Gặp gỡ Toán học 4 VNMATH.COM Trường ĐH KHTN Titan Education Bài tập tổ hợp chọn lọc (Bài tập dành cho chuyên đề: Các phương pháp giải bài toán tổ hợp) Bài 1. Lát bàn cờ 8 x 8 bằng 21 quân trimino kích thước 1 x 3. Hỏi ô trống còn lại có thể là ô nào ? Bài 2. (Nghệ An 2009) Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, …, n}. Tập con B của tập A được gọi là 1 tập tốt nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi Tn là số các tập tốt của tập A. Chứng minh rằng Tn – n là 1 số chẵn.
Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Bài tập tổ hợp chọn lọc (Bài tập dành cho chuyên đề: Các phương pháp giải toán tổ hợp) Bài Lát bàn cờ x 21 quân trimino kích thước x Hỏi ô trống lại ô ? Bài (Nghệ An 2009) Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi Tn số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn Bài (Vũng Tàu 2009) Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho ô trùng với vị trí ô bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) Bài Ba nhóm đường thẳng song song chia mặt phẳng thành N miền Hỏi số đường thẳng nhóm để N > 2011 Giả sử số đường thẳng nhóm p, q, r chứng minh số miền tạo thành không vượt quá: pq + qr + rp + p + q + r + Ý tưởng là: p đường thẳng song song chia mặt phẳng thành p+1 phần Khi kẻ thêm đường thẳng không song song với p đường thẳng tạo thêm p+1 phần Như thế, sau kẻ q đường thẳng số phần (p+1)(q+1) Cuối cùng, có họ p + q đường thẳng, kẻ thêm đường thẳng họ thứ cắt hai họ nhiều p+q điểm, tạo p+q+1 miền Suy số miền tối đa (p+1)(q+1) + r(p+q+1) Bài (Nghệ An 2009) Cho điểm nguyên mặt phẳng tọa độ, điểm thẳng hàng Chứng minh ta chọn điểm thỏa mãn diện tích tam giác tạo chúng số chẵn Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Bài (Nga 2007, Bắc Ninh 2009) Trong bảng hình vuông gồm 10 x 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào ô vuông số tự nhiên từ đến 100 theo cách sau: hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết số từ đến 10; hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết số từ 11 đến 20; hết hàng thứ 10 Sau cắt bảng hình vuông thành hình chữ nhật cỡ x x Tính tích số hai số hình chữ nhật cộng 50 tích lại Cần phải cắt hình vuông để tổng tìm nhỏ ? Bài (Nhật Bản 2007) Ta có 15 thẻ đánh số 1, 2, …, 15 Có cách chọn số (ít 1) thẻ cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài Trên đường thẳng nằm ngang, cho 2005 điểm đánh dấu trắng đen Với điểm, xác định tổng tất điểm trắng bên phải điểm đen bên trái Biết rằng, 2005 tổng có số xuất số lẻ lần Hãy tìm tất giá trị có số Bài (Định lý Mantel – Turan) Chứng minh đồ thị đơn bậc n không chứa tam giác n2 có không đỉnh Bài 10 Cho E = {1, 2, …, n} Tìm số tất ba tập (A, B, C) thoả mãn đồng thời điều kiện a) A ∪ B ∪ C = E ; b) A ∩ B ≠ ∅, B ∩ C ≠ ∅ Bài 11 (Bài toán vé hạnh phúc) Vé xe buýt có dạng abcdef a, b, c, d, e, f chữ số thuộc E = {0, 1, 2, …, 9} Vé abcdef gọi vé hạnh phúc a + b + c = d + e + f Hãy tìm số vé hạnh phúc vé từ 000000 đến 999999 theo sơ đồ sau: a) Chứng minh số nghiệm phương trình a+b+c=d+e+f (a, b, c, d, e, f) ∈ E6 (1) số nghiệm phương trình a + b + c + d + e + f = 27 (a, b, c, d, e, f) ∈ E6 (2) b) Chứng minh số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education a + b + c + d + e + f = 27 (a, b, c, d, e, f) ∈ N6 trừ số phần tử N = Na ∪ Nb ∪ Nc ∪ Nd ∪ Ne ∪ Nf, Na = { (a, b, c, d, e, f) ∈ N6, a + b + c + d + e + f = 27, a ≥ 10} (Nb, Nc, Nd, Ne, Nf định nghĩa tương tự) Bài 12 Một dãy a1, a2, …, an với ∈ {0; 1} gọi xâu nhị phân có độ dài n Có xâu nhị phân độ dài n, n > chứa hai lần xuất 01 Bài 13 (Vĩnh Phúc 2011) Cho số nguyên n ≥ Chứng minh họ gồm 2n-1+1 tập hợp không rỗng phân biệt tập hợp {1, 2,…, n} tìm ba tập hợp mà chúng hợp hai tập hợp lại Bài 14 (Vĩnh Long 2011) Trong mặt phẳng cho 2011 điểm cho với ba điểm số điểm ta tìm hai điểm để đoạn thẳng tạo thành có độ dài bé Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa không 1006 điểm cho Bài 15 Cho n điểm mặt phẳng, đó không có ba điểm nào thẳng hàng, biết rằng ba điểm bất kỳ n điểm đã cho tạo thành một tam giác có diện tích không lớn Chứng minh rằng có thể phủ tất cả n điểm đã cho bằng một tam giác có diện tích không lớn Xét tam giác ABC có diện tích lớn vẽ tam giác DEF tam giác nhận tam giác ABC tam giác trung bình Khi DEF tam giác cần tìm Bài 16 Có n đội bóng thi đấu vòng tròn lượt Hãy lập lịch thi đấu gồm n-1 vòng đấu cho mỗi vòng, mỗi đội chỉ thi đấu nhiều nhất trận Bài 17 Cho 2n+1 máy tính Hai máy tính bất kỳ được nối với bởi một sợi dây Chứng minh rằng có thể tô các máy tính và các sợi dây bằng 2n+1 màu cho: i) Các máy tính được tô màu khác ii) Các sợi dây xuất phát từ cùng một máy tính được tô màu khác iii) Hai máy tính và sợi dây nối chúng được tô màu khác Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Xếp máy tính lên đỉnh 2n+1 giác A1A2…A2n+1 tô màu 1, 2, …, 2n+1 Với i, Nối đường kính OAi tô tất cạnh đường chéo vuông góc với OAi màu i Ta phép tô thỏa mãn điều kiện Bài 18 (Việt Nam TST 2009) Có 6n+4 nhà toán học tham dự hội nghị, có 2n+1 buổi thảo luận Mỗi buổi thảo luận có bàn tròn cho người ngồi n bàn tròn cho người ngồi Biết người không ngồi cạnh đối diện lần a Hỏi thực không với n=1? b Hỏi thực không với n>1? Bài 19 Trong đường tròn đơn vị có điểm cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ chúng lớn Chứng minh rằng có thể kẻ hai đường kính vuông góc của đường tròn cho mỗi một góc 1/4 có đúng điểm đã cho Bài 20 Số nguyên dương A cách viết thập phân được gọi là số kỳ quặc nếu tổng của A và số thu được từ A bằng cách viết theo thứ tự ngược lại là một số có tất cả các chữ số đều lẻ Hãy tìm số các số kỳ quặc có chữ số Bài 21 Cho M = {1, 2, , n} Tìm số tất cả các bộ ba tập A, B, C của M thoả mãn điều kiện A ∪ B ∪ C = M, A ∩ B ∩ C = ∅ Bài 22 Có ba lớp học A, B, C, mỗi lớp có 30 học sinh Biết rằng một học sinh bất kỳ đều quen với ít nhất 31 học sinh khác lớp Chứng minh rằng tồn tại ba học sinh a, b, c lần lượt thuộc lớp A, B, C cho họ đôi một quen Chọn học sinh có số bạn quen nhiều lớp khác Giả sử số bạn quen lớn k Giả sử học sinh a lớp A a quen với k học sinh lớp B Do a quen với 31 học sinh a ≤ 30 nên a quen với học sinh C, giả sử c Theo định nghĩa k, c quen không k học sinh A, c quen với 31-k học sinh B Vì tổng số người quen a c B k + 31-k = 31 nên a c phải có người quen chung B Gỉa sử b a, b, c học sinh cần tìm Bài 23 Cho n là số nguyên dương Ta nói số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện Cn nếu tồn tại 2k số nguyên dương phân biệt a1, b1, , ak, bk cho a1 + b1, , ak+bk cũng phân biệt và nhỏ n (a) Chứng minh rằng nếu k thỏa mãn điều kiện Cn thì k ≤ (2n-3)/5 (b) Chứng minh rằng thỏa mãn điều kiện C14 Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education (c) Giả sử rằng (2n-3)/5 nguyên Chứng minh rằng (2n-3)/5 thoả mãn điều kiện Cn Bài 24 Gọi u(n) là số các phân hoạch một tập hợp gồm n phần tử các tập Ví dụ u(3) = tương ứng với các phân hoạch: {a, b, c}; {a,b}, {c}; {a}, {b,c}; {a, c}, {b}; {a}, {b}, {c} Tìm công thức truy hồi tính u(n) Bài 25 Phủ bàn cờ x bằng 21 quân trimino x Hỏi ô trống còn lại có thể là ô nào? Gọi ε số cho ε2 + ε + = ta có ε3 = Đánh số cột hàng theo thứ từ từ trái sang phải, từ lên 1, 2, …, Ta điền vào ô (i, j) số εi+j Khi dễ thấy tổng số ô mà quân trimino x phủ Như vậy, phủ bàn cờ x 21 quân domino tổng số ô bị phủ Suy số lại tổng tất số ghi Ta có tổng số ghi 21,81111 8888 ∑∑∑∑∑ ===+= ≤≤==== ++ εεεεεε ijijij ()1 Suy số ô lại phải số Nếu (i, j) ô lại từ suy i + j chia hết cho Làm tương tự ô (i, j) ghi số εi-j ta thu i – j chia hết cho Suy i j chia hết cho Như (i, j) cặp (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6) Dễ dàng cách phủ cho TH (do tính đối xứng, cần cho trường hợp) Bài 26 Cho n số tự nhiên ≥ Xét tập hợp W = {(x1, x2, …, xn) | xi ∈ Z) Với x = (x1, x2, …, xn) ∈ W ta đặt Ux = { y = (y1, y2, …, yn) ∈ W | |x1 – y1| + |x2 – y2| + … + |xn – yn| ≤ 1} Chứng minh tồn tập W0 W cho với x thuộc W ta có | Ux ∩ W0 | = Hướng dẫn: Ta chọn vào W0 điểm x = (x1, x2, …, xn) có f(x) = x1 + 2x2 + … + nxn ≡ mod 2n+1 Do f(y) chạy qua hệ thặng dư đầy đủ mô đun 2n+1 y chạy qua Ux nên ta suy điều phải chứng minh Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Bài 27 Xét số tự nhiên n ≥ Bắt đầu số 1, 2, …, 2n-1, 2n ta thực phép biến đổi sau: Chọn số a, b cho a – b ≥ 2, xóa hai số thay hai số a – 1, b + 1; với số thu được, ta lại thực phép biến đổi tương tự, a) Chứng minh sau số lần thực phép biến đổi trên, ta phải đạt đến trạng thái dừng, tức thực phép biến đổi b) Gọi k số phép biến đổi cần thực để đạt đến trạng thái dừng Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ k Bài 28 (Vietnam TST 2008) Kí hiệu M tập hợp gồm 2008 số nguyên dương Tô tất số thuộc M ba màu xanh, vàng, đỏ cho số tô màu màu dùng để tô số Xét tập hợp sau: 31{(,,), =∈ SxyzM ()0các ++≡ xyz (mod2008)} x, y, z có màu 32{(,,), =∈ SxyzM ()0 (mod2008)} ++≡ xyz > Sđó 12 S x, y, z đôi khác M màu Chứng minh (Kí hiệu tích Đề - ; ×× MMM ) Bài 29 Một ngũ giác lồi có tất cả các góc bằng và các cạnh đều là các số hữu tỷ Chứng minh rằng ngũ giác đó là ngũ giác đều Bài 30 Hai người A B chơi trò chơi Ban đầu bàn có 100 viên kẹo Hai người thay phiên bốc kẹo, lần bốc k viên với k ∈ {1, 2, 6} Hỏi người có chiến thuật thắng, người trước hay người sau? Bài 31 a) Trên bảng có số 2010 Hai người A B luân phiên thực trò chơi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá số N có bảng thay N-1 [N/2] Ai thu số trước thắng Hỏi người có chiến thuật thắng, người trước hay người sau b) Cùng câu hỏi với luật chơi thay đổi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá số N có bảng thay N-1 [(N+1)/2] Bài 32 Hình tròn đường kính thành thành 10 ô Ban đầu ô có viên bi Mỗi lần thực hiện, cho phép chọn viên bi di chuyển chúng sang ô bên cạnh, viên theo chiều kim đồng hồ viên ngược chiều kim đồng hồ Hỏi sau số hữu hạn lần thực hiện, ta chuyển tất viên bi ô không? Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Ta tô màu ô hai màu đen trắng xen kẽ Gọi S tổng số viên bi nằm ô đen trạng thái ban đầu ta có S = Nếu giả sử ngược lại ta đưa viên bi ô trạng thái cuối này, ta có S = (nếu ta dồn viên bi ô trắng) S = 10 (nếu ta dồn viên bi ô đen) Bây ta thu điều mâu thuẫn ta chứng minh qua lần thực tính chẵn lẻ S không thay đổi, tức ban đầu S số lẻ qua lần thực hiện, S số lẻ (và 10) Nếu nhận xét ô đen trắng xen kẽ điều mà cần chứng minh hiển nhiên xin dành phép chứng minh chi tiết cho bạn đọc Bài 33 Có 2n người xếp thành hàng dọc Hỏi có cách chọn số người (ít 1) từ 2n người này, cho hai người đứng kề chọn Hai người đứng kề hai người có số thứ tự liên tiếp hàng dọc có số thứ tự hai hàng Gọi Sn số cách chọn số người từ 2n người xếp thành hàng dọc Tn số cách chọn số người từ 2n-1 người xếp thành hàng dọc, khuyết chỗ đầu hàng Ta có S1 = 2, T1 = 1 Hình Sn với n = Hình Tn với n = Xét 2n người xếp thành hàng dọc (như hình 1) Ta xét cách chọn thoả mãn điều kiện đầu Xảy khả sau : 1) Người vị trí số chọn : Khi người vị trí số số không chọn Có Tn-1 + cách chọn (+1 bổ sung cách chọn « không chọn » ) 2) Người vị trí số chọn : Tương tự, có Tn-1 + cách chọn Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education 3) Cả hai người vị trí số số không chọn: Có Sn-1 cách chọn Vậy ta có Sn = Sn-1 + 2Tn-1+ (1) Xét 2n-1 người xếp thành hàng dọc (như hình 2) Ta xét cách chọn thoả mãn điều kiện đầu Xảy khả sau : 1) Người vị trí số chọn : Khi người vị trí số không chọn có Tn-1 + cách chọn 2) Người vị trí số không chọn : có Sn-1 cách chọn Vậy ta có Tn = Sn-1 + Tn-1 + (2) Từ (1) ta suy 2Tn-1 = Sn – Sn-1 – 2, 2Tn = Sn+1 – Sn – Thay vào (2), ta Sn+1 – Sn – = 2Sn-1+ Sn – Sn-1 – + Sn+1 = 2Sn + Sn-1 + Từ dễ dàng tìm Sn = (1 + ) n +1 + (1 − ) n +1 − 2 Bài 34 Tìm số tất n số (x1, x2, …, xn) cho (i) xi = ± với i = 1, 2, …, n (ii) ≤ x1 + x2 + … + xr < với r = 1, 2, …, n-1 ; (iii) x1 + x2 + … + xn = Bài 35 Trong nhóm gồm 2n+1 người với n người tồn người khác n người quen với tất họ Chứng minh nhóm người có người quen với tất người Ta chứng minh nhóm người có nhóm n+1 người đôi quen (gọi nhóm A) Từ đó, xét n người lại Theo giả thiết, có người nhóm A quen với n người Suy người quen với tất người Để chứng minh khẳng định tồn nhóm A, ta giả sử k kích thước (số người) lớn nhóm người đôi quen Ta cần chứng minh k ≥ n+1 Giả sử ngược lại k ≤ n Theo giả thiết,tồn người số người lại quen với k người Bổ sung người vào nhóm, ta nhóm gồm k+1 người đôi quen Mâu thuẫn với điều giả sử k lớn Bài 36 Trong đa giác lồi có chứa không m2+1 điểm nguyên Chứng minh đa giác lồi tìm m+1 điểm nguyên nằm đường thẳng Trần Nam Dũng Page Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Bài 37 Chứng minh người bất kỳ, có người đôi quen nhau, có người đôi không quen Bài 38 Chọn 69 số nguyên dương từ tập hợp E = {1, 2, …, 100} Chứng minh tồn số a < b < c < d số chọn cho a + b + c = d Kết luận toán không ta thay 69 68? Giả sử số a1 < a2 < … < a69 Xét tập hợp A = {a2+a3, a2+a4, …., a2+a69}, B = {a3 – a1, …, a69 – a1} | A | = | B | = 67 Do a69 – a2 ≥ 67 nên ta suy a2 ≤ a69 – 67 ≤ 100 – 67 = 33 Suy a2 + a69 ≤ 133 Ngoài a3 – a1 ≥ Do số lớn A B nên ta có A, B ⊂ {2, 3, …., 133} = C Vì | C | = 132 < 134 = |A| + |B| nên từ ta suy A ∩ B ≠ ∅ Suy tồn i, j ≥ cho a2 + = aj – a1 Rõ ràng i < j ta có a1 + a2 + = aj Dựa vào cách giải trên, 68 số mà không tìm số thỏa mãn bài, là: 33, 34, …, 100 Do tổng ba số nhỏ số 33 + 34 + 35 = 102 > 100 số lớn nên không tồn ba số a, b, c, d cho a + b + c = d Bài 39 Một quốc gia có 16 thành phố có 36 tuyến bay nối chúng Chứng minh ta tổ chức chuyến bay vòng quanh thành phố Bài toán tương đương với việc đồ thị (V, E) có 16 đỉnh 36 cạnh chứng minh tồn chu trình độ dài Ta chứng minh phản chứng Với đỉnh x, ta gọi Ux tập hợp tất đỉnh kề với x Gọi Vx tập hợp tất hai đỉnh kề với x Rõ ràng |Vx| = |Ux|(|Ux|-1)/2 Ta thấy với x khác y Vx ∩ Vy = ∅ Thật vậy, Vx ∩ Vy = (u, v) rõ ràng uxvyu chu trình độ dài 4, mâu thuẫn với điều giả sử ||xV ∑ ∈ V Như vậy, Vx đôi rời ta có đỉnh đồ thị, tức không lớn 16.15/2 = 120 Trần Nam Dũng Page nhỏ số cặp Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education x2||X 221622162 ||||72126 111721 ||(||1) U xVxVxX xx ∈ VU − ∑ =≥−=−= ∈∈ U∑∑ Mặt khác: 120||126 ≥ V ∑ ≥ xV ∈ Như ta nhận điều mâu thuẫn có điều phải chứng minh Do điều giả sử sai ta Bài 40 Trong nhóm n người có người đôi quen người quen nhiều nửa số người nhóm Tìm số số ba người đôi quen Bài 41 Các số 1, 2, …, n viết bảng Mỗi phút, học sinh lên bảng, chọn hai số x y, xóa chúng viết lên bảng số 2x + 2y Quá trình tiếp 9n diễn 34 bảng lại số Chứng minh số không nhỏ Bài 42 Cho tập hợp A gồm số nguyên dương có tính chất sau (i) A = 1, max A = 100 (ii) Với a thuộc A, a > tồn b, c thuộc A (b không thiết khác c) cho a = b + c Tìm GTNN | A | Bài 43 Cho S = {1, 2, …, 2012} Ta muốn phân hoạch S thành hợp hai tập rời cho tập không chứa hai phần tử phân biệt có tổng lũy thừa Hãy tìm số phân hoạch Bài 44 Trong hệ thống tuyến xe buýt thành phố, hai tuyến có chung bến, tuyến có bến Chứng minh phân bến thành hai nhóm cho tuyến xe buýt có bến thuộc hai nhóm Bài 45 Cho X = {1, 2, …, n} Với tập A khác rỗng X, gọi m(A) trung bình d(A) trung vị A Hãy tìm giá trị trung bình m(A) giá trị trung bình d(A) A chạy tất tập khác rỗng X Trần Nam Dũng Page 10 Gặp gỡ Toán học VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Bài 46 Trong giải cờ vua có 40 kỳ thủ Có tổng cộng 80 ván đấu, hai kỳ thủ đấu với nhiều lần Tìm số nguyên dương n lớn cho trường hợp, ta tìm n kỳ thủ chưa đấu với Bài 47 Trò chơi lô-tô Lotoland tổ chức sau: Người chơi chọn số khác từ số 1, 2, 3, …, 36 Sau người ta bốc ngẫu nhiên số từ số 1, 2, 3, …, 36 Vé không chứa số số vừa bốc vé thắng giải Chứng minh tồn cách mua vé để đảm bảo có vé thắng vé nói chung không đủ để đảm bảo điều Bài 48 Bàn cờ 12 x 12 tô màu đen trắng bình thường Mỗi lần thực ta sơn lại hai ô cạnh theo quy tắc: đen thành xanh, xanh thành trắng, trắng thành đen Hỏi ta cần phải dùng tối thiểu bước để sơn bàn cờ thành màu đen trắng ngược với bàn cờ ban đầu? Bài 49 Có 10 đồng tiền xếp thành hàng dọc Trong số có đồng tiền thật nặng đồng tiền giả nặng nhẹ đồng tiền thật Biết hai đồng tiền giả xếp cạnh Hỏi phải cần lần cân đĩa để xác định đồng giả? Bài 50 Một nhóm người bạn nghỉ hè Mỗi ngày họ lập danh sách gồm số thành viên để lo hoạt động cho ngày hôm Việc lập danh sách tuân thủ quy tắc sau: 1) Không có danh sách lặp lại lần; 2) Hai danh sách có người chung Hỏi nhóm học sinh nghỉ hè chung nhiều ngày? Trần Nam Dũng Page 11 [...]...Gặp gỡ To n học 4 VNMATH.COM Trường ĐH KHTN & Titan Education Bài 46 Trong một giải cờ vua có 40 kỳ thủ Có tổng cộng 80 ván đã được đấu, và hai kỳ thủ bất kỳ đấu với nhau nhiều nhất một lần Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho trong mọi trường hợp, ta đều tìm được n kỳ thủ chưa hề đấu với nhau Bài 47 Trò chơi lô-tô ở Lotoland được tổ chức như sau: Người chơi chọn... sách tuân thủ quy tắc sau: 1) Không có danh sách nào được lặp lại 2 lần; 2) Hai danh sách bất kỳ đều có ít nhất 1 người chung Hỏi nhóm học sinh trên có thể nghỉ hè chung nhiều nhất bao nhiêu ngày? Trần Nam Dũng Page 11