de thi vao chuyen thpt

Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Yên Định 1 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút Đề thi bảng A 1. Chứng minh: 6;5;4 cba và a 2 + b 2 + c 2 = 90 thì 16++ cba . (2điểm) 2. Đơn giản biểu thức: 24)1(3 24)1(3 223 223 ++ + aaaa aaaa với 2 a (1điểm) 3. Cho phơng trình: ax 2 + bx + c = 0. Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình có 2 nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: )0(0)1( 22 =+ kackbk (*)( với giả thiết là phơng trình có nghiệm). (2điểm) 4. Cho tam giác ABC (A = 90 0 ) hai cạnh góc vuông là là b và c. Lấy điểm ][BCm sao cho = 0 0( và )90 0 . Chứng minh: sincos cb bc AM + = (2điểm) 5. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a. a) Chứng minh CDAB b)Tính thể tích tứ diện ABCD. (1điểm) 6. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 271440 (2điểm) Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Yên Định 1 Đáp án và biểu điểm môn toán thi tuyển sinh vào lớp 19 chuyên lam sơn Câu 1. Do 6;5;4 cba ta đặt a = 4 + x ; b = 5 + y ; c = 6 + z ; (x, y, z 0) a 2 + b 2 + c 2 = (4 + x) 2 + (5 + y) 2 + (6 + z) 2 = 90 907712108 222 =++++++ zyxzyx 1312108 222 =+++++ zyxzyx (1 điểm) 13121212222 222 ++++++++ zyxzxyzxyzyx 13)(12)( 2 +++++ zyxzyx (1) Nếu x + y + z < 1 thì bất đẳng thức (1) không xảy ra. (0,5 điểm) Vậy x + y + z 1 từ đó suy ra a + b + c = 4 + 5 + 6 + x + y + z (0,5 điểm) 16 ++ cba (đpcm) Câu 2. Để ý rằng a 3 - 3a - 2 = (a+1) 2 (a-2) a 3 - 3a + 2 = (a -1) 2 (a + 2) (0,25 điểm) Vì vậy: Vế trái = 4)1()2()1( 4)1()2()1( 222 222 ++ ++ aaaa aaaa )2)(2()1)(1()2()1( )2)(2()1)(1()2()1( 2 2 ++++ ++++ = aaaaaa aaaaaa (0,25 điểm) [ ] [ ] 2)1(2)1(2)1( 2)1(2)1(2)1( ++++ ++++ = aaaaaa aaaaaa 2)1( 2)1( + + = aa aa (0,5 điểm) Câu 3. 1. Nếu c = 0, tức là phơng trình có 1 nghiệm x 1 =0 * Nếu x 2 = kx 1 thì x 2 = 0 b = 0 vậy hệ thức (*) thoả mãn (0,25 điểm) * Ngợc lại nếu (*) thoả mãn thì b = 0 nên x 2 = 0 x 2 = kx 1 (vì k 0) (0,25 điểm) do đó ta chỉ cần xét c 0 tức là cả 2 nghiệm x 1 ; x 2 0. Ta có: 1 2 2 1 2 21 2 21 2 2 1 )( x x x x xx xx a c a b ac b + = + = = (1) (0,5 điểm) Nếu x 2 = kx 1 thì từ (1) ta có: k k ca b 2 2 )1( + = (2) (*) ngợc lại, nếu ta có (2) thì theo (1) ta có: )( )1()1( 1 2 22 x x t t t k k = + = + (0,5 điểm) t t k k 11 +=+ kt tk kt tk == 11 0) 1 )(( = kt ttk tk = hoặc t kkt 1 1 == trong cả 2 trờng hợp này đều suy ra nghiệm này bằng k lần nghiệm kia. (0,5 điểm) Bài 4: 1) Chứng minh diện tích AbcBacCabABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 === (0,5 điểm) 2) áp dụng: )1( 2 1 MABdtCAMdtbcABCdt +== (0,5 điểm) cos. 2 1 )90sin(. 2 1 0 bAMbAMCAMdt == sin 2 1 cAMBAMdt = )2()sin.cos( 2 1 cbAMBAMdtCAMdt +=+ thay (2) vào (1) ta có: )sin.cos.( 2 1 2 1 cbAMbc += sin.cos. cb bc AM + = (1,0 điểm) Bài 5: a. Chứng minh AB CD: Gọi E là trung điểm AB CE AB ; DE AB AB (CED) AB CD (0,25 điểm) b. )1(. 3 1 .22 CEDdtBEVV BCEDABCD == CDEFCEDdt ì= 2 1 (F là trung điểm CD) (0,25 điểm) 2 2 22 a CFCEEF == (0,25 điểm) V ABCD = 32 2 . 2 2 . 3 1 .2 32 aaa = (0,25 điểm) Bài 6: Phơng trình đã cho x 2 (x 2 +1)(x+1) = 2 4 .3 2 .5.13.29 (1) (0,5 điểm) Từ (1) suy ra nghiệm x > 1 và x 2 là ớc chính phơng của 271.440. Còn ớc chính phơng của 271.440 có thể là: 2 2 , 2 4 , 2 2 .3 2 , 2 4 .3 2 ớc chính phơng lớn nhất là: 2 4 .3 2 = 12 2 (0,5 điểm) Thay x 2 = 12 2 vào phơng trình ta đợc nghiệm đúng (0,5 điểm) với x 2 = 2 2 .3 2 = 6 2 ta có: 6 2 (6 2 +1)(6+1) < 12 2 (12 2 +1)(12+1) = 271.440 các ớc còn lại cũng nh vậy. Do đó x = 12 là nghiệm duy nhất (0,5 điểm) . & ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Yên Định 1 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút Đề thi bảng A 1. Chứng minh:. x 5 = 271440 (2điểm) Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Yên Định 1 Đáp án và biểu điểm môn toán thi tuyển sinh vào lớp 19 chuyên lam sơn Câu 1. Do 6;5;4