Chuyên đề năm 2013 nguyễn bá đang

1 Chuyên đề ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC Nguyễn Bá Đang (Tư vấn Chương trình phát triển giáo dục trung học-Bộ GD-ĐT) I- ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Đặt vấn đề Để chứng minh hai hay nhiều đường thẳng song song ta thường dùng các cách sau: 1- Dùng định nghĩa Nhắc lại các tiên đề Euclid. - Qua hai điểm chỉ vẽ được một đường thẳng; - Một đường thẳng có thể kéo dài mãi mãi; - Vẽ đường tròn biết tâm và bán kính; - Mọi góc vuông đều bằng nhau; - Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo nên những góc cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 0 , thì hai đường này kéo dài sẽ cắt nhau. 2- Sử dụng các dấu hiệu về hai đường thẳng song song; 3- Tính chất đường trung bình trong tam giác; 4- Định lí Thalets. Định lí Thalets tổng quát Nêu cả phần thuận và đảo Các ví dụ minh họa Bài toán. Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy điểm E, đường thẳng BE cắt AC tại M và đường thẳng CE cắt AB tại N. Chứng minh MN//BC. Giải. Qua E dựng đường thẳng PQ//BC  EP EQ   NP PE EQ MQ NB BC BC MC     MN//BC. Nhận xét: Kết quả này như một định lí để sử dụng chứng minh cho các bài toán khác. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC không cân, đường trung tuyến AD, phân giác AE. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AE, AD lần lượt tại F và G. Chứng minh rằng DF luôn đi qua trung điểm của GE. Giải 1. (Lời giải trong МATMATИKA BШKOЛE) Q P N M E D B C A B ' C ' A ' c b a C B A 2 GE//AC  AG CE GD ED  CF AE  AKC cân  FC FK   DF//AB  MA MC  2 BK DF   2 AG AK AK GD DF BK   1 1 1 2 CE DC DE DC BD BE DE BE DE DE DE DE DE DE             2( ) 2 2 2 AB AK KB AK DF BK BK        AG CE GD DE   Vậy GE song song BC  DF luôn đi qua trung điểm của GE. Cách 2 AE là phân giác góc  A , CK AE   ACK là tam giác cân  FC FK  Theo giả thiết DB DC   DM song song với AB  MA MC  Sử dụng Bài toán trên  / / GE AC Và DF đi qua trung điểm EG Ví dụ 2. Cho tam giác vuông ABC (  0 90 A  ), đường cao AH cắt đường phân giác BD và đường phân giác CE tại M và N. Gọi I, J là trung điểm của MD và NE. Chứng minh rằng IJ song song với cạnh BC. Giải 2. Kéo dài AI, AJ cắt cạnh BC tại Q và P . Xét tam giác AEN:     1 2 AEC AEN B C    AH BC  ,  0 90 A     HAC B        1 2 ANE NAE ACN B C      tam giác AEN cân, JE JN   AJ EN   tam giác CAN:   ACJ JCP  , CJ AP   CA CP   JA JP  Hoàn toàn tương tự IA IQ   IJ là đường trung bình của tam giác APQ  IJ song song với BC. N M J E D H C B A P Q I F G M K ED CB A 3 Ví dụ 3. Cho tam giác cân ABC (  0 , 60 AB AC A  ). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho   DBC A  , đường trung trực BD cắt đường thẳng qua A và song song với BC tại E. Chứng minh rằng tứ giác EACB là hình bình hành. Giải 3. Gọi J là trung điểm CD, I là trung điểm BD  IJ song song với BC  IJ song song với AE Đường thẳng EI cắt cạnh AC tại G, theo giả thiết   DBC A   tam giác BCD cân BD BC   tam giác GBD cân GB GD     BGD A  .  tam giác ABC và tam giác GBD bằng nhau (g.c.g)  BA BG   tam giác ABG cân, mặt khác BJ CD   JA JG   IE IG   tứ giác EDGB là hình bình hành  DG song song với BE  AC song song với BE  tứ giác EACB là hình bình hành. Ví dụ 4: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, EA và I, J là trung điểm MP, NQ. Chứng minh rằng IJ song song với ED và 4 ED IJ  . Giải 4. Gọi K là trung điểm CE  KQ là đường trung bình của tam giác EAC  KQ song song AC và 1 2 QK AC  ; M, N là trung điểm AB và BC  MN song song AC, 1 2 MN AC   MN song song QK và MN QK   MNKQ là hình bình hành  M, J, K thẳng hàng và MJ JK  Xét MKP có I, J là trung điểm MP và MK CB A J D G I E K N M C B A J D P Q I E 4  IJ song song với PK và 1 2 IJ PK  (1) Xét CDE, PK là đường trung bình  PK song với DE và 1 2 PK DE  (2) Từ (1) và (2)  IJ song song với ED và 4 ED IJ  . Ví dụ 5: Cho đa giác ABCDEFGH có tất cả các góc bằng nhau, và độ dài các cạnh là số hữu tỉ. Chứng minh rằng các cạnh đối diện của đa giác song song và bằng nhau. Giải 5. Theo giả thiết các góc của đa giác bằng nhau  số đo của mỗi góc 0 0 (8 2)180 135 8   ; Kéo dài cạnh AH và BC cắt nhau tại P    0 0 0 180 135 45 PAB PBA      0 90 APB   tam giác PAB là tam giác cân; Tương tự các tam giác BJC, CND, DRE, EQF, FSG, GMH, HIA là các tam giác vuông cân  MPNQ và IJRS là hình chữ nhật  các cạnh đối diện song song với nhau Tam giác AIH là tam giác vuông cân theo định lí Pitago 2 2 2 IA IH HA    2 AH IA  ; Tương tự 2 BC BJ  , 2 DE RE  , 2 FG SF  ; 2 2 AH BC IJ IA AB BJ AB      , 2 2 FG DE SR SF FE ER EF      ; IJRS là hình chữ nhật  IJ SR   2 2 AH BC AB  2 2 FG DE EF    1 ( ) 2 AH BC FG DE EF AB      , các cạnh độ dài là các số hữu tỉ  , AH BC FG DE EF AB     là các số hữu tỉ  1 ( ) 2 AH BC FG DE    là số vô tỉ, nhưng vế trái là số vô tỉ  0, 0 AH BC FG DE EF AB        EF AB  Tương tự có , , BC FG CD GH DE HA    . RS J I Q P N M G H F E D C BA 5 Ví dụ 6. Trong một ngũ giác, mỗi một đường chéo đều cắt ngũ giác ra được một tam giác có diện tích bằng 1 đơn vị. Chứng minh rằng mỗi đường chéo song song với một cạnh, và tính diện tích ngũ giác đó. Giải 6: Đường chéo BD cắt ngũ giác thành tứ giác ABDE và BCD, đường chéo CE cắt ngũ giác thành tứ giác ABCE và DEC  1 BDC CDE S S    khoảng cách từ E và B đến CD bằng nhau  BE // CD. Tương tự ta chứng minh được mỗi đường chéo song song với một cạnh. AE// BD, CE//AB  ABIE là hình bình hành  BIC IDC S BI S DI  và BIE DIE S BI S DI   1 BIC BIE BIC DIE S S S S   , mặt khác BCI EID S S   1 1 BIC BIC BIC S S S    2 1 0 BIC BIC S S     5 1 2 BIC S    5 5 3 2 ABCDE ABE BIE DCE BIC BIC S S S S S S         Ví dụ 7. Cho ba đường thẳng a, b, c song song với nhau. Dựng tam giác đều đi qua một điểm nằm trên một ba đường thẳng trên. Giải 7. Bài toán này đã có từ lâu, cách giải dùng phép biến hình. Giả sử ABC là tam giác đều nằm trên ba đường thẳng song song a, b, c Kẻ CH b  , dựng tam giác đều HCE    0 30 bHE cCE   E cách đều b và c  E nằm trên đường thẳng song song với a Đường thằng này cắt BC tại F  FB FC   AF BC    0 30 FAC    FAC CEF   tứ giác AFCE nội tiếp  AE EC  Cách dựng: - Dựng tam giác đều HCE - Dựng đường thẳng vuông góc với CE cắt đường thẳng a tại A  CA là cạnh tam giác đều - Dựng đường trung trực AC cắt đường thẳng b giao điểm này là đỉnh B. Nhận xét: Bài toán nay dựng hình đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức cả định nghĩa và tính chất của đường thẳng song song. c b a F M I H E C B A I E D C B A 6 Ví dụ 8. Cho đường tròn tâm O và điểm A, B, C là hai điểm thay đổi trên đường tròn. Gọi M là hình chiếu của B trên AC và N là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh rằng MN luôn song song với đường thẳng cố định. Giải 8. , BM AC CN AB    tứ giác BNMC nội tiếp    ANM ACB  A là điểm cố định  tieeps tuyến với đường tròn (O) không đổi. Ax là tiếp tuyến    xAB ACB     xAB ANM   MN song song với xA.  MN song song với đường thẳng cố định. Ví dụ 9. Cho ngũ giác ABCDE, thỏa mãn BAC CAD DAE      và ABC ACD ADE      . Đường thẳng BD cắt AC tại M, CE cắt AD tại N, hai đường này cắt nhau tại O. Chứng minh rằng MN song song với CD, từ đó suy ra AO đi qua trung điểm CD. Giải 9. Từ BAC CAD DAE      và ABC ACD ADE       các tam giác ABC, ACD, ADE đồng dạng (g.g)  AB AC AD AC AD AE    AB AC AD AE  và BAD CAE     ABD đồng ACE AC, AD là hai phân giác tướng ứng của hai tam giác  AB AC AM AN   AB AM AC AC AN AD    AM AN AC AD   MN//CD  AO đi qua trung điểm CD. Nhận xét tính chất đặc trưng của hai tam giác đồng dạng là các góc đường cao, trung tuyến, phân giác, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp… tương ứng tỉ lệ với nhau. Bài tập tự luyện. Bài 1. Chứng minh rằng hai đường chéo cùng xuất phát từ một đỉnh của một ngũ giác đều chia góc đó làm ba góc bằng nhau, từ đó suy ra mỗi đường chéo song song với một cạnh. Bài 2. Cho hai đường tròn ( 1 O ) và ( 2 O ) cắt nhau tại A, B. Tiếp tuyến chung CD x O N M CB A I O N M E D B C A 7 ( 1 ( ) C O  và 2 ( ) D O  , CA cắt DB tại M, DA cắt CB tại N. Chứng minh rằng MN song song với CD. Bài 3. Cho tam giác ABC và H là trực tâm tam giác. AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M và N sao cho tứ giác ADCM và ADBN là hình bình hành, BH cắt AC tại E, AN cắt MH tại I. Chứng minh rằng IE song song với AD. Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ). Đường tròn tâm ( I ) luôn đi qua B và C cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Đường tròn tâm ( J ) ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn ( O ) tại K. Chứng minh // KI OJ . Bài 5. Cho bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau. Dựng hình vuông có các đỉnh nằm trên các đường thẳng đó. II- ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Đặt vấn đề. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc có nhiều cách chứng minh, người ta thường sử dụng: - Định nghĩa; - Các dấu hiệu nhận biết; - Ba đường cao đồng quy; - / / , a b a c   b c  ; - Định lý Thalets - Góc chắn nửa đường tròn; - Tứ giác nội tiếp; - … Bài tập cũng đa dạng, mỗi bài có cách giải khác nhau. Các ví dụ sau chỉ mang tính minh họa. Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CD. Chứng minh AM vuông góc với MN. Giải 1. Gọi I là trung điểm AH  MI là đường trung bình của HAB  MI//AB  MI AD   I là trực tâm ADM  DI AM  , NC ND   IM DN   IMND là hình bình hành  DI//MN  MN AM  I H N M D C B A 8 Ví dụ 2 . Cho hình bình hành ABCD, dựng ra ngoài hình vuông ABMN và BCEF. Chứng minh rằng MF = BD và BD  MF. Giải 2. 0 360 MBF FBC CBA ABM         0 180 MBF CBA    Mặt khác 0 180 BAD CBA     MBF BAD     MBF = BAD (c.g.c)  BD = MF và BFM ADB    0 90 FBH CBD    , CBD ADB     0 90 FBH ADB     0 90 FBH BFM     BD  MF. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC   0 0 40 , 60 A B  . Điểm D trên cạnh AC và E trên cạnh AB thỏa mãn  0 40 , DBC   0 70 ECB  , đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F. Chứng minh rằng AF vuông góc với cạnh BC. Giải 3. Kéo dài BC lấy điểm K sao cho FB FK     0 40 FBK FKB  Kẻ AF BC  cắt BD tại F  HB HK  Theo giả thiết  0 60 ABC   tam giác ABK là tam giác đều, đường thẳng BF cắt AK tại I  0 40 DBC    0 40 FKB    0 80 KFI    0 20 FKI    0 0 0 0 180 80 20 80 KIF      tam giác KFI là tam giác cân  KF KI  Xét ABC và BKI có: AB BK    0 60 ABC BKI  ,   0 40 BAC KBI   hai tam giác bằng nhau  BC KI   BK BC   tam giác BCF là tam giác cân    0 0 0 180 40 70 2 BCF BFC      C, F, E thẳng hàng. Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD, dựng ra phía ngoài các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi M, N, P, Q là các tâm hình vuông với cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ và bằng NQ. H N M F D B C A E B A CH E F I K D 9 Giải 4. Trước hết chứng minh bài toán: Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân MAB và NAC (đỉnh M, N), gọi I là trung điểm BC. Chứng minh , MI NI MI NI   Kéo dài BM một đoạn MP MB   PA AB  tương tự NQ NC   QA AC   MI là đường trung bình của PBC  MI//PC, 1 2 MI PC  . Tương tự NI//QB và 1 2 NI QP     0 90 PAC A QAB    , AP AB  , AQ AC   APC = APQ  PC QB  ,   APC APQ  . Xét hai tam giác APE và HEB có:   APC APQ  ,   PEA BEH     0 90 BHE PAE   , MI NI MI NI   Trở lại bài toán: Gọi I là trung điểm AC theo bài toán trên  MI NI  , MI NI  , QI PI QI PI       0 90 MIP MIQ QIN     MIP và NIQ bằng nhau (c.g.c)  MP NQ  cũng tương tự như bài toán trên  MP NQ  Nhận xét Bài toán này vào loại “khó”, phải vẽ thêm nhiều đường, song bản chất vẫn quy về tính chất của tam giác vuông cân và đường trung bình tam giác. Ví dụ 5. Cho tam giác cân ABC ( AB AC  ), D là trung điểm BC. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, I là trung điểm DH. Chứng minh AI vuông góc với DH. Giải 5. Từ B kẻ BF AC   BE//DH, DB DC   HE HC  , BEC và ADC là hai tam giác vuông Có  C chung  hai tam giác đồng dạng  hai tam giác EBH và HAI đồng dạng    EBH HAI  , mặt khác   EBH DHB  (so le)    HAI DHB  ,   0 90 DHB BHE     0 90 BHE HAI   AI  BH. I H D C B A E P C H I N M B A Q E P C I N M D B A Q 10 Nhận xét: Bài toán đã sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng các cạnh tương ứng bằng tỉ số đồng dạng và các góc tương ứng tạo bởi các đường tương ứng bằng nhau. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, đường cao AH, I là điểm bất kì trên AH, đường thẳng CI cắt AB ở P, đường thẳng BI cắt AC ở Q. Chứng minh AH là phân giác của góc  PHQ (Định lí Blanchet) Giải 6. Qua I kẻ đường thẳng MN song song với BC, HP, HQ cắt đường thẳng MN tại E và F. MN//BC  IE CH IM CB  và IF BH IN BC  Chia hai đẳng thức  IE IN CH BC CH IM IF CB BH BH   Mặt khác IN HC IM HB   1 IE IF   IE IF   HEF là tam giác cân    AHI AHQ   AH là phân giác của góc  PHQ . Ví dụ 7. Cho tam giác ABC thỏa mãn 2 AB AC  và   2 A B  . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. Giải 7: Trên cạnh AC kéo dài lấy điểm D sao cho AD AB   3 DC AC  và   2 BAC BDA     BDC B   ABC đồng dạng với BDC  AC BC BC DC   2 . BC AC DC   2 2 3 BC AC  , theo giả thiết 2 AB AC   2 2 4 AB AC   2 2 2 AB AC BC    2 2 2 AB BC AC   theo định lí đảo Pythagore  ABC vuông tại C. Nhận xét: Đề ra đơn giản, giả thiết cho mối quan hệ giữa hai cạnh và góc tam giác vậy phải kẻ thêm hình để đưa về hai tam giác đồng dạng, sau đó sử dụng định lí đảo định lí Pithagore. Ví dụ 8. Cho hình thang ABCD (AD//BC,   0 90 A B  . M là trung điểm AB. Gọi H là hình chiếu của A trên MD, K là hình chiếu của B trên MC, đường thẳng AH cắt BK tại N. Chứng minh rằng MN vuông góc với CD. D C B A F E P Q N M I H C B A [...]...    ACM thoả mãn điều kiện CBD  CAM  450 ; BCD    300 ;   BAN  150 ABN  Chứng minh tam giác DMN là tam giác vuông cân Giải 10 Theo giả thiết   BAN  150 ABN  M A   1500 Dựng tam giác đều BNI   ANB     BNI  900  ANI vuông cân ANI ANB  N      NIA  450  BAI  NAI  NAB  300 , I   NBI  NBA  450  các tam giác BAI, ACM, ABI   B C  ABC BCD đồng dạng  DBI   ; BI... các trung tuyến Chứng minh rằng BM vuông góc với CN khi và chỉ khi AC 2  AB 2  5 BC 2 Bài 2 Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại I, đồng thời thỏa mãn IA  IB và IC  ID Gọi O là điểm cách đều A, I, D Chứng minh rằng OI vuông góc với BC   Bài 3 Cho tam giác ABC, BAC  300 Đường phân giác trong và ngoài góc B  cắt cạnh AC tại B1 , B2 , đường phân giác trong và ngoài góc C cắt cạnh AB . 1 Chuyên đề ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC Nguyễn Bá Đang (Tư vấn Chương trình phát triển giáo dục trung học-Bộ GD-ĐT) I- ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Đặt vấn đề Để chứng minh. Nhắc lại các tiên đề Euclid. - Qua hai điểm chỉ vẽ được một đường thẳng; - Một đường thẳng có thể kéo dài mãi mãi; - Vẽ đường tròn biết tâm và bán kính; - Mọi góc vuông đều bằng nhau; -. với nhau. Dựng tam giác đều đi qua một điểm nằm trên một ba đường thẳng trên. Giải 7. Bài toán này đã có từ lâu, cách giải dùng phép biến hình. Giả sử ABC là tam giác đều nằm trên ba đường