Bài 9 (tr 140 147) nguyễn bá đang

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI TOÁN Nguyễn Bá Đang Hội THHN Nhắc đến tam giác đồng dạng, thấy cạnh tương ứng tỉ lệ với góc tương ứng Từ ta suy tính chất quan trọng đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác tương ứng tỉ lệ với nhau, góc tạo cạnh với đường cao, trung tuyến, phân giác tương ứng Với tính chất giải nhiều tốn hình học khó Sau toán minh họa Bài toán 1.(Bài toán bướm) Cho đường tròn tâm O dây AB Gọi I trung điểm AB, qua I kẻ hai cát tuyến MN PQ, dây MQ NP cắt AB C D Chứng minh IC = ID Lời giải Gọi E, F trung điểm MQ PN ⇒ OE⊥M Q OF ⊥P N Tam giác IMQ IPN đồng dạng ⇒ M EI = IF P , I trung điểm AB 140 BÀI TỐN 2.(VƠ ĐỊCH MĨ NĂM 1979) ⇒ OI⊥AB ⇒ tứ giác OECI tứ giác nội tiếp ⇒ CEI = COI Tương tự IF D = IOD ⇒ COI = IOD ⇒ tam giác COD tam giác cân ⇒ IC = ID Bài tốn 2.(Vơ địch Mĩ năm 1979) Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cung không chứa đỉnh A Gọi D, E, H hình chiếu M cạnh BC, CA, AB Chứng minh BC CA AB MD = ME + MH Lời giải Theo toán ⇒ H, D, E thẳng hàng, tứ giác MHBD, MDEC nội tiếp ⇒ M EH = M CB (chắn cung ) BC HE M BC = M HE ⇒ ∆ MEH ∆ MCB, kẻ M I⊥HE ⇒ M D = M I (1) (do tỉ số đường tương ứng nhau) M HD = M BC = M AC , M DH = M BH = M CA ⇒ ∆MHD đồng dạng với AC HD ∆MAC ⇒ M E = M I (2) M ED = M CB = M AB, M DE + M CA = 1800 = M BA + M CA ⇒ M DE = M BA AB ED ⇒ ∆MED đồng dạng với ∆MAB ⇒ M H = M I (2), AC AB HD+DE cộng hai vế (1) (2) ⇒ M E + M H = M I = HE MI , BC CA AB kết hợp (1) ⇒ M D = M E + M H Đặc biệt ∆ABC ⇒ M1E + M1H = M1D (Thi học sinh giỏi VN) 141 3 BÀI TỐN Bài tốn Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi I J trung điểm BD AC Chứng minh BD phân giác góc AC phân giác góc BJD Lời giải Qua C kẻ đường thẳng CM//BD ⇒ CD = BM ;DBM = BDC Theo giả thiết ID = IB ⇒ ∆ BIM = ∆DIN ⇒ BIM = DIC BD phân giác góc AIC ⇒ AID = DIC ⇒ BIM = AID ⇒ A, I, M thẳng hàng (Nhận xét:Trong tam giác ta ln có bc = 2RhA , R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, hA đường cao xen hai cạnh ⇒diện tích tam giác S = abc 4R , bạn đọc tự chứng minh) Xét δABM ∆ADM nội tiếp đường tròn (O) từ nhận xét A A ⇒ SABM = AB.BM.M , SADM = AD.DM.M 4R 4R ⇒ AB.BM = AD.DM (1) CM//BD ⇒ BDCM hình thang cân BC = DM , từ (1) ⇒ AB.DC = AD.BC Từ D kẻ DN//AC ⇒ AD = CN , AN = CD⇒ AB.AN = CN.BC (2) Áp dụng S = abc 4R ⇒ SABN = SCBN ⇒ khoảng cách từ A C đến BN ⇒ BN qua trung điểm J AC AD = N C, DAJ = N CJ ⇒ ∆DAJ ∆NCJ ⇒ AJD = CJN = AJB ⇒ AC phân giác góc BJD Ngược lại hồn tồn tương tự 142 BÀI TỐN Bài tốn Cho tam cân ABC (AB = AC), BC lấy điểm D cho BD = 2DC, AD lấy điểm P thỏa mãn BP D = BAC Chứng minh DP C = 12 BAC Lời giải Đường tròn ngoại tiếp ∆PBC cắt AD E, qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn I cắt cạnh AB, AC kéo dài M N ⇒ M E = 2EN (1) tứ giác PBIE nội tiếp đường tròn ⇒ BP E = BIM BC// MN ⇒ CEN = BCE = BP E = Avà ACB = CN E ⇒ ∆ABC đồng dạng với ∆ENC ⇒ ECN = EN C ⇒ EC = EN ∆ABC cân, BC//MN ⇒ M B = CN ⇒ ∆ IBM ∆ECN ⇒ IM = IB = EN = EC, từ (1): IE = EN ⇒ ∆EIC cân ⇒ CEN = 2CIE = 2CP E ⇒ CP E = 12 CEN = 12 BAC Bài toán Cho hình vng ABCD Góc xAy = 450 quay quanh đỉnh A, cạnh Ax, By cắt cạnh BC CD thứ tự P Q, kẻ PM song song AQ, QN song song với AP, đường thẳng MN cắt AP E AQ F Chứng minh EF = M E + N F Lời giải Theo giả thiết PM song song với AQ, QN song song với AP ⇒ M P A = P AQ = N QA = 450 143 BÀI TOÁN ⇒ P AB = N QD ⇒ ∆APB ∆QDN đồng dạng BP.DQ D BP ⇒ N (1) DQ = AB ⇒ N D = AB góc BP M = DAQ ⇒ ∆BPM đồng dạng ∆DAQ QD QD.BP B ⇒M (2) BP = DA ⇒M B = DA Từ (1) (2) ⇒ N D = M B ⇒AM = AN Gọi K điểm đối xứng với M qua AP ⇒ AK = AM = AN , M AP = KAP Mặt khác M AP + QAN = KAP + QAK = 450 ⇒ QAK = QAK ⇒ K, N đối xứng qua AQ ⇒ EM = EK, F K = F N ⇒ KEF + KF E = 1800 − KEM +1800 − KF N =3600 −2(M EP + N F Q) = 900 ⇒ EKF = 900 theo định lí Pythago EF = KE + KF = M E + N F Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) M nằm đường thẳng kéo dài đường chéo DB, cho MA, MC tiếp tuyến đường tròn (C) Tiếp tuyến B với đường tròn (C) cắt MC N CD P, ND cắt đường tròn (C) E Chứng minh A, E, P thẳng hàng Lời giải MC tiếp MC CB tuyến với (C) ⇒ N CB = BDC ⇒ ∆ MCB ∆MDC đồng dạng ⇒ M D = DC MA tiếp tuyến với (C) ⇒ M AB = ADB ⇒ ∆MAB, ∆MDA đồng dạng MA AB ⇒M D = DA , CB AB M A = M C ⇒ DC = DA ⇒ DA.CB = AB.DC Áp dụng định lí Ptolemy với tứ giác ABCD ⇒ AB.CD + BC.DA = AC.BD⇒ AC ⇒BC.DA = 12 AC.BD⇒ DA = 2BC DB ; (1) NB, NC tiếp tuyến với đường tròn (C) ⇒N BE = BDE, N CE = CDE ⇒∆NBE, ∆NDB đồng dạng, ∆NCE, ∆NDC đồng dạng NB BE N C CE BE CE ⇒N D = DB , N D = DC kết hợp N B = N C ⇒ DB = DC ⇒BE.DC = CE.DB 144 BÀI TOÁN QC QA = Áp dụng định lí Ptolemy với tứ giác BECD BC ⇒ BE.DC = CE.DB = 12 BC.DE ⇒ BD = 2CE DE ; (2) PB tiếp tuyến với (C) ⇒ ∆PCB ∆PBD đồng dạng PC PB CB ⇒ P B = P D = BD ⇒ P C.P D = P B mặt khác PC P C.P D PB P D = P D2 = P D CB = 2CE ; (3) BD DE = CB BD kết hợp với (2) C ⇒ PP D = Giả sử AE cắt CD Q ⇒ ∆QEC ∆QDA đồng dạng ⇒ QD DE QA = AC ; QD EC DE : QA = DA : AC ,và kết hợp (1), (2) EC.AC EC 4EC 2CE = DE.DA = DE ; (4) DE = DE QC PC (4) ⇒ P = ⇒P ≡ Q ⇒ A, E, B QB EC DA ∆QDE ∆QAC đồng dạng ⇒ ⇒ ⇒ QC QA QC QD Từ (3) P thẳng hàng Bài toán Cho tam giác ABC (AC > AB), I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, cạnh AC lấy điểm D cho ABD = ACB, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IDC E Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD P, AI lấy điểm F cho IA = IF , gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, JP cắt CF Q Chứng minh QF = QJ Lời giải Theo giả thiết ABD = ACB ⇒ ∆ABD ∆ACB đồng dạng (g.g) AC AB = AB ⇒ AB = AD.AC ⇒ AD ∆ACE ∆AID đồng dạng ⇒ AI.AE = AD.AC AE ⇒ AB = AI.AE ⇒ AB AI = AB ⇒ ∆ABI ∆AEB đồng dạng (c.g.c) ⇒ ABI = BEA = 12 B 145 BÀI TOÁN EP song song với AB ⇒ AEP = EAB = 21 A ⇒ BEP = 12 (B + A) Mặt khác ABP = BP E = ACB ⇒ P BE = 1800 − BP E − BEP = 1800 − C − 12 (B + A) = 12 (B + A) ⇒ ∆PBK tam giác cân ⇒ P B = P E, gọi K trung điểm BE ⇒ P KB = 900 Theo giả thiết I, J tâm đường tròn nội tam giác ABC tam giác ABD ⇒ ACI = 12 C ⇒ IED = ICD = ICA, ABD = ACB ⇒ ADB = ABC ⇒ DJE = 21 (A + ADJ) = 12 (A + B) ⇒ IED + DJE = 12 (A + B + C) = 900 ⇒ JDE = 900 E BE BE 2P E ⇒ ∆PKE ∆EDJ đồng dạng ⇒ PEJ = KE DJ = 2DJ ⇒ DJ = EJ AB Mặt khác ∆AEB ∆ADJ đồng dạng ⇒ BE DJ = AJ AB AC 2AC Và ∆AJB ∆AIC (g.g) ⇒ AJ = AI = AF E ⇒ PEJ = AC AF , P EJ = BAE = F AC ⇒ ∆AFC ∆PEJ đồng dạng ⇒ P JE = CF A;QJF = QF J ⇒ QJ = QF Bài toán Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), đường phân giác góc A cắt đường tròn (O) D, gọi I trung điểm AD, đường tròn qua A, I, B cắt cạnh AC E, DK đường kính đường tròn (O) Chứng minh KE vng góc với AC Lời giải AD phân giác A ⇒ BAD = DAC, đường kính DK ⇒ M B = M C AEIB nội tiếp ⇒AEB = AIB 146 BÀI TOÁN AEB + BEC = AIB + BID = 1800 ⇒ BEC = BID Mặt khác ADB = ACB ⇒ tam giác EBC, IBD đồng dạng (g.g) Gọi J trung điểm BD ⇒ JID = M EC Mặt khác IJ//AB⇒ JID = BAD ⇒ BAD = DAC = M EC ⇒ AD song song với EM ⇒ M EC = M KC ⇒ tứ giác KEMC nội tiếp, KD đường kính⇒KM C = 900 ⇒ KEC = 900 ⇒KE⊥EC 147 ...2 BÀI TỐN 2.(VƠ ĐỊCH MĨ NĂM 197 9) ⇒ OI⊥AB ⇒ tứ giác OECI tứ giác nội tiếp ⇒ CEI = COI Tương tự IF D = IOD ⇒ COI = IOD ⇒ tam giác COD tam giác cân ⇒ IC = ID Bài tốn 2.(Vơ địch Mĩ năm 197 9) Cho... ⇒ KEF + KF E = 1800 − KEM +1800 − KF N =3600 −2(M EP + N F Q) = 90 0 ⇒ EKF = 90 0 theo định lí Pythago EF = KE + KF = M E + N F Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) M nằm đường thẳng... = N CJ ⇒ ∆DAJ ∆NCJ ⇒ AJD = CJN = AJB ⇒ AC phân giác góc BJD Ngược lại hồn tồn tương tự 142 BÀI TỐN Bài tốn Cho tam cân ABC (AB = AC), BC lấy điểm D cho BD = 2DC, AD lấy điểm P thỏa mãn BP D =