VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRUY HỒI Trần Vinh Hợp, Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Phương trình hàm dạng tốn khó Có nhiều loại phương trình hàm khác với cách giải đặc trưng khác Bài viết xin bàn dạng phương trình hàm giải cơng thức truy hồi Xin bắt đầu toán kì thi Putnam 1988 Bài tốn (Putnam 1988) Chứng minh tồn hàm số f xác định tập số thực dương, nhận giá trị thực dương thỏa mãn f ( f ( x)) x f ( x) Lời giải Với số thực dương x0 cố định, ta xây dựng dãy { f n }n�1 sau f1 x0 , f f ( x0 ), f n 1 f ( f n ( x0 )) Khi đó, từ đẳng thức giả thiết ta suy dãy { f n }n�1 thỏa mãn phương trình truy hồi f n f n f n 1 , hay f n f n 1 f n Đến đây, giải phương trình đặc trưng dãy { f n }n�1 , ta hai nghiệm -3 Do đó, f n a·2n b·(3) n , đó, số a, b tìm phụ thuộc vào f1 , f Tuy nhiên, b �0 , tồn n đủ lớn cho f n (ta thấy dễ dàng cách chọn n chẵn đủ lớn b , chọn n lẻ đủ lớn b ) Do vậy, b Thành f n a·2n Suy f ( f ( x0 )) a·23 , f ( x0 ) a·22 , thay hai giá trị vào đẳng thức f ( f ( x0 )) x0 f ( x0 ) ta 2a x0 Dẫn đến f ( x0 ) x0 Và điều với x0 dương nên f ( x) x x Trong toán trên, điểm mấu chốt chuyển phương trình hàm giả thiết thành phương trình truy hồi cho dãy số tương ứng Điều thứ hai, quan trọng khơng kém, dựa vào điều kiện giả thiết để lựa chọn công thức tổng quát dãy số tương ứng Ta xét thêm tốn sau Bài tốn Tìm tất hàm số f : � � � cho f ( f ( f ( x))) f ( f ( x)) 32 x x �0 Lời giải Bằng cách tương tự toán 1, (chú ý phương trình đặc trưng có nghiệm đơn nghiệm bội hai -4) ta tìm cơng thức tổng qt dãy số { f n }n�1 f n a·2n (b cn)·(4)n Và f ( x0 ) �0 nên c 0, b Từ đó, ta tìm f ( x) x x �0 Qua hai toán trên, khơng khó để nhận tính giải dạng tốn Đó tính dương f ( x) phù hợp với nghiệm phương trình đặc trưng Chẳng hạn, hai tốn trên, ta có f ( x) �0 x �0 (điều thay f ( x) �0 x �0 ), và, nghiệm âm phương trình đặc trưng có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương Tuy nhiên, điều có Ta xét tốn sau Bài tốn (VMO 2012) Tìm tất hàm số điều kiện sau f : �� � thỏa mãn đồng thời i) f ( x) toàn ánh �, ii) f ( x) tăng �, iii) f ( f ( x)) f ( x) 12 x x �� Bình luận Bằng cách giải hai tốn trên, ta tìm nghiệm phương trình | 3 || | nên ta chưa thể sử dụng truy hồi dãy số tương ứng 3 Và lập luận với hai tốn để tìm hệ số a b n n �1 � � � Một ý tưởng áp dụng f n a·4n b·(3) n f n a·� � b·� � Và rõ �4 � � � 1 có giá trị tuyệt đối lớn số (dương) , ta áp dụng cách làm Nhưng trước hết, ta phải chứng minh tồn f n , tức là, f ( x) ràng số (âm) song ánh Lời giải Từ điều kiện thứ iii), ta nhận f ( x) f ( y ) x y , f ( x) đơn ánh Cùng với giả thiết i), ta suy f ( x) song ánh, đó, tồn g : �� � hàm ngược (cũng song ánh) f ( x) Do g ( f ( f ( x))) f ( x), g ( g ( f ( f ( x)))) x nên điều kiện iii) giả thiết viết lại x g ( x) 12 g ( g ( x )) x �� n n �1 � � � Bằng cách giải hai tốn trên, ta tìm g n a·� � b·� � �4 � � � Đến đây, có thêm giả thiết (như tốn 1) g ( x) x toán gần giải xong Thật vậy, iii), thay x ta thu f ( f (0)) f (0) , suy f (0) , g ( f (0)) g (0) Tức g (0) Hơn nữa, g ( x) g ( y ) � f ( g ( x)) f ( g ( y )) � x y Thành g ( x) 0x 0, g ( x) 0x Như vậy, theo lập luận tốn 1, ta phải có b Và kéo theo g ( x) x x Thay x f ( x) đẳng thức sau này, ta f ( x ) x x �� Bằng cách làm trên, bạn đọc làm thêm tập phần tập, tự tạo toán thú vị Để kết thúc viết, xin bàn với bạn đọc toán sau Bài toán (VMO 2003) Gọi F tập tất hàm số f : � � � cho f (3 x) �f ( f (2 x)) x x Tìm số lớn cho với f �F , ta ln có f ( x ) � x x Lời giải Nếu f ( x) ax (với a �� đó) 3a 2a Phương trình có hai nghiệm 1 Do đó, f ( x) x �F , suy � Hơn nữa, f ( f (2 x)) �0 nên 2 1 f (3 x) �x ·(3x ) , suy � 3 Mặt khác, f ( x) � x x f ( f (2 x)) �2 x , dẫn đến 2 f (3x) � ·(3x) x 3 2 Do đó, thay Từ đó, ta xây dựng dãy { n }n�1 sau 2 n2 1 1 , n 1 n �1 3 Thế thì, theo lập luận trên, f ( x ) � n x x f ( x) � n 1 x x Do đó, số n} lớn cần chọn max{ n� Trở lại với dãy { n }n�1 , khơng khó để dãy tăng, bị chặn trên, có giới hạn Vậy max{ n } lim n n� Bài tập (IMO 1992, shortlist) Cho a, b số thực dương Chứng minh tồn hàm số f : � � � thỏa mãn f ( f ( x )) af ( x) b(a b) f ( x) Tìm tất hàm số f :[0;1] � [0;1] cho f (2 x f ( x )) x x �[0;1] Tìm tất hàm số f : � � � cho f ( f ( x)) f ( x) 27 x 2013 x �� Cho �2 Tìm tất hàm số f :[0;1] � [0;1] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau i) x ( 1) f ( x) �[0;1] x �[0;1] , ii) f ( x ( 1) f ( x)) x x �[0;1]