KINH NGIỆM dạy HSG giai đoạn đầu trịnh quốc phượng (1)

Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TẬP HUẤN Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT (Từ ngày 23/12/2017 đến ngày 25/12/2017) Chuyên đề KINH NGHIỆM THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ NÂNG CAO CHO CÁC LỚP MŨI NHỌN Ở GIAI ĐOẠN ĐẦU NHẰM PHÁT HIỆN KỊP THỜI HỌC SINH CÓ NĂNG KHIẾU VỀ TOÁN HỌC Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng Đơn vị: Trường THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa I RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA, TRÙNG PHƯƠNG Tư tưởng: + Đối với phương trình bậc 3: Xét phương trình dạng  x    ax  bx  c  k m    Với yêu cầu: - Có nghiệm phân biệt, có nghiệm, có nghiệm - So sánh nghiệm với số thực - Các nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng nghiệm + Đối với phương trình trùng phương: Xét phương trình dạng x  bx  c  , hệ số b, c chọn cho phương trình nhận x   nghiệm thỏa mãn hệ thức 9b  100c Với yêu cầu: - Có nghiệm phân biệt, có nghiệm, có nghiệm - So sánh nghiệm với số thực - Các nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng nghiệm Các tập minh họa (Nhẩm x =1 nghiệm) Bài 1.1 Cho phương trình x  x   m  1 x  m   (1.1) Tìm m để phương trình a) Có nghiệm phân biệt b) Có nghiệm c) Có nghiệm phân biệt khơng nhỏ 2 d) Có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x13  x23  x33  10 Phân tích, hướng dẫn: x  PT   x  1 x  x  m      f  x   x  x  m   (2)     a) (1.1) có nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt khác     f 1  Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa b) (1.1) có nghiệm  (2) vơ nghiệm có nghiệm kép  c) (1.1) có nghiệm phân biệt phân biệt khơng nhỏ 2  (2) có hai nghiệm phân biệt     f 1  x2 , x3  2 khác     x2     x3     x    x     3 d) Biến đổi x1  x2  x3  10  13  x23  x33  10  x23  x33   (Nhẩm x = -2 nghiệm) Bài 1.2 Cho phương trình x  x   2m  1 x  4m   (1.2) Tìm m để phương trình a) Có nghiệm phân biệt b) Có nghiệm c) Có nghiệm phân biệt nhỏ 1 d) Có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn  x1  x2  x3   x1 x2 x3  10 Phân tích, hướng dẫn:  x  2 PT   x   x  x  2m      f  x   x  x  2m   (2)      a) (1.2) có nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2     f  2   b) (1.2) có nghiệm  (2) vơ nghiệm có nghiệm kép 2  c) (1.2) có nghiệm phân biệt phân biệt nhỏ 1  (2) có hai nghiệm phân biệt     f  2   x2 , x3  1 khác 2     x2  1   x3  1   x  1  x  1   d) Thực biến đổi 2  x1  x2  x3   x1 x2 x3  10   2  x2  x3   2 x2 x3  10   3   2m  3  10  (Nhẩm x =1 nghiệm) Bài 1.3 Cho phương trình x   2m  1 x  2m  (1.3) Tìm m để phương trình a) Có nghiệm phân biệt b) Có nghiệm phân biệt lớn 3 c) Có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14  x24  x34  x44  x1 x2 x3 x4  20 Phân tích, hướng dẫn: Đặt t  x  , ta phương trình t   2m  1 t  2m  có hệ số thỏa mãn công thức nhẩm nghiệm ( a  b  c  ), suy phương trình có hai nghiệm t1  t2  2m t1   m    a) (1.3) có nghiệm phân biệt  t2  2m    t  t m  1 Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa m   b) Với điều kiện  (1.3) có nghiệm phân biệt m   x1  1, x2  1, x3   2m , x4  2m Kết hợp… d) (1.3) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14  x24  x34  x44  x1 x2 x3 x4  20 Khi (1.3) có nghiệm phân biệt lớn 3   2m  3  m   14   1   2m    2m     1.(1) 2m  2m  20  8m  4m  18   (Nhẩm x =3 nghiệm) Bài 1.4 Cho phương trình x   m  1 x  9m  72  (1.4) Tìm m để phương trình a) Có nghiệm phân biệt b) Có nghiệm phân biệt nhỏ c) Có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  18 Phân tích, hướng dẫn: Đặt t  x  , ta phương trình t   m  1 t  9m  72  (2) 2 Phương trình (2) có    m  1   9m  72    m  17   Suy phương trình (2) có hai nghiệm t1  m    m  17   t2  m   m  17  m8 t1   m   a) (1.4) có nghiệm phân biệt  t2  m     m  17 t  t 1 m  b) Với điều kiện  (1) có nghiệm phân biệt m  17 x1  3, x2  3, x3   m  8, x4  m  Khi (1.1) có nghiệm phân biệt nhỏ  m    m  24 Kết hợp… c) (1.1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  18   m   18  (Không nhẩm nghiệm, nhiên hệ số thỏa mãn: a  1,9b  100c ) Bài 1.5 Cho phương trình x   m  1 x   2m  1  (1.5) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1  x2  x3  x4 thỏa mãn x2  x1  x3  x2  x4  x3 Phân tích, hướng dẫn: Đặt t  x  , ta phương trình t   m  1 t   2m  1  (2) 2 Phương trình (2) có  '   m  1   2m  1     (1.5) có nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt dương t1  t2   S   P   Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán môn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa Khi nghiệm (1.5) xếp theo thứ tự tăng dần  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 Hệ thức x2  x1  x3  x2  x4  x3  t2  t1  t2  9t1 t  9t  2 Khi ta có hệ t1  t2   m  1  36  m  1  100  2m  1  m   t1t2   2m  1 II PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM: GIẢI BIỆN LUẬN CÁC BÀI TỐN CĨ THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CÔ LẬP THAM SỐ VÀ LẬP BBT CỦA HÀM SỐ BẬC Tư tưởng: - Cô lập tham số để biến đổi phương trình dạng f  t   g  m  , với t  t  x   D  , f  t  hàm số bậc - Quy việc tìm GTLN, GTNN biểu thức việc tìm GTLN,GTNN hàm số f  t   at  bt  c, t   ;     - Hướng thiết kế tập xuất phát từ phương trình: + Dạng: f  x   c.m  ax  b ( m tham số, f  x  hàm số bậc bậc hai) + Dạng: f  x   c.m  g  x  ( m tham số, f  x  , g  x  hàm số bậc bậc 2) + Dạng: a  f  x    bf  x   c  d m  ( m tham số) + Dạng: a   x     x  b  x      x   c  d m   Các tập minh họa: Bài 2.1 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình Phân tích, hướng dẫn: x  Phương trình x  m  x    m  x  x  ( m tham số) x  m  x  có nghiệm Lập bảng biến thiên hàm số f  x   x  x  1;   ta m  3 m  2 Bài 2.2 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x  x  m  x  có nghiệm âm Phân tích, hướng dẫn: x    x  1 Phương trình x  x  m  x      x  x  m  x  m  x  x  Lập bảng biến thiên hàm số f  x   x  3x  nửa khoảng  1;  ta giá trị m cần tìm Bài 2.3 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình   1   x     x    2m   có nghiệm x   x  Phân tích, hướng dẫn: Đặt t  x  Điều kiện t  2 t  Phương trình trở thành 2m  2t  3t  x Lập bảng biến thiên hàm số f  x   2t  3t   ; 2   2;   ta m   Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa Bài 2.4 Tìm m để phương trình 3   x   x      x   x  2m   có nghiệm Phân tích, hướng dẫn: Đặt t   x   x  t   Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có   x   x   t     x     x   12  t 2  t2   Phương trình trở thành 2m  3    t  3, t   6;     t2   Lập bảng biến thiên hàm số f  x   3    t   6;  ta m cần tìm   Bài 2.5 Tìm m để phương trình 16  x     x   x  m   có nghiệm Phân tích, hướng dẫn: Tương tự Bài 2.4   Bài 2.6 Tìm m để phương trình x  x   x  x  3m   (2.6) có nghiệm Phân tích, hướng dẫn: ĐKXĐ: x   Đặt t  x  x  Để tìm điều kiện t ta làm theo cách sau: Cách 1: t  x  x    x  1    t  Cách 2: t  x  x   t  x  x   t   Lập bảng biến thiên hàm số t  g  x   x  x  tập  tìm điều kiện t Cách 3: t  x  x   x  x   t   t   Coi PT ẩn x ĐK để PT có nghiệm  '   t  Phương trình (2.6) trở thành 3t  2t  16  3m phải có nghiệm t  Lập BBT hàm số f  t   3t  2t  16 nửa khoảng  2; ) ta ĐK m Nhận xét: Nếu yêu cầu toán nghiệm phân biệt cần tìm ĐK t để t cho giá trị phân biệt x Khi sử dụng Cách Cách ta tìm ĐK t t  2  x2  x2 Bài 2.7 Tìm tất giá trị nguyên tham số m để phương trình    m  có  x  x    bốn nghiệm? Phân tích, hướng dẫn: x2  x  1  t  t  Đặt t   x 1  x  tx  t   * t  t  4t t  Với t thỏa mãn t    * có hai nghiệm x phân biệt t  Phương trình cho trở thành: t  2t  m   m  t  2t (**) Phương trình cho có nghiệm (**) có hai nghiệm t phân biệt thỏa mãn t  điều kiện  Lập bảng biến thiên hàm số f  t   t  2t khoảng  ;    4;   t  0  m  ta điều kiện tham số m là:   m  24 Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa Bài 2.8 Tìm m để phương trình x  x   x  x   m  (2.8) có nghiệm phân biệt Phân tích, hướng dẫn: Tương tự Bài 2.7 với điều kiện ẩn phụ t   x  x   t  Bài 2.9 Tìm m để phương trình x   m x   x  (2.9) có nghiệm Phân tích, hướng dẫn: ĐKXĐ: x  x 1 Chia vế phương trình cho x  đặt t  , với điều kiện ẩn phụ  t  x 1 Đưa PT trở thành m  3t  2t Lập BBT hàm số f  t   3t  2t nửa khoảng  0;1 điều kiện m Bài 2.10 Tìm m để phương trình x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt Phân tích, hướng dẫn:  x   Phương trình   3x  (4  m) x   (*)  Phương trình cho có hai nghiệm  (*) có hai nghiệm phân biệt lớn   đồ   thị hàm số y  3x  (4  m) x    ;   cắt trục hoành hai điểm phân biệt   b m4   Xét hàm số y  3x  (4  m) x    ;   Ta có   2a   m4   + TH1: Nếu    m  hàm số đồng biến   ;   nên m  không thỏa   mãn yêu cầu toán m4 + TH2: Nếu    m 1 : Ta có bảng biến thiên m4   x  1 y    2 y  m4 y      Suy đồ thị hàm số y  3x  (4  m) x    ;   cắt trục hoành hai điểm phân   2m   1 m4 biệt  y      y  0  m  8m  28 (1)  12  2     Vì m  8m  28    m    12  0, m nên Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa (1)  2m    m  9 (thỏa mãn m  ) Vậy m  giá trị cần tìm 2 III PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM, TƯ DUY SÁNG TẠO: TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ BẬC TRÊN MỘT ĐOẠN HOẶC MỘT KHOẢNG Bài 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: a) F  x  3x  , x   3; 4 b) F     x   x       x   x 1    c) F  x  x   x  x   , x   2; 4 d) F  x  x  x  x   , x  3;5 e) F  x  x3  x , x  [1;1] Phân tích, hướng dẫn: a) Đặt t  x   0;16 , đưa tìm GTLN,NN hàm số F  f  t   2t  3t  1, t   0;16 b) Đặt t   x   x   7; 14  , đưa tìm GTLN,NN hàm số   F  f t   t   t  1, t   7; 14      c) Đặt t  x  x  , x   2; 4 Lập bảng biến thiên hàm số t  x  x   2; 4 , ta t   3;13 Đưa tìm GTLN,NN hàm số F  f  t   t  3t  2, t   3;13 d) Đặt t  x  x  3, x   3;5 Lập bảng biến thiên hàm số y  t  x  x  đoạn  3;5 ta t  0; 2  Đưa tìm GTLN,NN hàm số F  f  t   t  5t  6, t  0; 2  e) Ta có F  x  x  x  ( x  x)2  ( x  x ) Đặt t  x  x Lập bảng biến thiên hàm số t  x  x với x  [1;1] Suy t    t  max t  1;1 1;1   Khi đó, hàm số viết lại : f (t )  t  t với t    ;    Từ bảng biến thiên ta có: max y  max f (t )  t  , y  f (t )   [ 1;1]     ;2  [ 1;1]     ; 2   1 t  Bài 3.2 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x  x   3 x   Phân tích, hướng dẫn: Đặt t  x  1, t   t  x  x  Đưa tìm GTNN hàm số y  f  t   t  3t  với t  Lập BBT, suy GTNN  t  Bài 3.3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa a) y  sin x  3cos x, x   00 ;1800  b) y  sin x  cos6 x, x   00 ;1800  c) y   5sin x   5cos x , x   00 ;1800  Phân tích, hướng dẫn: a) Đặt t  sin x   0;1 Đưa tìm GTLN,GTNN hàm số y  f  t   t  1  t  , t   0;1    b) Ta có y  sin x  cos x  sin x  cos x  3sin x cos x sin x  cos x    3sin x cos x Đặt t  sin x   0;1 Đưa tìm GTLN,GTNN hàm số y  f  t    3t 1  t  , t   0;1 c) Ta có y   5sin x   5cos x  y    25sin x cos x ( y  0) Đặt t  sin x   0;1 Đưa tìm GTLN,GTNN hàm số f  t    25t 1  t  , t  0;1 , từ tìm GTLN,GTNN hàm số cho Bài 3.4 Cho số thực a, b thoả mãn ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b2 a b    1 b2 a2 b a Phân tích, hướng dẫn: a b2 a b2 a b a b a b a b Đặt t   Ta có t       ,t       t2  b a b a b a b a b a b a Ta có P  t   t   t  t  Xét hàm số f (t )  t  t  với t   ; 2   2;   a b  a b   ;22;  b a Bài 3.5 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị lớn Từ bảng biến thiên ta có P   f (t )  t  hay  giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b  c   4(ab  ac  bc )  Phân tích, hướng dẫn: Ta có  ab  ac  bc  (a  b  c )2  3 Đặt t  ab  ac  bc t   0;3 a  b  c  (a  b  c )2  2(ab  ac  bc )   2t Khi P  f (t )  (9  2t )  4t   4t  40t  84, t  0;3 Bằng cách lập BBT hàm số f (t )  0;3 , ta P  0, max P  84 Bài 3.6 Cho số x, y thoả mãn: x  y   xy Chứng minh  x  y  x2 y  Phân tích, hướng dẫn: Đặt P  x  y  x y Ta có P  ( x  y )2  x y  1  xy   x y  2 x y  xy  Đặt t  xy , P  2t  2t   x  y  xy   xy  xy 1 Vì  nên    xy  Do   t   3 1  xy  2 xy  x  y  2 xy Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa   Xét hàm số f (t )  2t  2t    ;1   Từ bảng biến thiên ta có f (t )   P  max f (t )        ;12   ;1     Suy điều phải chứng minh Bài 3.7 Cho x, y số thực thoả mãn: 2( x  y )  xy  18 70 Chứng minh :  7( x  y )  x y  25 33 Phân tích, hướng dẫn: Ta có: 7( x  y )  x y   x  y  x y   x y    xy    1 2 2 2    x y   x y   33  xy   14 xy    33t  14t  , với t  xy  4    Ta có xy   2( x  y )  xy  xy  Mặt khác 2( x  y )  xy    x  y   xy   xy    1 Xét hàm số f  t   33t  14t  , t    ;   3 70 18 Suy max f  t    t  , f  t    t   Từ suy ĐPCM  1 33 33  ;  25  ;         3  3 Bài 3.8 Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn    giá trị nhỏ biểu thức: S  x  y y  3x  25 xy Phân tích, hướng dẫn: Do x  y  nên S  16 x y  12 x  y  xy  25 xy    16 x y  12  x  y   xy  x  y    34 xy  26 x y  xy  12   Đặt t  xy , ta được: S  16t  x  y  2t  12;0  xy    1  t   0;   4  1 Xét hàm số f  t   16t  2t  12 đoạn  0;  ta tìm được:  4 25 1 1 S    x; y    ;  ; 2 2  2 2   2 2  191 max S    x; y    ; ;   x; y     16 4 4     IV RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XỬ LÍ CÁC BÀI TỐN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Trang Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa Bài 4.1 Tìm giá trị tham số m cho parabol  P  : y  x  x  m cắt Ox hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA  3OB Phân tích, hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  m  Để  P  cắt Ox hai điểm phân biệt A, B   '   m   m   x  xB Theo giả thiết OA  3OB  x A  xB   A x   x  A B  x A  xB  Viet + TH1: x A  3xB    x A  xB   m  x A xB   x x  m  A B *  *  có hai nghiệm phân biệt  x A  3 x B  + TH2: x A  3xB    x A  xB   m  x A xB  12  x x  m  A B Viet Do m  3; m  12 Bài 4.2 Cho parabol  P  : y  x  x  đường thẳng d : y  mx  Tìm tất giá trị thực m để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Phân tích, hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x  x   mx  x   x  x   m       x  m  Để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B  m   m  4 Với x   y   A  0;3  Oy   Với x   m  y  m  4m   B  m; m  4m  Gọi H hình chiếu B lên OA Suy BH  xB   m  m  1 9  OA.BH   m     2 2  m  7 Bài 4.3 Tìm m để đường thẳng y  2m( x  1) cắt parabol y  x  x  hai điểm phân biệt với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Phân tích, hướng dẫn Tương tự Bài 4.2 Bài 4.4 Cho parabol  P  : y  x  x  đường thẳng d : y  mx  Tìm giá trị thực Theo giả thiết tốn, ta có S OAB  tham số m để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  Phân tích, hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x  x   mx  x   x  x   m       x  m  Để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B  m   m  4 Trang 10 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa b) c   P  qua B  3; 4  có trục đối xứng x   c) Hàm số y  ax  bx  c có giá trị nhỏ x  nhận giá trị x  d)  P  qua M (4;3) cắt Ox N (3;0) P cho INP có diện tích biết hồnh độ điểm P nhỏ Phân tích, hướng dẫn a) Vì A   P  nên  4a  2b  c (1) Mặt khác  P  có đỉnh I (1;2) nên  b   2a  b  (2) I   P  suy  a  b  c (3) 2a  4a  2b  c   a    Từ (1), (2) (3) ta có 2a  b   b   a  b  c  c    Vậy  P  cần tìm y  x  x  b) Ta có c   P  qua B  3; 4  nên 4  9a  3b   3a  b  2 (4) P có trục đối xứng x nên  b    b  3a 2a thay vào (4) ta 3a  3a  2  a    b  1 Vậy  P  cần tìm y   x  x  c) Hàm số y  ax  bx  c có giá trị nhỏ x  nên ta có 2 b 1 1    a  b  (5) ,  a    b    c  a  2b  4c  (6) a  2a 2 2 Hàm số y  ax  bx  c nhận giá trị x  nên a  b  c  (7) a  b  a    Từ (5), (6) (7) ta có a  2b  4c   b  1 a  b  c  c    Vậy  P  cần tìm y  x  x  d) Vì  P  qua M (4;3) nên  16a  4b  c (8) Mặt khác  P  cắt Ox N (3;0) suy  9a  3b  c (9),  P  cắt Ox P nên P  t ;0  , t  b  t    a Theo định lý Viét ta có   3t  c  a Trang 13 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa    b IH NP với H hình chiếu I   ;   lên trục hoành  2a 4a    Do IH   , NP   t nên S INP    3  t   4a 4a Ta có S IBC  2  t  3 2  b  c  3  t       3  t   3t     t   (10) a a a  2a  a Từ (8) (9) ta có 7a  b   b   a suy t    Thay vào (10) ta có   t   84  t  3  7a 4t   a a  3t  27t  73t  49   t  Suy a   b  4  c  Vậy  P  cần tìm y  x  x  V PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI, RÈN LUYỆN TÍNH CẨN THẬN, CHẮC CHẮN, KỸ NĂNG TÍNH TỐN BẰNG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HHKG 11 THEO PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ  Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát sau:    Bước 1: Chọn hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng    Bước 2: Biểu diễn véc tơ theo a , b , c Bước 3: Sử dụng điều kiện phương hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng ba véc tơ để lập hệ phương trình đại số; điều kiện vng góc, cơng thức tính góc, hai véc tơ để tìm giá trị thỏa mãn yêu cầu đề  Một số định lí của véc tơ    không gian:   Định lí 1.1 Cho hai véc tơ a b ( a  ) Khi hai véc tơ a b phương   tồn số thực k cho b  k a    Định lí 1.2 Trong không gian, cho a b hai véc tơ không phương véc tơ c Khi       ba véc tơ a , b , c đồng phẳng tồn số thực m, n cho c  ma  nb Hơn số m, n     Định lí 1.3 Trong khơng gian, cho ba véc tơ a , b , c khơng đồng phẳng Khi với véc tơ d     tùy ý, tồn số thực m, n, p cho d  ma  nb  pc Hơn số m, n, p  Các tập minh họa: Bài 5.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi M N điểm thuộc đường AM thẳng AB1 A1C1 cho MN//BD1 Tính tỉ số AB1 Phân tích, hướng dẫn: Trang 14 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa +) Chọn hệ véc tơ       a  AB, b  AD, c  AA1     +) Đặt AM  x AB1  x a  c     A1 N  y A1C1  y a  b     Ta có MN  MA  AA1  A1 N    =  y  x  a  yb  1  x  c (1)     BD1   a  b  c          +) Vì MN//BD1 nên tồn số thực k cho MN  k BD1   k a  kb  kc (2)  y  x  k 1 AM  So sánh (1) (2) ta có hệ  y  k  x  , y  , k  Vậy  3 AB1 1  x  k      Bài 5.2 Cho tứ diện ABCD , điểm M , N xác định MA  xMC , NB  y ND  x, y  1 Tìm điều kiện x y để ba đường thẳng AB, CD, MN song song với mặt phẳng Phân tích, hướng dẫn:          A +) Chọ hệ véc tơ: a  DA, b  DB , c  DC a, b, c không đồng phẳng       +) Ta có MA  xMC  DA  DM  x DC  DM      DA  xDC a  xc  DM   1 B 1 x 1 x N       1 D M DB  b  2 Lại có NB  y ND  DN  1 y 1 y +) Từ 1   suy C    1   x  MN  DN  DM  a b c 1 x 1 y 1 x          +) Ta có AB  DB  DA  b  a, CD  c ; AB CD hai véc tơ không phương nên ba đường thẳng AB, CD, MN song song với mặt phẳng ba véc tơ       AB, CD, MN đồng phẳng  MN  mAB  nCD , tức    1   x  a b c  m b  a  nc 1 x 1 y 1 x     x     m  mb   n  a  c  1 x  1 x    1 y       Trang 15 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa  m   x    m  x y 1 y   x n   1 x  Vậy ba đường thẳng AB, CD, MN song song với mặt phẳng x  y    với Bài 5.3 Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a, BAD   cos   , cạnh bên AA '  2a Gọi M điểm thỏa mãn DM  k DA N trung điểm cạnh A ' B ' Tìm k để C ' M  D ' N Phân tích, hướng dẫn:       Đặt AB  x, AD  y, AA '  z Ta có        C ' M  C ' D '  D ' D  DM   x  z  k y      D ' N  D ' A '  A ' N   y  x  2 Khi C ' M  D ' N  C ' M D ' N           k   2  x  k y  z  x  y    x  k y    1 x y  2  2  k   a  ka    1 a.a   k   2  Bài 5.4 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N, P điểm thuộc cạnh BC, BD, AC cho BC  BM , BD  BN , AC  AP Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD Q Tính AQ tỉ số AD Phân tích, hướng dẫn:       +) Chọn hệ véc tơ a  AB , b  AC , c  AD     +) Ta có BM  BC  b  a , 4        AP  AC  b , BN  BD  c  a 3 2    +) Đặt AQ  x AD  xc Khi    1  PQ  AQ  AP   b  xc (1)          Mặt khác ba véc tơ PQ, PM , PN đồng phẳng nên tồn số thực m, n cho          PQ  mPM  nPN  m  AP  AB  BM  n  AP  AB  BN     Trang 16 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa   1   3 =  m  n  a   m  n  b  nc (2)   4  12  3 m   4 m  n    1 AQ 1  So sánh (1) (2) ta có hệ:  m  n   n  Vậy  3 AD 12  1  2 n  x x    Bài 5.5 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất mặt hình thoi cạnh a góc '  BAD   DAA '  600 Tính độ dài đường chéo AC ' BAA Phân tích, hướng dẫn:       +) Chọn hệ véc tơ a  AB, b  AD, c  AA '          a  b  c  a, a, b  b, c  c, a  600     +) Ta có AC '  a  b  c          AC '  a  b  c  2ab  2bc  2ca        3a  a b cos 600  b c cos 600  c a cos 600  6a       A D B C A' D' B' C'  AC '  a Bài 5.6 Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N trung điểm BD AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, đường thẳng DN lấy điểm Q cho PQ//CM Tính độ dài PQ Phân tích, hướng dẫn:       +) Chọn hệ véc tơ a  AB , b  AC , c  AD    Khi đó: a  b  c     a.b  b.c  c.a      +) Giả sử AP  x AB DQ  yDN Khi ta có       CM  CA  AM  a  b  c 2          PQ  PA  AD  DQ   x AB  AD  y DA  AC  AD    =  xa  yb  1  y  c   k   k +) Do PQ//CM nên tồn số thực k cho PQ  kCM  a  kb  c 2   (1) (2) Trang 17 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa k   x   x    1  So sánh (1) (2) ta có hệ:  y   k   y  2  k   1  y  k       1 2 1    1 +) Khi PQ   a  b  c  PQ  PQ    a  b  c   3 3   Bài 5.7 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh Gọi I trung điểm AB O tâm mặt BCC1B1, M điểm cạnh AD cho AD  AM , P trung điểm BB1   K điểm cho A1K  k A1C CK a) Tìm số k tỉ số biết đường thẳng MK song song với mp (PDC1) CA1     b) Gọi E F điểm thỏa mãn AE  mAP , CF  nCI cho O, E, F thẳng hàng Tìm số m, n độ dài EF Phân tích, hướng dẫn: +) Chọn hệ véc tơ       a  BA, b  BB1 , c  BC    Khi đó: a  b  c     a.b  b.c  c.a      a) +) Ta có A1C  c  b  a     MK  MA  AA1  A1 K    1    c b  k c b  a    1   kc  1  k  b   k   c (1) 5  +) Do MK//(PDC1) nên tồn số x, y cho:           MK  xPC1  yPD  x PB1  B1C  y PB  BC  CD     x y    b    b    x    b  c   y    c  a   ya     b   x  y  c 2 2         (2) Trang 18 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa 17    x  25  k  y   11   So sánh (1) (2) ta có hệ 1  k   x  y    y  25   11   k   x  y k  25  11 CK CA1  A1K 14 Với k     1 k  25 CA1 CA1 25       m 1   b     b) Ta có OE  OB  BA  AE   b  c  a  m   a   1  m  a  b c 2 2        n   n  1 1  OF  OC  CF   b  c  a  nc  a  b    n  c 2 2 2  Do O, E, F thẳng hàng nên có số thực k cho   nk  k  1  OE  kOF  a  b  k   nc (4) 2 2   nk  1  m  n  2   k  m 1  So sánh (3) (4) ta có hệ    m      1    k   n  k        (3)         2 14     Khi EF  OF  OE  a  b  c  EF  EF   a  b  c   3 3 3  Bài 5.8 Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi tâm O, có độ dài đường chéo AC  4a, BD  2a , SO  2a SO  ( ABCD) Gọi M trung điểm cạnh SC Tính góc hai đường thẳng SA BM Phân tích, hướng dẫn: +) Chọn hệ véc tơ       a  CA, b  DB, c  OS    Khi đó: a  4a, b  2a, c  2a    a.b  b.c  c.a     +) Ta có SA  a  c ,          1 1 1 BM  BS  BC    b  c   a  b   a  b  c 2 2    2    +) Tính cos  SA, BM  : SA  SA   a  c   a  c  3a , 2      Trang 19 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa    2     BM  BM    a  b  c   a  b  c  2a 2  16 4              2 SA.BM   a  c    a  b  c    a  c  6a 2  2    SA.BM   Suy ra: cos  SA, BM   cos SA, BM     SA, BM   300 SA.BM Bài 5.9 Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có tất mặt bên hình vng cạnh Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A1C1, B1C1 Tính cơsin góc hai đường thẳng A1 F, DE Phân tích, hướng dẫn: +) Chọn hệ véc tơ       a  A1 A, b  A1 B1 , c  A1C1    Khi đó: a  b  c     a.b  a.c  , b.c  +) Ta có      A1F  A1 B1  A1C1  b  c 2      1 DE  DC  CC1  C1 E   a  b         +) Tính cos  A1F , DE  : A1F  A1 F   b  c   ,  2               DE  DE   a  b   , A1F DE   b  c   a  b       2    A1F DE   15 Suy ra: cos  A1F , DE   cos A1 F , DE   A1F DE 10   Bài 5.10 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB  5, AC  4, AD  góc BAC  600 , CAD  900 , DAB  1200 Gọi M N điểm cạnh AB CD cho AM  2MB, DN  2NC Tính cơsin góc hai đường thẳng MN AC Phân tích, hướng dẫn: Trang 20 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán môn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa +) Chọn hệ véc tơ       a  AB , b  AC , c  AD    Khi đó: a  5, b  4, c     15 a.b  10, b.c  0, c.a       +) Ta có MN  MA  AD  DN 2 2 1  a b c 3 +) Tính cos  MN , AC  :         MN AC    a  b  c  b  3    123     MN  MN    a  b  c   3     MN AC   123 Suy cos  MN , AC   cos MN , AC   MN AC 41 Bài 5.11 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 có độ dài cạnh a góc BAD  DAA1  A1 AB  600 Gọi M, N trung điểm AA1 CD Tính cơsin góc hai đường thẳng MN, B1C Phân tích, hướng dẫn: +) Chọn hệ véc tơ       a  AA1 , b  AB, c  AD    Khi đó: a  b  c  a         a2 a.b  b.c  c.a     +) Ta có B1C   a  c  1 1  MN   a  b  c 2          +) Tính cos  MN , B1C  : MN B1C    a  b  c  a  c  a ,       a     MN  MN    a  b  c   , B1C  B1C   a  c 2     MN B1C   Do cos  MN , B1C   cos MN , B1C   MN B1C 10      a  Trang 21 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa VI PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO; RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DỰNG HÌNH, KỸ NĂNG TÍNH TỐN BẰNG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH CỦA THIẾT DIỆN Bài 6.1 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi I trung điểm AD; J điểm đối xứng với D qua C; K điểm đối xứng với D qua B Tính diện tích thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) Phân tích, hướng dẫn: - Hãy tìm cách tính độ dài cạnh tam giác IEF 2a + Tính EF  BC  3 + Áp dụng Định lí Cơsin tam giác AIE AIF tính a 13 IE  IF  - Để tính diện tích tam IEF lựa chọn cách dựng đường cao từ đỉnh I áp dụng Định lí Pitago để tính độ dài đường cao, sử dụng trực tiếp Cơng thức Hêrơng S p  p  a  p  b  p  c  để suy diện tích STD  a2 Bài 6.2 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên 2a  a   Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, BC CD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Hãy tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Có thể xác định thiết diện ngũ giác MKNPQ - Để tính diện tích thiết diện, định hướng cho học sinh theo cách sau: Cách 1: - Sử dụng Định lí Cơsin cho tam giác SAB để tính cos SAB  tiếp tục định lí cho tam a 10 a 10 giác MAE để tính ME  Tương tự, MF  2 3a - Sử dụng Định lí Pitago để suy EF  NP  Từ tính diện tích tam giác 3a 11 S MEF  - Chứng minh S KNE  SPQF  S MEF a 11 - Từ suy STD  S MEF  Trang 22 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa Cách 2: - Có thể chia việc tính diện tích thiết diện thành việc tính diện tích tam giác MKQ hình thang KNPQ - Bằng cách tính độ dài cạnh tam giác MKQ theo định lí Cơsin sau áp dụng cơng thức Hêrơng để tính diện tích tam giác - Tính cạnh hình thang KNPQ, thấy hình thang cân, từ tính diện tích hình thang Bài 6.3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD Hãy dựng thiết diện hình phương với mặt phẳng (C'MN) tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Thiết diện ngũ giác C’INMJ - Có thể hướng dẫn cho học sinh tính diện tích thiết diện tương tự theo cách Bài 4.2 - Cụ thể: 17 a Tính S C ' EF  Chứng minh S FIM  S EIN  SC 'EF 17 a Từ có STD  24 Bài 6.4 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M trung điểm AB; E điểm thuộc đường thẳng BC cho C trung điểm BE Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (DME) tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: Trang 23 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa - Thiết diện tam giác DMN - Sử dụng định lí Cơsin tính cạnh: 13 MN  a , ND  a, 3 MD  a 35 a 24 Bài 6.5 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M N trung điểm AB BC, P điểm cạnh CD cho CP = 2PD a) Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Sử dụng cơng thức Hêrơng tính được: STD  - Thiết diện tứ giác MNPQ - Có thể chứng minh AQ = 2QD, từ suy thiết diện hình thang cân - Sử dụng định lí Cơsin tính cạnh MQ NP hình thang, sau tính đường cao QH hình thang 51 a  MN  PQ  QH  144 Bài 6.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên a , M điểm thuộc cạnh SB cho MS  2MB Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng MD song song với đường thẳng AB a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) b) Hãy tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Từ tính diện tích thiết diện là: STD  Trang 24 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán môn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa - Thiết diện hình thang cân MNDC - Tính cạnh: 2a a MN  , MB  3 - Sử dụng định lí Cơsin tam giác SBC tính được: cos CBS  - Tiếp tục sử dụng định lí Cơsin tam giác BCM tính MC  ND  a 5a 35 - Từ tính được: STD  36 Bài 6.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên MS a Gọi M điểm cạnh SA cho  , (P) mặt phẳng qua hai điểm C, MA M song song với đường thẳng BD a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) b) Hãy tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Thiết diện tứ giác MKCI (Ở Hình: EF//BD) - Có thể định hướng cho học sinh tính diện tích thiết diện theo cách Bài 6.2 Cụ thể: Cách 1: - Tính diện tích tam giác MEF: a 31 + Bằng cách sử dụng định lí Cơsin cho tam giác MAE, MAF tính ME  MF  + Áp dụng tính chất đường trung bình  AEF suy EF  2a a 26 + Từ tính S MEF  (Bằng công thức Hêrông kẻ đường cao từ đỉnh A) - Tiếp theo, ta cần xác định xem điểm I K tương ứng chia đoạn ME MF theo tỉ số bao nhiêu? Trang 25 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa + Có nhiều cách để giải vấn đề này, chẳng hạn, từ M ta kẻ đường thẳng song song với AB, MI MN MN IE cắt SB N thấy ngay:      IE BE AB EM FK 3 Tương tự có  Từ suy tam giác ECI FCD có diện tích diện FM 10 26a tích tam giác MEF Do tính diện tích thiết diện STD  15 Cách 2: - Chia việc tính diện tích thiết diện thành việc tính diện tích hai tam giác MIC MKC Lưu ý tính chất đối xứng nên hai tam giác - Tính độ dài cạnh tam giác MIC theo định lí Cơsin sau áp dụng cơng thức Hêrơng tính diện tích tam giác Bài 6.8 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a , cạnh SA  a tam giác SAB, SAC vuông A Gọi M K trung điểm SC AB, (P) mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng SA CK a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Thiết diện hình thang MNPQ - Tứ giác MNPQ hình thang vng P N a a 3a - Tính MN  , PQ  NP  Từ 4 5a có STD  32 Bài 6.9 Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi O giao điểm AC BD, I trung điểm OC, (P) mặt phẳng qua I song song với hai đường thẳng BD, SC a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Thiết diện ngũ giác NPQKM - Có thể cho học sinh thấy từ tính chất SC  BD hình chóp S.ABCD nên suy tứ giác MNPK hình chữ nhật a a có MN  , KP  2 a2 nên có diện tích S MNPK  Trang 26 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn cấp THPT tỉnh Thanh Hóa a a a2 - Tam giác QKP cân Q, có: KP  , QK  QP   SQKP  16 5a - Từ suy STD  16 Nhận xét : Có thể hướng dẫn học sinh tính diện tích ngũ giác MNPQK theo Cách Bài 6.7, cụ thể: - Gọi F giao QK EM chứng minh được: EP EN  ,   SEPN  S EQF  STD  S EQF EQ EF 9 9a 2 13a , từ tính S EQF  10 16 Bài 6.10 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi I tâm hình vng ABCD, (P) mặt phẳng qua I song song với hai đường thẳng BD' B'C a) Xác định thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a Phân tích, hướng dẫn: - Để dựng thiết diện, cần dựng đường thẳng qua I, song song với BD' cắt DD' P Khi P trung điểm DD' Sau dựng đường thẳng qua P song song với A'D cắt A'D' trung điểm Q Từ xác định thiết diện ngũ giác MNPQK - Để tính diện tích thiết diện, ta hướng dẫn học sinh tính tương tự theo cách Bài 4.3, theo tính 9a S MEF  , đồng thời 16 chứng minh - Sử dụng định lí Cơsin tính QE  QF  S EKF  S FPN  7a SMEF Do STD  S MEF  9 16 Thanh Hóa, tháng 12 năm 2017 NGƯỜI VIẾT Trịnh Quốc Phượng Trang 27 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa ... SMEF Do STD  S MEF  9 16 Thanh Hóa, tháng 12 năm 2017 NGƯỜI VIẾT Trịnh Quốc Phượng Trang 27 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa ... cho PQ  kCM  a  kb  c 2   (1) (2) Trang 17 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt cán mơn Tốn... I K tương ứng chia đoạn ME MF theo tỉ số bao nhiêu? Trang 25 Báo cáo viên: Trịnh Quốc Phượng - Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa Tập huấn Nâng cao lực bồi dưỡng HSG cho giáo viên cốt