SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG B VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm) Tính giới hạn sau: 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 a/ lim n →∞ [ + + + + (4n − 3)] x sin x b/ lim cos 5x ÷ x →0 cos 3x Bài 2: (2.5 điểm) Cho P(x) đa thức bậc n (n >1) có n nghiệm phân biệt x1, x2, , xn P’(x) đạo hàm P(x) a/ Chứng minh phương trình P’(x) = có n -1 nghiệm phân biệt b/ Kí hiệu Pi(x) đa thức cho: P(x) = (x – xi).Pi(x) (i = 1,2, ,n) P1 (x) P2 (x) P (x) + + + n Rút gọn biếu thức: P '(x1 ) P '(x ) P '(x n ) Bài 3: (3 điểm) Cho đường thẳng cố định a điểm A cố định a Gọi (C) đường tròn lưu động mặt phẳng (α) có bờ a (C) có bán kính khơng đổi R tiếp xúc với a, gọi M tiếp điểm Gọi I tâm đường tròn (C) Chứng minh mặt phẳng chứa đường tròn (C), có parabol (P) cố định cho trục đẳng phương (C) đường tròn đường kính AI luôn tiếp xúc (P) M thay đổi a Bài 4: (2 điểm) Tìm số nhỏ cặp tập hợp có giao khác tập ∅ 2000 tập hợp phân biệt cho với tập hợp 2000 tập hợp có cặp tập hợp có giao khác tập ∅ SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2000-2001 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG B – VÒNG Bài 1: (2.5 điểm) Câu a ( 1.50 đ) n n i =1 i =1 • 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 = ∑ (4i − 3)3 = ∑ (64i − 144i + 108i − 27) n n n i =1 i =1 i =1 = 64∑ i3 − 144∑ i + 108∑ i − 27n n(4n − 2) = 2n − n • + + + + (4n − 3) = n n n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) i = • Mà ta có công thức: ∑ ; ∑i = ; i =1 i =1 n(n + 1) i = ∑ i =1 • Do đó: P(x) = 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 đa thức bậc có hệ số bậc 64/4 = 16 • Và Q(x) = [ + + + + (4n − 3) ] • Do đó: lim n →∞ đa thức bậc có hệ số bậc 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 [ + + + + (4n − 3)] n = 16 =4 Câu b (1 đ) cos5x − cos3x cos3x x sin x.cos3x cos5x − cos3x cos 5x − cos 3x cos 5x • lim = lim 1 + ÷ ÷ x →0 x → cos 3x cos 3x cos 5x − cos 3x −2sin 4x sin x sin 4x sin x −8 = lim = lim = −8 • Vì lim x → x sin x.cos 3x x →0 x sin x.cos 3x x →0 x cos 3x 4x x sin x 1 cos 5x − cos 3x x sin x = áp dụng công thức lim ( + u ) u = e , nên lim cos 5x • Vì lim = e −8 ÷ x →0 u →0 cos 3x x →0 cos 3x Bài 2: (2.5 điểm) Câu a ( 1.0 đ) • Ta giả sử: x1 < x2 < x3 < < xn, áp dụng định lý Lagrange hàm số liên tục P(x) đoạn [x1 ; x2] , [x2 ; x3], , [xi ; xi+1], , [xn-1 ; xn] ta tồn n – số: ci ∈ (x i ; x i +1 ), i ∈1,n-1 cho P’(ci) = Vậy phương trình P’(x) = có n – nghiệm phân biệt Câu a ( 1.0 đ) • P(x) = a(x – x1)(x - x2) (x - xn) (a’ ≠ 0) P’(x) = a(x – x2)(x – x3) (x - xn) + a(x – x1)(x – x3) (x - xn) + +a(x – x1)(x – x2) (x - xn-1) Do đó: P’(x) = P1(x) + P2(x) + + Pn(x) P’(xi) = Pi(xi) ≠ (1) Pk(xi) = với k ≠ i, i ∈1,n P1 (x) P2 (x) P (x) + + + n • Q(x) = đa thức bậc nhỏ hay n – P '(x1 ) P '(x ) P '(x n ) • Theo (1) ta có: Q(x) = 1, với i ∈1,n Điều chứng tỏ Q(x) = Bài 3: (3 điểm) • Trong mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxy, với Ox trùng với a, mặt phẳng α mặt phẳng y > 0, O trùng A Đặt M(m;0) có tâm I(m;R) • Phương trình (C) là: y (C): (x - m)2 + (y - R)2 = R2 hay (C): x2 + y2 – 2mx – 2Ry + m2 = • Phương trình đường tròn đường kính AI là: m2 + R (C’): (x – m/2)2 + (y – R/2)2 = hay I (C’): x2 + y2 – mx – Ry = • Phương trình trục đẳng phương hai đường tròn (C) (C’) là: A M m m (d): mx + Ry – m2 = ⇔ (d): y = f(x) = - x + R R x • Xét hàm số y = g(x) = − 4R m m2 − x + =− x R (x − 2m) = f (x) = g(x) R 4R ⇔ ⇔ ⇔ x = 2m • Hệ m x x = 2m f '(x) = g '(x) − = − R 2R x tiếp xúc với trục đẳng phương (d) • Vậy Parabol y = f(x) = − 4R x Bài 4: (2 điểm) • Giải tổng quát n tập hợp ( n = 2000) Ta có hình biểu diễn (K) n tập hợp sau: n tập hợp biểu diễn n điểm phân biệt mặt phẳng ( khơng có điểm thẳng hàng), hai tập hợp có giao khác ∅ biểu diễn đường liền nét( ) nối với hai điểm biểu diễn, hai tập hợp có giao ∅ biểu diễn đường khơng liền nét ( -) nối hai điểm biểu diễn Kí hiệu P tập hợp n điểm, k(n) số đoạn nối liền nét biểu diễn (K) thỏa giả thiết toán ( tức là: với điểm P có đoạn liền nét) Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ d(n) k(n) M A Q C • • • • B N P Ta ln ln giả thiết : Trong biểu diễn (K) tồn hai điểm A, B mà đoạn nối AB không liền nét Đặt Q= P\{A,B}, vậy, Q có n-2 điểm, biểu diễn (K) ta bỏ đoạn AB tất đoạn nối với A, nối với B ta biểu diễn (K*) tập Q thỏa điều kiện toán Gọi k(n-2) số đoạn liền nét biểu diễn (K*) Lấy C∈Q, suy đoạn CA, CB phải có đoạn liền nét (vì đoạn AB khơng liền nét) Vì Q có n-2 điểm, nên suy : k(n) ≥ n-2 + k(n-2) (*) Công thức truy hồi (*) cho ta : k(n) ≥ (n-2) + (n-4) + + + k(4) n chẵn n(n − 2) Suy : k(n) ≥ (n-2) + (n-4) + + + d(4) ≥ (n-2) + (n-4) + + + = (do d(4) = 2) n(n − 2) n(n − 2) n Chọn n tập hợp để có d(n) = sau : Nhóm X gồm tập hợp giao khác ∅ n đơi một, nhóm Y gồm tập hợp giao khác ∅ đôi Mỗi tập hợp nhóm khơng có giao khác ∅ với tập hợp nhóm Cách chọn thỏa giả thiết toán n n n n n(n − 2) Số đoạn nối liền nét điểm X : ( -1) + ( -2) + ( -3) + + = 2 2 n(n − 2) Số đoạn nối liền nét n điểm X Y : n(n − 2) 20001998 = 999000 Vậy d(n) = Thế n = 2000 ta số cần tìm là: 4 Chứng tỏ : Tồn d(n) = • • • • ...SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2000- 2001 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG B – VÒNG Bài 1: (2.5 điểm) Câu a ( 1.50 đ) n n i =1 i... -2) + ( -3) + + = 2 2 n(n − 2) Số đoạn nối liền nét n điểm X Y : n(n − 2) 20001 998 = 999000 Vậy d(n) = Thế n = 2000 ta số cần tìm là: 4 Chứng tỏ : Tồn d(n) = • • • • ... đẳng phương (d) • Vậy Parabol y = f(x) = − 4R x Bài 4: (2 điểm) • Giải tổng quát n tập hợp ( n = 2000) Ta có hình biểu diễn (K) n tập hợp sau: n tập hợp biểu diễn n điểm phân biệt mặt phẳng ( khơng