Bài 13 (tr 187 200) nguyễn đình thức

MỘT SỐ ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG BÀI TOÁN DÃY SỐ Nguyễn Đình Thức Trường THPT chun Lê Q Đơn - Bình Định Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp , toán “Dãy số ” dạng thường xuyên xuất Các dạng dãy số liệt kê : tìm số hạng tổng quát ; xét tính chất liên quan tính chất số học; tính đơn điệu; bị chặn; giới hạn Giải dạng dùng phương pháp quy nạp; phản chứng; sai phân;xét hàm đặc trưng… Trong số toán trên; việc sử dụng tính chất hàm số lượng giác để xử lý làm cho cách giải tối ưu Bài viết đề cập vấn đề : Vấn đề 1: Xét tính chất lượng giác tốn dãy số Vấn đề 2: Lượng giác hoá dãy số phi tuyến tính I/ BIỄU DIỄN SỐ HẠNG TỔNG QT; TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ;… NHỜ TÍNH CHẤT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Xác định số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi ta thường sử dụng cách biến đổi dãy; sai phân; để đưa cấp số cộng; cấp số nhân;cấp số nhân cộng Việc biễu diễn số hạng; hệ số số hạng công thức lượng giác; lượng giác ngược; lượng giác hypebolic cách giải hay Sử dụng tính chất hàm số biến đổi dãy đơn giản cách giải sáng tỏ hơn.Ta xét số ví dụ minh hoạ Bài toán 1: Cho dãy số (un) có u1=cosa; u2=cos2a; un+1=2cosa.un -un-1 n>1 Tìm Sn =u1 +u2 +…+un Lời giải: Ta thấy số tổng quát dãy có dạng un=k.cosna+l.sinna k cos a  l sin a  cos a k cos2a  l sin 2a  cos2a Theo giả thiết suy   k=1; l=0 Vậy: un=cosna Sn =u1 +u2 +…+un =cosa+cos2a+…+cosna= 187 sin na n 1 cos a 2 a sin Bài toán 2: Cho số thực t  0;1 dãy số (wn) có w0=0 ; wn= wn 1  2t.vn 1 2(1  t ).un 1  1 Hãy xác định công thức số hạng tổng quát wn dãy số Lời giải : Ta biễu diễn dạng lượng giác cho số thực t : Do t  0;1  t  sin a;  t  cos a wn  Đặt wn = wn 1  2sin2 a cos2 a.wn 1  un với un= un-1 +2vn-1sin2a; vn= vn-1 +2un-1cos2a n  Z  ta có wn= wn 1  2sin2 a un 1  2vn 1 sin a = cos a.un 1  1 cos2 a.wn 1  Theo đề cho w0=0 nên ta chọn u0=0; v0=cosa , Xét un +kvn=(1+2kcos2a )un-1 +(k+2sin2a)vn-1 Cho tỉ lệ 1:k=(1+2kcos2a ):(k+2sin2a) ta có k=tana k=-tana Vậy : un +tana.vn=(1+2sina.cosa )un-1 +(tana+2sin2a)vn-1 un –tana.vn=(1-2sina.cosa )un-1 +(-tana -2sin2a)vn-1 Suy ra: un +tana.vn=(1+sin2a)(un-1 +tana.vn-1 ) un –tana.vn=(1-sin2a)(un-1 –tana.vn-1 ) Khi : un +tana.vn=(1+sin2a)n(u0 +tana.v0 )=(1+sin2a)n sina un –tana.vn=(1-sin2a)n(u0 –tana.v0 ) =-(1-sin2a)n sina Suy ra: vn= cos a[(1  sin 2a)n  (1  sin 2a)n ] un = sin a[(1  sin 2a)n  (1  sin 2a)n ] Suy ra: wn=tana Vậy wn  (1  sin 2a)n  (1  sin 2a)n (1  s in2a)n  (1  s in2a)n t (1  t (1  t ) ) n  (1  t (1  t ) )n ; n  N  t (1  t (1  t ) ) n  (1  t (1  t ) )n Bài tốn 3: Cho dãy số (un) có un= a  n>1 n3 n Tìm a để un  với số nguyên dương n Lời giải Ta có un đa thức xấp xỉ với đa thức Tsê-bư-sep bậc Xét đa thưc P(x)= 4x3+mx có tính chất : a/Khi m=-3 P( x)  x  Thật x  x  cos t; t  0;  188 P(x)=cos3x  P( x)  b/Nếu P( x)  x  m=-3 Thật P(x)=4x3+mx m=-3 ; theo tính chất câu a P( x)  x  m>-3; P(1)=4+m>1(không thoả P( x)  ) 2 m1 k 1 Tìm giới hạn dãy số ( sin ) n   190 Lời giải Ta có :un=un-1+2un-2+…(n-1) u1 Suy un-un-1=2un-2+…(n-1) u1 = [un-2+…(n-2) u1]+[un-2+…+ u1] Vậy : un-2un-1= un-2+…+ u1(*) Thay n n-1 có : un-1-2un-2= un-3+…+ u1(**) Từ (*) (**) ta có : un-2un-1= un-2 + un-1-2un-2 Suy un-3un-1+ un-2 =0 Phương trình đặc trưng: t2-3t+1=0 có nghiệm t1   un =A.( 3 n 3 n ) +B.( ) 2 Do u1=1; u2=1 suy A=1- ;B=1+ 3 3 ; t2  2 3 n 3 n 2 Vậy un =(1- ).( ) +(1+ ).( ) 2 5 2 3 n 3 n Suy : =(1- ).( ) +(1+ ).( ) 6 5 3 3 1 n3 n Tìm a để un  với số nguyên dương n Lời giải Ta có un đa thức xấp xỉ với đa thức Tsê-bư-sep bậc Xét đa thưc P(x)=.. .Bài toán 2: Cho số thực t  0;1 dãy số (wn) có w0=0 ; wn= wn 1  2t.vn 1 2(1  t ).un 1  1 Hãy xác định công thức số hạng tổng quát wn dãy số Lời giải... (1+m)1 a/Cần