2

2

1

n

a

n

Tìm lim

nun

Lời giải

Nhận xét :ln un =n ln[

2 2 2

1 ( ) cos 1

n

a



2 2

2

1

n

a

Đặt :vn=

2 2 2

1

( ) cos

1

n

a



2 2

2

1

n

a

 ta có ln un= n ln vn

Xét lim

nvn =

2 2 2

1

a a



2 2

2

1

a

n v

*

0

ln(1 )

x

x Do

x





n v

Trang 6

* lim ( n 1)

n n v

nn[

2 2 2

1

n

a



2 2

2

1

n a

b a

= lim

n[

2 2 2

1

n

a

n

2 2

1

n

a

n



Mà :

1 lncos

b

;

1 lnsin

b

n n v

  (1 22) ln cos2 ( 2 2) lnsin2





Từ (1),(2) suy ra lim ln n

n n v

  (1 22) ln cos2 ( 2 2) lnsin2

 lim

nun=(cosb)

2 2 2

1

a a



 +(sinb)

2 2

2

1

a a



Bài toán 8:(VMO-2001)

Cho số thực a và dãy số (xn) có x0=a ;xn+1=xn+sinxn

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó

Lời giải

1/Nếu a=k thì xn=a và lim

n xn =a 2/Nếu a k xét hàm f(x)=x+sinx có f’(x)=1+cosx0

TH: a ( 2k ;   2k ) thì sina >0 x1x0 mà f(x) không giảm(xn) tăng

Mặt khác : xo  ( 2k ;   2k ) mà f(x) không giảm  x1= xo+sin xo  ( 2k ;   2k )

 xn  ( 2k ;   2k )

Theo định lý Vây-es-trát thì dãy số có giới hạn và lim

n xn =  2k TH: a (    2k ; 2k ) thì sina <0 x1x0 mà f(x) không giảm(xn) giảm

Mặt khác : xo  (    2k ; 2k ) mà f(x) không giảm

 x1= xo+sin xo  (    2k ; 2k )  xn  (    2k ; 2k )

Theo định lý Vây-es-trát thì dãy số có giới hạn và lim

n xn =-  2k

Bài toán 9: Cho dãy số (Un) :













U

U U

1 2

2 1

4

8

; 2

và Sn =



n

i

u arc

1

2 cot

Tìm lim

n Sn

Trang 7

Lời giải

Ta có arccot u2n =arccot

n

u

u 1

- arccot

1



n

u

 Sn =



n

i

u arc

1

2 cot = arccot

n

u

u 1

Xét phương trình























3 2

3 2 0

1 4

2

t

t t

t

u  2  3  2  3



lim

n n

n

u

u 1

= lim

n

n n

b a

3 2 3

2

3 2 3

2









giả sử có kết quả là x

Từ giả thiết

n n

n

u

u u

4

1    



n n

n

u

u u

1

2 1

4



 





Nếu lim

n n

n

u

u 1

=x thì 1=4x-x2 x=2- 3

Vậy lim

n n

n

u

u 1

=2+ 3

Suy ra : lim

n Sn =arccot(2+ 3)=

12



II/ LƯỢNG GIÁC HOÁ VÀ LƯỢNG GIÁC HYPEBOLIC HOÁ CÁC DÃY

SỐ PHI TUYẾN TÍNH : dạng x n1  f(x n)

a/Một số lưu ý cho phương pháp lượng giác hoá dãy x n1  f(x n)

Ta để ý rằng a 1   !t 0 ;  /a cost ;

a 1   !tR/acht ;

a R t /a tant

2

; 2









 







Giống như phương pháp giải phương trình; tính tích phân; khi xét một số bài toán dãy số ta cũng lượng giác hoá hoặc lượng giác hypebolic hoá chúng Cách biễu diễn số hạng đầu cần tương thích với công thức truy hồi của dãy

Ta bắt đầu với ví dụ đơn giản sau

Bài toán 10: Cho dãy (un) với :u n  2 2n  2  2 2  (n+1 dấu căn ) Tìm lim

nun Lời giải

Đặt vn = 2  2  2   2 (n dấu căn ) n n

Trang 8

Do v n1  2 v n mà

2 cos 2 cos 2

Nên ta viết v1 =2cos 2

2

 ; bằng quy nạp suy ra v

n =2cos 1

2n



Vậy 2 1.sin 2

2

n

Sừ dụng tính chất lim sin 1

x

Khi đó ta có : lim

nun = lim

n

1

2

2 sin

2

n





 = lim

n

2

n





2



Bài toán 11: Cho dãy số (un) và (vn) :



















n n n

n n

n n n

V U V

V U

V U U

V U

1 1

1

0 0

2

1

; 2

Tìm số hạng tổng quát un và vn

Lời giải

Ta có nhận xét

n n

n n n

V U

V U U







2 1

n n

n

V U

U

1 1

2

1





n n

V U

1 1

2 1







U0 =2 ;V0  1 ; 1 1

2

1 1

0 0





V U

1 2 1

2 1





1 2 1

2

1





V

U1 =

6 cos

1 1 3 cos

2

2 

 



; V1 =

6 cos

1 1 6 cos

1

U2 =

12

cos 6 cos 1 6

cos 6 cos

2 1

1

2

2 2

1 1







v u

;

V2 =

12

cos 6 cos 1 12

cos 6 cos

1

2 2

1

U

U3 =

24

cos 12

cos 6 cos

1 1

1

2

2 2







v u

;

V3 =

24

cos 12

cos 6 cos

1 24

cos 12

cos 6 cos

1

2 2

U

Trang 9

Chứng minh quy nạp có : Un =

3 2 cos

3 2

cos 3 2

cos 3 cos

2



Vn =

3 2 cos

3 2

cos 3 2 cos

2



Bài toán 12: Cho dãy số (un) có :

1

2 1

1/ 2

2 2

n n

u









Gọi Sn =u1 +u2 +…+un

CMR: Tồn tại lim n

n

S

 và lim n 1,03

n

S





Lời giải

Ta chứng minh được 0<un <1 Vậy un=sinaun+1=sin

2

a

Do u1=sin

6

 

u2=sin

6.2



Sn =u1 +u2 +…+un = sin

6

 + sin

6.2

 + + sin 1

6.2n





Sử dụng tính chất sin  1

x

khi 0<x<

2



ta có :

Sn <1

2+6.2



6.2n



 <1

2+3.2



Mà (Sn) tăng nên tồn tại lim n

n

S



Và lim n

n

S

 <1

2+3.2



<1,03

Bài toán 13: Cho dãy số (un) có :  

1

3

1 3

n n

n

u



 





Và Sn =2-nun Tìm lim n

n

S



Lời giải: Ta biễu diễn

3

n n

v

u  , thay vào giả thiết có 1 2 2

1

n n

n

v v

v

 



Ta chọn v1 =3=tan a

Giả sử vn=tan 2navn+1=tan2n+1a ,

Trang 10

Theo nguyên lý quy nạp có : Sn =2-nun =

3

1

2-n tan2na Vậy lim n

n

S

 =0

Bài toán 14 (Đề gửi cho Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30/4 , Miền nam- 2005):

Cho dãy số (un) có :



















1 1 3 2 2

3 1

n u

u u

e u

n n

n

a) Chứng minh rằng n  Z+, ta có u e

e n 

1

b) Lập dãy số (vn) biết vn = n

n

u u

u1. 2

Tìm giới hạn của dãy số (vn) khi n  

Lời giải

a) Ta chứng minh un > 0 n Z+

Thật vậy u1 > 0, u2 > 0

Giả sử un > 0 n  k khi đó 0

1

3

1 





k

k k

u

u u

Vậy un > 0 n Z+

2 cos 2

1 2 6

cos 2

3



e e u e

e

n

n  cos 6  



) 1 ( cos 6

cos 6 cos 2

6 ) 1 ( cos

6 cos 3

1

3 1







n n

n

e

e u

u u

Vậy u e nZ

n

cos 

6 cos

và hàm y = ex đồng biến trên R

e e

e

n



1 cos 6

b) Ta có :





sin 12 ) 1 2 ( sin 12 sin 2 1 6

cos

6

2 cos 6 cos 1

2

1



n n

n

v

 

12 sin 12

1 cos 12 sin



n n n

e





Trang 11

Mặt khác

12 sin 1 12

sin

12

sin 12

1 cos 12 sin

1



n n

n









12 sin

1 lim 12 sin

1







n

Vậy lim  0  1



 v n e

n

b/Phương pháp lượng giác hoá khi xác định số hạng tổng quát của dãy

)

(

x   trong một số trường hợp của dạng

f x ax2 bxc

)

( ; f x ax3 bx2 cxd

)

) (

) ( ) (

x Q

x P x

*Sử dụng công thức cos 2a 2 cos2a 1 ;ch2a 2ch2a 1 ta giải được bài toán tìm

số hạng tổng quát của dãyx n1  2x n2  1 tuỳ theo x1  1 ; x1  1 ;

*Sử dụng công thức

sha a

sh a sh cha a

ch a ch a a

a a a

3

ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy

n n

x    ;x n 4x n3 3x n

 ;với x1tương thích

tan 1

tan 2 2

a

a a



tan 3 1

tan tan

3 3

3

a

a a

a



ta tìm được số hạng tổng quát của dãy 1 2 1 23

3 1

3

; 1

2

n

n n n

n

n n

x

x x x

x

x x









Xét tương tự cho cot2a;cota3a; tansh2a;…

Bài toán: Cho dãy số (un) có :

















n

n n

u

u u

u

6

1 3

3 2 1

1

Tìm u n

Lời giải: Ta biễu diễn

3

n n

v

u  , thay vào giả thiết có

n

n n

v

v v

3 2

1 3

2

Ta chọn v1 =3=cot a v2=cot 2a

Bằng quy nạp ta suy ra vn=cot 2n-1a,

b/Phương pháp lượng giác hoá khi xác định số hạng tổng quát của dãy

)

;

( 1

x    trong một vài trường hợp đặc biệt

*Sử dụng công thức cos(n 2 )a 2 cosacos(n 1 )a cosna ;

na a

n a a

n 2 ) 2 cos sin( 1 ) sin

sin(     ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãyx n2 kx n1x nvới k  2 ;

*Sử dụng công thức sh(x y) shxchyshychx;sh(xy) shxchyshychx

Trang 12

 sh(n 2 )a 2cha.sh(n 1 )ashna ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãyx n2 kx n1x nvới k  2 ;

Bài toán: Xác định số hạng tổng quát của dãy  x n biết x n2  4x n1x n;x1 1 ;x2 2

Lời giải

a

e

e a a  ; x1sh(ak);x2 sh(a 2k)

Từ x n2  4x n1x n x3  2cha.sh(a 2k) -sh(ak)  x3  sh(a+3k)

Bằng quy nạp ta có x n sh(a+nk)

Bằng phương pháp đổi dãy đưa x n2 ax n1bx nvề một trong 2 dạng

n n

x 2  1 khi k  2 ; k  2 ;

BÀI TẬP

Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau với

a/ xn+1 =

2

3

3 n2

và x1=

2

1

b/ U0 =

2

; Un+1 = 2

1 1 2

2

n

U



c/ V0 = 1 ; Vn+1 =

n

V

1  2 

d/

















n U n

U

n

U

) 2 3 (

1

3 2

1

3

HD: tg

12

 = 2- 3 Un = tg(

6

 +(n-1)

12

 )



















1 , 1

2 1

1

n

x

a

x

ĐS xn = cos2n

f/















n U n U n

U

2 1

2

1

1 2

ĐS xn = tg(n)

1

n

u











(a2=b+1)

h/

1

n













Trang 13

Bài toán 2: (VMO- 1994)

Cho số thực a ( 0 ; 1 )và dãy số (xn) có x0=a ;xn= 2 1 ) arcsin 1

2 (arccos

4



 Chứng minh dãy số trên có giới hạn khi n  và tìm giới hạn đó

Bài toán 3: Cho dãy số (un) có :

1

2









Tìm giới hạn của dãy số trên khi n 

Bài toán 4: Cho dãy số (un)(vn) có :

1 1

,

2





CMR các dãy số trên có chung giới hạn khi n , và tìm giới hạn đó

Bài toán 5: (VMO-1993)

Cho dãy số (un)(vn) có :



















n n n

n n

n n n

V U V

V U

V U U

V U

1 1

1

0 0

2

1

; 2

CMR các dãy số trên có chung giới hạn khi n , và tìm giới hạn đó

Bài toán 6:Cho In= x nsin xdx

1

0



a/Chứng minh lim  0



n I

b/ Đặt Sn=I0+I 1+…+In Chứng minh dx

x

S n





1

0

sin lim

KẾT LUẬN

Bài viết nhằm giới thiệu một số ứng dụng lượng giác trong dãy số mà tác giả quan tâm Hy vọng đọc giả đồng cảm với nội dung bài viết; đặc biệt là việc lượng giác hoá các bài toán dãy số và khảo sát tính chất lượng giác có trong dãy số ;từ

đó có ý tưởng hay khi sáng tác bài tập mới

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	543,96 KB