Bài 17 (tr 235 247) nguyễn văn nho

VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÍ THUYẾT SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CHƯA GIẢI ĐƯỢC Nguyễn Văn Nho1 Lí thuyết số phân mơn Tốn học liên quan đến số Chúng ta tiếp cận số tự nhiên từ lớp vỡ lòng Đối với loài người, số tự nhiên tự nhiên gắn liền họ tính tốn buổi sơ khai Từ năm 2500 BC (trước Công nguyên), người Xu-me (Sumerian) phát triển hệ thống số với số 60 Tiếp đến, tài liệu lưu lại cho thấy người Babylon tính tốn nhiều số từ năm 2000 BC Một thời gian dài trôi qua, người ta bắt đầu nghiên cứu số cách có hệ thống Khoảng năm 600 BC, Pythagore mơn đệ lần phân lớp số nguyên thành số chẵn, số lẻ, số nguyên tố, hợp số Đặc biệt, nhóm Pythagore thường thiết lập mối tương quan số dáng điệu hình học Họ đưa ý tưởng số đa giác (polygonal numbers), ví dụ sau Số tam giác: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, Số tứ giác: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, Số ngũ giác: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, (Bạn đọc tự vẽ ngũ giác lồng để hình dung) Chúng ta biết, vào thời đó, nhóm Pythagore tìm định lí hình học tiếng cho cạnh tam giác vng Từ đó, ba (x, y, z) thỏa mãn x  y  z mệnh danh ba Pythagore Trong bảng tính Babylon tìm thấy vào năm 1700 BC có loại ba Nhóm Pythagore xác lập vô hạn ba Pythagore theo công thức: 1 x  n , y  (n  1) , z  ( n  1) , với n số lẻ 2 Nguyên Giảng viên Khoa Toán-Tin ĐHSP Đà Nẵng, Biên tập viên NXBGD Việt Nam, nghỉ hưu làm việc tự 235 Ví dụ: x 11 13 15 17 19 y 12 24 40 60 84 112 144 180 z 13 25 41 61 85 113 145 181 Bắt đầu số chẵn, ta có ba Pythagore, chẳng hạn x 12 16 20 y 15 35 63 99 z 17 37 65 101 Trong ví dụ ta thấy z = y + Platon (Plato: 430-349 BC) thiết lập công thức tổng quát cho ba này, là: x  4n , y  4n  , z  4n  Vào khoảng 300 BC, kiện quan trọng cho việc phát triển Toán học xảy ra: sách đồ sộ gồm 13 Euclide (Cơ sở: Elements) móng cho chứng minh chặt chẽ ý tưởng xảy quy nạp hàng nghìn năm trước Ba VII, IX X dành riêng cho Lí thuyết số Đặc biệt, X, cơng thức tổng qt hố cho cơng thức trước ba Pythagore thiết lập: x  t (a  b ) , y  tab , z  t (a  b ) , đó, t, a, b số nguyên dương cho a > b, a b khơng có ước ngun tố chung có tính chẵn lẻ khác Trong IX, nhóm Euclide tìm chứng minh dạng tổng quát cho số hoàn hảo (chẵn) - perfect - mà nhóm Pythagore đặt vấn đề: p 1 ( p  1) , với p p 1 số nguyên tố Ví dụ: = 2 1 (2  1) = 2.3 ; 28 = 31 (2  1) = 4.7 Khơng số hồn hảo lẻ tìm thấy tận Nếu có nữa2, số phải lớn 1050 Một thời gian dài trôi qua khoảng chừng 500 năm kể từ sau Euclide, khơng có cơng trình đáng kể cho Lí thuyết số Khoảng năm 250 AD (sau Cơng ngun), nhà Tốn học Hi Lạp Diophantus of Alexandria xuất 13 sách, tìm thấy ngày Ơng người Hy Lạp sử dụng kí hiệu đại số cách có hệ thống, ơng Dickson, Leonard Eugene History of the Theory of Numbers (Vol 1), Chelsea Publishing Co., Newyork, 1966 236 giải số phương trình nghiệm ngun hai ba ẩn, đặt móng cho việc nghiên cứu phương trình mang tên ơng (Diophantus - Diophantine equations) đến tận Sau Diophantus, khơng có cơng trình đáng kể cho Lí thuyết số, đến kỉ 17 (tuy nhiên, vài chứng cho thấy miền Viễn Đông, đặc biệt Ấn Độ, khoảng 500 AD đến 1200 AD, có nhiều nghiên cứu lĩnh vực này) Vào lúc đó, lên nhà Toán học người Pháp lỗi lạc, mệnh danh cha đẻ ngành Lí thuyết số, Pierre de Fermat (1601-1665) Ơng ta quan tâm nhiều đến cơng trình Diophantus khám phá nhiều tính chất sâu sắc đẹp đẽ số nguyên Chẳng hạn: Một số nguyên số tam giác, tổng hai hay ba số tam giác; Mọi số nguyên số phương (số tứ giác), tổng hai, ba hay bốn số phương; Một số nguyên số ngũ giác, tổng hai, ba, bốn hay năm số ngũ giác; v v Fermat chứng minh số nguyên tố có dạng 4n + 5, 13, 17, 29, 37, 41, viết dạng tổng hai số bình phương, chẳng hạn: = + 22, 13 = 22 + 32, 17 = 12 + 42, 29 = 22 + 52, 37 = 12 + 62, 41 = 42 + 52 Tiếp theo sau Fermat thời gian ngắn, nhiều nhà Tốn học đóng góp nhiều cho phát triển Lí thuyết số, Euler (1707-1783), Lagrange (1736 -1813), Legendre (1752-1833), Gauss (1777-1855) Dirichlet (1805-1859) Giáo trình Lí thuyết số Legendre xuất vào năm 1798 Ba năm sau, Gauss xuất Disquisitiones Arithmaticae (Những nghiên cứu Số học), xếp chủ đề cách hệ thống khoa học Gauss nhắc đến nhà Tốn học đa năng, có nhiều cơng trình ngành Tốn học, nhiên, giới Tốn học sau đánh giá tác phẩm vĩ đại đời ông Kể từ sau Gauss, Lí thuyết số bắt đầu phát triển vũ bão theo nhiều hướng khác nhau, đây, chúng tơi khơng nêu ví dụ, liên quan đến khái niệm Toán học đại Tuy nhiên, có nhiều cơng trình số ngun tố nêu Năm 1914, nhà Toán học Mĩ D N Lehmer cho xuất tất số nguyên tố bé 10 triệu Có 664579 số nguyên tố bé 10 triệu, chiếm gần 6,5% số Gần nhất, trai ông D H Lehmer, 237 đưa bảng số nguyên tố bé 10 tỉ Có 455052511 số nguyên tố thế, chiếm gần 4,5% số Số lớn, số nguyên tố thưa Chẳng hạn, số nguyên tố 370261 đứng sau 111 hợp số liền trước nó; hai số nguyên tố 20831323 20831533 không tồn số nguyên tố Mặt khác, lại có cặp số nguyên tố lẻ kề nhau, chẳng hạn, 5, 101 103 Các cặp số nguyên tố gọi cặp số nguyên tố kề (hoặc cặp nguyên tố song sinh: twin primes), đơn vị Có khoảng 1000 twin primes bé 100000, khoảng 8000 twin primes bé triệu Cho đến nay, twin primes lớn tìm 76  3139  76  3139  Các nhà Lí thuyết số tin có vơ hạn cặp nguyên tố song sinh, song chưa chứng minh điều này3 Có nhiều cơng thức để xác định loạt số nguyên tố, nhiên, chưa có cơng thức tổng qt Ví dụ:  x  x  41 biểu diễn số nguyên tố x = 0, 1, 2, , 39, 40  x  79x  1601 biểu diễn số nguyên tố x = 0, 1, 2, , 78, 79 Còn có nhiều đa thức bậc ba, bốn, cao để truy nhận số ngun tố, nhiên, khơng có cơng thức tổng quát Vấn đề tìm kiếm theo hướng thực khép lại vào năm 1752, Goldbach chứng minh Khơng có đa thức với hệ số nguyên nhận giá trị số nguyên tố với giá trị x Tuy vậy, có vài cơng thức biểu diễn vơ hạn số nguyên tố Chẳng hạn, với vô hạn x thuộc tập số nguyên dương, 2x + biểu diễn vô hạn số nguyên tố (chú ý, với x nguyên dương 2x + số ngun tố cơng thức cho ta vơ hạn số ngun tố, nói cách khác, có vơ số số nguyên tố dạng này), tương tự, ta có cơng thức 4x + 4x + Tổng quát, vào năm 1873, Dirichlet chứng minh Nếu a b nguyên tố đa thức ax + b cho ta vô hạn số ngun tố tìm với vơ hạn x thuộc tập số nguyên dương n n Williams, H.C., and Zarnke, C.R Some prime numbers of the form 2A3 +1 and 2A3 -1 Math Comp., 1972 238 Kết thường biết với tên gọi Định lí Dirichlet tồn dãy số nguyên tố tuân theo luật cấp số cộng Để chứng minh định lí này, Dirichlet giới thiệu khái niệm (sau khái niệm hữu hiệu ngành Giải tích) giới hạn liên tục Từ đó, ơng khai sinh hướng nghiên cứu mới, ngành Lí thuyết Giải tích Số (analytic number theory), nơi đây, cơng cụ giải tích thực phức sử dụng để giải toán đặt số nguyên Cho đến thời Dirichlet, người ta chưa tìm đa thức bậc hai biểu diễn vô hạn số nguyên tố Cũng công cụ giải tích, Dirichlet4 chứng minh Có vơ hạn số nguyên tố biểu diễn dạng ax  2bxy  cy , đó, số a, 2b c khơng có ước ngun tố chung; x y số nguyên dương n Fermat đề xuất ý tưởng công thức 2  cho ta số nguyên tố với n = 0, 1, 2, Các số dạng gọi số Fermat thứ n, kí hiệu Fn Ta có số nguyên tố F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 Tuy nhiên, vào năm 1732, Euler tìm thấy F5 = 32   641 700 417 hợp số Các số Fermat có mối liên hệ thật đẹp với Hình học, chẳng hạn, Gauss chứng minh rằng: Nếu số Fermat Fn số ngun tố dựng đa giác Fn cạnh thước thẳng compass Ngày nay, máy tính, người ta tiếp tục tìm xem số Fermat thứ không số ngun tố, cơng việc dễ dàng Cho đến nay, người ta khơng tìm số Fermat thứ n số nguyên tố với n  Tính đến tháng 10 năm 2003, người ta tìm đuợc 217 số Fermat khơng ngun tố Thành cơng thuộc nhà Toán học John Cosgrave nhóm cộng Proth-Gallot Group ơng thuộc Đại học đường St Patrick's (Dublin, Ireland), công bố vào ngày 10 tháng 10, 2003: 22478785 + ước số F2478782 Để thấy kết tìm kiếm từ năm 1732 năm 2003 số Fermat không nguyên tố, mời bạn tham khảo thêm bảng kê đầy đủ (kể tên người thực hiện) Wilfrid Keller địa Tom M Apostol Introduction to Analytic Number Theory, Springer Verlag, 1976 239 URL: http://www.prothsearch.net/fermat.html Như trình bày, khơng (hoặc chưa) có cơng thức tổng qt cho số nguyên tố, vậy, nghiên cứu tính phân phối chúng tập số tự nhiên điều khó khăn Bây giờ, kí hiệu  ( x) số tất số nguyên tố p thỏa mãn  p  x, người ta lập bảng so sánh sau đây: x  (x ) x log x 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 25 168 1229 9592 78498 664579 5761455 50847534 455052511 4,3 21,7 144,8 1086 8686 72382 620420 5428681 48254942 434294482  ( x) / x log x 0,93 1,15 1,16 1,13 1,10 1,08 1,07 1,06 1,05 1,048 Một độc lập nhau, dựa vào bảng trên, Gauss Legendre đưa giả thuyết tỉ số  ( x) / x log x (*) có giới hạn x tiến vô Nhưng hai thất bại nỗ lực chứng minh giả thuyết Bài toán thu hút nhà Toán học, họ thất bại, khoảng 100 năm Vào năm 1851, nhà Toán học Nga Chebyshev thu thành công đáng kể ông ta chứng minh Nếu tỉ số (*) có giới hạn giới hạn phải Tuy nhiên, Chebyshev khơng chứng minh tồn giới hạn Đến năm 1859, Riemann sử dụng công cụ Giải tích để tiếp cận tốn, ơng khảo sát cơng thức mà Euler đưa vào năm 1737:   (s )   n 1 n 240 s , đó, s số thực Khi xét s tập số phức, Riemann mối liên hệ phân phối số nguyên tố tính chất hàm  (s) Các nhà Tốn học thời khơng đồng ý chi tiết phương pháp này, Riemann khơng hồn tất giải tốn ngày ông vào năm 1866, ông đề xuất với nét tư tráng lệ cho ngành Lí thuyết Giải tích Số Ba mươi năm trơi qua, cơng cụ giải tích phát triển đủ để thực ý đồ Riemann Vào năm 1896, hai nhà Toán học J Hadamard C.J de la Vallée Pousin hoạt động độc lập chứng minh hoàn tất được: lim x   (x ) log x  x Kết mệnh danh Định lí Số nguyên tố (prime number theorem) đánh giá kết quan trọng ngành Giải tích Số Đến năm 1949, hai nhà Toán học đại Atle Selberg Paul Erds làm cho giới Toán học kinh ngạc họ chứng minh lại Định lí Số nguyên tố phương tiện sơ cấp, chẳng dùng hàm  (s) , chẳng đả động đến kết hàm biến phức Một vấn đề tiếng lĩnh vực Lí thuyết số giả thuyết Goldbach Năm 1742, Goldbach viết cho Euler, ông nghi ngờ số chẵn (  4) viết dạng tổng hai số nguyên tố Ví dụ: = + 2, = + 3, = + 5, 10 = + = + 5, 12 = + Cho đến ngày nay, chưa có chứng minh tính sai giả thuyết đó, khảo sát liên tiếp ngày khiến người ta nghĩ giả thuyết Người ta kiểm tra giả thuyết đến số lớn, chẳng hạn, cho số tự nhiên bé 33  10 , chí, với số tự nhiên lớn bé 33  106, tổng hai số nguyên tố phân biệt Tuy nhiên, chứng minh tổng quát điều chờ đợi Các số nguyên tố phân làm hai lớp, lớp có dạng 4n + lớp có dạng 4n + Gọi  ( x ) số số nguyên tố có dạng 4n + bé x;  (x ) số số nguyên tố có dạng 4n + bé x Các tính tốn cho thấy  (x )   (x ) với x < 26861 Nhưng Dickson, Leonard Eugene Studies in Theory of Numbers, The University of Chicago Press, 1966 241 vào năm 1957, J Leech tìm thấy x = 26861  (x ) = 1473  (x ) = 1472 Thực chất, năm 1914, Littlewood chứng minh  (x ) <  (x ) với vô hạn x  ( x) >  (x ) với vô hạn x Như vậy, giả thuyết kiểm tra cho nhiều trường hợp khơng thể kết luận giả thuyết đúng, đặc điểm tính chân xác tuyệt đối Toán học tuý (pure), khác với khoa học thực nghiệm khoa học xã hội Năm 1930, nhà Toán học người Nga, Schnirelmann, chứng minh Tồn số tự nhiên M cho với n đủ lớn, phân tích n thành tổng M bé M số nguyên tố Có thể nói, kết gần với việc chứng minh giả thuyết Goldbach, ta chứng minh M = với n chẵn, giả thuyết Goldbach với n đủ lớn Năm 1956, nhà Toán học Trung Quốc Yin Wen-Lin chứng minh M  18 Các nhà Tốn học trí kết nói Schnirelmann bước tiến đáng kể vòng 200 năm (tính đến 1930) đường tiếp cận chứng minh giả thuyết Goldbach Trên đường đó, kết đáng kể khác tiếp theo, năm 1937, nhà toán học Nga, I M Vinogradov, chứng minh: Với n lẻ đủ lớn, phân tích n thành tổng số nguyên tố 15 Chính xác hơn, điều với n lẻ lớn 33 Rõ ràng là, kết Vinogradov mạnh hai kết Schnirelmann Yin Wen-Lin gộp lại Thật vậy, ta biết số chẵn (khác 2) viết thành số lẻ cộng thêm Do đó, từ định lí Vinogradov, suy định lí Schnirelmann với M  Tuy nhiên, đây, Vinogradov sử dụng phương tiện ngành Giải tích Số, hai người sử dụng phương tiện chứng minh hồn tồn Một kết nữa, chứng minh nhà Toán học Hungaria, Rényi, năm 1948: Tồn số tự nhiên M cho với n chẵn đủ lớn, phân tích n thành n = p + A, p số nguyên tố A tổng không M số nguyên tố khác Từ định lí suy ra, chứng minh M = coi chứng minh xong giả thuyết Goldbach cho n đủ lớn Năm 1956, A A 242 Buhstab A I Vinogradov chứng minh M  3, Chen Jingrun chứng minh M  vào năm 1996 Vấn đề M = câu hỏi lơ lửng bầu trời Lí thuyết số, thu hút nhiều mối quan tâm Các bạn thân mến, bây giờ, muốn nhắc đến nơi tên tuổi nhà Vật lí, Simon Singh (nước Anh), người tỏ xúc động làm quen với nhà Toán học đương thời Andrew Wiles: "By the time I first met Andrew Wiles, I had come to realise that it is truly one of the greatest stories in the sphere of scientific or academic endeavour - Lần gặp gỡ Andrew Wiles, nhận thật câu chuyện lớn lao lĩnh vực khoa học hay phạm vi nỗ lực tầm cầu học thuật." Và Simon Singh hoàn thành tác phẩm tám chương nhan đề Định lí sau Fermat (Fermat's Last Theorem - Fourth Estate Limited, London, 1997), thực kịch tên trình chiếu Đài truyền hình BBC Tác phẩm câu chuyện dài lãng mạn nhà Toán học lao tâm đường cố gắng chứng minh Định lí sau Fermat mà thất bại họ lại mở đầu cho thành công theo hướng khác Andrew Wiles, người khởi đầu từ thất bại tiền nhân, đồng nghiệp thất bại để theo đuổi vấn đề suốt ba mươi năm đằng đẵng, để kết thúc vinh quang vào mùa hạ năm 1993, công cụ Toán học đại Ngày 27 tháng năm 1997, Andrew Wiles nhận giải thưởng Wolfskehl Prize trị giá 50000 đơ-la, điều có nghĩa nhà Tốn học giới trí ơng ta thực kết thúc vấn đề khiến bao người trăn trở suốt 358 năm, chứng minh đẹp khoảng chừng 200 trang vấn đề chung quanh khơi mở (Fermat tuyên bố ông ta chứng minh xong khơng tìm thấy chứng minh cả): Với n  3, phương trình Diophantine x n  y n  z n khơng có nghiệm khơng tầm thường Sau cùng, chúng tơi đưa số toán chưa giải Lí thuyết số Biết đâu, có bạn đọc trẻ học sinh chuyên toán xuất sắc, ngày sau đóng góp phần lớn việc giải tốn Có đến hàng trăm tốn chưa giải Hồi vọng giải chúng, thành cơng hay thất bại đóng góp nhiều cho phát triển Toán học Chẳng hạn, nỗ lực 243 chứng minh Định lí số ngun tố (đã nói trên) góp phần tạo nên phát triển Giải tích hàm biến phức Giải tích hàm Còn ngành Lí thuyết Số - Đại số mở đường tìm kiếm cách chứng minh Định lí sau Fermat phát triển Một số tốn chưa giải Lí thuyết số CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ NGUN TỐ Bài tốn Giả thuyết Goldbach Có tồn số chẵn lớn không biểu diễn thành tổng hai số ngun tố hay khơng? Bài tốn Có tồn vô hạn số nguyên tố song sinh (twin primes) hay khơng? Bài tốn Có tồn vơ hạn số nguyên tố có dạng 2p + 1, với p ngun tố, hay khơng? Bài tốn Có tồn vô hạn số nguyên tố Mersenne 2p  1, với p nguyên tố hay không? Ghi chú: Số Mersenne thứ k số có dạng Mk = k  với k  Z+ Số Mersenne nguyên tố gọi số nguyên tố Mersenne Tên gọi để tỏ lòng tơn kính Mersenne, người nghiên cứu chúng vào năm 1644 Ví dụ: với p = 2, ta có M2 = 22  = số nguyên tố, với p = 3, ta có M3 = 23  = số ngun tố Bài tốn Có tồn vô hạn số nguyên tố Fermat hay không? k (Số Fermat số có dạng Fk = 22  với k  N) Bài tốn n Có tồn vô hạn hợp số dạng 22 + hay khơng? Ví dụ: 22 + = 4294967297 hợp số chia hết cho 641 Bài tốn Có ln tồn số ngun tố nằm hai bình phương liên tiếp hay khơng ? (Nghĩa có ln tồn số ngun tố nằm n2 (n + 1)2 hay không ?) 244 Bài tốn Có tồn số ngun tố tổng ba lập phương hay không ? (Nghĩa có tồn số nguyên tố có dạng x3 + y3 + z3, với x, y, z  Z hay khơng?) Bài tốn Có tồn vơ hạn số nguyên tố Fibonacci hay không? Chú ý: Số Fibonacci số dãy : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (mỗi số hạng, trừ số hạng đầu tiên, tổng số hạng đứng trước nó) Bài tốn 10 Có tồn vơ hạn số ngun tố có dạng n! + 1, với n  N hay không? Bài tốn 11 Có tồn giá trị ngun dương n khác 1, 2, cho nn + số ngun tố hay khơng? Bài tốn 12 Tồn hay khơng số ngun tố có dạng x + với x  Z ? CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ HỒN HẢO Bài tốn 13 Có tồn vơ hạn số hồn hảo (perfect) chẵn hay khơng? Ghi chú: Số hồn hảo số nguyên dương mà tổng tất ước số (trừ nó) Ví dụ, 28 số hồn hảo vì: = + + ; 28 = + + + + 14 Bài tốn 14 Có tồn số hồn hảo lẻ hay khơng ? Bài tốn 15 (Giả thuyết Catalan) Có phải có luỹ thừa hoàn hảo liên tiếp hay không ? Ghi chú: Một số nguyên tố gọi luỹ thừa hồn hảo có dạng mn, m, n  Z, n > Ví dụ: 8, 9, 16 luỹ thừa hồn hảo chúng có dạng : 23, 32, Bài toán 16 (Bài toán phân số Ai Cập) Nếu n số ngun lớn 1, có tồn số nguyên x, y, z cho    hay không ? n x y z 245 Ghi chú: Một số có dạng x với x  Z, x  gọi phân số Ai Cập Tên gọi xuất phát từ kiện sau: người Ai Cập thuở xưa tiến hành chia đất, họ thường nói, chẳng hạn, ba lần tư Bài toán muốn hỏi rằng: phân số n , khơng nói ba phần (n > 1) có tổng phân số Ai Cập hay khơng? CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ  Bài tốn 17 Số e +  có số vô tỉ không? Ghi chú: Số e số logarithm Neper e  2,71828 Số e số cho đạo hàm (ax)’ = ax (tức (ex)’ = ex)).Ta biết e,  số vô tỉ, chưa biết tổng e +  có số vơ tỉ hay khơng Bài toán 18 Giá trị số 1 1     27 64 bao nhiêu? (Số hạng thứ n nghịch đảo n3) Chú ý: Nếu thay (nghĩa số hạng thứ n nghịch đảo n2) ta có kết 1 1 2      16 Nếu thay 4, ta có: 1 4     16 81 90 CÁC BÀI TỐN KHÁC Bài tốn 19 Có tồn số nguyên dương phân biệt a, b, c, d cho a5 + b5 = c5 + d5 hay khơng? Chú ý: Ta có: + 12 = 93 + 103 quan hệ tương tự chưa biết luỹ thừa bậc Các đồng thức khác đáng ý : 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 Bài tốn 20 Có tồn số nguyên n x (với n > 7) cho n! + = x2 hay khơng? 246 Chú ý: Ta có 4! + = 25 = ; 5! + = 121 = 112 ; 7! + = 5041 = 71 Bài tốn 21 Số viết dạng 13 + 13 + 13 , hay dạng 43 + 43 + (5)3 Có tồn cách viết khác biểu diễn số tổng số lập phương (dương hay âm) hay không? Bài tốn 22 Một số ngun có phải tổng số lập phương không? Chú ý: Ở đây, số lập phương dương, âm hay Ví dụ: 84 = 03 + 416396113 + (41531726)3 + (8241191)3 Tuy nhiên ta chưa biết, chẳng hạn, số 148 có tổng số lập phương hay khơng Bài tốn 23 Có phải có hữu hạn số phương mà số phương có vừa chữ số thập phân khác khác hay không? Ví dụ : 382 = 1444, 882 = 7744, 1092 = 11881, 1732 = 29929 , 212 = 44944, 2352 = 55225, 31142 = 9696996 Bài tốn 24 Có tồn điểm mặt phẳng mà khoảng cách đến bốn đỉnh hình vng đơn vị số hữu tỉ khơng? Bài tốn 25 Có tồn hay không tam giác mà cạnh, trung tuyến diện tích có số đo số nguyên? *** Nguyễn Văn Nho K72/25 Lý Tự Trọng, Đà Nẵng 247 ... triển Lí thuyết số, Euler (170 7 -178 3), Lagrange (173 6 -1813), Legendre (175 2-1833), Gauss (177 7-1855) Dirichlet (1805-1859) Giáo trình Lí thuyết số Legendre xuất vào năm 179 8 Ba năm sau, Gauss xuất... hay khơng? Bài tốn 11 Có tồn giá trị nguyên dương n khác 1, 2, cho nn + số ngun tố hay khơng? Bài tốn 12 Tồn hay khơng số ngun tố có dạng x + với x  Z ? CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ HỒN HẢO Bài tốn 13... thường nói, chẳng hạn, ba lần tư Bài toán muốn hỏi rằng: phân số n , khơng nói ba phần (n > 1) có tổng phân số Ai Cập hay khơng? CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ  Bài tốn 17 Số e +  có số vơ tỉ không? Ghi