DE THI HSG NAM 17 18

ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS TRẠCH MỸ LỘC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 120 phút khơng kể thời gian giao đề ( Đề thi số 02) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức   2x + x − 2x x + x − x   1 A= − + ÷Với x > 0; x ≠ ; x ≠ ÷ :  1− x x  1+ x x 1− x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = 17 − 12 c) So sánh A với A Bài 2: (4,0 điểm) Thu gọn biểu thức a) A = + 10 + + − 10 + ( 12   15 + − ÷ − 3−   +1 b) B =  Bài 3: (3,0 điểm) a) Giải phương trình ) + 11 x − 3x + + x + = x − + x + 2x − b) Cho hàm số f(x) = ( x3 + x − ) 2012 Tính f(a),với a = 3 + 17 + 3 − 17 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M cho MC = Kẻ đường thẳng vng góc với AC C , cắt tia BM K , kẻ BE ⊥ CK MA a) Chứng minh tứ giác ABEC hình vng b) Chứng minh : 1 = + 2 AB BM BK c) Biết BM = 6cm Tính cạnh tam giác MCK Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, · cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC.Tính BPE Bài 6: (1,5 điểm) Cho hai số dương a b thỏa mãn a b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= 1 + + a b a+b - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI Đề số 02 Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x + x − 2x x + x − x     A = − + x > 0;x ≠ ;x ≠ ÷  ÷ ÷:  1− x ÷ x  1+ x x   1− x   x 2x + x −  x − 1+ x  2x + x − x −  = : + x 1− x  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     x x +1 x −1  x −1  x + x −1  = : +  x x −1 1− x 1+ x 1+ x 1− x + x      x −1  x = :  x −  + ÷ ÷ x x −   1− x 1− x + x   ( = = ( ) ( ( ) ( )( )( )( ( ) ( ) x −1 x x ( ( ) x −1 ( ) : x −1 : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ( 1− x ) ( 1− ) ( 1− x ) ( 1− x −1 ( 1− x + x + x 1− x : ) x+x ) = ) ) ) ) ) 0.5 0.5 0.25 0.25 x+x 0.25 1− x + x x 0,25 b) Tính giá trị A x = 17 − 12 (1 điểm) ( ( 3− 2 ) = − 2 15− 10 5( 3− 2) = = =5 Tính x = 17 − 12 = 3− 2 A= ( ) 1− 3− 2 + 17 − 12 3− 2 c) So sánh A với A (1 điểm) ) ⇒ x= 3− 2 2 = 3− 2 0.5 3− 2 1− x + x = x+ −1 x x 1 > với x > 0;x ≠ ;x ≠ Chứng minh x + x ⇒A = x+ − 1> 1⇒ A > 1⇒ A − 1> ⇒ A A − > x Biến đổi A = ( ⇒ A − A > 0⇒ A > A Bài (4 điểm) a) A = + 10 + + − 10 + 0.5 ) 0.25 0.25 0.5 ( ) A2 = + 10 + + 64 − 10 + + − 10 + = 16 + 64 − 40 − 0.5 0.25 0.25 = 16 + 24 − = 16 + (2 −2 ) 0.5 = 12 + = ( 10 + ) 0.25 ⇒ A = 10 + 0.25 ( ) 12   15 + − ÷ − 3−   +1 b) B =  ( ) ( ) ( + 11 15 − + 12 + = + − 2  − − 32 −  = 3 − + + − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( =( = − + + − 12 − )( − 11 ) )( )   + 11     + 11  ( ) )( ( ) ) ) + 11 + 11 ( x − 1) ( x − 2) + x + = ( x − 1) ( x − 2) ≥ x− 2+  x + ≥ ⇔ x≥ Điều kiện  x − ≥  ( x − 1) ( x + 3) ≥  ( 1) ⇔ ⇔ ( x− ( )( x − 1− ) ( x − 1− − x + 0.5 0.5 0.25 = − 112 = −115 Bài (3điểm) Giải phương trình a) x2 − 3x + + x + = x − + x2 + 2x − ⇔ 0.5 ( x − 1) ( x + 3) ( 1) 0.25 0.5 0.25 ) x − 1− =  x − − 1=  x−1= x− − x+ = 0⇔  ⇔ ⇔ x=2  x − − x + =  x − = x − ) 0.5 0.5 0.25 x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = b)Từ a= 3 + 17 + 3 − 17 0.25 ⇒ a3 = ( 3 + 17 + 3 − 17 ) ⇔ a = + 3 + 17 3 − 17 ( 3 + 17 + 3 − 17 ⇔ a = − 6a ) 0.25 0.25 ⇔ a + 6a − = Vậy : f ( a ) = ( a + 6a − ) 2012 = ( a + 6a − + 1) 2012 0.25 = 12012 = Bài (8 điểm) A K M 0.5 B C E N a) Ta có ∠A = ∠C = ∠E = 900 AB=AC( Do ∆ ABC vuông cân A) Nên : Tứ giác ABEC hình vng b) Kẻ đường thẳng vng góc với BM B cắt EC N Xét ∆ ABM ∆ EBN ta có : ∠ A= ∠ E = 900 AB = BE(cạnh hình vng ABEC) ∠ ABM = ∠ EBN( phụ ∠ EBM) 0.5 0.25 0.75 Vậy ∆ ABM = ∆ EBN (g.c.g) ⇒ BM = BN Áp dụng hệ thức lượng vào ∆ vuông BNK ta có : 1 = + 2 BE BN BK Mà : AB = BE ; BM = BN 1 ⇒ = + 2 AB BM BK MC = ⇒ MA = 3MC ; AB = AC = MC MA Đặt MC = x ⇒ MA = 3x ; AB = 4x Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác vuông ABM 2 AB + AC = BM ⇒ ( x ) + ( 3x ) = 62 c) Từ ⇔ 25 x = 36 ⇔ x = 24 ⇒ MC = (cm); AB = x = = (cm) 5 Vì CK //AB nên ∆ MCK đồng dạng ∆ MAB MK KC CM ⇒ = = = MB AB CA 24 ⇒ MK = 2(cm); KC = : = (cm) 5 0.25 0.5 0.5 0.75 0.75 0.25 0.25 0.5 0.25 Bài (1,5 điểm ) 0.25 Kẻ EF ⊥ AC F, DG ⊥ BC G Theo giả thiết S( ADPE ) = S( BPC ) ⇒ S( ACE ) = S( BCD ) µ Mà AC = BC ⇒ EF = DG µA = C Suy ∆AEF = ∆CDG ⇒ AE = CG · · Do ∆AEC = ∆CDB (c − g − c) ⇒ DBC = ECA · · · · · ⇒ BPE = PBC + PCB = PCD + PCB = 600 0.5 0.5 0,25 Bài (1,5 điểm) Vì ab=1,a>0,b>0 theo BĐT Cơsi ta có : 1 + + a b a+b a+b = + ab a +b a+b  a+b  = + + ÷ a+b  B= a+b =3 a+b a = b a = b = 1(nhan)  = ⇔ a + b ⇔ a = b =1 ⇔ a = b = − 1( loai ) =   a+b 0.25 0.5 0.5 ≥ ab + Bmin Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tương đương Điểm tồn khơng làm tròn 0.25 PHỊNG GD&ĐT PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS TRẠCH MỸ LỘC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ ƠN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi số 03) Bài (5,0 điểm) a +1 a a −1 a2 − a a + a −1 Cho biểu thức: M = + + với a > 0, a ≠ a a− a a −a a a) Chứng minh M > b) Với giá trị a biểu thức N = nhận giá trị nguyên? M Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x − x + + x − = x + 21x − 11 b) Tìm giá trị nhỏ xy yz zx A = z + x + y với x, y, z số dương x2 + y2 + z2 = Bài (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn x + y + y + z + z + x = 1 Chứng minh rằng: 3x + y + z + x + y + 3z + x + y + z ≤ Bài (6 điểm) a Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm đường trung trực O, trung điểm BC M Tính giá trị biểu thức: IO + OM IH + HA2 · b Cho góc xOy Một đường thẳng d thay đổi ln cắt tia Ox; Oy M N Biết giá trị biểu thức 1 + không thay đổi đường thẳng d thay đổi OM ON Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Bài (1 điểm) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI Đề số 03 BÀI ĐỀ -ĐÁP ÁN a + a a −1 a − a a + a −1 + + với a > 0, a ≠ a a− a a −a a a) Chứng minh M > b) Với giá trị a biểu thức N = nhận giá trị nguyên M Cho biểu thức: M = Bài Do a > 0, a ≠ nên: a ĐIỂM a a − ( a − 1)(a + a + 1) a + a + = = a− a a ( a − 1) a a − a a + a − (a + 1)(a − 1) − a (a − 1) (a − 1)(a − a + 1) −a + a − = = = a −a a a (1 − a) a (1 − a) a a +1 +2 ⇒ M= a Do a > 0; a ≠ nên: ( a − 1) > ⇔ a + > a a +2=4 a < N nhận giá trị nguyên Ta có < N = M a Mà N = ⇔ = ⇔ a − a + = ⇔ ( a − 2) = a +1+ a ⇔ a = + hay a = − (phù hợp) ⇒M> b Vậy, N nguyên ⇔ a = (2 ± 3) Bài a) ĐK: x ≥ x = 0,5 Biến đổi: x − x + + x − = x + 21x − 11 ⇔ ⇔ ( x − 4)( x − 1) + ( x − 4)( x − 1) + 2x −1 = 2x −1 − ( x + 11)( x − 1) ( x + 11)( x − 1) = ⇔ x − 1( x − + − x + 11 ) = ⇔ x − = 0(1) Hoặc x − + − x + 11 = (2) Giải (1) x = 0,5 (thỏa mãn), giải (2) x = (thỏa mãn) xy yz A zx b) A = z + x + y x2 y2 y2z z2x2 Nên A = + + + ( x2+y2+z2 =1) z x y K H = B +2 I B O M C Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z x2 y2 y2 z + ≥ = 2y2 z2 x2 z x2 y2 z z x2 + ≥ 2z Tương tự x y x2 y2 z2 x2 + ≥ 2x 2 z y Cộng vế với vế ta 2B ≥ ⇒ B ≥ Do A2 = B +2 ≥ nên A ≥ Vậy Min A = ⇔ x = y = z = 3 Bài a b Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2 = 320 => (x3)2 £ 320 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y khơng ngun (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2); (2;6); (-2;-6); (-2;2) Từ 2x + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 1 Áp dụng BĐT + ≥ (với a, b > 0) a b a +b ⇒ Ta có: 11 1 ≤  + ÷ a+b 4 a b   1 1 1 = ≤  + ÷ 3x + y + z ( x + y + z ) + ( x + y + z )  x + y + z x + y + z   1 1 ≤  + ≤  ( x + y ) + ( x + z ) ( x + y ) + ( y + z )  ≤ 1  1 1  + + +   ÷   x + y x + z x + y y + z  1 1  + +  ÷ 16  x + y x + z y + z  Tương tự: 1 1  ≤  + + ÷ 3x + y + z 16  x + z x + y y + z  1 1  ≤  + + ÷ x + y + z 16  y + z x + y x + z  Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4  + + ≤  + + ÷ x + y + z 3x + y + z x + y + z 16  x + y x + z y + z  4 1  ≤  + + ÷ = = 16  x + y x + z y + z  Bài a) Ta có MO // HA (cùng vng góc với BC) OK // BH (cùng vng góc với AC) · · ⇒KOM = BHA (góc có cạnh tương ứng song song) MK // AB (M, K trung điểm BC AC) · · ⇒ HAB = OMK (góc có cạnh tương ứng song song) ⇒ ∆ABH đồng dạng với ∆MKO ⇒ a b MO MK = = AH AB MO MI · · = = OMI = HAI (so le trong) AH AI IO IO OM = ⇒ ∆AIH đồng dạng với ∆MIO ⇒ = ⇒ = IH IH HA IO2 OM IO2 + OM IO + OM ⇒ 2= ⇒ = = = IH HA IH2 + HA IH + OA2 Xét ∆AIH ∆MIO có 1 + = (1) ( a số dương cho trước) Lấy điểm D Oy OM ON a cho OD = a OD < ON Vẽ DI song song với Ox ( I ∈ đoạn MN ) Lấy E Giả sử Ox cho OE = ID Khi OEID hình bình hành Ta có OE OD NI EI NI MI OE 1 + = + = + = => + = = (2) OM ON NM ON NM MN ON OD.OM OD a Từ (1) (2) => OE OE = = => OE = OD = a không đổi, mà => OM OD.OM OD D ∈ Oy; E ∈ Ox nên D; E cố định Mặt khác O cố định OEID hình bình hành nên I cố định Vậy d ln qua I cố định (ĐPCM) PHÒNG GD&ĐT PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS TRẠCH MỸ LỘC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ ƠN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi số 06) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = 3x + x − x+ x −2 − x +1 x +2 x −2 − x −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P < Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x − x = x + − 30   b) Cho hai số dương a b Chứng minh ( a + b )  + ÷ ≥ a b   Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương b) Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x + y = z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC' a) Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B b) Trên BB' lấy M, CC' lấy N cho ·AMC = ·ANB = 900 Chứng minh AM = AN c) Gọi S, S' diện tích tam giác ABC tam giác A'B'C' Chứng minh cos A + cos B + cos C = − S' S Bài 5: (2,0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn x + y ≥ A = 3x + y + + 5x y - Hết - 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 35 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Nội dung cần đạt Câu a: (2,0 điểm) - Tìm ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ - Ta có 0,5 3x + x − x +1 x −2 − − x+ x −2 x +2 x −1 0,5 3x + x − ( x + 1)( x − 1) ( x − 2)( x + 2) = − − ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) Điểm = 3x + x − − x + − x + ( x + 2)( x − 1) = x+3 x +2 ( x + 2)( x − 1) = ( x + 2)( x + 1) = ( x + 2)( x − 1) 0,5 x +1 x −1 0,5 Câu b: (2,0 điểm) - Ta có: P < ⇒ 0,5 x +1 0) ⇒ x 2a – 2n -1 Do 0,25  2a + 2n + = 23   2a − 2n − = 4a = 24 ⇔ 4n = 20 a = ⇔ n = - Vậy n = 0,5 Câu b: (2,0 điểm) Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x + y = z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 1,0 - Xét phép chia xy cho Nếu xy khơng chia hết cho  x ≡ ±1(mod 3)   y ≡ ±1(mod 3)  x ≡ 1(mod 3) ⇒  y ≡ 1(mod 3) (Vơ lí) ⇒ z = x + y ≡ 2(mod 3) Vậy xy chia hết cho (1) - Xét phép chia xy cho Nếu xy khơng chia hết cho  x ≡ ±1(mod 4)   y ≡ ±1(mod 4)  x ≡ 1(mod 4)  TH1: ⇒  0,5 2  y ≡ 1(mod 4) ⇒ z = x + y ≡ 2(mod 4) (vơ lí ) TH2: Trong hai số x,y số chia dư 2, số chia dư -1 Khơng tính tổng qt giả sử  x ≡ ±1(mod 4)   y ≡ 2(mod 4)  x ≡ 1(mod 8) ⇒ ( vô lí)  y ≡ 4(mod 8) ⇒ z = x + y ≡ 5(mod 8) 0,5 - Vậy xy chia hết cho (2) - Từ (1) (2): Vậy xy chia hết cho 12 A B' C N M B C A' Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B - Xét ΔAC'C; ΔAB'B có Góc A chung 2,0 µ'=C µ ' = 900 B Suy ra: ΔAC'C : ΔAB'B Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN 0,5 - Xét ∆AMC vuông M đường cao MB' AM = AB ' AC 0,5 - Xét ∆ANB vuông N đường cao NC' 0,5 AN = AC ' AB 0,5 - Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos A + cos B + cos C = − S' S 0,5 - Chỉ S AB 'C '  AB '  = ÷ = cos A S ABC  AB  S BA ' C ' = cos B - Tương tự S ABC SCA ' B ' = cos C S ABC 0,5 - Do đó: cos A + cos2 B + cos C = = S ABC − S A ' B ' C ' S ABC = 1− S AB ' C ' + S BA 'C ' + SCA ' B ' S ABC 0,5 S' S 0,5 Cho x, y số dương thỏa mãn x + y ≥ 34 35 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 3x + y + x + y 0,5 - Ta có: + 5x y 1 5x y = x+ y+ + + + 2 5x y A = 3x + y + - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta 5x 2.5 x + ≥2 =2 5x x.2 0,5 0,25 7x 8.7 x + ≥2 =4 7x x.2 - Vì x + y ≥ 34 34 17 nên A ≥ + + = 35 35 35  5x  5x = 2   x=   7y  ⇔ - Dấu "=" xảy  = y  y =   34 x + y = 35  0,5  x=  17  - A đạt giá trị nhỏ  35 y =  0,25 PHÒNG GD&ĐT PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS TRẠCH MỸ LỘC ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TOÁN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi số 07) Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2018 Tính f(a) a = 16 − + 16 + b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) − x + + x = b) x + x + = 2 x + Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: ( x y − + y x − ) = xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c ≥ Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a) Chứng minh: KC AC + CB − BA2 = KB CB + BA2 − AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? - Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ x −9 A= ( ( = ( )( x − 2) ( x −2 x +1 )( x −3 ) )= x − 3) x −2 − x + x + x − − x + + 2x − x − + = = x −2 x −3 x −2 x −3 ( )( ) ( x− x −2 x −2 )( x +1 x −3 b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: A = x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Gợi ý: xy + yz + xz = ⇔ + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2018 Tính f(a) a = 16 − + 16 + b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương ? Giải a) Từ a= 16 − + 16 + ( )( ) ⇒ a = 32 + 3 16 − 16 +  16 + + 16 −  = 32 − 12a nên a3 + 12a = 32   Vậy f(a) = k − n = ⇒n=8  k + n = 17 b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ∈ ¥ ) k > n ⇒ (k – n)(k + n) = 17 ⇔  Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/ − x + + x = b/ x + x + = 2 x + Giải a) ĐK: −4 ≤ x ≤ Bình phương vế: − x + + x + (1 − x)(4 + x) = ⇔ (1 − x)(4 + x) = x −3 ) x = ⇔ − x − x = ⇔ x( x + 3) = ⇔  (thỏa mãn)  x = −3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b) x + x + = 2 x + ĐKXĐ: x ≥ ) ( ( −3 ) ⇔ x2 + x + + 2x + − 2x + + = ⇔ ( x + 1) + (  x + = 2x + −1 = ⇔  ⇒ x = −1  x + = ) Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn: ( x y − + y x − ) = xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a+b+c ≥ Giải a/ ( x y − + y x − ) = xy ⇔ x.2 y − + y.2 x − = xy Xét VP = x.2 y − + y.2 x − theo BĐT cosi: y − ≤ 4+ y −4 y 4+ x−4 x = ;2 x − ≤ = 2 2 VP ≤ xy = VT  x − = Dấu = xảy khi:   y − = ⇒ x= y =8 b/ Do a; b; c thuộc đoạn [ −1; 2] nên a + ≥ 0; a – ≤ nên (a + 1)(a – 2) ≤ Hay: a2 – a – ≤ ⇒ a2 ≤ a + Tương tự: b2 ≤ b + 2; c2 ≤ c + Ta có: a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c ≥ Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a/ Chứng minh: KC AC + CB − BA2 = KB CB + BA2 − AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: A AC + CB − BA2 AK + KC + ( BK + CK ) − AB = CB + BA2 − AC ( BK + CK ) + BA2 − ( AK + KC ) 2CK + BK CK 2CK (CK + BK ) CK = = = BK + BK CK BK ( BK + CK ) BK D E H AK AK ; tanC = BK CK b/ Ta có: tanB = Nên: tanBtanC = B AK (1) BK CK K C KC · Mặt khác ta có: Bµ = HKC mà: tanHKC = KH Nên tanB = KC KB KB.KC ⇒ tan B.tan C = tương tự tanC = (2) KH KH KH Từ (1)(2) ⇒ ( tan B.tan C ) Theo gt: HK = 2  AK  = ÷  KH  AK ⇒ tan B.tan C = 3 c/ Ta chứng minh được: ∆ABC ∆ADE đồng dạng vậy: S ABC  AB  = ÷ (3) S ADE  AD  Mà BÂC = 600 nên ·ABD = 300 ⇒ AB = 2AD(4) S ABC Từ (3)(4) ta có: S = ⇒ S ADE = 30(cm ) ADE PHÒNG GD&ĐT PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS TRẠCH MỸ LỘC ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi số 08) Câu (4,0 điểm):  3x + x − + + Cho biểu thức A =  x −1  x+ x −2  1 − ÷: x +2  x −1 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm giá trị x để số tự nhiên A Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: x − 10 x + 27 = − x + x − Câu (4,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = x +1 x + x +1 Câu (6,0 điểm) Cho thẳng AB có trung điểm O Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB cho CO = DO = OA = OB Lấy điểm E đối xứng với A qua M 1) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? 2) Gọi H K hình chiếu M AB AC Chứng minh rằng: HM MK CD × = HK MC R 3) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C’ nằm đường tròn cố định M di chuyển đường kính AB (M khác A B) Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: c + ab a + bc b + ac + + ≥2 a+b b+c a+c - Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Câu Ý Lời giải x ≥ Điều kiện:  x ≠  3x + x − A= + x + x −  ( ( = ( =( )( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) 0,5 ×( x − 1) ) x + 2) ×( x + 2) x −1 0,5  1 − ÷: x +2  x −1 + x −1 x+3 x +2 = Điểm 0,5 x +2 )( x −1 0,5 ) x +1 0,5 x ≥ Với điều kiện:  x ≠ Ta có: A = Vì A = ( ( ) 2 x + ≥ với x ≥ nên ≤ = Do đó: A Mà ) x +1 ( ) x +1 x + > nên ∈¥ ( ) ( ) x +1 = ) x +1 x + = x + =1 Do đó: x = x = ( 2 ( 0,5 ≤2 ) x +1 = 0,5 2 −1 = − 2 0,5 số tự nhiên x = x = − 2 A Giải phương trình: x − 10 x + 27 = − x + x − Vậy 0,5 Điều kiện: ≤ x ≤ VT = x − 10 x + 27 = ( x − ) + ≥ , dấu “=” xảy ⇔ x = VP = − x + x − ≤ Dấu “=” xảy ⇔ ( + ) ( = 6− x VT = VP ⇔ x = (TMĐK) ) ( 6− x + ) 0,5 x −  ⇔ VP ≤ ,  ⇒ 6− x = x−4 ⇔ x = x −1 0,5 Vậy nghiệm phương trình x = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A= x +1 x + x +1 2 1  Ta có: x + x + =  x + ÷ + > 0, ∀x ∈ ¡ 2  0,25 x+1 x2 + x + − x2 x2 x2 A= = = 1− ≤ (vì ≥ 0, ∀ x ∈ ¡ ) x + x+1 x + x+1 x + x+1 x + x+1 0,5 Đẳng thức xảy x = 0, suy ra: maxA = x = 0,25 x + x + − ( x + x + 1) x +1 3x + A= ⇒ 3A = = x + x +1 x + x +1 x2 + x +1 = ( x + 2) x2 + x + − ≥ − (vì ( x + 2) 0,5 x2 + x + ≥ 0, ∀ x ∈ ¡ ) Suy ra: A ≥ − , đẳng thức xảy x + = ⇔ x = −2 3 0,5 0,25 0,25 1 Suy ra: minA = − , x = −2 Tìm A(0; 3); B(0; 7) Suy I(0; 5) Hoành độ giao điểm J (d1) (d2) nghiệm PT: x + = 3x + 0,5 0,5 ⇒ x = – ⇒ yJ = ⇒ J(-2;1) 0,5 1,0 Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 ⇒ OJ2 + IJ2 = OI2 ⇒ tam giác OIJ tam giác vuông J 0,5 1 ⇒ S ∆OIJ = OI OJ = × × 20 = (đvdt) 2 0,5 Vì CD ⊥ AB ⇒ CM = MD 0,5 Tứ giác ACED có AE cắt CD trung điểm đường nên hình 0,5 bình hành 0,5 Mà AE ⊥ CD ⇒ tứ giác ACED hình thoi Vì tam giác ABC có AB đường kính (O) nên ∆ABC vng C, suy 0,5 tứ giác CHMK hình chữ nhật Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng ta có: MH.AC = MA.MC ⇒ MH = Tương tự ta có: MK = ⇒ MH.MK = MA.MC AC MB.MC BC MA.MB.MC AC.BC 0,5 0,5 Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông C) 0,5 MC MC MC3 MH.MK MC ⇒ MH.MK = = ⇒ = MC.AB AB MC AB Mà MC = MK ( CHMK hình chữ nhật) ⇒ MH.MK MC 2MC CD = = = HK.MC AB 2AB 4R HM MK CD × = (đpcm) HK MC 4R Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy O’ cố định Vậy: 0,5 0,5 Tứ giác COC’O’ hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm A đường 0,5 Do O’C’ = OC = R khơng đổi 0,5 Suy C’ nằm đường tròn (O’;R’) cố định M di chuyển đường kính AB Vì a + b + c = nên 0,5 c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) nên BĐT cần chứng minh tương đương với: 0,5 ( c + a) ( c + b) + ( b + a) ( b + c ) + ( a + b) ( a + c) a+b a+c b+ c 0,5 ≥2  ( c + a) ( c + b)   ( b + a) ( b + c)   ( a + b) ( a + c)  ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥2 a+b a+c b+ c       2 0,5 Mặt khác dễ thấy: x + y + z ≥ xy + yz + zx , với x, y, z (*) Áp dụng (*) ta có: VT ≥ b + c + a + b + c + a = Dấu “=” xảy a = b =c = ⇒ đpcm 0,5 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm khơng làm theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm ... kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = b)Từ a= 3 + 17 + 3 − 17 0.25 ⇒ a3 = ( 3 + 17 + 3 − 17 ) ⇔ a = + 3 + 17 3 − 17 ( 3 + 17 + 3 − 17 ⇔ a = − 6a ) 0.25 0.25 ⇔ a + 6a − = Vậy : f ( a ) =... trình: x + 2015 x − 2014 = 2 017 x − 2016 ĐK x ≥ 1,0đ 2016 2 017 ⇒x − x + + 2 017 x − 2016 − 2 017 x − 2016 + = 2a (2đ) ⇔ ( x − 1) + ( ) 2 017 x − 2016 − = 1,0đ  x − = ⇔  2 017 x − 2016 − = x = ⇔... TRẠCH MỸ LỘC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ ƠN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2 017 - 2 018 MÔN: TOÁN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi số 04) Bài 1: (3 điểm) Cho