Bài 6 (tr 81 95) trần nam dũng

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trần Nam Dũng Trường ĐHKHTN - ĐHQG Tp Hồ Chí Minh Viết tập tài liệu này, tác giả sử dụng nhiều nguồn tài liệu khác nhau, nhiên có số có ghi nguồn gốc, số xác định Tác giả sử dụng giảng thầy Phan Đức Chính, Nguyễn Văn Mậu, Lê Đình Thịnh, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Minh Đức viết Tập tài liệu khơng khỏi có nhầm lẫn thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý tất thầy giáo Và mong rằng, với nỗ lực chung tất chúng ta, tập tài liệu tiếp tục hoàn thiện bổ sung Xây dựng dãy hội tụ phương trình Có thể xây dựng dãy số hội tụ số  xuất phát từ phương trình có nghiệm  theo cách sau: Ví dụ: Xét  = ,  nghiệm phương trình 2 = Ta viết lại dạng  = 2/  2 =  + 2/   = ( + 2/)/2 ta thiết lập dãy số xn thoả mãn x0 = a, xn+1 = (xn+2/xn)/2 Nếu dãy hội tụ giới hạn Tương tự vậy, ta xây dựng dãy số tiến bậc k m sau: x0 = a, xn+1 = (xn+m/xnk-1)/2 Cũng với giới hạn cần đến , ta xây dựng dãy số khác theo “phong cách” vậy: x0 = a, xn+1 = + xn - xn2/2 Tất nhiên, tất ví dụ trên, ta có phương trình với nghiệm theo ý muốn chứng minh hội tụ dãy số Vì vậy, cần cẩn thận với cách thiết lập tốn kiểu Ví dụ, với dãy số xn+1 = + xn - xn2/2 khơng phải với x0 dãy hội tụ, lúc giới hạn Một cách tổng qt, ta dùng phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Newton để xây dựng dãy số Để tìm nghiệm phương trình F(x) = 0, phương pháp Newton đề nghị chọn x0 tương đối gần nghiệm xây dựng dãy truy hồi xn+1 = xn - F(xn)/F’(xn) dãy xn dần đến nghiệm phương trình F(x) = Ví dụ: Xét hàm số F(x) = x2 - 2, F(x)/F’(x) = (x2-2)/2x ta dãy số xn+1 = (xn+2/xn)/2 Xét hàm số F(x) = x3 - x F(x)/F’(x) = (x3-x)/(3x2-1) ta dãy số xn+1 = 2xn3/(3xn2-1) 81 Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm phương trình bậc Chúng ta thấy, từ hai nghiệm phương trình bậc xây dựng dãy truy hồi tuyến tính bậc (kiểu dãy số Fibonacci) Tương tự thế, xây dựng dãy truy hồi tuyến tính bậc cao từ nghiệm phương trình bậc cao Trong phần này, theo hướng khác: xây dựng dãy truy hồi phi tuyến bậc từ cặp nghiệm phương trình bậc Xét phương trình bậc 2: x2 - mx  = có hai nghiệm   Xét số thực a Xét dãy số xn = a(    ) Khi xn2 = a2(    + 2) = axn+1 + 2a2, từ suy dãy số xn thoả cơng thức truy hồi: xn+1 = xn2/a - 2a Ví dụ chọn a = 1/2, m = 4, ta có tốn: Tìm công thức tổng quát dãy số xn xác định x0 = 2, xn+1 = 2xn2 - Tương tự vậy, xét xn = a(    ) xn3 = a3(     3(    ) = a2(xn+1  3xn) Từ suy dãy số xn thoả công thức truy hồi xn+1 = xn3/a2 - ( 3xn) Ví dụ: Xét ,  hai nghiệm phương trình x2 - 4x - = 0, a = 1/4, ta tốn: Tìm công thức tổng quát dãy số xn xác định x0 = 1, xn+1 = 16xn3 + 3xn Hồn tồn tương tự, xây dựng dãy truy hồi phi tuyến dạng đa thức bậc 4, Bằng phép dời trục, ta thay đổi dạng phương trình Ví dụ: dãy x0 = 2, xn+1 = 2xn2 - ta đặt xn = yn - 1/2 ta dãy yn thoả: y0 = 5/2, yn+1 = 2(yn2 - yn) n n 1 n n n 1 n 1 n n 1 n n Nếu ,  số thực hai số có số có trị tuyệt đối lớn 1, dãy số không hội tụ (Trừ trường hợp hai nghiệm đối dãy dãy hằng) Tuy nhiên, chọn ,  cặp số phức liên hợp có mơđun nhỏ hay 1, ta tạo dãy tuần hoàn dãy hội tụ Chú ý chọn ,  chọn m chọn x0 Do tính chất dãy số phụ thuộc nhiều vào x0 Ví dụ với dãy số thoả xn+1 = 2xn2 - 1, x0 = xn = [(2+3)2^n+(2-3)2^n]/2; x0 = xn dãy hằng; x0 = cos xn = cos(2n) Câu hỏi: 1) Xét xem với a, b, c phương trình sai phân xn+1 = axn2 + bxn + c Lời giải phương pháp trên? 2) Hãy tìm dạng dãy truy hồi tạo cách xét xn = a(k^n + k^n) với k=4, Xây dựng dãy số nguyên từ lời giải phương trình nghiệm nguyên Một dãy truy hồi tuyến tính với hệ số nguyên số hạng đầu nguyên chứa tồn số ngun Đó điều hiển nhiên Thế có dãy số mà cơng thức truy hồi có phân số, chí có thức tất số hạng nguyên Đấy điều bất ngờ Tuy nhiên, xem xét kỹ, ta thấy chúng có mối quan hệ trực tiếp 82 Chúng ta toán quen thuộc sau: Chứng minh số hạng dãy số an xác định a0 = 1, an+1 = 2an + 3a n2  ngun Chuyển vế bình phương cơng thức truy hồi, ta an+12 - 4an+1an + 4an2 = 3an2 -  an+12 - 4an+1an + an2 + = Thay n n - 1, ta an2 - 4anan-1 + an-12 + = Từ suy an-1, an+1 hai nghiệm phương trình x2 - 4an x + an2 + = Suy ra: an+1 + an-1 = 4an hay an+1 = 4an - an-1 Từ suy tất số hạng dãy nguyên Cả công thức ban đầu lẫn công thức hệ a n+1 = 4an - an-1 gợi cho đến với phương trình Pell Quả thật xây dựng hàng loạt dãy số tương tự cách xét phương trình Pell Xét phương trình x2 - Dy2 = k Giả sử phương trình có nghiệm khơng tầm thường (x0, y0) (, ) nghiệm sở phương trình x2 - Dy2 = Khi đó, xét hai dãy xn, yn xác định xn+1 = xn + Dyn, yn+1 = xn + yn xn, yn nghiệm x2 - Dy2 = k Từ hệ phương trình trên, ta tìm xn+1 = xn +  D( x n2  k ) ; yn+1 = yn +  k  Dy n2 xuất hai dãy số nguyên cho cơng thức khơng ngun Ví dụ, với D = 4a(a+1), k = ta có x0 =  = 2a+1, y0 =  = Ta hai dãy số nguyên sau đây: x0 = 2a+1, xn+1 = 2a+1 + 4a (a  1)( x n2  1) y0 = 1, yn+1 = 2a+1 + 4a (a  1) y n2  Cuối cùng, ý ta tạo kiểu dãy số khác từ kết an-1, an+1 hai nghiệm phương trình x2 - 4an x + an2 + = đây: Theo định lý Viet an+1an-1 = an2 + 2, suy an+1 = (an2 + 2)/an-1 ta có tốn: Cho dãy số an xác định a0 = 1, a1 = an+1 = (an2+2)/an-1 Chứng minh an nguyên với n Xây dựng dãy số nghiệm họ phương trình phụ thuộc biến n Xét họ phương trình F(n, x) = Nếu với n, phương trình F(n, x) = có nghiệm miền D dãy số xn xác định Từ mối liên hệ hàm F(n, x), dãy số có tính chất thú vị 83 Ví dụ: Với số tự nhiên n  3, gọi xn nghiệm dương phương trình xn x2 - x - = Chứng minh lim xn = tìm lim n(xn-1) Ví dụ: Chứng minh với n nguyên dương, phương trình 1/x + 1/(x-1) + + 1/(x-n) = có nghiệm xn thuộc khoảng (0, 1) Tìm limn   xn Ví dụ: Chứng minh với n nguyên dương, phương trình 1/x + 2/(x-1) + 2/(x-4) + + 2/(x-n2) = có nghiệm xn thuộc (0, 1) Tìm limn   xn Để tạo phương trình có nghiệm khoảng đó, sử dụng tổng hàm đơn điệu Riêng với hàm đa thức ta sử dụng quy tắc Đề-các số nghiệm dương phương trình: Nếu dãy hệ số phương trình đổi dấu k lần phương trình có khơng q k nghiệm dương Ví dụ phương trình x4 - x2 - nx - = có nghiệm dương x0, phương trình x4 - x2 + nx - = có nhiều hai nghiệm dương Khi xây dựng hàm F(n, x), sử dụng cơng thức truy hồi Như ví dụ F(n+1, x) = F(n, x) + 1/(x-n-1) Xây dựng F(n, x) kiểu này, dãy nghiệm xn dễ có quy luật thú vị Ví dụ, với dãy số trên, ta có F(n+1, xn) = F(n, xn) + 1/(xn-n-1) < Từ đây, F(n+1,0+) =  ta suy xn+1 nằm xn, tức dãy xn giảm Câu hỏi: 1) Có thể xây dựng dãy số với họ hàm số F(x) = x(x-1) (x-n)? 2) Cho < a1 < a2 < < an < dãy số dương tăng nghiêm ngặt Xét họ phương trình 1/x + 1/(x1-a1) + + 1/(x-an) = có nghiệm xn thuộc (0, a1) Khi xn dần n dần đến vô cùng? Lý thuyết dãy số mắt tốn cao cấp 5.1 Rời rạc hóa khái niệm định lý lý thuyết hàm biến số thực Dãy số hàm số, có đầy đủ tính chất chung hàm số Tuy nhiên, tính chất đặc biệt N, số khái niệm đạo hàm, tích phân khơng định nghĩa cho dãy số Nhưng thực ra, dãy số có khái niệm tương ứng với khái niệm Bằng cách so sánh phép tương tự, ta tìm định lý thú vị lý thuyết dãy số Đó q trình rời rạc hóa Rời rạc hóa đạo hàm f’(x) sai phân xn = xn - xn-1 dãy số Cũng đạo hàm hàm biến số thực, sai phân dùng để xét tính tăng giảm dãy số Tương tự vậy, ta định nghĩa sai phân cấp dùng để đo tính lồi lõm dãy Rời rạc hóa khái niệm tích phân khái niệm tổng: S(xn) = x0 + + xn Hai khái niệm ngược nhau: (S(xn)) = xn, S(xn) = xn 84 Ví dụ: (Định lý Stolz) Xét hai dãy số xn yn yn dãy số dương tăng dần đến vơ Thế lim xn/yn = lim (xn-xn-1)/(yn-yn-1) với giả thiết giới hạn vế phải tồn (So sánh với quy tắc L’Hopitale) Chứng minh: Đặt lim (xn-xn-1)/(yn-yn-1) = A Với  > tồn N1 cho với n  N1 ta có |(xn-xn-1)/(yn-yn-1) - A| < , suy A -  < (xn-xn-1)/(yn-yn-1) < A +  Từ đây, yn dãy tăng nên ta có (A - )(yN1-yN1-1) < xN1 - xN1-1 < (A + )(yN1-yN1-1) (A - )(yn-yn-1) < xn - xn-1 < (A + )(yn-yn-1) Cộng bất đẳng thức lại, ta (A - )(yn-yN1-1) < xn - xN1-1 < (A + )(yn-yN1-1) Chia hai vế cho yn, ta A -  + [xN1-(A - )yN1-1]/yn < xn/yn < A +  + [xN1-(A + )yN1-1]/yn Vì yn dần đến vô nên tồn N2 > N1 cho [xN1-(A - )yN1-1]/yn > -  [xN1-(A + )yN1-1]/yn <  với n  N2 Khi với n  N2 ta có A - 2 < xn/yn < A + 2 điều có nghĩa lim xn/yn = A Câu hỏi: Điều kiện yn tăng dần đến vơ có cần thiết khơng? Ví dụ: Chứng minh dãy số xn thoả mãn điều kiện xn+1 - 2xn + xn-1  k1, k2, , kr số tự nhiên thoả mãn điều kiện k1+ k2 + + kr = r.k xk1+ + xkr  r.xk (So sánh với bất đẳng thức Jensen) Ví dụ: Cho dãy số xn thoả mãn điều kiện xk+1 - 2xk + xk-1  với k=1, , n Ngoài x0 = xn+1 = Chứng minh xk  với k=1, , n (Đạo hàm bậc không âm, suy đạo hàm bậc hàm tăng có nhiều nghiệm, suy chiều biến thiên hàm số giảm  cực tiểu tăng  0) n Ví dụ: Cho dãy số dương an Biết tồn giới hạn lim 1 / a k  A   n  k 1 n Đặt sn = a1 + a2 + + an Chứng minh tổng lim  k a k / s k2 có giới hạn hữu hạn n  k 1 n   Lời giải: Dịch sang ngơn ngữ hàm số, ta có tốn sau “Nếu f(x) hàm số tăng từ R+  vào R+ tồn tích phân suy rộng  dx tồn tích phân f (x)  x f ( x )dx 0 F ( x) F(x) nguyên hàm f(x)” Bài Lời giải phương pháp tích phân phần sau: A A A xdx d ( x )  x x f ( x)dx     0 F ( x) 0 F ( x)  F ( x) 0 F ( x)     x2 xdx cần chứng minh tồn  lim x  F ( x ) F (x ) A 85 Câu hỏi: 1) Định lý Rolle có dạng rời rạc nào? 2) Cơng thức tính tích phân phần có dạng rời rạc nào? 5.2 Phương pháp hàm sinh tốn tìm số hạng tổng qt Cho dãy số a0, a1, , an, Hàm sinh F(x) dãy số biểu thức hình thức F(x) = a0 + a1x + + anxn + Các phép toán hàm sinh thực cách tự nhiên khơng quan tâm đến tính chất Lời giải tích chúng (bán kính hội tụ chuỗi tương ứng 0) Phép tốn đặc biệt hàm sinh phép nhân: Nếu F(x), G(x) hàm sinh dãy an, bn tương ứng F(x).G(x) hàm sinh dãy cn cn = 0naibn-i Sơ đồ ứng dụng hàm sinh vào tốn tìm số hạng tổng qt dãy số sau: Giả sử ta cần tìm số hạng tổng quát dãy số an cho công thức truy hồi Ta thiết lập hàm sinh F(x) an Dựa vào hệ thức truy hồi, ta tìm phương trình cho F(x), Lời giải phương trình, ta tìm F(x) Khai triển F(x) theo luỹ thừa x (Khai triển Taylor), ta tìm an với n Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt dãy số an xác định bởi: a0 = 3, a1 = 2, an+2 = 5an+1 6an Lời giải: Xét hàm sinh F(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an+2xn+2 + Với n tự nhiên, ta thay an+2 5an+1 - 6an F(x) = a0 + a1x + (5a1 - 6a0)x2+ + (5an+1 - 6an)xn+2 + = a0 + a1x + 5x(a1x + + an+1xn+1+ ) - 6x2(a0+a1x + + anxn+ ) = a0 + a1x + 5x(F(x) - a0) - 6x F(x) Suy F(x) = (3 - 13x)/(6x2 - 5x + 1) = 7/(1-2x) - 4/(1-3x) = 7(1+2x+(2x)2+ + (2x)n+ ) - 4(1+3x+(3x)2+ + (3x)n+ ) Từ an = 7.2n - 4.3n Trên lý thuyết, tìm F(x), ta phải dùng cơng thức Taylor để tìm khai triển F(x) Đây toán phức tạp Tuy nhiên, nhiều trường hợp, công thức nhị thức Newton tổng quát đủ dùng: (1+x) = + x + [(-1)/2]x2 + + [(-1) (-n+1)/n!]xn + Ví dụ: Dãy số an xác định a0 = 1, a0an + a1an-1+ + ana0 = với n Hãy tìm cơng thức tổng qt an Lời giải: Xét hàm sinh F(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn + Từ công thức truy hồi ta suy F2(x) = + x + x2 + + xn + = (1-x)-1 Từ F(x) = (1-x)-1/2 Khai triển F(x) theo công thức Newton, ta tìm an = Cn2n/22n 86 5.3 Đại số tuyến tính phương trình sai phân Trong phần trên, sử dụng phương pháp hàm sinh để giải tốn tìm cơng thức tính số hạng tổng quát dãy số Trong phần này, ta xem xét cấu trúc nghiệm phương trình sai phân góc độ đại số tuyến tính Xét phương trình sai phân nhất: xn+k = a1xn+k-1+ + akxn Dễ thấy dãy số xn, yn thoả mãn phương trình axn+byn thoả mãn phương trình với a, b Như tập hợp tất dãy số thoả mãn phương trình sai phân lập thành khơng gian véc-tơ Hơn thế, ta có định lý: Định lý: Tập hợp tất dãy số thoả mãn phương trình sai phân xn+k = a1xn+k-1+ + akxn không gian véc tơ k chiều Chứng minh định lý đơn giản: Dãy số hoàn toàn xác định biết k số hạng Gọi xin (i=0, k-1) dãy số có xij = i  j xii = Khi chứng minh dễ dàng dãy x1n, , xkn độc lập tuyến tính với dãy xn ta có xn = x0x0n + + xk-1xk-1n Như thế, cấu trúc nghiệm phương trình sai phân tuyến tính rõ Ta cần tìm sở khơng gian nghiệm mơ tả tất nghiệm phương trình sai phân Cơ sở mà đưa khơng có tính tường minh, khó sử dụng việc thiết lập công thức tổng quát Để xây dựng sở khác tốt hơn, ta có định lý: Định lý: Nếu  nghiệm bội r phương trình đặc trưng xk - a1xk-1 - - ak = dãy số n, , nr-1n thoả mãn phương trình sai phân xn+k = a1xn+k-1+ + akxn Với định lý này, ta tìm đủ k dãy số tường minh tạo thành sở không gian nghiệm Cuối cùng, ta gặp phương trình sai phân tuyến tính khơng xn+k = a1xn+k-1+ + akxn + f(n) nghiệm tổng quát phương trình có dạng tổng nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính tương ứng với nghiệm riêng phương trình khơng Để tìm nghiệm riêng, ta vận dụng phương pháp hồn tồn tương tự phương trình vi phân: Nếu f(n) đa thức ta xn tìm dạng đa thức, hàm mũ tìm dạng hàm mũ đây, trường hợp số nghiệm kép phương trình đặc trưng xử lý tương tự phương trình vi phân 87 5.4 Sử dụng xấp xỉ dự đoán kết Trong nhiều trường hợp, dự đoán kết nửa, chí 2/3 lời lời giải Chúng ta gặp nhiều tình lời giải thu cách khó khăn, sau hàng loạt lời giải đẹp hơn, gọn xuất Vì khơng nghĩ lời giải đẹp? Vì chưa biết đáp số Khi biết định hướng dễ dàng nhiều Dưới đây, xem xét số ứng dụng xấp xỉ việc dự đoán kết Trong ví dụ dãy số xn+1 = sin(xn), áp dụng định lý trung bình Cesaro để tìm giới hạn n xn, dãy số khơng có dạng quen thuộc xn+1 = xn  (xn) Thế nhưng, để ý xn  n  , mà lân cận sinx  x - x3/6 ta thấy tính quy luật kết tìm Với phương pháp tương tự, ta thấy dãy dạng xn+1 = xn  (xn) hàng loạt dãy số có bề ngồi khác hẳn như: xn+1 = ln(1+xn), xn+1 = xncosxn, xn+1 = arctg(xn) (Dĩ nhiên, phải kiểm tra điều kiện xn  n  ) Ta Lời giải thích tốn an+1 = an + 1/ a n phần trên, ta tìm số 3/2 Ta có an+1 = an + 1/ a n = an(1+1/an3/2) Vì an   n   nên với  ta có an+1 = an(1+1/an3/2)   an(1+/an3/2) = an + an-3/2 Do để hiệu số xấp xỉ số, ta chọn  = 3/2 Ta xét ví dụ khác Ví dụ: (ĐHSP, 2000) Cho dãy số an xác định bởi: a1 = a2 = 1, an+1 = an + an-1/n(n+1) Chứng minh dãy an có giới hạn Lời giải: Dễ thấy an dãy tăng Vì ta cần chứng minh dãy an bị chặn Ta có an+1 = an + an-1/n(n+1) < an[1+1/n(n+1)] Từ suy an+1 < [1+1/n(n+1)] [1+1/2.3]a2 = [1+1/n(n+1)] [1+1/2.3] Như ta cần chứng minh tích [1+1/n(n+1)] [1+1/2.3] bị chặn Kết khơng phức tạp chứng minh hồn toàn sơ cấp Tuy nhiên, kinh nghiệm dãy số 1/n(n+1) gợi cho tới mối quan hệ tích tổng 1/2.3 + + 1/n(n+1) Theo hướng đó, đưa kết tổng quát kết dự đoán từ việc sử dụng xấp xỉ Giả sử xn dãy số thực cho tổng x1+ +xn có giới hạn hữu hạn n   Khi xn  n   Vì vậy, với n đủ lớn xn  ln(1+xn) Do tổng ln(1+x1) + + ln(1+xn) có giới hạn hữu hạn n   có nghĩa tích (1+x1) (1+xn) Ta có định lý 88 Định lý: Cho dãy số thực xn Khi tổng x1+ +xn có giới hạn hữu hạn n   tích (1+x1) (1+xn) có giới hạn hữu hạn n   Câu hỏi: 1) Mệnh đề đảo định lý có khơng? 2) Cho n > xn nghiệm dương phương trình xn - x2 - x - = Có thể dự đốn lim n n(xn-1)? Bài tập (Canada 1998) Cho m số nguyên dương Xác định dãy a0, a1, a2, sau: a0 = 0, a1 = m am+1 = m2an - an-1 với n=1, 2, Chứng minh với cặp thứ tự số tự nhiên (a, b) với a  b nghiệm phương trình (a2 + b2)/(ab+1) = m2 (a,b) = (an, an+1) với n số tự nhiên (Bulgari 1978) Cho dãy số an xác định an+1 = (an2+c)/an-1 Chứng minh a0, a1 (a02+ a12+c)/a0a1 số nguyên an nguyên với n Trong dãy vô hạn số nguyên dương, số hạng sau lớn số hạng trước 54 77 Chứng minh dãy tồn số hạng có hai chữ số tận giống (Séc-Slovakia 1997) Chứng minh tồn dãy số tăng ann=1 số nguyên dương cho với số tự nhiên k, dãy k+an chứa hữu hạn số nguyên tố Hướng dẫn: Dùng định lý Trung hoa số dư (Putnam 1995) Đặt S() = [n] | n=1, 2, 3,  Chứng minh tập hợp số nguyên dương N* phân hoạch thành tập hợp S(), S(), S() (Putnam 1999) Dãy số ann=1 xác định a1 = 1, a2 = 2, a3 = 24 với n  an = (6an-12an-3 - 8an-1an-22)/an-2an-3 Chứng minh với n, an số nguyên chia hết cho n Trong dãy số nguyên dương akk=1 tổng 10 số hạng 100, từ a11, an số số i < n cho + i  n Biết a11 = 10 Chứng minh kể từ số đó, tất số hạng dãy (Balkan) Cho x0  x1  x2   xn  dãy số không giảm số tự nhiên cho với số tự nhiên k, số số dãy không vượt k hữu hạn (và ký hiệu yk) Chứng minh với m, n 0nxi + 0myi  (n+1)(m+1) 89 (Bulgari 87) Xét dãy số xn xác định x1 = x2 = 1, xn+2 = 14xn+1 - xn - Chứng minh với n, xn bình phương số nguyên Hướng dẫn: Xét dãy u1 = u2 = 1, un+2 = 4un+1 - un Chứng minh un+2un - un+12 = sau chứng minh xn = un2 Có thể dùng ý tưởng để xây dựng toán khác nào? 10 (Canada 1988) Cho hai dãy số xn, yn xác định xn+1 = 4xn - xn-1, x0 = 0, x1 = yn+1 = 4yn - yn-1, y0=1, y1=2 Chứng minh với n, yn2 = 3xn2 + 11 (Canada 1993) Cho y1, y2, y3 dãy số xác định y1 = với số nguyên dương k y4k = 2y2k, y4k+1 = 2y2k+1, y4k+2 = 2y2k+1 + 1, y4k+3 = 2y2k+1 Chứng minh dãy số y1, y2, y3 nhận tất giá trị nguyên dương, giá trị lần 12 Giả sử sn dãy số nguyên dương thoả mãn điều kiện  sn+m - sn - sm  K với K số nguyên dương cho trước Với số nguyên dương N có tồn số thực a1, a2, aK cho sn = [a1n] + + [aKn] với n=1,2, N? 13 Cho a1 = 1, b1 = 2, c1 = Gọi S(n) tập hợp số nguyên dương ai, bi, ci với i  n Xây dựng an, bn, cn sau: an+1 = số nguyên dương nhỏ không thuộc S(n); bn+1 = số nguyên dương nhỏ không thuộc S(n) khác an+1; cn+1 = an+1 + bn+1; Gọi dk dãy tăng số n cho bn=an+2 Chứng minh a) dk/k  k dần đến vô b) Nếu B số nguyên (dk-6k)/2 = B với vô số số k 14 (AMM) Các dãy số an, bn, cn xác định sau: a1 = 1, b1 = 2, c1 = an = số nguyên dương nhỏ không thuộc a1, , an-1, b1, , bn-1, c1, , cn-1 bn = số nguyên dương nhỏ không thuộc a1, , an-1, an, b1, , bn-1, c1, , cn-1 cn = 2bn + n - an Hãy chứng minh phủ định < n(1+ ) - bn < với n 15 (AMM) Cho a1 = an+1 = an + [ a n ] với n = 1, 2, Chứng minh an số phương n = 2k + k - với k số nguyên dương 16 (Bulgari 1973) Cho dãy số ann=1 xác định a1 = 2, an+1 = an2 - an + a) Chứng minh (an, am) = với m  n b) Chứng minh lim 1n 1/ak = Hướng dẫn: a) am - = am-1 an(an-1) b) 1/ak = 1/(ak-1) - 1/(ak+1-1) 17 (Ba Lan 2002) Cho trước số nguyên dương k Dãy số an xác định a1 = k+1, an+1 = an2 - kan + k với n  Chứng minh với m  n ta có (am, an) = 90 18 (KVANT) Cho  a0 < a1 < < an số nguyên dương Chứng minh 1/[a0, a1] + 1/[a1, a2] + + 1/[an-1, an]  - 1/2n Hướng dẫn: Với a < b, 1/[a, b] = (a,b)/ab  (b-a)/ab = 1/a - 1/b 19 (Ba Lan 1997) Dãy số a1, a2, xác định a1 = 0, an = a[n/2] + (-1)n(n+1)/2 Với số tự nhiên k, tìm số số n cho 2k  n < 2k+1 an = Hướng dẫn: Dùng hệ đếm số 20 (Việt Nam, 1998) Cho dãy số an xác định a0 = 20, a1 = 100, an+2 = 4an+1+ 5an + 20 với n = , , , Tìm số nguyên dương h nhỏ nhấ thoả mãn điều kiện an+h - an chia hết cho 1998 với n = 0, 1, 2, 21 (Chọn đội tuyển VN, 1993) Gọi (n) hàm Euler (nghĩa (n) số ước số nguyên dương không lớn b nguyên tố với n.) Tìm tất số nguyên dương k > thoả mãn điều kiện: Với a số nguyên >1 bất kỳ, đặt x0 = a, xn+1 = k(xn) với n= 0,1, (xn) ln bị chặn 23 (Mỹ 1997) Cho dãy số tự nhiên a1, a2, , a1997 thoả + aj  ai+j  ai+aj+1 với i, j nguyên dương thoả i+j  1997 Chứng minh tồn số thực x cho an = [nx] với n=1, 2, , 1997 Hướng dẫn: Chứng minh an/n < (am+1)/m với m, n 24 Cho dãy số an a) (Liên Xô 1977) Chứng minh lim (a n+1 - an/2) = lim an = b) Tìm tất giá trị  cho lim (an+1 - an) = lim an = 25 (CRUX) Tìm số hạng tổng quát dãy số pn xác định p0 = 1, pn+1 = 5pn(5pn4-5pn2+1) 24 Dãy số an xác định a1 > 0, a2 > a n1  a n  a n 1 Chứng minh dãy số an hội tụ tìm giới hạn 26 (LMO 1989) Dãy số thực akk=1 thoả mãn điều kiện ak+1 = (kak+1)/(k-ak) Chứng minh dãy số chứa vô hạn số hạng dương vô hạn số hạng âm 27 (LMO 1989) Dãy số thực akk=1 thoả mãn điều kiện |am+an-am+n|  1/(m+n) với m, n Chứng minh ak cấp số cộng 28 Với n  2, gọi xn nghiệm dương phương trình xn = xn-1 + xn-2 + +x+1 a) Chứng minh lim xn = b) Hãy tìm lim (2-xn)1/n 29 (Bulgari 82) Cho x1, , xn số thực thuộc đoạn [0, 2] Chứng minh i=1n j=1n |xi - xj|  n2 Dấu xảy nào? Hướng dẫn: Sắp lại thứ tự! 30 (Bulgari 86) Cho dãy số thức ann=1 thoả mãn điều kiện an+1  (1+k/n)an - 1, n=1, 2, < k < Chứng minh tồn số tự nhiên t cho at < Hướng dẫn: an+1/(n+1) < an/n - 1/(n+1) 91 31 Hai dãy số an, bn xác định a1 > 0, b1> 0, an+1 = an + 1/bn, bn+1 = bn + 1/an Chứng minh a50 + b50 > 20 Hướng dẫn: Xét cn = (an+bn)2 32 (Canada 1985) Cho < x1 < Với n = 1, 2, ta định nghĩa xn+1 = + xn - xn2/2 Chứng minh với n  ta có |xn - 2 | < 1/2n 33 (PARABOLA) Cho a, b > Hai dãy số an, bn xác định a1 = ab , b1 = (a+b)/2, an+1 = a n bn , bn+1 = (an+bn)/2 Chứng minh với n nguyên dương ta có |bn-an|  |b-a|/2n 34 (IMO 1978) Cho an dãy số nguyên dương phân biệt Chứng minh với n ta có k=1n ak/k2  k=1n 1/k 35 (Putnam 2001) Giả sử ann=1 dãy số tăng số thực dương cho lim an/n = Có thể tồn vơ số số nguyên dương n cho an-i + an+i < 2an với i=1, 2, , n-1 hay không? 36 (A’o - Ba Lan 2001) Cho a1, a2, , a2010 dãy số thoả mãn điều kiện  Tổng 20 số hạng liên tiếp dãy số không âm  |aiai+1|  với i = 1, 2, , 2009 2001 Hãy tìm  a i i 1 37 (Ba Lan 2001) Cho dãy số an xác định a0 = 1, an= a[7n/9] + a[n/9], n=1, 2, Chứng minh tồn k cho ak < k/2001! 38 (Trung Quốc 1997) Cho a1, a2, dãy số thực thoả mãn điều kiện an+m  an+am với m, n Chứng minh an  ma1 + (n/m-1)am với n  m 39 (Singapore 1997) Cho dãy số an xác định a0 = 1/2, ak+1= ak + ak2/n, k=1, 2, , n1 Chứng minh - 1/n < an < Hướng dẫn: Chứng minh quy nạp (n+1)/(2n-k+2) < ak < n/(2n-k) 40 (Baltic Way) Giả sử a1, a2, , a9 số không âm cho a1 = a9 = có số khác Chứng minh tồn số i,  i  cho ai-1 + ai+1 < 2ai Khẳng định có khơng thay bất đẳng thức cuối 1.9? 41 Dãy số an xác định công thức truy hồi a0 = 1, an+1 = an , n  0, 1,  na n Hãy tìm cơng thức tổng qt cho an 92 42 (Việt Nam, 1984) Dãy số u1,u2, xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 3un - un-1 với n=2,3, Đặt = S1Ê k Ê n arccotg uk Hãy tìm giới hạn n dần đến vô Hướng dẫn: Dùng sai phân 43 (PTNK, 1999) Cho a>1 dãy số xn xác định sau x1=a, xn+1 = a x với n  Hãy xác định tất giá trị a để dãy xn hội tụ n 44 Cho dãy số dương an Biết tồn giới hạn n  A k 1 a k lim  n  Đặt sn = a1 + a2 + + an Chứng minh tổng k ak  k 1 ( s k ) n có giới hạn hữu hạn n   Hướng dẫn: Dùng cơng thức tính tổng phần 45 Cho f: N  R thoả điều kiện f(a+b)  f(a) + f(b) với |b-a|  k (k số nguyên dương cố định) Hỏi có tồn giới hạn f(n)/n n dần đến vô không? 46 Các phần tử dãy số a1, a2, a3 , số nguyên dương khác Chứng minh với k tồn n cho tồn an  n 47 Chứng minh a1>2 an=an-12-2 1/a1 + 1/a1a2 + 1/a1a2a3 + = (1/2)[a1 - a12  ] Hướng dẫn: Dùng lượng giác 48 Dãy số dương an thoả mãn điều kiện an < an+1 + an2 Có thể khẳng định tổng n a i dần i 1 đến vô n dần đến vô hay không? 49 (THTT) Cho số thực r > Cho dãy số thực dương an thoả mãn điều kiện anr = a1 + + an-1 với n  Chứng minh dãy an/n có giới hạn hữu hạn n tìm giới hạn 50 (Chọn đội tuyển Việt Nam, 1985) Dãy số thực xn xác định bởi: x1 = 29/10, xn+1 = (xn/ x n2  ) + , n =1,2,3 Hãy tìm số thực nhỏ x2k-1 lớn x2k với k =1, 2, 93 51 (Chọn đội tuyển Việt Nam, 1996) Tìm tất giá trị a để dãy số xn xác định x0 = 1996 xn+1 = a/(1 + xn2 ) có giới hạn hữu hạn n dần tới vô Hướng dẫn: Chuyển dạng xn+1 = f(xn), x0 = b 52 (Việt Nam, 1997) Cho n số nguyên >1, không chia hết cho 1997 Đặt = i + ni/1997 với i = 1,2, 1996 bj = j + 1997j /n với j = 1,2, n-1 Ta xếp số ai bi theo thứ tự tăng dần: c1 Ê c2 Ê Ê c1995+n Chứng minh ck+1 - ck < với k =1,2, 1994+n 53 (Việt Nam, 1998) Cho a số thực không nhỏ Đặt x1=a, xn+1=1+ln(xn2 /(1+ln(xn)) với n=1,2, Chứng minh dãy số xn có giới hạn tìm giới hạn 54 Cho dãy số xn xác định bởi, x1 = a, xn+1 = (2xn3)/(3xn2-1) với n  Tìm tất giá trị a để dãy số xác định có giới hạn hữu hạn 55 Chứng minh dãy số xác định điều kiện xn+1 = xn + xn2/n2 với n  1, 0ooA([xn])=0 Chứng minh lim A(n) = n tiến tới vô 59 Cho hàm số f(x) = x + Asinx + Bcosx với A2 + B2 < Xét dãy số a0 = a, a1 = f(a0), , an+1 = f(an), Chứng minh với a, dãy số {an} có giới hạn tìm giới hạn 60 Cho dãy số an, xác định sau: a0 = a, a1 = b, an+1 = an+ (an-an-1)/2n Tìm limn->ooan 94 61 (AMM) Cho Hn dãy số Fibonacci tổng quát, tức H1, H2 số nguyên với n > Hn = Hn-1 + Hn-2 a) Hãy tìm T, phụ thuộc vào H1 H2 cho số H2nH2n+2 + T, H2nH2n+4 + T, H2n-1H2n+1 - T, H2n-1H2n+3 - T số phương b) Chứng minh T 62 Cho r số thực Xác định dãy số xn x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = rxn+1 - xn với n  Chứng minh x1 + x3 + + x2m-1 = xm2 63 (IMO 1977) Trong dãy số hữu hạn số thực, tổng số hạng liên tiếp dãy âm, tổng 11 số hạng liên tiếp ln dương Hỏi dãy số có nhiều số hạng Tài liệu tham khảo 1) Jean-Marie Monier, giải tích 1, 2, 3, 4, NXBGD 1999-2000 2) Lê Hải Châu: Tuyển tập đề thi toán quốc tế 3) Titu Andreescu, Razvan Gelca: Mathematical Olympiad Challenges, Birkhauser 2000 4) A Gardiner, The Mathematical Olympiad Hanbook, Oxford, 1997 5) Titu Andreescu, Zuming Feng: Mathematical Olympiads 1998-1999, 1999-2000, 2000-2001, MAA, 2000-2002 6) Arthur Engel: Problem-Solving Strategies, Springer 1997 7) G.Polya, G.Szego: Các tập định lý giải tích, Nauka 1977 (Tiếng Nga) 8) Cupsov, Nesterenko : Thi vô địch tốn tồn Liên Xơ, Prosvesenie, 1999 (Tiếng Nga) 9) 400 toán từ American Mathematical monthly, Mir, 1977 (Tiếng Nga) 10) Đề thi toán Việt Nam, nước khu vực 11) Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ (THTT), Parabola, Kvant, American Mathematical monthly (AMM) 95 ... a1 = 2, an+2 = 5an+1 6an Lời giải: Xét hàm sinh F(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an+2xn+2 + Với n tự nhiên, ta thay an+2 5an+1 - 6an F(x) = a0 + a1x + (5a1 - 6a0)x2+ + (5an+1 - 6an)xn+2 + = a0 + a1x... (5an+1 - 6an)xn+2 + = a0 + a1x + 5x(a1x + + an+1xn+1+ ) - 6x2(a0+a1x + + anxn+ ) = a0 + a1x + 5x(F(x) - a0) - 6x F(x) Suy F(x) = (3 - 13x)/(6x2 - 5x + 1) = 7/(1-2x) - 4/(1-3x) = 7(1+2x+(2x)2+ + (2x)n+... Dùng định lý Trung hoa số dư (Putnam 1 995) Đặt S() = [n] | n=1, 2, 3,  Chứng minh tập hợp số nguyên dương N* phân hoạch thành tập hợp S(), S(), S() (Putnam 1999) Dãy số ann=1 xác định