Phần 3 hồng hạnh nguyễn

Câu Ký hiệu [ x] số nguyên lớn khơng vượt q x Giải phương trình x − ( + [ x ] ) x + 2015 = Hướng dẫn giải Ta có x ≠ ⇔ [ x] = pt x − x + 2015 x − x + 2015 ⇔ x− < ≤ x ⇔ x ≥ 2015 x x [ x ] = a ∈ ¢ ( a ≥ 2015) ⇒ x − ( a + 1) x + 2015 = a + ± ( a + 1) − 8060 ⇔x= ( *) Do a ≥ 2015 ⇒ x − ( a + 1) x + 2015 = ⇔x= a +1+ ( a + 1) 2 a + − ( a + 1) − 8060 Vậy a +1+  S=  − 8060 ≤ ( a + 1) 2 ≥ 2015 (t/ m); a +1− ( a + 1) 2 − 8060 − 4a < 2015 ( loai )   ; a ∈ ¢ ; a ≥ 2015   P ( x ) ∈ ¡ [ x] Câu Tìm tất đa thức thỏa mãn điều kiện P ( P ( x ) + x ) = P ( x ) P ( x + 1) , ∀x ∈ ¡ Hướng dẫn giải deg P ( x ) = n Giả sử Khi n=0 So sánh bậc x hai vế (1) ta n = 2n ⇔  n =  n = P ( x) = c c = c2 ⇔ c =  c = ta đa thức Thay vào (1) ta P ( x) = P ( x) = Vậy đa thức thỏa mãn yêu cầu P ( x ) = ax + bx + c n=2 a≠0 Khi ta giả sử với a =a a≠0 a =1 So sánh hệ số cao (1) ta Do nên ta có P ( x ) = x + bx + c Vậy ta có Thế vào (1) kiểm tra thấy thỏa mãn P ( x) = P ( x) = P ( x ) = x + bx + c Kết luận: , Câu Tìm tất số nguyên dương n cho (n - 1)! không chia hết cho n2 Hướng dẫn giải Nhận xét n số nguyên tố (n - 1) < n nên (n - 1)! hiển nhiên không chia hết cho n, khơng chia hết cho n2 Ta tìm n khơng ngun tố thỏa (n - 1)! không chia hết cho n2 ( n − 1)! Mn ⇔ n ! Mn Ta có: Điều xảy tồn ước số p n cho bậc p (số mũ lũy thừa p phân tích thừa số nguyên tố) n! bé bậc p n3 n = pt k Giả sử (với (p, k)=1) Theo lí luận ta có bất đẳng thức: n  n   n   p  +  p  +  p  + < 3t       Suy ra: ⇔ 3t ≥ (*) n n  n   n  3t ≥   +   +   + +    p   p   p3   p t  ⇔ 3t ≥ k ( p t −1 + p t −2 + + 1) k ( p t − 1) p −1 3t ≥ 1.(2t − 1) = 2t − ⇒ t ∈ {1,2,3} −1 (**) Suy ra: Ta xét trường hợp dùng phép thử lại để làm rõ kết toán ⇒3≥ k k =2 k =3 k =1 • TH1: t = Ta có: (**) Suy (Do n trở thành số nguyên tố) n = 2p + Với k = 2: (p nguyên tố) p≠2 Thử lại: p = n = (thỏa); : (*) n = 3p + Với k = 3: (p nguyên tố) 2p 2p ⇔   +   + < ⇔2