THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 Chun đề : Giới hạn Tài liệu giảng (Khóa tốn 11) 01 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP Để chứng minh mệnh đề P n với n �N * ta thực theo bước sau: Kiềm tra mệnh đề với n P k Giả sử mệnh đề với n k , đưa biểu thức , ta gọi giả thiết quy nạp Với giả thiết P k đúng, ta chứng minh mệnh đề với n k Để chứng minh mệnh đề sau: P n với n �p , ( p số tự nhiên) ta thực Kiểm tra mệnh đề với n p P k Giả sử mệnh đề với n k , đưa biểu thức , ta gọi giả thiết quy nạp P k Với giả thiết đúng, ta chứng minh mệnh đề với n k II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví Dụ Chứng minh biểu thức sau với số tự nhiên n dương: a) n n n 1 b) 12 22 32 n n n 1 2n 1 Lời giải a) n Với n ta có Giả sử 1 1 1 1.2 � 1 đúng với n k , ta có: Ta chứng minh Thật vậy, n n 1 1 k với n k , tức k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k 1 k k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k 2 Vậy biểu thứ với n k Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 b) 12 22 32 n2 Với n ta có 12 Giả sử với Ta chứng minh Chuyên đề : Giới hạn n n 1 2n 1 2 1.2.3 � 2 n k , ta có với 12 22 32 k k 1 12 22 32 k n k , tức k 1 k 2k 3 12 22 32 k k 1 12 22 32 k k 1 Thật vậy, k k 1 2k 1 k k 1 2k 1 k 1 k k 1 2k 1 k 1 k 2k 1 k 1 � k 1 � � � k 1 2k 7k k 1 k 2k 3 Vậy biểu thức Ví Dụ Chứng minh rằng: a) 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 n n 1 với n dương n b) n 4n với số tự nhiên n �3 Lời giải a) 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 n n 1 1 1.2 12 1 � 1 Với n ta có: Giả sử 1 với n k , ta có: 1.2 2.5 3.8 k 3k 1 k k 1 1 với n k , tức 1.2 2.5 3.8 k 3k 1 k 1 3k k 1 k Ta chứng minh Thật vậy, 1.2 2.5 3.8 k 3k 1 k 1 3k k k 1 k 1 3k k 1 k 3k k 1 k 1 k k 1 k 2 Vậy biểu thức cho với n k Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn n 2 b) n 4n 33 32 4.3 � 27 26 � với n ta có Giả sử với n k , ta có 3k k 4k Ta chứng minh với Thật vậy, k 1 n k , tức k 1 k 1 3k 1 3k k 4k 5 3k 12k 15 k 2k 1 k 1 2k 6k k 1 k 1 2k 6k k 1 k 1 2 2k 6k k 3k 1 k 1 k 1 Do ta Vậy BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu Chứng minh với n ��* , ta có: a) Câu 1 2n 1 2n 2n b) 1 , n �2 2 n n Chứng minh với n ��* , ta có: a) Câu n2 b) 2n Chứng minh với n ��* , ta có: a) Câu 2n 2n 1, n �3 1 1 n n 1 13 , n 1 2n 24 b) n n Chứng minh với n ��* , ta có: n n 1 n a) Câu b) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 b) 1 n 1.2 2.3 n n 1 n n n 1 n 1.2 2.3 n n 1 Chứng minh với n ��* , ta có: 2n 1 a) Câu Chứng minh với n ��* , ta có: a) Câu 2 n 4n 1 b) 3n n 3n 1 Chứng minh với n ��* , ta có: a) n 11n chia hết cho Trang | b) n 3n chia hết cho Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn n2 n 1 d) 7.2 chia hết cho c) n 2n chia hết cho Câu Cho tổng Sn 1 1 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính S n chứng minh dự đốn quy nạp Đ/s: Sn n 2n Bài 9: [ĐVH] Cho tổng Sn 1 1 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n 1) a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh dự đốn quy nạp Đ/s: Sn n 4n a a 2, an 1 an , Bài 10: [ĐVH] Dãy số n cho sau với n 1, 2, a 2cos n * 2n 1 Chứng minh với n �� ta có: LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP * Bài 1: [ĐVH] Chứng minh với n �� , ta có: a) 2n 2n 1; n �3 a) 2n n �3 1 n b) 2n Lời giải: n 23 2.3 � 1 +) Với n ta có 2k 2k k �3 +) Giả sử với n k , ta có 2k 1 k 1 2k +) Ta chứng minh với n k , tức Thật vậy, 2k 1 2.2k 2k 1 4k 2k k �3 Vậy biểu thức n 2 b) 2n 23 2.1 � +) Với n ta có k 2 +) Giả sử với n k , ta có 2k 2k 3 k 1 2k +) Ta chứng minh với n k , tức Thật vậy, 2k 3 2.2k 2 2. 2k 4k 10 2k k �N * Vậy biểu thức * Bài 2: [ĐVH] Chứng minh với n �� , ta có: Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN -Lớp 11 a) 1 Chuyên đề : Giới hạn 2n 1 2n 2n b) 1 ; n �2 2 n n Lời giải: 1 1 n n , 1 a) 1 1 2 +) Với n ta có 1 1 k 1 1 1 2 2 k k 1 k 1 2 k +) Giả sử với n k , ta có +) Ta chứng minh với n k , tức Thật vậy, 1 2 1 1 1 1 2 2 2 k 1 k k 1 2 2 k k k 1 k k k 1 k 1 k 1 Vậy biểu thức cho với n k Vậy biểu thức 2n 1 2n 2n b) 2 1 � 2 +) Với n ta có 2k 1 2k 2k +) Giả sử (2) với n k , ta có +) Ta chứng minh (2) với n k , tức Thật vậy, Lại có: k 1 1 2k k 1 2k k 1 2k 1 2k 3 2k k 1 k 1 k 1 2k 2k 2k 2k k 1 2k k 1 � 2k 2k 2k Vậy biểu thức (2) * Bài 3: [ĐVH] Chứng minh với n �� , ta có: a) 1 1 2 n n 1 13 2n 24 n 1 b) n n Lời giải: Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN -Lớp 11 a) Chuyên đề : Giới hạn 1 2 n n (1) 1 +) Với n ta có +) Giả sử (1) với n k , ta có 1 1 2 k k +) Ta chứng minh (1) với n k , tức Thật vậy, Lại có 1 1 1 k 1 k 1 1 1 2 k k k 1 k 1 k 1 k 2 1 � k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k 1 Vậy nên biểu thức cho với n k Vậy biểu thức (1) 1 13 2n 24 b) n n n 1 1 13 � 2 +) Với n ta có 24 1 13 2k 24 k 1 +) Giả sử (2) với n k , ta có k k 1 13 2k 24 k 1 +) Ta chứng minh (2) với n k , tức k k 1 13 1 13 2k 24 2k 2k 24 Thật vậy, k k Vậy nên biểu thức cho với n k Vậy biểu thức (2) * Bài 4: [ĐVH] Chứng minh với n �� , ta có: n a) 3 n n 1 b) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 Lời giải: Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 n a) 3 n n 1 +) Với n ta có 1 Chun đề : Giới hạn (1) 12.22 � 1 k +) Giả sử (1) với n k , ta có 3 k k 1 Thật vậy, 3 k k 1 � � k2 k 2 k 1 k 1 � k 1� k 1 �4 � +) Ta chứng minh (1) với n k , tức k 1 k k k 1 3 k k 1 3 Vậy biểu thức cho với n k Vậy biểu thức (1) b) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 (2) 1.4 1.22 � +) Với n ta có 1.4 2.7 k 3k 1 k k 1 +) Giả sử (2) với n k , ta có +) Ta chứng minh (2) với n k , tức 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k 1 k Thật vậy, 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k k 1 k 1 3k k 1 k k 3k k 1 k Vậy biểu thức cho với n k Vậy biểu thức (2) * Bài 5: [ĐVH] Chứng minh với n �� , ta có: a) 1.2 2.3 n n 1 n n 1 n n 1 a) b) 1 n 1.2 2.3 n n 1 n Lời giải: 1.2 2.3 n n 1 Trang | n n 1 n (1) Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 +) Với n ta có 1.2 Chun đề : Giới hạn 1.2.3 � 1 +) Giả sử (1) với n k , ta có 1.2 2.3 k k 1 k k 1 k +) Ta chứng minh (1) với n k , tức k 1 k k 3 1.2 2.3 k k 1 k 1 k Thật vậy, 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 k k 3 � k k 1 k �k � k 1 k k 1 k � 1� �3 � biểu thức cho với n k Vậy biểu thức (1) b) 1 n 1.2 2.3 n n 1 n (2) 1 � 2 +) Với n ta có 1.2 +) Giả sử (2) với n k , ta có 1 k 1.2 2.3 k k 1 k +) Ta chứng minh (2) với n k , tức Thật vậy, 1 1 k 1 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 1 k 1 � � �k � 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k k � k � k 1 k 1 k k 1 � k 2 biểu thức cho với n k Vậy biểu thức (2) * Bài 6: [ĐVH] Chứng minh với n �� , ta có: 2n 1 a) 2 Trang | n 4n 3n b) Lời giải: n 3n 1 n 1 Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 Chun đề : Giới hạn a) Với n 1; n , toán Giả sử toán với n k n k � 2k 1 2 2 k 4k Ta chứng minh với n k k 1 1 Thật 2 2k 1 k 4k k 4k 4k 4k 2 � k 1 1� 4k 12k 11k k 1 4k 8k k 1 � � 3 Theo nguyên lý quy nạp thu đpcm b) Dễ thấy toán với n 1; n Giả sử toán với n k n k � 3k k 3k 1 Ta chứng minh với n k Thật k 1 k 3k 1 3k k 1 1� 3k 5k k 1 � � � 2 Theo nguyên lý quy nạp thu đpcm * Bài 7: [ĐVH] Chứng minh với n �� , ta có: a) n 11n chia hết cho c) n 2n chia hết cho 3 b) n 3n chia hết cho n2 n 1 d) 7.2 chia hết cho Lời giải: a) Ta có n3 11n n3 n 12n n n 1 n 1 12n Rõ ràng n n 1 n 1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Cụ thể: n 3k � n n 1 n 1 3k n 1 n 1 M3 n 3k � n n 1 n 1 n.3k n 1 M3 n 3k � n n 1 n 1 3n n 1 k 1 M3 Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn Mặt khác thừa số n, n 1, n tồn số chẵn ngun tố nên tích chia hết cho Do ta có đpcm c) Ta có n3 2n n3 n 3n n n 1 n 1 3n Rõ ràng n n 1 n 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Cụ thể n 3k � n n 1 n 1 3k n 1 n 1 M n 3k � n n 1 n 1 n.3k n 1 M n 3k � n n 1 n 1 3n n 1 k 1 M Từ n3 2n n3 n 3n n n 1 n 1 3n M3 2k 2 32 k 1 M d) Bài toán với n 1; n Giả sử tốn với n k n k � 7.2 Tiếp tục chứng minh toán với n k k 2 9.32 k 1 7.22 k 32 k 1 5.32 k 1 M5 n k � 7.22 n 3n 1 7.22 k 2 32 k 1 4.7.2 Cứ vậy, theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Sn Bài 8: Cho tổng 1 1 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh dự đốn quy nạp Lời giải S1 ; S2 ; S3 ; S4 a) b) Dự đoán Sn n 2n Rõ ràng theo câu a dự đoán với n 1; 2;3; n k � Sn Giả sử toán với 1 1 k 1.3 3.5 5.7 2k 1 2k 1 2k Ta chứng minh điều với n k Thật Trang 10 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN -Lớp 11 n k � S k 1 Chuyên đề : Giới hạn 1 1 1.3 3.5 5.7 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 k k 3 k k 1 2k 2k 1 2k 3 2k 1 2k 3 2k Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Sn Bài 9: Cho tổng 1 1 1.5 5.9 9.13 4n 4n 1 a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh dự đốn quy nạp Lời giải S1 ; S ; S3 ; S 13 17 a) b) Dự đoán Sn n 4n Rõ ràng theo câu a dự đoán với n 1; 2;3; n k � Sn Giả sử toán với 1 1 k 1.5 5.9 9.13 4k 3 4k 1 4k Ta chứng minh điều với n k Thật n k � S k 1 1 1 1.5 5.9 9.13 4k 3 4k 1 4k 1 4k k 4k k k 1 4k 4k 1 4k 4k 1 4k 4k Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Trang 11 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN -Lớp 11 Bài 10: Dãy số an cho sau Chuyên đề : Giới hạn a1 2, an 1 an , n 1, 2, Chứng minh với n ��* ta có: an 2cos 2n 1 Lời giải Xét toán với n 1; n Giả sử toán với n k � ak cos 2k 1 Ta chứng minh toán với n k Thật Với n k � ak 1 ak cos � � 2� cos k 1 � k 1 2 � � � � 2� cos k � cos k 2 � � Theo nguyên lý quy nạp ta điều phải chứng minh Trang 12 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN ... sử (1) với n k , ta có 1 1 2 k k +) Ta chứng minh (1) với n k , tức Thật vậy, Lại có 1 1 1 k 1 k 1 1 1 2 k k k 1 k 1 k 1 k 2 1 � k k 1 k 1 ... -Lớp 11 a) 1 Chuyên đề : Giới hạn 2n 1 2n 2n b) 1 ; n �2 2 n n Lời giải: 1 1 n n , 1 a) 1 1 2 +) Với n ta có 1 1 k 1 1 1 2 2 k k 1 ... vậy, 1 1 k 1 1. 2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 1 k 1 � � �k � 1. 2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k k � k � k 1 k 1 k
Ngày đăng: 03/05/2018, 09:38
Xem thêm: