Bài 5 (tr 66 80) đặng huy ruận

HAI PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TRỊ CHƠI BỐC VẬT Đặng Huy Ruận Trường Đại học Khoa học tự nhiên – ĐHQG Hà Nội Trên bàn có hay nhiều đống vật với số lượng hữu hạn Hai đấu thủ A, B thực trò chơi bốc vật Mỗi người đến lượt phải bốc vật không bốc số lượng quy định Trong trường hợp có nhiều đống vật bốc đống vật Về thắng thua có hai cách qui định: Hoặc người bốc vật cuối thắng cuộc, người bốc vật cuối thắng Trong viết x i n trình bầy thuật tốn bốc vật đảm bảo cho người bốc vật cuối thắng Trường hợp có đống vật trò chơi gọi Trò chơi đơn, trường hợp có nhiều đống vật trò chơi gọi Trò chơi hợp Cả hai dạng trò chơi có hai cách giải Cách thứ sử dụng tính chất đồng dư gọi phương pháp đồng dư Cách thứ hai sử dụng nhân đồ thị gọi phương pháp đồ thị 66 §1 Một số khái niệm kết cần dùng I.Đồ thị có hướng Định nghĩa: Trên mặt phẳng không gian lấy n điểm tùy ý khác ký hiệu x , x , , x n Giữa số cặp điểm nối đoạn thẳng đoạn cong định hướng Người ta gọi hình nhận đồ thị có hướng đồng thời ký hiệu G Các điểm chọn x i (1 ≤ i ≤ n) gọi đỉnh, đoạn thẳng đoạn cong định hướng nối gọi cung đồ thị G Nếu ký hiệu tập đỉnh X, tập cung E, đồ thị G ký hiệu G(X, E) Giả sử cung u từ đỉnh x i sang đỉnh x j Khi x i gọi đỉnh đầu, x j gọi đỉnh cuối cung u Cặp đỉnh x i , x j gọi hai đỉnh kề nhau, chúng hai đầu cung Nhân đồ thị Tập A ⊆các đỉnh đồ thị G = (X, E) gọi nhân đồ thị G, 1) Hai đỉnh tùy ý x, y∈A không kề 2) Đỉnh tuỳ ý u không thuộc A tồn đỉnh v∈A, để từ u vào v có cung II Đồ thị hợp Giả sử có n đa đồ thị có hướng với tập đỉnh khơng giao đôi G ( X , E ), G ( X , E ), , G n (x n , E n ) Xét tích đề tập đỉnh X , X , , X n X = X x X x x X n = (x , x , , x n )| x i ∈x i (1 ≤ i ≤ n) tập E = (x , x , , x n ), (x ,x , ,x n )| ∃i! (1 ≤ i ≤ n) ((xi, x i )∈Ei) Định nghĩa: Đồ thị G = (X, E) gọi đồ thị hợp đồ thị G , G , , G n , đồng thời ký hiệu G , G , G n III Tổng digit Giả sử có n số ngun khơng âm C , C , , C n với dạng khai triển nhị phân C k = (C k0 ,C k1 ,C k2 , ) (1 ≤ k ≤ n) Trong số học [m](2) hay “m theo modun 2” số dư (bằng 1) nhận chia m cho Định nghĩa Vec tơ: 67 n C= k=1 C k0 n , (2) k=1 C k1 n , (2) k=1 C k2 , (2) gọi tổng digit số nguyên C , C , , C n , đồng thời ký hiệu bằng: ˙ + ˙ +C ˙ n−1 +C ˙ n C = C +C Ví dụ: ˙ = [(1, 1) + (1, 1, 1)](2) = [(1, 1, 0) + (1, 1, 1)](2) = (0, 0, 1) 3+7 ˙ +13 ˙ = [(1, 1) + (1, 1, 1) + (1, 0, 1, 1)](2) 3+7 = [(1, 1, 1, 0) + (1, 1, 1, 0) + (1, 0, 1, 1)](2) = (1, 0, 0, 1) §2 Trò chơi đơn I.Bài tốn Giả sử m, n hai số tự nhiên m < n n không chia hết cho m + Trên bàn có đống gồm n vật Hai em A, B thực trò chơi bốc vật theo nguyên tắc sau: 1) Người đầu xác định gieo đồng tiền 2) Mỗi người đến lượt phải bốc vật không bốc m vật 3) Người bốc vật cuối thắng Nếu em A đầu, em phải có cách bốc vật để đảm bảo thắng cuộc, tức bốc vật cuối Có hai cách đưa thuật toán bốc vật để em A chiến thắng Đó phương pháp đồng dư phương pháp đồ thị II Phương pháp đồng dư Thuật tốn hình thành dựa sở tính đồng dư theo modul (m+1) 1) Vì n khơng chia hết cho m+1, nên chia n cho m+1 nhận số dư r (0 < r ≤ m) Bởi bước xuất phát em A bốc r vật, để bàn lại số lượng vật nguyên lần m+1 2) Tại bước tiếp theo, đến lượt em B bốc s (1 ≤ s ≤ m) vật, sau em A bốc (m+1-s) vật, nên bàn số lượng vật lại nguyên lần m+1 3) Trước em B bốc lần cuối bàn m+1 vật, em B phải bốc vật không bốc m vật Bởi vậy, sau em B bốc lần cuối bàn vật khơng vượt q m vật, nên em A có quyền bốc hết số vật lại thắng Ví dụ 1: Trên bàn có đống bi gồm 14 viên Hai em Anh, Việt thực trò chơi bốc bi theo nguyên tắc sau: 1) Người đầu xác định gieo đồng tiền 68 2) Mỗi người đến lượt phải bốc viên bi khơng bốc viên bi 3) Người bốc viên bi cuối thắng Hỏi: Nếu em Anh đầu, em phải có cách bốc bi để thắng cuộc, tức bốc viên bi cuối cùng? Giải: Trò chơi ví dụ tương ứng với trường hợp n = 14, m = Vì 14 chia cho dư 2, nên với tư cách người đầu em Anh bốc viên bi, để số bi lại 12 viên Tiếp theo giả sử em Việt bốc viên, nên bàn viên bi Đến lượt em Anh bốc viên bi, để số bi lại viên Đến lượt giả sử em Việt bốc viên bi, nên bàn viên bi Đến lượt em Anh phải bốc viên bi, để số bi lại viên Lần cuối giả sử em Việt bốc viên, nên số bi lại viên Đến lượt đồng thời người bốc cuối em Anh bốc tất viên bi lại thắng III Phương pháp đồ thị Để vận dụng phương pháp phải xây dựng đồ thị mô tả diễn biến chơi, sau dựa vào nhân đồ thị mà đưa thuật toán Xây dựng đồ thị G mô tả diễn biến chơi a Đỉnh: Lấy n+1 điểm mặt phẳng không gian ký hiệu cách tương ứng số 0, 1, 2, , n–1, n Đỉnh n thừa nhận đỉnh xuất, nên đặt khun tròn có mũi tên vào Các đỉnh 0, m + 1, 2(m + 1), , s(m + 1)(s(m + 1) < n) đặt chữ nhật Các đỉnh lại đặt khuyên tròn b Cung: α) Từ đỉnh s (s ≥ m) xuất phát m cung với nhãn tương ứng 1, 2, , m – 1, m β) Từ đỉnh t (1 ≤ t ≤ m) xuất phát t cung với nhãn tương ứng 1, 2, , t – 1, t Cung nhãn c xuất phát từ đỉnh a tới đỉnh a – c 2.Nhân N đồ thị G 69 Tập N = {0, m + 1, 2(m + 1), , s(m + 1)}với s(m+1) < n nhân đồ thị G Bởi α) Từng cặp đỉnh thuộc N khơng có cung nối với nhau; β) Với số nguyên l, r tùy ý (0 ≤ k ≤ n m+1 , ≤ r ≤ m) đỉnh k(m+1)+r không thuộc N từ đỉnh k(m+1)+r vào đỉnh k(m+1) ∈N có cung Thuật tốn Giả sử n = s(m+1) + r (1 ≤ r ≤ m) Để chiến thắng em A phải xuất phát từ đỉnh n, theo cung nhãn r (tức bốc r vật) để đạt đỉnh s(m + 1) ∈N Đến lượt em B phải xuất phát từ đỉnh s(m+1) theo cung nhãn r (1 ≤ r ≤ m) (tức bốc r vật) tới đỉnh s(m+1) - r không thuộc nhân N Đến lượt em A xuất phát từ đỉnh s(m+1) - r theo cung nhãn m+1- r (1 ≤ m + - r ≤ m) (tức bốc m + 1- r vật) để đạt đỉnh (s - 1)(m + 1) thuộc nhân N Giả sử sau số hữu hạn bước thay bốc vật em A đạt đỉnh k(m+1) ∈N (tức bàn k(m+1) vật Khi đến lượt em B phải xuất phát từ đỉnh k(m+1) theo cung nhãn t (1 ≤ t ≤ m) (tức bốc t vật) để tới đỉnh k(m+1)-t không thuộc nhân N Tiếp theo đến lượt A, em bốc m+1-t (1 ≤ m+1-t ≤ m) vật lại đạt đỉnh (k-1)(m+1) thuộc nhân N Sau bốc lần cận cuối em A đạt đỉnh m+1 thuộc nhân N Khi đến lượt em B phải xuất phát từ đỉnh m+1 theo cung với nhãn p(1 ≤ p ≤ m) để tới đỉnh m+1-p (1 ≤ m+1-p ≤ m) khơng thuộc nhân N Đến lượt em A xuất phát từ đỉnh m+1-p theo cung m+1-p (tức bốc m+1-p vật) để đạt đỉnh O∈N thắng Ví dụ 2: Trên bàn có đống diêm gồm que Hai em Dũng, Hằng thực trò chơi bốc diêm theo nguyên tắc sau: 1) Người đầu xác định gắp thăm; 2) Mỗi người đến lượt phải bốc que diêm không bốc que diêm 3) Người bốc que diêm cuối thắng Hỏi: Giả sử em Dũng đầu, em phải có cách bốc diêm để thắng cuộc, tức bốc que diêm cuối cùng? 70 Giải: Để giải toán ta dùng phương pháp đồ thị Trò chơi ví dụ tương ứng với trường hợp n = 9, m = Đầu tiên ta xây dựng đồ thị G mô tả diễn biến chơi Sau dựa vào nhân đồ thị G, mà đưa thuật toán đảm bảo người đầu (em Dũng) thắng Xây dựng đồ thị G Để có đồ thị G cần xác định đỉnh cung Đỉnh: Lấy 10 điểm mặt phẳng không gian ký hiệu cách tương ứng số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Đỉnh ký hiệu số thừa nhận đỉnh xuất phát, nên đặt tròn có mũi tên vào Các đỉnh 1, 2, 3, 5, 6, 7, đạt ô tròn Các đỉnh 0, 4, đặt ô chữ nhật Cung: Với k∈3, 4, 5, 6, 7, 8, từ đỉnh k xuất phát ba cung với nhãn 1,2,3 tới ba đỉnh tương ứng (k-1), (k-2) (k-3) Từ đỉnh có cung nhãn tới đỉnh cung nhãn tới đỉnh Từ đỉnh xuất phát cung tới đỉnh Đồ thị G 2.Nhân đồ thị G Vì cặp đỉnh thuộc tập N = 0, 4, 8,khơng có cung nối với 71 Các đỉnh nằm ngồi N có cung tới đỉnh thuộc N, nên tập N nhân đồ thị G Thuật toán giúp người đầu (em Dũng) chiến thắng Với tư cách người đầu em Dũng phải xuất phát từ đỉnh 9, theo cung nhãn 1, tức bốc que diêm, để đạt đỉnh thuộc nhãn N Tiếp theo, đến lượt em Hằng, em phải xuất phát từ đỉnh theo ba cung thuộc đỉnh Chẳng hạn, em Hằng theo cung nhãn 2, tức bốc que diêm, để tới đỉnh khơng thuộc nhân N Vì từ đỉnh có cung nhãn tới đỉnh thuộc nhân N, nên đến lượt em Dũng xuất phát từ đỉnh theo cung nhãn 2, tức bốc que diêm, để đạt đỉnh thuộc nhân N Lần thứ ba đến lượt em Hằng phải xuất phát từ đỉnh phép theo ba cung xuất phát từ đỉnh Chẳng hạn em Hằng theo cung nhãn 3, tức bốc tối đa que diêm, đạt cực đại đỉnh không thuộc nhân N Đến lượt em Dũng xuất phát từ đỉnh theo cung xuất phát từ đỉnh cung có nhãn 1, tức bốc nốt que diêm cuối cùng, để đạt đỉnh thuộc nhân N thắng §3 Trò chơi hợp Giả sử m i , n i (1 ≤ i ≤ k) số nguyên dương n i chia cho mi +1 có dư ri tổng digit số dư r + r + + r k = I Bài toán Trên bàn có k đống vật M1 , M2 , Mk với số lượng tương ứng n , n , , n k Hai em A, B thực trò chơi bốc vật theo nguyên tắc sau: 1) Người đầu xác định gieo đồng tiền; 2) Mỗi người đến lượt bốc đống vật, phải bốc vật bốc đống thứ i (1 ≤ i ≤ k), khơng bốc q mi vật; 3) Người bốc vật cuối thắng Hỏi: Nếu em A đầu, em phải có cách bốc vật để đảm bảo thắng cuộc, tức bốc vật cuối cùng? Có hai cách đưa thuật toán bốc vật, để em A chiến thắng Đó phương pháp đồng dư phương pháp đồ thị II Phương pháp đồng dư Vì ri (1 ≤ i ≤ k) số dư nhận chia n i cho m i +1 có tổng digit ˙ + ˙ +r ˙ k =0 To = r +r nên với tư cách người đầu em A phải chọn đống phải bốc số lượng vật phạm vi cho phép, để sau em bốc tổng digit số dư tất đống 72 Giả sử em A bốc vật thuộc đống thứ t (1 ≤ t ≤ k) số lượng vật lại đống sau em bốc chia cho mt+1 có dư r t Khi tổng digit ˙ + ˙ +r ˙ t −1 +r ˙ t +r ˙ t +1 + ˙ +r ˙ k =0 T1 = r +r Giả sử hai em A, B thay bốc vật theo quy tắc định đến thời điểm sau em B bốc số lượng vật lại đống thứ i (1≤ i ≤ k) đem chia cho m i +1 có dư si tổng digit ˙ + ˙ +s ˙ i −1 +s ˙ i +s ˙ i +1 + ˙ +s ˙ k =0 T2 = s +s Sau đến lượt em A phải chọn đống bốc với số lượng vật phạm vi cho phép, để sau em bốc tổng digit số dư tất đống Giả sử em A bốc vật thuộc thứ l (1 ≤ l ≤ k) số lượng vật lại đống sau em bốc chia cho ml+1 có dư s l Khi tổng digit ˙ + ˙ +s ˙ l −1 +s ˙ l +s ˙ l +1 + ˙ +s ˙ k =0 T3 = s +s Cứ tiếp tục trình thay bốc vật em A người bốc vật cuối thắng Ví dụ Trên bàn có ba đống bi: Đống M1 gồm 14 viên, đống M2 gồm viên đống M3 gồm viên Hai em Tuấn, Bình thực trò chơi bốc bi theo nguyên tắc sau: 1) Người đầu xác định gắp thăm; 2) Mỗi người đến lượt bốc đống bi, phải bốc viên - Nếu bốc đống M1 , khơng bốc q viên, - Nếu bốc đống M2 , khơng bốc q viên, - Nếu bốc đống M3, khơng bốc viên 3) Em bốc viên bi cuối thắng Hỏi: Nếu em Bình đầu, em phải có cách bốc bi để thắng cuộc, tức bốc viên bi cuối cùng? Giải Do chia 14 cho có dư 4, chia cho có dư 1, chia cho có dư ˙ +2 ˙ = (0, 0, 1) + (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 1) = (0, 0, 0) T0 = 4+1 nên bước xuất phát em Bình phải bốc viên thuộc đống M1 , để số lượng lại đống là: M1 có 13 viên chia 13 cho có dư 3, M2 có viên chia cho có dư 1, M3 có viên chia cho có dư Bởi có tổng digit số dư ˙ +2 ˙ = (1, 1, 0) + (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (0, 0, 0) T1 = 3+1 73 Đến lượt mình, giả sử em Tuấn bốc viên đống M2 , nên số lượng sau em Tuấn bốc là: M1 có 13 viên chia 13 cho có dư 3, M2 viên chia cho có dư 2, M3 có viên ˙ +2 ˙ = (1, 1, 0) + (0, 1, 0) + (0, 1, 0) = chia cho có dư Bởi tổng digit số dư T2 = 3+2 (1, 1, 0) = (0, 0, 0) Đến lượt em Bình bốc viên đống M1 Khi số lượng đống là: M1 10 viên 10 chia hết cho 5, M2 có viên chia cho dư 2, M3 có viên chia cho dư Bởi tổng digit số dư ˙ +2 ˙ = (0, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 1, 0) = (0, 0, 0) T3 = 0+2 Đến lượt mình, chẳng hạn em Tuấn bốc viên đống M1 , nên số lượng bi lại đống là: M1 viên chia cho dư 1, M2 có viên chia cho dư 2, M3 có viên chia cho dư Bởi tổng digit số dư ˙ +2 ˙ = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 1, 0) = (1, 0, 0) = (0, 0, 0) T4 = 1+2 Đến lượt mình, em Bình cách bốc viên thuộc M1 , để số lượng lại đống là: Đống M1 viên chia hết cho 5, M2 có viên chia cho dư 2, M3 có viên chia cho dư Bởi tổng digit số dư ˙ +2 ˙ = (0, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 1, 0) = (0, 0, 0) T5 = 0+2 Đến lượt mình, chẳng hạn em Tuấn bốc viên đống M2 , nên số lượng bi lại đống là: M1 có viên chia hết cho 5, M2 viên chia cho dư 3, M3 có viên chia cho dư Bởi tổng digit số dư ˙ +2 ˙ = (0, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 1, 0) = (1, 0, 0) = (0, 0, 0) T6 = 0+3 Đến lượt mình, em Bình bốc viên đống M1 , nên số lượng bi lại đống là: M1 viên chia cho dư 1, M2 có viên chia cho dư 3, M3 có viên chia ˙ +2 ˙ = (1, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 1, 0) = (0, 0, 0) cho dư Bởi tổng digit số dư T7 = 1+3 Đến lượt mình, chẳng hạn em Tuấn bốc nốt viên đống M2 , nên số lượng bi lại đống là: M1 có viên chia cho dư 1, M2 khơng viên bi chia hết cho 4, M3 có viên chia cho dư Bởi tổng digit số dư ˙ +2 ˙ = (1, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) = (0, 0, 0) T8 = 1+0 Đến lượt em Bình phải bốc viên đống M3, nên số lượng bi lại đống là: M1 có viên chia cho dư 1, M2 khơng viên chia hết cho 4, M3 viên chia cho dư Bởi tổng digit số dư ˙ +1 ˙ = (1, 0, 0) + (0, 0, 0) + (1, 0, 0) = (0, 0, 0) T9 = 1+0 Đến lượt mình, giả sử em Tuấn bốc nốt viên bi lại đống M1 Khi đống M3 viên bi chia cho dư 1, nên tổng digit số dư ˙ +1 ˙ = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) + (1, 0, 0) = (1, 0, 0) = (0, 0, 0) T10 = 0+0 Đến lượt em Bình phải bốc viên đống M3, nên đống M3 lại viên chia ˙ +0 ˙ =0 hết cho 3, nên tổng digit số dư T11 = 0+0 74 Đến lượt em Tuấn khơng thể bốc hết viên bi lại đống M3, phải bốc viên, nên: - Nếu em Tuấn bốc viên, em Bình có quyền bốc viên bi lại thắng - Nếu em Tuấn bốc viên, lại viên để em Bình bốc thắng III Phương pháp đồ thị Đầu tiên đống vật mi (1 ≤ i ≤ k) xây dựng đồ thị Gi mô tả diễn biến chơi đống mi Sau xây dựng đồ thị hợp G đồ thị G1, G2, , Gk, để mơ tả diễn biến trò chơi hợp đống M1 , M2 , , Mk Cuối xác định nhân N đồ thị G đưa thuật toán đảm bảo cho người đầu chiến thắng 1.Đồ thị thành phần Gi (1 ≤ i ≤ k) Để có đồ thị Gi mơ tả chơi đống mi cần xác định đỉnh cung a.Đỉnh Lấy n i +1 điểm mặt phẳng không gian ký hiệu cách tương ứng số 0, 1, 2, , n i – 1, n i làm đỉnh đồ thị Đỉnh n i đỉnh xuất phát, nên đặt tròn có mũi tên vào Các đỉnh lại đặt khuyên tròn b.Cung α ) Từ đỉnh s(s ≥ m i ) xuất phát m i cung với nhãn tương ứng 1, 2, , mi – 1, mi β) Từ đỉnh t (1 ≤ t ≤ m i ) xuất phát t cung với nhãn tương ứng 1, 2, , t – 1, t Cung nhãn c xuất phát từ đỉnh e tới đỉnh e – c Đồ thị hợp Từ đồ thị thành phần G , G , , G k ta xây dựng đồ thị hợp G Nhân đồ thị G 75 Tập N gồm đỉnh x = (x , x , , x k ) đồ thị G, mà x i ≡ r i (mod(mi+1)) có tổng digit số dư ˙ + ˙ +r ˙ k =0 r +r Vì đỉnh có tổng digit số dư khơng có cung nối với nhau, nên hai đỉnh tùy ý thuộc tập N cung nối với nhau, đồng thời đỉnh có tổng digit số dư khác (không thuộc tập N) có cung tới đỉnh có tổng digit số dư 0, tức tới đỉnh thuộc N Bởi N nhân đồ thị G Thuật toán Dựa vào nhân N đồ thị G ta đưa thuật toán cho người đầu chiến thắng, tức bốc vật cuối Vì đỉnh x = (n1, n2, , nk) có n i ≡ r i (mod(mi+1)) ˙ + ˙ +r ˙ k =0 r +r nên x ∉ N từ x có cung với nhãn a t (1 ≤ a t ≤ m t )(1 ≤ t ≤ k)đi vào đỉnh y ∈ N Bởi em A có quyền bốc a t vật thuộc đống M t Đến lượt mình, em B phải xuất phát từ đỉnh y, xuất phát từ đỉnh y có cung tới đỉnh nằm ngồi nhân N Bởi em B bốc số lượng vật nhãn cung từ nhân ngồi, nên em B đạt đỉnh mà tổng digit số dư khác Sau đến lượt em A lại xuất phát từ đỉnh nhân N, mà em B vừa đạt để vào đỉnh thuộc nhân N Cứ tiếp tục hai em A, B thay vào nhân N lại khỏi nhân N bốc số lượng vật theo nhãn cung qua đến cuối em A đạt đỉnh 0, tức bốc vật cuối thắng Ví dụ Trên bàn có hai đống bi với số lượng tương ứng: Đống M1 gồm viên, đống M2 gồm viên Hai em Hoè, Liên thay bốc bi theo nguyên tắc: 1) Người đầu xác định gieo đồng tiền; 2) Mỗi người đến lượt bốc hai đống, phải bốc viên - Nếu bốc đống M1 , không bốc viên, - Nếu bốc đống M2 , khơng bốc q viên 3) Người bốc viên cuối thắng Hỏi: Nếu em Hoè đầu, em phải co cách bốc bi để thắng cuộc, tức bốc viên bi cuối cùng? Ta giải toán phương pháp đồ thị 1) Xây dựng đồ thị G , G để mô tả diễn biến chơi đống M1 M2 76 Xây dựng đồ thị hợp G 77 78 Thuật toán cho em Hoè người đầu chiến thắng Đồ thị hợp G có nhân N gồm đỉnh (5,6), (4,5), (3,4), (5,2), (2,6), (4,1), (1,5), (0,4), (2, 2), (1,1), (3,0) (0,0) nên bước xuất phát với tư cách người đầu em Hoè xuất từ đỉnh (5,7) theo cung nhãn để đạt đỉnh (5,6) thuộc N, tức em Hoè phải bốc đống M2 viên, để đống M2 viên, đống M1 giữ nguyên số lượng cũ viên Đến lượt mình, em Liên phải xuất phát từ đỉnh (5,6) theo cung thuộc đỉnh Chẳng hạn, em Liên theo cung nhãn tới đỉnh (3,6), tức bốc viên đống thứ M1 , để đống M1 viên đống M2 giữ nguyên số lượng cũ viên Đến lượt mình, em Hoè xuất phát từ đỉnh (3,6) theo cung nhãn sang đỉnh (2,6) thuộc N, tức bốc viên đống M1 , để đống M1 viên đống M2 giữ số lượng cũ viên Đến lượt mình, em Liên phải xuất phát từ đỉnh (2,6) theo cung xuất phát từ đỉnh Chẳng hạn, em Liên theo cung nhãn để đỉnh (2,3) tức bốc viên thuộc đống M2 , để đống M2 viên đống M1 giữ nguyên số lượng cũ viên Đến lượt mình, em Hoè xuất phát từ đỉnh (2,3) theo cung nhãn để đỉnh (2,2) thuộc N, tức bốc viên đống M2 , để M2 viên M1 giữ nguyên số lượng cũ viên Đến lượt mình, em Liên phải xuất phát từ đỉnh (2,2) theo cung xuất phát đỉnh Chẳng hạn, em Liên theo cung nhãn để đỉnh (0,2), tức bốc viên đống M1 Khi đống M1 hết bi, đống M2 giữ nguyên số lượng cũ viên Đến lượt mình, em Hoè xuất phát từ đỉnh (0,2) theo cung nhãn để đỉnh (0,0) thuộc N, tức bốc nốt viên bi cuối thắng 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Huy Ruận, Lý thuyết đồ thị ứng dụng Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2002 Claude Berge Theorie des graphes et ses applica t ions Dunod Paris 1967 Đặng Huy Ruận Trò chơi đồ thị Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2004 Đặng Huy Ruận Phương pháp giải toán chia hết Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2005 80 ... TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Huy Ruận, Lý thuyết đồ thị ứng dụng Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2002 Claude Berge Theorie des graphes et ses applica t ions Dunod Paris 1967 Đặng Huy Ruận Trò chơi đồ thị... gồm đỉnh (5, 6), (4 ,5) , (3,4), (5, 2), (2,6), (4,1), (1 ,5) , (0,4), (2, 2), (1,1), (3,0) (0,0) nên bước xuất phát với tư cách người đầu em Hoè xuất từ đỉnh (5, 7) theo cung nhãn để đạt đỉnh (5, 6) thuộc... Huy Ruận Trò chơi đồ thị Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2004 Đặng Huy Ruận Phương pháp giải toán chia hết Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 20 05 80