Bài 5 (tr 66 80) đặng huy ruận

Về thắng thua có hai cách qui định: Hoặc người bốc được vật cuối cùng thắng cuộc, hoặc người không phải bốc vật cuối cùng thắng cuộc.. Nếu em A được đi đầu, thì em phải có cách bốc các v

HAI PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRÒ CHƠI BỐC VẬT

Đặng Huy Ruận Trường Đại học Khoa học tự nhiên – ĐHQG Hà Nội

Trên bàn có một hay nhiều đống vật với số lượng hữu hạn Hai đấu thủ A, B thực hiện trò chơi bốc các vật

Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một vật và không được bốc quá số lượng quy định Trong trường hợp có nhiều đống vật cũng chỉ được bốc ở một trong những đống còn vật

Về thắng thua có hai cách qui định: Hoặc người bốc được vật cuối cùng thắng cuộc, hoặc người không phải bốc vật cuối cùng thắng cuộc Trong bài viết này chỉ x in trình bầy thuật toán bốc các vật đảm bảo cho người bốc được vật cuối cùng thắng cuộc

Trường hợp có một đống vật trò chơi được gọi là Trò chơi đơn, còn trường hợp có nhiều đống vật trò chơi được gọi là Trò chơi hợp.

Cả hai dạng trò chơi đều có hai cách giải quyết Cách thứ nhất sử dụng tính chất đồng dư

được gọi là phương pháp đồng dư Cách thứ hai sử dụng nhân của đồ thị được gọi là phương pháp đồ thị.

§ 1 Một số khái niệm và kết quả cần dùng

I.Đồ thị có hướng

1 Định nghĩa: Trên mặt phẳng hoặc trong không gian lấy n điểm tùy ý khác nhau và ký

hiệu bằngx1,x2, ,x n

Giữa một số cặp điểm được nối bằng những đoạn thẳng hoặc đoạn cong được định hướng Người ta gọi hình nhận được là một đồ thị có hướng đồng thời ký hiệu bằng G

Các điểm đã chọnxi (1≤i≤n) được gọi là các đỉnh, còn các đoạn thẳng hoặc đoạn cong được định hướng đã nối được gọi là các cung của đồ thị G

Nếu ký hiệu tập đỉnh bằng X, còn tập cung bằng E, thì đồ thị G còn được ký hiệu bằng G(X, E)

Giả sử cung u đi từ đỉnhxi sang đỉnhxj Khi đóxi được gọi là đỉnh đầu, cònxj được gọi là đỉnh cuối của cung u

Cặp đỉnhxi,x j được gọi là hai đỉnh kề nhau, nếu chúng là hai đầu của cùng một cung

2 Nhân của đồ thị

Tập con A ⊆các đỉnh của đồ thị G = (X, E) được gọi là nhân của đồ thị G, nếu

1) Hai đỉnh tùy ý x, y∈A đều không kề nhau

2) Đỉnh tuỳ ý u không thuộc A đều tồn tại đỉnh v∈A, để từ u vào v có cung

II Đồ thị hợp

Giả sử có n đa đồ thị có hướng với các tập đỉnh không giao nhau từng đôi mộtG1(X1,E1),

G2(X2,E2), ,G n(x n,E n)

Xét tích đề các của các tập đỉnhX1,X2, ,Xn

X =X1xX2x xX n= (x1,x2, ,x n)|x i ∈x i (1≤i≤n)

và tập

E = (x1,x2, ,x n), (x01,x20, ,x0n)|∃i! (1≤i≤n) ((xi,x i0)∈Ei)

Định nghĩa: Đồ thị G = (X, E) được gọi là đồ thị hợp của các đồ thị G1,G2, ,G n, đồng thời còn được ký hiệu bằngG1,G2, Gn

III Tổng digit

Giả sử có n số nguyên không âmC1,C2, ,Cnvới các dạng khai triển nhị phân

Trong số học[m](2) hay “m theo modun 2” là số dư (bằng 0 hoặc bằng 1) nhận được khi chia m cho 2

Định nghĩa Vec tơ:

C =

P

k=1

C k0

¸

(2)

,

P

k=1

C k1

¸

(2)

,

P

k=1

C k2

¸

(2)

,

được gọi là tổng digit của các số nguyênC1,C1, ,C n, đồng thời ký hiệu bằng:

C = C1+C˙ 2+ ˙˙ +C n−1 +C˙ n

Ví dụ:

§ 2 Trò chơi đơn

I.Bài toán Giả sử m, n là hai số tự nhiên m < n và n không chia hết cho m + 1.

Trên bàn có một đống gồm n vật Hai em A, B thực hiện trò chơi bốc các vật theo các nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gieo đồng tiền

2) Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một vật và không được bốc quá m vật

3) Người bốc được vật cuối cùng sẽ thắng cuộc

Nếu em A được đi đầu, thì em phải có cách bốc các vật như thế nào để đảm bảo thắng cuộc, tức bốc được vật cuối cùng

Có hai cách đưa ra thuật toán bốc các vật để em A chiến thắng Đó là phương pháp đồng

dư và phương pháp đồ thị

II Phương pháp đồng dư

Thuật toán được hình thành dựa trên cơ sở tính đồng dư theo modul (m+1)

1) Vì n không chia hết cho m+1, nên khi chia n cho m+1 nhận được số dư r (0 < r≤m) Bởi vậy tại bước xuất phát em A có thể bốc r vật, để trên bàn còn lại số lượng vật bằng nguyên lần của m+1

2) Tại các bước tiếp theo, nếu đến lượt mình em B bốc s (1≤s≤m) vật, thì ngay sau đó em

A bốc (m+1-s) vật, nên trên bàn số lượng vật còn lại vẫn là nguyên lần của m+1

3) Trước khi em B bốc lần cuối cùng trên bàn còn đúng m+1 vật, nhưng em B phải bốc ít nhất 1 vật và không được bốc quá m vật Bởi vậy, sau khi em B bốc lần cuối cùng trên bàn còn

ít nhất 1 vật và không vượt quá m vật, nên em A có quyền bốc hết số vật còn lại này và thắng cuộc

Ví dụ 1: Trên bàn có một đống bi gồm 14 viên Hai em Anh, Việt thực hiện trò chơi bốc bi

theo các nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gieo đồng tiền

2) Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một viên bi và không được bốc quá 3 viên bi 3) Người bốc được viên bi cuối cùng sẽ thắng cuộc

Hỏi: Nếu em Anh đi đầu, thì em phải có cách bốc bi như thế nào để thắng cuộc, tức bốc

được viên bi cuối cùng?

Giải:

Trò chơi trong ví dụ tương ứng với trường hợp n = 14, còn m = 3

Vì 14 chia cho 4 còn dư 2, nên với tư cách người đi đầu em Anh bốc 2 viên bi, để số bi còn lại là 12 viên

Tiếp theo giả sử em Việt bốc 3 viên, nên trên bàn còn 9 viên bi

Đến lượt mình em Anh bốc 1 viên bi, để số bi còn lại là 8 viên

Đến lượt mình giả sử em Việt bốc 2 viên bi, nên trên bàn còn 6 viên bi

Đến lượt mình em Anh phải bốc 2 viên bi, để số bi còn lại là 4 viên

Lần cuối cùng giả sử em Việt bốc 1 viên, nên số bi còn lại 3 viên

Đến lượt mình đồng thời là người bốc cuối cùng em Anh bốc tất cả 3 viên bi còn lại và thắng cuộc

III Phương pháp đồ thị

Để vận dụng phương pháp này đầu tiên phải xây dựng đồ thị mô tả diễn biến cuộc chơi, sau đó dựa vào nhân của đồ thị mà đưa ra thuật toán

1 Xây dựng đồ thị G mô tả diễn biến cuộc chơi

a Đỉnh: Lấy n+1 điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian và ký hiệu một cách tương ứng bằng các số

0, 1, 2, , n–1, n

Đỉnh n được thừa nhận là đỉnh xuất, nên được đặt trong khuyên tròn có mũi tên đi vào Các đỉnh

0, m + 1,2(m + 1), ., s(m + 1)(s(m + 1) < n)

được đặt trong các ô chữ nhật Các đỉnh còn lại được đặt trong khuyên tròn

b Cung:

α) Từ mỗi đỉnh s (s≥m) xuất phát m cung với các nhãn tương ứng là

1, 2, , m – 1, m

β) Từ mỗi đỉnh t (1≤t≤m) xuất phát t cung với các nhãn tương ứng là

1, 2, , t – 1, t

Cung nhãn c xuất phát từ đỉnh a sẽ đi tới đỉnh a – c

2.Nhân N của đồ thị G

Tập conN = {0,m + 1,2(m + 1), , s(m + 1)}với s(m+1) < n là nhân của đồ thị G Bởi vì

α) Từng cặp đỉnh thuộc N không có cung nối với nhau;

β) Với các số nguyên l, r tùy ý (0≤k≤£m+1 n ¤, 1≤r≤m) đỉnh k(m+1)+r không thuộc N và từ đỉnh k(m+1)+r vào đỉnh k(m+1)∈N có cung

3 Thuật toán

Giả sử n = s(m+1) + r (1 ≤r≤m) Để chiến thắng em A phải xuất phát từ đỉnh n, đi theo cung nhãn r (tức bốc r vật) để đạt được đỉnh s(m + 1)∈N

Đến lượt mình em B phải xuất phát từ đỉnh s(m+1) và đi theo cung nhãn r (1≤r≤m) (tức bốc r vật) và đi tới đỉnh s(m+1) - r không thuộc nhân N

Đến lượt mình em A xuất phát từ đỉnh s(m+1) - r đi theo cung nhãn m+1- r (1≤m + 1 - r≤

m) (tức bốc m + 1- r vật) để đạt đỉnh (s - 1)(m + 1) thuộc nhân N

Giả sử sau một số hữu hạn bước thay nhau bốc các vật em A đạt được đỉnh k(m+1)∈N (tức trên bàn còn k(m+1) vật Khi đó đến lượt mình em B phải xuất phát từ đỉnh k(m+1) đi theo cung nhãn t (1≤t≤m) (tức bốc t vật) để tới đỉnh k(m+1)-t không thuộc nhân N Tiếp theo đó đến lượt A, em sẽ bốc m+1-t (1≤m+1-t≤m) vật và lại đạt được đỉnh (k-1)(m+1) thuộc nhân N

Sau khi bốc lần cận cuối em A đạt được đỉnh m+1 thuộc nhân N Khi đó đến lượt mình em

B phải xuất phát từ đỉnh m+1 và đi theo cung với nhãn p(1≤p≤m) để tới đỉnh m+1-p (1≤

m+1-p≤m) không thuộc nhân N Đến lượt mình em A xuất phát từ đỉnh m+1-p đi theo cung m+1-p (tức bốc m+1-p vật) để đạt đỉnh O∈N và thắng cuộc

Ví dụ 2: Trên bàn có một đống diêm gồm 9 que Hai em Dũng, Hằng thực hiện trò chơi bốc

diêm theo nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gắp thăm;

2) Mỗi người đến lượt mình phải bốc ít nhất 1 que diêm và không được bốc quá 3 que diêm

3) Người nào bốc được que diêm cuối cùng sẽ thắng cuộc

Hỏi: Giả sử em Dũng được đi đầu, thì em phải có cách bốc diêm như thế nào để thắng cuộc, tức bốc được que diêm cuối cùng?

Để giải bài toán này ta dùng phương pháp đồ thị

Trò chơi trong ví dụ này tương ứng với trường hợp n = 9, còn m = 3

Đầu tiên ta xây dựng đồ thị G mô tả diễn biến cuộc chơi Sau đó dựa vào nhân của đồ thị

G, mà đưa ra thuật toán đảm bảo người đi đầu (em Dũng) thắng cuộc

1 Xây dựng đồ thị G

Để có đồ thị G cần xác định đỉnh và cung

Đỉnh: Lấy 10 điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian và ký hiệu một cách tương ứng bằng các số

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Đỉnh ký hiệu bằng số 9 được thừa nhận là đỉnh xuất phát, nên được đặt trong ô tròn có mũi tên đi vào

Các đỉnh 1, 2, 3, 5, 6, 7, được đạt trong các ô tròn

Các đỉnh 0, 4, 8 được đặt trong các ô chữ nhật

Cung:

Với mỗi k∈3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 từ đỉnh k xuất phát ba cung với nhãn 1,2,3 đi tới ba đỉnh tương ứng là (k-1), (k-2) và (k-3)

Từ đỉnh 2 có cung nhãn 1 đi tới đỉnh 1 và cung nhãn 2 đi tới đỉnh 0

Từ đỉnh 1 xuất phát cung duy nhất đi tới đỉnh 0

Đồ thị G

2.Nhân của đồ thị G

Vì từng cặp đỉnh thuộc tập N = 0, 4, 8,không có cung nối với nhau

Các đỉnh nằm ngoài N đều có cung đi tới một đỉnh thuộc N, nên tập N là nhân của đồ thị G

3 Thuật toán giúp người đi đầu (em Dũng) chiến thắng.

Với tư cách người đi đầu em Dũng phải xuất phát từ đỉnh 9, đi theo cung nhãn 1, tức bốc

1 que diêm, để đạt được đỉnh 8 thuộc nhãn N

Tiếp theo, đến lượt em Hằng, em phải xuất phát từ đỉnh 8 và chỉ có thể đi theo một trong

ba cung thuộc đỉnh này

Chẳng hạn, em Hằng đi theo cung nhãn 2, tức bốc 2 que diêm, để tới đỉnh 6 không thuộc nhân N

Vì từ đỉnh 6 có cung nhãn 2 đi tới đỉnh 4 thuộc nhân N, nên đến lượt mình em Dũng xuất phát từ đỉnh 6 và đi theo cung nhãn 2, tức bốc 2 que diêm, để đạt đỉnh 4 thuộc nhân N Lần thứ ba đến lượt mình em Hằng phải xuất phát từ đỉnh 4 và cũng chỉ được phép đi theo một trong ba cung xuất phát từ đỉnh này Chẳng hạn em Hằng đi theo cung nhãn 3, tức bốc tối đa là 3 que diêm, và chỉ đạt cực đại tại đỉnh 1 không thuộc nhân N Đến lượt mình em Dũng xuất phát từ đỉnh 1 và đi theo cung duy nhất xuất phát từ đỉnh 1 và cung này có nhãn

là 1, tức bốc nốt que diêm cuối cùng, để đạt được đỉnh 0 thuộc nhân N và thắng cuộc

§ 3 Trò chơi hợp

Giả sửm i,n i (1≤i≤k) là các số nguyên dương vàn i chia chom i+1 có dư là ri và tổng digit các số dưr1+ r2+ + r k6= 0

I Bài toán

Trên bàn có k đống vậtM1,M2, M k với các số lượng tương ứngn1,n2, ,n k

Hai em A, B thực hiện trò chơi bốc các vật theo nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gieo đồng tiền;

2) Mỗi người đến lượt chỉ được bốc ở một trong những đống còn vật, phải bốc ít nhất một vật và nếu bốc đống thứ i (1≤i≤k), thì không được bốc quámi vật;

3) Người bốc được vật cuối cùng sẽ thắng cuộc

Hỏi: Nếu em A được đi đầu, thì em phải có cách bốc các vật như thế nào để đảm bảo thắng cuộc, tức bốc được vật cuối cùng?

Có hai cách đưa ra thuật toán bốc các vật, để em A chiến thắng Đó là phương pháp đồng

dư và phương pháp đồ thị

II Phương pháp đồng dư

Vì ri (1≤i≤k) là số dư nhận được khi chian i chom i+1 và có tổng digit

To = r1+r˙ 2+ ˙˙ +r k6= 0

nên với tư cách người được đi đầu em A phải chọn đống nào và phải bốc số lượng vật bằng bao nhiêu trong phạm vi cho phép, để sau khi em bốc tổng digit của số dư tất cả các đống

bằng 0.

Giả sử em A bốc vật thuộc đống thứ t (1≤t≤k) và số lượng vật còn lại tại đống này sau khi

em bốc chia cho mt+1 có dư làr t0 Khi đó tổng digit

T1= r1+r˙ 2+ ˙˙ +r t −1 +r˙ t0+r˙ t +1+ ˙˙ +r k= 0

Giả sử hai em A, B cứ thay nhau bốc các vật theo quy tắc đã định và đến một thời điểm nào đó sau khi em B bốc số lượng vật còn lại tại đống thứ i (1≤i≤k) đem chia chomi+1 có

dư là si và tổng digit

T2= s1+s˙ 2+ ˙˙ +s i −1 +s˙ i +s˙ i +1+ ˙˙ +s k6= 0

Sau đó đến lượt mình em A phải chọn đống nào và bốc với số lượng vật bằng bao nhiêu trong phạm vi cho phép, để sau khi em bốc tổng digit của số dư tất cả các đống bằng 0 Giả sử em A bốc vật thuộc thứ l (1≤l≤k) và số lượng vật còn lại tại đống này sau khi em bốc chia cho ml+1 có dư làs0l Khi đó tổng digit

T3= s1+s˙ 2+ ˙˙ +s l −1 +s˙ 0l +s˙ l +1+ ˙˙ +s k= 0

Cứ tiếp tục quá trình thay nhau bốc các vật như trên thì em A sẽ là người bốc được vật cuối cùng và thắng cuộc

Ví dụ 3

Trên bàn có ba đống bi: Đống M1 gồm 14 viên, đống M2 gồm 9 viên và đống M3 gồm 5 viên

Hai em Tuấn, Bình thực hiện trò chơi bốc bi theo nguyên tắc sau:

1) Người đi đầu được xác định bằng gắp thăm;

2) Mỗi người đến lượt chỉ được bốc ở một trong những đống còn bi, phải bốc ít nhất 1 viên và

- Nếu bốc đốngM1, thì không được bốc quá 4 viên,

- Nếu bốc ở đốngM2, thì không được bốc quá 3 viên,

- Nếu bốc ở đống M3, thì không được bốc quá 2 viên

3) Em bốc được viên bi cuối cùng sẽ thắng cuộc

Hỏi: Nếu em Bình được đi đầu, thì em phải có cách bốc bi như thế nào để thắng cuộc, tức bốc được viên bi cuối cùng?

Giải

Do khi chia 14 cho 5 có dư là 4, chia 9 cho 4 có dư là 1, chia 5 cho 3 có dư là 2 và

nên tại bước xuất phát em Bình phải bốc 1 viên thuộc đốngM1, để số lượng còn lại tại các đống là:M1có 13 viên và chia 13 cho 5 có dư là 3,M2có 9 viên và chia 9 cho 4 có dư là 1, M3

có 5 viên và chia 5 cho 3 có dư là 2 Bởi vậy có tổng digit các số dư

Đến lượt mình, giả sử em Tuấn bốc 3 viên tại đốngM2, nên số lượng sau khi em Tuấn bốc là:M1có 13 viên và chia 13 cho 5 có dư 3,M2còn 6 viên và chia 6 cho 4 có dư 2, M3 có 5 viên

và chia 5 cho 3 có dư 2 Bởi vậy tổng digit các số dưT2= 3 ˙+2 ˙+2 = (1, 1, 0) + (0, 1, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) 6= (0,0,0)

Đến lượt mình em Bình bốc 3 viên ở đốngM1 Khi đó số lượng tại các đống là:M1còn 10 viên và 10 chia hết cho 5,M2có 6 viên và 6 chia cho 4 còn dư 2, M3 có 5 viên và 5 chia cho 3 còn dư 2 Bởi vậy tổng digit của các số dư

Đến lượt mình, chẳng hạn em Tuấn bốc 4 viên tại đốngM1, nên số lượng bi còn lại tại các đống là:M1còn 6 viên và 6 chia cho 5 còn dư 1,M2có 6 viên và 6 chia cho 4 còn dư 2, M3 có

5 viên và 5 chia cho 3 còn dư 2 Bởi vậy tổng digit của các số dư

Đến lượt mình, em Bình chỉ còn cách duy nhất là bốc 1 viên thuộcM1, để số lượng còn lại tại các đống là: ĐốngM1còn 5 viên và 5 chia hết cho 5,M2có 6 viên và 6 chia cho 4 còn dư 2, M3 có 5 viên và 5 chia cho 3 còn dư 2 Bởi vậy tổng digit của các số dư

Đến lượt mình, chẳng hạn em Tuấn bốc 3 viên tại đốngM2, nên số lượng bi còn lại tại các đống là:M1có 5 viên và 5 chia hết cho 5,M2còn 3 viên và 3 chia cho 4 còn dư 3, M3 có 5 viên

và 5 chia cho 3 còn dư 2 Bởi vậy tổng digit của các số dư

Đến lượt mình, em Bình bốc 4 viên tại đốngM1, nên số lượng bi còn lại tại các đống là:M1

còn 1 viên và 1 chia cho 5 còn dư 1,M2có 3 viên và 3 chia cho 4 còn dư 3, M3 có 5 viên và 5 chia cho 3 còn dư 2 Bởi vậy tổng digit của các số dưT7= 1 ˙+3 ˙+2 = (1, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 1, 0) = (0, 0, 0)

Đến lượt mình, chẳng hạn em Tuấn bốc nốt 3 viên ở đốngM2, nên số lượng bi còn lại tại các đống là:M1có 1 viên và 1 chia cho 5 còn dư 1,M2không còn viên bi nào và 0 chia hết cho

4, M3 có 5 viên và 5 chia cho 3 còn dư 2 Bởi vậy tổng digit của các số dư

Đến lượt mình em Bình phải bốc 1 viên ở đống M3, nên số lượng bi còn lại tại các đống là:M1có 1 viên vì 1 chia cho 5 còn dư 1,M2không còn viên nào và 0 chia hết cho 4, M3 còn 4 viên và 4 chia cho 3 dư 1 Bởi vậy tổng digit của các số dư

Đến lượt mình, giả sử em Tuấn bốc nốt 1 viên bi còn lại của đốngM1 Khi đó chỉ đống M3 còn 4 viên bi và 4 chia cho 3 còn dư 1, nên tổng digit của các số dư

Đến lượt mình em Bình phải bốc 1 viên ở đống M3, nên đống M3 còn lại 3 viên và 3 chia hết cho 3, nên tổng digit của các số dưT11= 0 ˙+0 ˙+0 = 0

Đến lượt mình em Tuấn không thể bốc hết 3 viên bi còn lại tại đống M3, và phải bốc ít nhất 1 viên, nên:

- Nếu em Tuấn bốc 1 viên, thì em Bình có quyền bốc cả 2 viên bi còn lại và thắng cuộc

- Nếu em Tuấn bốc 2 viên, thì vẫn còn lại 1 viên để em Bình bốc và thắng cuộc

III Phương pháp đồ thị

Đầu tiên đối với mỗi đống vậtmi (1≤i≤k) xây dựng đồ thị Gi mô tả diễn biến cuộc chơi tại đốngm i Sau đó xây dựng đồ thị hợp G của các đồ thị G1, G2, , Gk, để mô tả diễn biến trò chơi hợp trên các đốngM1,M2, ,M k Cuối cùng xác định nhân N của đồ thị G và đưa ra thuật toán đảm bảo cho người đi đầu chiến thắng

1.Đồ thị thành phần Gi (1≤i≤k)

Để có đồ thị Gi mô tả cuộc chơi tại đốngm i cần xác định đỉnh và cung

a.Đỉnh

Lấyn i+1 điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian và ký hiệu một cách tương ứng bằng các số

0, 1, 2, ,n i – 1,n i

làm đỉnh của đồ thị

Đỉnhn i là đỉnh xuất phát, nên được đặt trong ô tròn có mũi tên đi vào Các đỉnh còn lại đều được đặt trong khuyên tròn

b.Cung

α) Từ mỗi đỉnh s(s≥ m i) xuất phátmi cung với các nhãn tương ứng

1, 2, ,m i – 1,m i

β) Từ đỉnh t (1≤t≤ m i) xuất phát t cung với các nhãn tương ứng

1, 2, , t – 1, t

Cung nhãn c xuất phát từ đỉnh e sẽ đi tới đỉnh e – c

2 Đồ thị hợp

Từ các đồ thị thành phầnG1,G2, ,G kta xây dựng đồ thị hợp G

3 Nhân của đồ thị G