Bất biến là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Nó có mặt trong hầu hết các lĩnh vực của Toán học: Đại số, Hình học, Tôpô, Lý thuyết số, Xác suất, Phương trình vi phân … Chẳng hạn, các bất biến được sử dụng trong việc nghiên cứu các đồ thị phẳng (định lý Kuratowsky), giải tích hàm (chứng minh định lý về điểm bất động Brawer hay chứng minh hình cầu không đồng phôi với xuyến. Khó có định lý về phân loại (nhóm, đại số, đồ thị …) nào lại thiếu sự có mặt của các bất biến. Có hẳn một lý thuyết bất biến nghiên cứu các dạng bất biến đại số của các biến đổi tuyến tính.
Ứng dụng bất biến nửa bất biến toán tổ hợp Mở đầu : Bất biến khái niệm trung tâm toán học Nó có mặt hầu hết lĩnh vực Toán học: Đại số, Hình học, Tô-pô, Lý thuyết số, Xác suất, Phương trình vi phân … Chẳng hạn, bất biến sử dụng việc nghiên cứu đồ thị phẳng (định lý Kuratowsky), giải tích hàm (chứng minh định lý điểm bất động Brawer hay chứng minh hình cầu không đồng phôi với xuyến Khó có định lý phân loại (nhóm, đại số, đồ thị …) lại thiếu có mặt bất biến Có hẳn lý thuyết bất biến nghiên cứu dạng bất biến đại số biến đổi tuyến tính Nhưng bất biến khái niệm cao siêu mà học sinh phổ thông bình thường không gặp không hiểu Đôi bất biến tính chẵn lẻ, chia hết cho 3, tính đối xứng trạng thái, bảo toàn góc … tức điều dễ hiểu nhận thấy Việc đưa ý niệm bất biến cho em học sinh, đặc biệt học sinh chuyên toán có ý nghĩa định việc phát triển tư toán học, nhìn thấy tĩnh động học sinh A.Bất biến 1) Định nghĩa: Bất biến đại lượng (hay tính chất) không thay đổi trình thực phép biến đổi Chẳng hạn thực phép tịnh tiến khoảng cách hai điểm không thay đổi Với phép vị tự khác: khoảng cách thay đổi, có bất biến khác, tỷ lệ hai đoạn thẳng Một ví dụ khác bất biến: Lấy số nguyên dương N (viết hệ thập phân) Phép biến đổi T biến N thành tổng chữ số N Đó bất biến 2)Ví dụ minh họa: Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 99 sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tổng hai số xóa Việc làm thực liên tục số bảng Hỏi số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Vì lần thực trò chơi thay hai số tổng chúng nên tổng số bảng không thay đổi thời điểm Tổng số lúc đầu 99 (1 99 ).99 4950 Suy số cuối 4950 Nhận xét Bất biến toán tổng số bảng không thay đổi thời điểm Với cách thực trò chơi số cuối lại bảng 4950 B Nửa bất biến 1) Định nghĩa: Nửa bất biến đại lượng thay đổi, theo chiều ( tức tăng lên hay giảm xuống) 2) Ví dụ minh họa :Cho 2n điểm mặt phẳng, điểm thẳng hàng Chúng minh điểm phân thành n cặp cho đoạn thẳng nối chúng không cắt Lời giải: Đầu tiên ta phân cặp điểm cách ngẫu nhiên nối chúng lại với Gọi S tổng đoạn thẳng nối ( Chú ý , có hữu hạn cách phân cặp nên tập giá trị S hữu hạn) Nếu có hai đoạn thẳng AB CD cắt o ta thay Ab, CD AC , BD Vì AB + CD = (AO + OB) + (CO + OD) = (AO + OC) + (BO + OD) > AC + BD theo bất đẳng thức tam giác, nên cặp đoạn thẳng giao nhau, ta thay cách nối để S giảm xuống Vì S có hữu hạn giá trị nên lúc trình phải dừng Và , cặp đoạn thẳng giao C Một số tập Bài 1: Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 999 sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số hiệu hai số xóa(lấy số lớn trừ số nhỏ) Việc làm thực liên tiếp số bảng Hỏi số cuối lại bảng không? Tại sao? Lời giải: Ta thấy xóa hai số a,b(a > b) thay hiệu a − b tổng số bảng giảm đại lượng a + b − (a − b) = 2b số chẵn Như tổng số bảng không thay đổi tính chẵn lẻ thời điểm thực trò trơi Tổng số lúc đầu là: 999 (1 999).999 499500 số chẵn Suy số lại cuối số chẵn số Nhận xét : Bất biến toán tổng số bảng không thay đổi tính chẵn lẻ thời điểm dựa vào đặc điểm tổng số giảm lượng chẵn Bài 2: Trên bảng, người ta viết 100 chữ số 10 chữ số sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tích hai số xóa Việc làm thực liên tục số bảng Hỏi số cuối bảng lại bao nhiêu? Tại sao? Lời giải: Vì lần thực trò chơi thay hai số tích chúng nên tích số bảng không thay đổi thời điểm Tích số lúc đầu 1100 × 210 = 1024 nên số lại cuối 1024 Nhận xét: Bất biến toán tích số bảng không thay đổi thời điểm Bài 3: Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tổng lập phương hai số cho Việc làm thực liên tục số bảng Hỏi số cuối lại bảng 9876543212008 hay không? Tại sao? Lời giải Ta thấy xóa hai số a,b(a > b) thay tổng lập phương a3 + b3 tổng số bảng tăng đại lượng là: a3 +b3 −(a+b) = (a3 −a)+(b3 − b) số chia hết cho Tổng số bảng lúc đầu tổng số bảng thời điểm bội số Tổng số lúc đầu 100 (1 100).100 5050 số chia cho dư 1(vì tổng chữ số 5050 10 chia dư 1) Suy số lại cuối phải số chia dư Số 987654321 chia hết cho tổng chữ số số 45 chia hết cho Suy 9876543212008 chia hết cho Vậy số lại cuối 9876543212008 Nhận xét Bất biến toán tổng số bảng thời điểm bội số Bài Cho số tự nhiên có chữ số 12456789 Từ số người ta đổi vị trí chữ số nó, hỏi tạo số phương hay không? Lời giải Tại thời điểm thay đổi vị trí số hạng số tạo thành có tổng chữ số là: +2+4 +5 +6+7 +8 +9 = 42 chia hết cho không chia hết cho Suy số tạo thành chia hết cho không chia hết số phương Nhận xét Bất biến toán tổng số tạo thành không đổi 42 Bài Xét bảng vuông 4×4 ô Tại ô bảng vuông có chứa dấu + dấu − Mỗi lần thực hiện, cho phép đổi dấu tất ô hàng cột Giả sử bảng vuông ban đầu có dấu + 15 dấu − Hỏi đưa bảng ban đầu bảng có toàn dấu cộng không? Lời giải Câu trả lời không Và lời giải đơn giản Thay dấu cộng số dấu trừ −1 Xét tích tất số bảng vuông Khi đó, qua phép biến đổi, tích không thay đổi (vì đổi dấu số) Vì vậy, cho dù ta thực lần, từ bảng vuông (1,15) đưa bảng vuông có số lẻ dấu −, có nghĩa đưa bảng có toàn dấu cộng Nhận xét Việc thay dấu cộng số dấu trừ số −1 để tìm bất biến toán Bất biến tích số bảng không thay đổi qua lần thực Bài Trên bảng, người ta viết 2008 dấu (+) 2009 dấu (−) Giả sử lần, hai dấu bị xóa viết thay dấu (+) chúng giống thay dấu (−) chúng khác Sau thực 4016 lần vậy, dấu lại bảng Lời giải (i) Cách Sau lần xóa, số dấu (−) giữ nguyên giảm Vì thế, tính chẵn lẻ số dấu (−) bảng không thay đổi Ban đầu, số dấu trừ số lẻ nên cuối dấu lại bảng dấu (−) (ii) Cách Thay dấu (+) số 1, thay dấu (−) số −1 Khi lần thực cách làm theo đề mô tả dạng sau: hai số xóa thay tích chúng Nhu thời điểm thực tích số bảng không thay đổi Ban đầu tích số bảng −1 nên cuối tích số bảng −1 Vậy dấu lại bảng dấu (−) (iii) Cách Thay dấu (+) số 0, thay dấu (−) số Khi đó, tổng hai số bị xóa tính chẵn lẻ với số viết thay chúng, tổng số bảng không thay đổi tính chẵn lẻ Vì tổng số lúc đầu 2009, số lẻ nên số lại cuối số lẻ Do dấu lại bảng dấu (−) Nhận xét • Trong cách 1, đại lượng bất biến tính chẵn lẻ số dấu (−) bảng • Trong cách 2, đại lượng bất biến tích tất số bảng • Trong cách 3, đại lượng bất biến tính chẵn lẻ tổng số bảng Ta lập tình tương đương với tình xác định điều kiện yêu cầu toán để dễ tìm đại lượng bất biến Bài Ngoài biển đông, đảo sinh sống ba giống thằn lằn có ba loại màu: màu xám có 133 con, màu nâu có 155 màu đỏ có 177 Nếu hai thằn lằn khác màu gặp chúng đồng thời đổi sang màu thứ ba (ví dụ thằn lằn màu xám gặp thằn lằn màu nâu hai đổi sang màu đỏ) Trong trường hợp hai thằn lằn màu gặp chúng giữ nguyên không đổi màu Có xảy tình trạng đảo tất thằn lằn màu không? Lời giải Đặc điểm toán nằm số 133, 155, 177 chia cho ta số dư 1, Ta thử xét thằn lằn xám gặp thằn lằn nâu, chúng đồng thời đổi màu đỏ Khi ta có 132 xám, 154 nâu 179 đỏ Những số dư 132, 154 179 cho tương ứng 0, 2, nghĩa gặp đầy đủ số dư có Nếu thằn lằn xám gặp thằn lằn màu đỏ, chúng đồng thời đổi màu nâu Khi ta có 132 thằn lằn xám, 157 thằn lằn nâu 176 thằn lằn đỏ Lấy số chia cho cho số dư tương ứng 0, 1, nghĩa gặp lại ba khả số dư Nếu thằn lằn nâu thằn lằn đỏ gặp nhau, chúng đổi màu xám Khi có 135 thằn lằn xám, 154 thằng lằn nâu 176 thằn lằn đỏ Số dư số thằn lằn chia cho tương ứng 0, 2, có đầy đủ số dư chia cho Dù thay đổi màu số dư số lượng thằn lằn chia cho có đầy đủ ba số 0, 1, Số lượng tất thằn lằn đảo 133 + 155 + 177 = 465 số chia hết cho Nếu tất thằn lằn màu số dư lượng thằn lằn màu xám, màu nâu, đỏ chia cho có dư tương ứng 0, 0, Điều vô lý số dư phải có đầy đủ số dư chia cho Như câu trả lời không Nhận xét Bất biến dù thay đổi màu số dư số lượng thằn lằn chia cho có đầy đủ ba số 0, 1, Bài Những số 1,2,3, ,1974 viết bảng Người ta thay hai số số tổng hiệu hai số Chứng minh sau 1973 lần thực thao tác trên, số lại bảng số Lời giải Ta quan tâm đến tính chẵn lẻ số cho sau lần thao tác số chẵn lẻ Khi bắt đầu bảng có 987 số lẻ Mỗi lần ta thực thay đổi, số số lẻ nguyên (khi ta lấy hai số có tính chẵn lẻ khác hai số tính chẵn) giảm hai số (khi ta lấy hai số tính lẻ) Như số số lẻ lại sau lần thực thay đổi số lẻ Vậy lại số cuối bảng phải số lẻ, số Nhận xét Bất biến toán số số lẻ sau phép biến đổi lại số lẻ Bài Mỗi số số a1 , a , , a n nhận hai giá trị −1 Biết rằng: S a1 a a3 a a a3 a a5 a n a1 a a3 Hãy chứng minh n chia hết cho Lời giải Đây toán lý thuyết số, ta dùng bất biến để giải Tính bất biến sau: S không thay đổi số dư chia cho ta đổi dấu số hạng liên tiếp Thật vậy, có số dương số âm chuyện thay đổi, có số khác dấu số lại đổi dấu giá trị S thay đổi –4 điều không ảnh hưởng tới số dư S chia cho cả, cuối số dấu đổi dấu S thay đổi đại lượng hay –8 điều dĩ nhiên không ảnh hưởng tới số dư S chia cho Bây quay lại toán Ta thực thuật toán đổi dấu số hạng liên tiếp cho cuối đưa tất n số thành số dương Khi S = n theo tính bất biến S chia hết cho (vì ban đầu S = chia hết cho ) Vậy n chia hết cho Ta có kết luận cho toán Nhận xét S không thay đổi số dư chia cho ta đổi dấu số hạng liên tiếp Bài 10 Hai người chơi cờ, ván người thắng điểm, người thua điểm, trận hòa người điểm Hỏi sau số ván cờ xảy trường hợp người điểm người 10 điểm hay không? Lời giải Tổng số điểm hai người ván Suy thời điểm tổng điểm hai người số chẵn Mà 9+10 = 19 số lẻ nên xảy trường hợp người điểm người 10 điểm Nhận xét Bất biến toán tổng điểm hai người ván Bài 11 Có 1981 tách uống trà đặt bàn Lúc đầu tất tách đặt ngửa lên Giả sử lần người ta làm cho 200 tách chúng lật ngược lại Hỏi sau số lần vậy, làm cho tất tách úp xuống không? Lời giải Nếu có 1981 tách, ta quay úp xuống tất thời điểm có x tách đặt ngửa làm úp xuống có 200−x tách úp xuống lật ngửa lên Do số tách úp thay đổi số |200−2x|, số chẵn Điều có nghĩa số tách đặt úp xuống không bị thay đổi tính chẵn lẻ Ban đầu số 0, số chẵn Do thay đổi số thành 1981, số lẻ Nhận xét Bất biến toán tách úp thay đổi lượng chẵn Trong đề toán ta thay đổi 1981 số lẻ 200 số chẵn nhỏ số ban đầu Bài 12 Có 2005 đồng xu, đồng xu có hai mặt, mặt màu xanh mặt màu đỏ Xếp đồng xu bảng cho mặt màu xanh ngửa lên Thực trò chơi sau: lần thực cho phép đổi bốn mặt bốn đồng xu tùy ý Hỏi nhận kết mà tất đồng xu có mặt đỏ ngửa lên không? Lời giải Thay đồng xu mặt màu xanh ngửa lên số −1 Thay đồng xu màu đỏ ngửa lên số (+1) Khi cách thực theo đề mô tả dạng khác sau: bốn số xóa thay số số đối Ban đầu có 2005 số (−1) tương ứng với 2005 đồng xu có mặt màu xanh ngửa lên Ta thấy thay bốn số a,b,c,d bốn số −a,−b,−c,−d tích số thay vào (−a)(−b)(−c)(−d) = abcd tích số ban đầu Như thời điểm tích số không đổi Ban đầu có 2005 số −1 nên tích chúng (−1), suy thời điểm tích số (−1) Vậy nhận kết mà tất đồng xu có mặt đỏ ngửa lên Nhận xét Bài toán thay đổi để dễ tìm bất biến hơn, bất biến thao tác tích chữ số không đổi Bài 13 Trong dãy 1,9,9,9,8, , chữ số chữ số thứ năm chữ số hàng đơn vị tổng bốn chữ số liền trước Hỏi dãy có gặp 1234 5678 không? Lời giải Ta thay chữ số dãy cho số số chẵn số số lẻ Ta nhận dãy số 111101111011110 , sau bốn chữ số có chữ số sau số có bốn chữ số Các số 1234 5678 ứng với chữ số 1010 1001 nên có mặt dãy số cho Nhận xét Đây toán thích, thể tư chuyển toán khó thành toán dễ để phát bất biến Rõ ràng để nguyên khó để tường minh lời giải, nhiên chuyển hóa bất biến sau bốn chữ số có chữ số sau số có bốn chữ số Bài 14 Một hình tròn chia thành 10 ô hình quạt, ô người ta đặt viên bi Nếu ta di chuyển viên bi theo quy luật: lần lấy ô ô viên bi, chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược chuyển tất viên bi không? Lời giải: Trước tiên, ta tô màu xen kẽ ô hình quạt, có ô tô màu (ô màu) ô không tô màu (ô trắng) Ta có nhận xét : Nếu di chuyển bi ô màu bi ô trắng tổng số bi ô màu không đổi Nếu di chuyển ô màu, ô bi tổng số bi ô màu giảm Nếu di chuyển ô trắng, ô bi tổng số bi ô màu tăng lên Vậy tổng số bi ô màu không đổi, giảm tăng lên Nói cách khác, tổng số bi ô màu không thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu Ban đầu tổng số bi ô màu viên (là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật tổng số bi ô màu khác khác 10, chuyển tất viên bi ô Nhận xét Bài toán giải dễ dàng cách tô màu xen kẽ ô hình quạt Trong nhiều toán việc tô màu ý tưởng để giải toán Và bất biến toán tổng số bi ô màu không thay đổi tính chẵn lẻ Bài 15 Mỗi số dãy 21,22,23, ,22005 thay tổng chữ số Tiếp tục làm với số nhận tất số dãy có chữ số Chứng minh dãy này: số số nhiều số số Lời giải Ta thấy : “Số tự nhiên A tổng chữ số A số dư phép chia cho 9” Mặt khác ta có : 21 chia cho dư 2; 22 chia cho dư 4; 23 chia cho dư 8; 24 chia cho dư 7; 25 chia cho dư 5; 26 chia cho dư 1; 27 chia cho dư 2; Do 26k + r nhận số dư phép chia cho 2, 4, 8, 7, 5, tương ứng với giá trị r 1, 2, 3, 4, 5, Dãy cuối nhận gồm 2005 số thuộc tập hợp {2;4;8;7;5;1} Ta có 2005 = 334 × + nên dãy cuối có 335 số (nhiều số số khác số) Vậy số số nhiều số số số Nhận xét Bài toán xuất phát từ tính chất số học Số tự nhiên A tổng chữ số A số dư phép chia cho dãy số dư chia an cho m tuần hoàn (có thể không xuất phát từ số đầu tiên) Và bất biến toán dãy số chuyển thành dãy số dư 248751248751 Bài 16 Một tờ giấy bị cắt nhỏ thành mảnh 11 mảnh Các mảnh nhận lại chọn để cắt (thành mảnh 11 mảnh nhỏ hơn), Cứ ta nhận 2005 mảnh cắt không ? Lời giải Sau lần cắt mảnh giấy thành mảnh 11 mảnh số mảnh giấy tăng lên 10 Như tính bất biến toán “số mảnh giấy tăng lên bội số 5” Vậy số mảnh giấy sau lần cắt có dạng 1+5k, mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách cắt trên, từ tờ giấy ban đầu, ta cắt thành 2005 mảnh Nhận xét Bất biến toán số mảnh giấy tăng lên bội số Bài 17 Ta xét bảng hàng cột bao gồm dấu + dấu − sau: + + + + + + + + − + + + + + + + Người ta đồng thời thay đổi dấu tất dấu hàng bất kỳ, cột bất kỳ, đường mà song song với đường chéo(thực tế người ta thay đổi dấu góc) Có khả hay không nhận bảng không chứa dấu − nào? Lời giải Ta xét bảng thứ hai sau: 1 0 1 0 1 Bảng có tính chất: hàng, cột đường thẳng song song với đường chéo có hai số số Bây ta gọi phần tử bảng thứ phần tử tốt đặt vào vị trí có số bảng thứ hai Sau ta thay đổi dấu xảy ba trường hợp sau: • Trường hợp Hai dấu + phần tử tốt chuyển thành hai dấu − phần tử tốt • Trường hợp Hai dấu − phần tử tốt chuyển thành hai dấu − phần tử tốt • Trường hợp Một cặp phần tử tốt gồm dấu + dấu − chuyển đổi cho Như số lượng dấu − phần tử tốt số lẻ Do tồn dấu − bảng Bài 18 Có hai đống đá, đống có n đống có k Cứ phút máy tự động lại chọn đống có số đá chẵn chuyển nửa số đá đống đá chọn sang đống (nếu hai đống có số đá chẵn máy chọn ngẫu nhiên đống) Nếu hai đống số đá lẻ máy ngừng làm việc Hỏi tồn cặp thứ tự (n,k), với n k số tự nhiên không vượt 1000, để máy tự động sau khoảng thời gian hữu hạn dừng Lời giải Giả sử n = 2au k = 2bv, với u v số lẻ Chúng ta chứng minh máy tự động thiết dừng cặp cặp số (n,k) với a = b Nếu a = b từ cặp (n,k) máy tự động nhận cặp (2a−1u,2a−1(u+v)) (2a−1(2u+v),2a−1v) Vì số (2u + v) (2v + u) lại lẻ, nên máy tự động làm giảm số mũ xuống đơn vị Qua a bước số mũ trở nên 0, máy tự động dừng lại Bây giả sử a < b(trường hợp a > b xét tương tự) Nếu a b−2, _ từ cặp (n,k) máy tự động nhận cặp (2a(u+2b−1−av),2b−1v) với số mũ lũy thừ khác Nếu a = b−1, từ cặp (n,k) máy tự động nhận cặp (2a(u+v),2au) = 2a +1u+v,2au lại với số mũ lũy thừa khác Dễ dàng thấy trường hợp máy tự động làm việc mãi không dừng Chỉ việc đếm cặp số Có 500 số lẻ không vượt 1000, số cặp (n,k) = (2au,2bv) với a = b = 5002; có 250 số không vượt 1000 chia hết cho không chia hết cho 4, số lượng cặp với a = b = 2502 Cứ tiếp tục vậy, ta nhận đáp số toán: 5002 +2502 +1252 +632 +312 +162 +82 +42 +22 +12 = 333396 Bài 19 Trên bảng viết 10 dấu cộng 15 dấu trừ Với 24 lần thực hiện, lần xóa dấu lại thêm vào dấu (cộng trừ) để cuối bảng lại dấu Biết dấu thêm vào dấu trừ trước xóa dấu khác nhau, ngược lại dấu thêm vào dấu cộng Hỏi dấu lại bảng dấu ? Lời giải Ta thấy, xóa dấu cộng phải thêm vào dấu cộng, số dấu trừ bảng không thay đổi Nếu xóa dấu trừ phải thêm vào dấu cộng, số dấu trừ giảm Nếu xóa dấu cộng dấu trừ phải thêm vào dấu trừ, số dấu trừ bảng không thay đổi Như vậy, tính bất biến : sau lần thực việc xóa thêm dấu, số dấu trừ bảng không thay đổi giảm Mặt khác, số dấu trừ ban đầu số lẻ nên sau lần thực số dấu trừ lại bảng số lẻ Sau 24 lần thực hiện, bảng lại dấu mà dấu trừ hết nên dấu lại bảng phải dấu trừ Bài 20 Cho bàn cờ quốc tế 8×8 Hỏi quân mã nước từ ô bên trái kết thúc ô bên phải hay không? Với điều kiện phải qua tất ô bàn cờ ô qua lần Lời giải Ta tô ô bàn cờ xen kẽ màu đen trắng bàn cờ vua(hình dưới) Do “bình đẳng màu” nên không tính tổng quát ta giả sử ô bên trái có màu trắng Từ cách mã ta nhận thấy sau nước mã sang ô khác màu với ô mà đứng Vì sau số lẻ nước mã ô màu đen, sau số chẵn nước mã ô màu trắng Đây tính bất biến Trở lại toán ta thấy từ ô bên trái lên ô bên phải cần 63 nước Vì ô bên phải cần mang màu đen (theo tính bất biến) Điều vô lý Vậy quân mã từ ô bên trái nên ô bên phải yêu cầu đầu Nhận xét Bài toán giải xung quanh toán nhiều điều cần phải suy nghĩ Chẳng hạn xét bàn cờ X × X với X số lẻ liệu có cách từ ô bên trái lên ô bên phải thoả mãn yêu cầu toán hay không? Nếu có cách thế? Câu hỏi khó Bài 21 Cho bảng ô vuông chứa số hình 4a Ta thực thuật toán T sau: Chọn số nằm hai ô vuông cạnh cộng số với số nguyên Hỏi sau số lần thực thuật toán T bảng hình vuông chứa số hình 4a thành bảng hình vuông hình 4b hay không? Hình 4a Hình 4b Lời giải Tô màu ô hình vuông hình Đặt B tổng số ô màu đen W tổng số ô màu trắng Ta thấy lần thực thuật toán T ta cộng thêm số ô cạnh với số nguyên nên dễ thấy hiệu B−W không đổi Nhưng với giả thuyết toán hình 4a B−W = 5, hình 4b B − W = −1 Điều trái với quy tắc bất biến Vậy sau lần thực thuật toán T từ hình 4a ta nhận hình 4b Bài 22: (VMO 2006) Xét bảng ô vuông m × n (m,n số nguyên dương lớn 3) Thực trò chơi sau: lần đặt viên bi vào ô bảng (mỗi ô viên) mà ô tạo thành hình đây: Hỏi sau số lần ta nhận bảng mà số bi ô không nếu: a) m = 2004 n = 2006? b) m = 2005 n = 2006? Lời giải.a) Bảng cho chia thành hình chữ nhật 4×2 nên nhận trạng thái mà số bi ô b) Tô màu ô bảng hình vẽ (tô hàng 1,3, ,2005) Dễ thấy, lần đặt bi có viên đặt vào ô tô màu viên đặt vào ô không tô màu Do đó, gọi S(n) số bi ô tô màu T(n) số bi ô không tô màu sau lần đặt bi thứ n S(n)−T(n) bất biến Ta có S(n) −T(n) = S(0)−T(0) = 0, n Do đó, nhận bảng mà số bi ô số ô tô màu số ô không tô màu Điều xảy m số lẻ Bài 23:Các số tự nhiên 0,1,2,3, viết ô bảng ô vuông kính thức 2003×2003 theo vòng xuáy trôn ốc(xoay ngược kim đồng hồ) cho số nằm ô trung tâm (tâm bảng) Các dòng cột bảng đánh số tăng dần từ lên từ trái sang phải (bắt đầu từ số 1) a) Số 2004 nằm dòng nào, cột nào? Vì sao? b) Thực thuật toán sau: lần đầu tiên, thay số ô trung tâm số 1998; lần tiếp theo, cho phép lấy 12 số 12 ô liên tiếp hàng cột trung hình chữ nhật 3×4 tăng số lên đơn vị Hỏi sau số lần ta làm cho tất số bảng bội 2004 hay không? Tại sao? 20 21 22 23 24 19 18 10 17 11 16 15 14 13 12 Lời giải.a) Xét hình vuông cạnh 2n + có tâm ô chứa số 0; số viết đỉnh dưới, bên trái hình vuông (2n+1)2 −1 (ví dụ số 8,24, ) Vì (2 × 22 + 1)2 − = 2024 số nằm ổ ô dòng số 1002, cột số 1002 nên số 2024 nằm hàng số 1002 − 22 = 980 cột số 1002 − 22 = 980 Vậy số 2004 nằm hàng số 980 +20 = 1000 cột số 980 a) Ta tô màu ô hình vẽ Gọi S(n) tổng số ô tô màu bước thứ n Do lần thực thuật toán (kể từ lần thứ 2) có ô tô màu nên S(n+1) = S(n) +4, n Do S(n) bất biến theo module Suy S(n) ≡ S(1) (mod 4), n Ta xét số dư S(0) chia cho 4: Xét đường chéo gồm ô tô màu, đường chéo gồm ba loại sau đây: • Loại 1: chứa toàn số chia hết cho (đường chéo qua ô trung tâm) • Loại 2: chứa toàn số chia cho dư Do tính chất đối xứng bảng nên có chẵn đường chéo loại tổng số đường chéo loại chia hết cho • Loại 3: chứa toàn sổ lẻ: Trên đường chéo loại có nửa số ô chứa số chia cho dư nửa số ô chứa số chia cho dư −1 tổng số đường chéo loại chia hết cho Từ có S(0) ≡ (mod 4), suy S(1) = S(0) + 1994 ≡ (mod 4) hay S(n) ≡ (mod 4), n Vậy có trạng thái mà tất số bảng bội 2004 Bài 24: Xác định số nguyên dương m,n cho bảng m × n lát quân hình chữ L Lời giải Không tính tổng quát ta giả sử m n Để lát bảng m > 2,n > Giả sử ta lát bảng a quân hình chữ L, ta có m.n = 4a Vì m.n > nên a > Xét a = 2, ta có bảng × Bảng × lát hai quân chữ hình L hình vẽ Với a = ta có m×n = 12 nên có hai bảng thỏa mãn 2×6 3×4 Dễ dàng kiểm tra hai bảng không lát quân hình chữ L Điều khiến ta dự đoán, để lát bảng quân hình chữ L a chẵn Để chứng minh dự đoán ta tô màu ô bảng sau: Giả sử m chẵn Các ô dòng có thứ tự lẻ (tính từ xuống dưới) tô màu đen, có ô dòng có thứ tự chẵn tô màu trắng Khi đó, số ô đen số ô trắng 2a Mỗi quân hình chữ L lát vảo bảng chiếm ô đen ô trắng chiếm ô trắng ô đen Giả sử lát x quan hình chữ L chiếm ô đen ô trắng y quân hình chữ L chiếm ô trắng ô đen Ta có hệ : : x y a 3 x y y x 2a Suy x = y a = 2x Điều có nghĩa a chẵn Bây ta chứng minh a chẵn, tức m × n chia hết cho lát bảng quân hình chữ L Thật vậy, m chia hết cho n chia hết cho bảng thành có hình chữ nhật × nên lát Nếu m lẻ n chia hết cho m viết dạng m = 2s+3 nên chia bảng cho thành hình chữ nhật 2×4 3×8 Do đó, hình chữ nhật × lát bảng cho lát Hình vẽ chứng tỏ lát hình chữ nhật Vậy để lát bảng cho quân hình chữ L điều kiện cần đủ m × n chia hết cho m,n > Bài 25: Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu hình gồm ô vuông đơn vị hình vẽ đây, hình nhận lật hình (sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới) hình nhận xoay hình góc Hãy xác định tất hình chữ nhật m × n, m,n số nguyên dương cho lát hình chữ nhật viên gạch hình móc câu Lời giải Dễ thấy m,n {1,2,5} Chia hình chữ nhật m × n thành m × n ô vuông đánh số hàng, cột từ lên trên, tứ trái sang phải Ta gọi ô (p,q) ô nằm giao hàng thứ p cột thứ q Hai viên gạch hình móc câu ghép lại để hai hình (H1 (H2) Do đó, để lát hình chữ nhật m × n m.n phải chia hết cho 12 Nếu hai số m n chia hết cho lát hình chữ nhật m×n Thật vậy, giả sử m chia hết cho Nếu n chia hết cho chia hình chữ nhật m × n thành hình chữ nhật 4×3, lát Nếu n không chia hết cho viết n dạng n = 3a+4b với a,b số nguyên dương, lát Bây ta chứng minh hai số m,n chia hết cho Giả sử ngược lại, m n chia hết cho không chia hết cho Để chứng minh điều không xảy ta tạo bất biến Để tạo bất biến ta điền số vào ô hình chữ nhật theo quy tắc sau: Xét ô (p,q) Nếu hai tọa độ p q chia hết cho điền số vào ô Nếu hai tọa độ p q chia hết cho điền số vào ô Với cách điền số ta thu bất biến tổng số hình (H1) tổng số hình (H2) số lẻ Do m,n chẵn nên tổng số toàn hình chữ nhật m × n số chẵn Muốn lát hình chữ nhật m×n tổng số hình (H1) (H2) sử dụng phải số chẵn Khi đó, m.n chia hết cho 24 Điều không xảy m,n không chia hết cho Kết luận Qua ví dụ bạn thấy sức mạnh việc tìm đại lượng bất biến toán tổ hợp Các đại lượng bất biến xuất tất dạng toán tổ hợp Tìm phát đại lượng bất biến đường giải sáng tạo toán liên quan đến nội dung Bài 26: Có cốc dung tích đựng nước theo thứ tự chiếm 1 1 1 , , , , , , cốc 10 Cho phép trút tất nước từ cốc sang cốc khác nước không tràn đổ nước từ cốc sang cốc khác đầy dừng lại Hỏi hay không sau số lần đổ trước, cốc chứa nước chiếm a/ cốc 12 b/ cốc ? Lời giải a/ Câu trả lời “ Có” Ta đổ sau: Đổ từ cốc thứ ba sang cốc thứ hai, cốc thứ hai chứa nước chiếm - 1 cốc 12 Sau đó, đổ nước từ cốc thứ hai sang cốc thứ đầy lượng nước lại cốc thứ hai 1 cốc 12 12 b/ Câu trả lời “ Không” Trước hết ta chứng minh quy nạp theo số lần rót lượng nước cốc không rỗng là phần lẻ tổng số phân số 1 1 1 , , , , , , , cốc khác tổng 10 phân số khác Cơ sở quy nạp Giả sử cốc A,B có số lượng nước tương ứng a,b Nếu ta đổ nước từ cốc A sang cốc B lượng nước sau đổ 0, a + b cốc B đầy a + b – Từ rõ ràng mệnh đề Bây giả sử 1 1 1 1 a1 ak với a i , , , , , , Ta chứng 10 1 1 1 Thật vậy, 10 1 1 phấn số có hai số hay , hai số , , 10 minh tổng phân số , , , , , , hay chứa số mẫu số phân số thu chia hết cho 4, tương ứng, không chia hết cho số Còn từ hai phân số 1 tạo phân số có phần lẻ Bài 27: Một đường tròn chia làm cung, viết số 1, 0, 1, 0, 0, (theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ) Mỗi lần thực bạn cộng hai số cạnh với Hỏi xảy trường hợp sau số lần thực hiện, tất số cung tròn hay không? Lời giải: Gọi a , a , a , a , a , a số cung tròn Sau lần thực phép biến đổi, đại lượng S= a0 a1 a2 a a4 a5 (bất biến) Do xảy trường hợp tất số cung tròn trường hợp đó, ta có S=0 Bài 28: Các số 1,2,3, ,20 viết lên bảng Mỗi phép biến đổi , ta xóa số a b thêm vào số a+b-1 Số lại bảng sau 19 bước ? Lời giải: Với n số bảng ta xét đại lượng X tổng số bảng trừ n Khi X không thay đổi phép biến đổi Lúc đầu X = ( + + + 20) – 20 =190 Sau 19 bước, X = 190 hay số lại 191 Sẽ không ngạc nhiên bạn đưa lập luận sau: bước tổng giảm Lúc đầu tổng 210 , sau 19 bước số lại 210 – 19 = 191 Cách giải hiển nhiên không làm rõ ý tưởng bất biến Bài 29Ở Vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng, 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác gặp nhau, tóc họ đổi sang màu thứ ba Hỏi có lúc đó, tất hiệp sĩ có màu tóc giống nhau? Lời giải: Giả sử thời điểm đó, ta có a hiệp sĩ tóc đỏ, b hiệp sĩ tóc vàng c hiệp sĩ tóc xanh t đặt N a b(mod 3) Ta chứng minh N không thay đổi có đổi màu tóc Thật vậy: +Nếu hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng ta có a a 1, b b 1, c c , N ( a 1) (b 1)(mod 3) a b(mod 3) không thay đổi +Nếu hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc xanh ta có a a 1, b b 2, c c , N ( a 1) (b 2)(mod 3) a b(mod 3) không thay đổi +Nếu hiệp sĩ tóc vàng gặp hiệp sĩ tóc xanh ta có a a 2, b b 1, c c , N ( a 2) (b 1)(mod 3) a b(mod 3) không thay đổi Vì ban đầu ta có N 13 15(mod 3) 1(mod 3) nên trình biến đổi màu tóc, ta có N 1(mod 3) Như xảy trường hợp tất hiệp sĩ có màu tóc trường hợp này, N tương ứng 0(mod 3) (do (a, b, c) (45, 0, 0) hoán vị) Bài 30: Trên bảng có bốn số 3, 4, 5, Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa hai số x, y có bảng thay x y x y x y x y Hỏi sau số hữu hạn bước thực hiện, bảng xuất số nhỏ 1được không ? Lời giải: Đặt a = x y x y , b = x y x y Ta có 1 1 2 a b x y x y x y x2 y 2( x y ) x y 1 2 ( x y) ( x y ) xy x y Như vậy, qua phép biến đổi, tổng nghịch đảo số bảng không thay đổi Vì 1 1 19 nên qua lần biến đổi, tổng nghịch đảo số bảng nhỏ 20 Do số bảng qua phép biến đổi dương nên từ suy số nhỏ Bài 31: Trên bàn có 100 viên kẹo Hai người thay phiên bốc k viên kẹo, k {1, 2, 3} Ai bốc viên kẹo cuối người thắng Hỏi chiến thuật thắng ? Lời giải: Ta bắt đầu “quan sát” toán câu hỏi “khi người bốc chắn thắng ?” “khi người bốc chắn thua ?” Trường hợp dễ nhận thấy người bốc chắn thắng bàn 1,2 viên kẹo, chắn thua viên kẹo Tiếp tục quan sát, người bốc chắn thắng bàn 5, viên kẹo, người bốc có cách bốc để bàn viên kẹo, dồn đối thủ vào thua Tương tự vậy, người bốc thua bàn viên kẹo, dù có bốc đưa đến trường hợp “5, viên” cho người bốc Như vậy, tính bất biến là: người chơi chiến thắng đưa số viên kẹo bàn số chia hết cho Vì 100 chia hết cho với cách bốc người , người sau có cách bốc tương ứng để đảm bảo số kẹo lại chia hết cho Do người sau người có chiến thuật thắng Bài 32: Vào năm 3000, Việt Nam đồng nhân dân tệ (RMB) đổi 10 đồng Việt Nam (VNĐ) Trong Trung Quốc, VNĐ đổi 10 RMB Một du khách người Nhật lúc đầu có VNĐ Ông lại tùy ý hai nước Việt Nam Trung Quốc Hỏi ông ta làm cho số VNĐ RMB ông ta có hay không ? Lời giải : Xét X = số VNĐ - số RMB du khách Khi X mod 11 bất biến bước đổi tiền Nếu số RMB VNĐ X 0(mod 11) Lúc đầu ta có X 1(mod 11) thu X 0(mod 11) Nên câu trả lời Bài 33 : Trên bảng có viết số 1,2,3,4,5 Mỗi bước cho phép chọn hai số a,b thay a+b, ab Hỏi thu 21,27,64,180,540 hay không ? Lời giải : Bài toán nhìn đơn giản để tìm bất biến điều dễ dàng Trước hết ta kiểm tra số chia hết cho không giảm số lượng tăng từ số chia dư chia dư thu số chia hết cho số chia hết cho Vì lần chuyển sang trạng thái có số chia hết cho số lại chia dư 2, 64 chia dư nên câu trả lời Bài 34: Tô đen ô hình vuông 10 x 10 Mỗi lần tô màu đen ô chưa tô kề với ô đen ( kề hiểu chung cạnh) Có thể tô màu hết bàn cờ hay không ? 10 ô ? Nếu hình vuông n x n lúc đầu cần tô đen ô để tô đen bàn cờ? Lời giải: Nếu tô 10 ô câu trả lời khẳng định Ví dụ ta bắt đầu với 10 ô đen đường chéo hình vuông Nếu tô ô câu trả lời phủ định Xét X tổng chu vi phần tô màu đen hình lúc đầu X 36 Dễ kiểm tra X nửa bất biến , cụ thể X không tăng Nếu bàn cờ tô màu lúc X =40 mâu thuẫn Vậy to đen bàn cờ xuất phát với ô màu đen Bài 35 : Các ô hình vuông xếp kề tạo thành dải hình chữ nhật vô hạn hai phía Ta xếp vào ô vuông số hữu hạn viên đá Mỗi bước, chọn hai viên đá ô chuyển chúng sang hai ô bên cạnh khác hướng a) Có thể sau số hữu hạn bước quay lại vị trí ban đầu không ? b) Có thể thực vô hạn bước không? c) Nếu trình dừng lại trạng thái xếp cuối có phụ thuộc vào trình thực bước không? Lời giải : Gán cho viên đá ô thứ n số n2 Xét tổng tất số thu Rõ ràng phép biến đổi ta thay số n2 số (n-1)2 (n+1)2 Do tổng tăng đơn vị phép biến đổi Suy sau số hữu hạn bước quay lại vị trí ban đầu Tiếp theo chứng minh tổng tăng vô hạn phương pháp quy nạp Lưu ý tổng tăng vô hạn , nghĩa có số viên đá tiến xa vô hạn Viên đá cuối bên phải tăng số viên đá cuối bên trái giảm số Do khoảng cách hai viên đá tăng vô hạn Và đến lúc có viên không chịu tác động viên lại Lập luận lời giải phần b c dành cho bạn đọc