Mở rộng bài toán hình thi IMO năm 2012

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Mở rộng tốn hình thi IMO năm 2012 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết đưa nhiều hướng mở rộng khác cho tốn hình thi IMO năm 2012 ngày thứ với cơng cụ hình học túy hàng điểm điều hòa Trong kỳ thi IMO năm 2012 ngày thi thứ có tốn hình học hay Bài tốn vị trí số thi dễ ngày hơm Bài tốn sau Bài tốn Cho tam giác ABC J tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh A Đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với BC M tiếp xúc với đường thẳng AB, AC K, L Đường thẳng LM BJ cắt F Đường thẳng KM CJ cắt G AF, AG cắt BC S, T Chứng minh M trung điểm ST Bài tốn tốn khơng khó thú vị đặc biệt có nhiều lời giải đề xuất [1] Tôi xin dẫn lời giải gần đơn giản cho toán A G F M C B S T L K J Hình Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 1 Lời giải Theo tính chất góc ngồi ∠BJA = ∠KBJ − ∠BAJ = ∠KBC − ∠BAC = ∠ACB = 2 ∠ALF (Chú ý đẳng thức cuối tam giác CML cân C) Từ tứ giác AF JL nội tiếp suy ∠AF J = ∠ALJ = 90◦ Mặt khác BF phân giác ∠ABS suy F B trung trực SA suy JA = JS Tương tự JA = JT suy JS = JT mà JM ⊥ ST M trung điểm ST Nhận xét Bài toán toán đẹp, đặt vị trí số dễ ngày không đơn giản so với IMO Bài toán phát biểu đường tròn bàng tiếp Hẳn nhiên có cách nhìn qua tâm nội tiếp sau Bài tốn Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F IB, IC cắt DE, DF M, N AM, AN cắt BC P, Q Chứng minh D trung điểm P Q A E F M N I B Q D P C Hình Tương tự cách làm tốn ta có nhận xét M, N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Ta đến toán tổng quát sau Bài toán Cho P điểm nằm phân giác góc A tam giác ABC D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt DE, DF M, N khác E, F AM, AN cắt BC P, Q Chứng minh D trung điểm P Q Bài toán lại tiếp tục lại mở rộng sau Bài toán Cho tam giác ABC P Gọi D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt DE, DF M, N khác E, F AM, AN cắt BC P, Q PE PR = Chứng minh PQ PF Sau lời giải đơn giản cho toán mở rộng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A E F P M N B R Q D C Hình Lời giải Do M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đường tròn đường kính AP nên ∠AMP = 90◦ suy tứ giác P MQD nội tiếp suy ∠P QD = ∠P MD = ∠P AE Vậy tam giác PA PR PA PQ = Tương tự có = Chia hai tỷ số cho ta vuông P AE ∼ P QD suy PD PE PD PF PR PE có = điều phải chứng minh PQ PF Nhận xét Chứng minh toán mở rộng đơn giản so với suy nghĩ toán mở rộng thường cầu kỳ Khi P nằm đường phân giác góc A ta thu tốn Việc cho P trùng với số điểm đặc biệt dẫn tới nhiều hệ thú vị, xin dành điều cho bạn đọc Sau hướng mở rộng khác cho toán Ta ý toán với D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp AD, BE, CF đồng quy dễ chứng minh M, N thuộc đường trung bình ứng với đỉnh A tam giác ABC Đến dùng phép chiếu song song ta dễ dàng đề xuất toán sau Bài toán Cho tam giác ABC P P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Y, Z trung điểm CA, AB Y Z cắt DE, DF M, N AM, AN cắt BC Q, R Chứng minh D trung điểm QR Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A E F Y Z N M P R B D Q C Hình Ta mở rộng tốn thêm chút thay đường trung bình đường song song sau Bài toán Cho tam giác ABC P P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Y, Z thuộc CA, AB cho Y Z BC Y Z cắt DE, DF M, N AM, AN cắt BC Q, R Chứng minh D trung điểm QR Bài toán giải dựa bổ đề sau Bổ đề 6.1 Cho tam giác ABC P P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng qua P song song BC cắt DE, DF L, K P trung điểm KL Bổ đề có lời giải đơn giản nhờ định lý Thales A E F H B G K L P D C Hình Chứng minh Gọi KL cắt CA, AB G, H Dựa vào định lý Thales ta có biến đổi tỷ số PK PH PG CD BD BC PK = = = Vậy P trung điểm KL Ta có điều phải chứng PL PH PG PL CB CD BD minh Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Quay lại toán A E F P L K I Z Y M N B R D C Q Hình Lời giải Qua P kẻ đường thẳng song song BC cắt DE, DF L, K Theo bổ đề P trung điểm KL Gọi P D giao MN I MN KL nên dễ suy I trung điểm MN Lại có MN RQ nên D trung điểm RQ Ta hoàn tất chứng minh Nếu dùng phép chiếu xuyên tâm, ta dễ dàng đề xuất toán mở rộng sau Bài toán Cho tam giác ABC P P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Một đường thẳng cắt DE, DF, BC M, N, G AM, AN cắt BC Q, R Chứng minh (QR, DG) = −1 Bài toán thực mở rộng toán bạn để ý kỹ MN BC điểm G vô cực (QR, DG) = −1 suy D trung điểm QR Bài tốn có lời giải đơn giản A E I F P M J N H G B R Hình D Q C Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Lời giải Gọi EF giao BC H, EF giao AD I, MN giao AP J Ta có hàng điều hòa (EF, IH) = −1 Chiếu xuyên tâm D hàng điều hòa (EF, IH) lên đường thẳng MN ta có (MN, JG) = D(MN, JG) = (EF, IH) = −1 Chiếu xuyên tâm A lên đường thẳng BC ta có (QR, DG) = A(QR, DG) = (MN, JG) = −1 Nhận xét Lời giải xem đơn giản trường hợp song song Tuy hai tốn 6,7 có ứng dụng phong phú Chẳng hạn toán sau Bài toán Cho tam giác ABC P P B, P C cắt CA, AB E, F P A cắt EF G Các điểm M, N thuộc GC, GB cho MN EF AM, AN cắt EF Q, R Chứng minh G trung điểm QR A R Q G E F P M N B C Hình Bài toán Cho tam giác ABC đường cao AD P điểm AD P B, P C cắt CA, AB E, F EF giao P A, BC G, H Một đường thẳng qua H cắt GC, GB M, N AM, AN cắt EF K, L CK, BL cắt BE, CF Q, R Chứng minh ∠QDE = ∠RDF Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A E K G Q L F R P M N H B D C Hình Các bạn làm luyện tập Tài liệu [1] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2736397 [2] Trần Quang Hùng, Tuyển tập tốn hình học chọn đội tuyển KHTN, năm 2013 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... xuất toán mở rộng sau Bài toán Cho tam giác ABC P P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Một đường thẳng cắt DE, DF, BC M, N, G AM, AN cắt BC Q, R Chứng minh (QR, DG) = −1 Bài toán thực mở rộng toán. .. điều phải chứng minh PQ PF Nhận xét Chứng minh toán mở rộng đơn giản so với suy nghĩ toán mở rộng thường cầu kỳ Khi P nằm đường phân giác góc A ta thu toán Việc cho P trùng với số điểm đặc biệt dẫn... khác E, F AM, AN cắt BC P, Q Chứng minh D trung điểm P Q Bài toán lại tiếp tục lại mở rộng sau Bài toán Cho tam giác ABC P Gọi D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác