Baigiang Giải Tích 1.PDF

Baigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDFBaigiang Giải Tích 1.PDF

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI BỘ MƠN TỐN GIẢI TÍCH NGUYỄN VĂN KIÊN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Giới hạn liên tục hàm biến 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn hàm biến 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Vô bé 1.2.4 Vô lớn 12 Tính liên tục hàm biến 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.3.2 Tính chất hàm liên tục 13 1.3.3 Phân loại điểm gián đoạn 15 1.3 Đạo hàm vi phân hàm biến 17 2.1 Đạo hàm vi phân cấp 17 2.1.1 Đạo hàm cấp 17 2.1.2 Vi phân cấp 20 Đạo hàm vi phân cấp cao 22 2.2.1 Đạo hàm cấp cao 22 2.2.2 Vi phân cấp cao 24 2.2.3 Hàm cho theo tham biến 24 Các định lý hàm khả vi 26 2.3.1 Định lý Fermat 26 2.3.2 Định lý Rolle 26 2.3.3 Định lý Lagrange 26 2.3.4 Định lý Cauchy 27 Công thức Taylor 28 2.2 2.3 2.4 MỤC LỤC 2.5 2.4.1 Công thức Taylor 28 2.4.2 Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc 28 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 30 2.5.1 Quy tắc L’Hospital 30 2.5.2 Một số dạng giới hạn cách tính 30 Tích phân hàm biến 34 3.1 Tích phân bất định 34 3.1.1 Nguyên hàm 34 3.1.2 Bảng nguyên hàm 35 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân không xác định 36 3.1.4 Tích phân số lớp hàm 39 Tích phân xác định 44 3.2.1 Định nghĩa 44 3.2.2 Công thức Newton-Leibniz 45 3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 47 Ứng dụng tích phân 49 3.3.1 Ứng dụng tính diện tích 49 3.3.2 Ứng dụng tính độ dài đường cong 50 3.3.3 Ứng dụng tính thể tích vật thể tròn xoay 52 Tích phân suy rộng 52 3.4.1 Tích phân suy rộng loại 52 3.4.2 Tích phân suy rộng loại 58 3.4.3 Tích phân suy rộng chứa loại loại 62 3.2 3.3 3.4 Nguyễn Văn Kiên Lý thuyết chuỗi 64 4.1 Khái niệm chuỗi số 64 4.1.1 Định nghĩa 64 4.1.2 Điều kiện cần chuỗi số hội tụ 66 4.1.3 Các tính chất chuỗi số hội tụ 67 Chuỗi số dương 67 4.2.1 Khái niệm 67 4.2.2 Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương 68 Chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất ký 72 4.2 4.3 MỤC LỤC 4.4 4.5 4.6 Nguyễn Văn Kiên 4.3.1 Chuỗi đan dấu 72 4.3.2 Chuỗi có dấu 73 Chuỗi hàm 74 4.4.1 Chuỗi hàm miền hội tụ chuỗi hàm 74 4.4.2 Chuỗi lũy thừa 76 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 81 4.5.1 Điều kiện để hàm khai triển thành chuỗi Lũy thừa 81 4.5.2 Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc 83 Chuỗi Fourier 86 4.6.1 Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn 86 4.6.2 Khai triển Fourier hàm số cách thác triển chẵn, lẻ 89 Tài liệu tham khảo 91 Chương Giới hạn liên tục hàm biến 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn hàm biến 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D = ( a, x0 ) ∪ ( x0 , b) Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có giới hạn A x → x0 với > bé tùy ý tồn số δ = δ( ) > cho với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ | f ( x ) − A| < Khi ta viết lim f ( x ) = A x → x0 Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim (3x − 1) = x →2 3x − = x →2 x + lim Giải Cho > bé tùy ý Xét | f ( x ) − 5| = |3x − − 5| = 3| x − 2| < Chọn δ = với x thỏa mãn | x − 2| < δ |3x − − 5| < Như lim (3x − 1) = x →2 ⇔ | x − 2| < 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Cho Nguyễn Văn Kiên > bé tùy ý Xét 3x − 4x − x − 2| | x − 2| | f (x) − | = | − |= | |= | | bé tùy ý tồn số M = M( ) > cho với x thỏa mãn x > M | f ( x ) − A| < Khi ta viết lim f ( x ) = A x →+∞ Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có giới hạn A x → −∞ với > bé tùy ý tồn số M = M ( ) < cho với x thỏa mãn x < M | f ( x ) − A| < Khi ta viết lim f ( x ) = A x →−∞ Ví dụ Chứng minh 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3x − =3 x →+∞ x + 3x + = x →+∞ 2x − Nguyễn Văn Kiên lim lim Giải Cho > bé tùy ý Xét | f ( x ) − 3| = | 4 3x − − 3| = | |=| |< x+1 x+1 x+1 ⇔x> − 1, ∀ x > Chọn M = max{ − 1, 0} với x > M | Vậy 3x − − 3| < x+1 3x − =3 x →+∞ x + lim Cho > bé tùy ý Xét 3x + 5 | f (x) − | = | − |=| | , 2} với x > M | Vậy ⇔x> 3x + − |< 2x − 3x + = x →+∞ 2x − lim Định nghĩa Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn +∞ x → x0 với M > (lớn tùy ý), tồn số δ = δ( M) cho với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ f ( x ) > M Ta viết lim f ( x ) = +∞ x → x0 Giới hạn phía Cho hàm số f ( x ) xác định tập D = ( a, x0 ) 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Định nghĩa Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn trái A x → x0 với > bé tùy ý tồn số δ = δ( ) > cho với x thỏa mãn < x0 − x < δ | f ( x ) − A| < Khi ta viết lim f ( x ) = A, (hoặc x → x0− lim x → x0 −0 f ( x ), f ( x0 − 0)) Cho hàm số f ( x ) xác định tập D = ( x0 , b) Định nghĩa Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn phải A x → x0 với > bé tùy ý tồn số δ = δ( ) > cho với x thỏa mãn < x − x0 < δ | f ( x ) − A| < Khi ta viết lim f ( x ) = A, (hoặc x → x0+ lim x → x0 +0 f ( x ), f ( x0 + 0)) Trong trường hợp x0 = ta ký hiệu giới hạn trái giới hạn phải tương ứng lim f ( x ); x →−0 lim f ( x ) x →+0 Ví dụ Tính giới hạn phía hàm số sau x → f (x) = 2x + −x x > x ≤ Giải Ta có lim f ( x ) = lim (2x + 1) = x →1+ x →1+ lim f ( x ) = lim (− x ) = −1 x →1− x →1− Ta chứng minh hàm f ( x ) có giới hạn x → x0 giới hạn trái giới hạn phải điểm tồn 1.2.2 Tính chất Định lí Giả sử tồn giới hạn lim f ( x ) = A, lim g( x ) = B Khi x → x0 x → x0 • lim [k f ( x )] = kA , k=const x → x0 • lim [ f ( x ) + g( x )] = A + B x → x0 • lim [ f ( x ) g( x )] = AB x → x0 f (x) g x → x0 ( x ) • lim = A B, B=0 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Định lí Giả sử tồn giới hạn lim f ( x ) = A, lim g( x ) = B Nếu tồn số x → x0 x → x0 δ > cho f ( x ) ≤ g( x ) với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ A ≤ B Định lí Giả sử tồn giới hạn lim g( x ) = lim h( x ) = A số δ > cho x → x0 x → x0 g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ lim f ( x ) = A x → x0 Ví dụ Chứng minh giới hạn sau tính chất kẹp lim x sin x →0 Giải: Ta có =0 x ≤1 x ⇒ −| x | ≤ x sin ≤ | x | x −1 ≤ sin mà lim | x | = x →0 Vậy lim x sin x →0 1.2.3 =0 x Vô bé Định nghĩa f ( x ) gọi VCB x → x0 lim f ( x ) = x → x0 Ví dụ f ( x ) = x2 VCB x → f ( x ) = sin( x − 1) VCB x → Các tính chất vơ bé Giả sử f ( x ) g( x ) vô bé x → x0 Khi • f ( x ) + g( x ), f ( x ) g( x ) vô bé x → x0 • k f ( x ), k số, vô bé x → x0 • f ( x )h( x ), với h( x ) bị chặn lân cận x0 , vô bé x → x0 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên So sánh vô bé Gỉa sử f ( x ) g( x ) VCB x → x0 Xét giới hạn lim x → x0 f (x) =k g( x ) • Nếu k = ta nói f ( x ) VCB bậc cao g( x ) x → x0 ký hiệu f ( x ) = o ( g( x )), x → x0 • Nếu k = ta nói f ( x ) g( x ) VCB tương đương, ký hiệu f ( x ) ∼ g ( x ), x → x0 • Nếu k = 0, ta nói f ( x ) g( x ) VCB bậc, ký hiệu f ( x ) = O( g( x )), x → x0 • Nếu giới hạn không tồn f ( x ) g( x ) VCB không so sánh Các VCB tương đương x → sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x arctan x ∼ x e x − ∼ x ln( x + 1) ∼ x (1 + mx )α − ∼ mαx − cos x ∼ x2 Một cách tổng quát sin u( x ) ∼ u( x ) u( x ) → x → x0 tương tự với biểu thức lại cơng thức √ √ √ Ví dụ sin x ∼ x x → x → x → ln(1 + sin x2 ) ∼ sin x x → sin x2 → x → arctan( x − 2)2 ∼ ( x − 2)2 x → ( x − 2)2 → x → 4.4 CHUỖI HÀM Nguyễn Văn Kiên • Tồn số R ≥ cho chuỗi hội tụ khoảng (− R, R) (nếu R = chuỗi hội tụ điểm 0) phân kỳ khoảng (−∞, R) ∪ ( R, +∞), ± R chuỗi hội tụ phân kỳ Số R gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa ∞ • Bán kính hội tụ chuỗi ∑ an x n bán kính hội tụ chuỗi n =0 ∞ ∑ |an xn | n =0 Do miền hội tụ hai hai chuỗi khác ± R, từ ta có ∞ cách tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ an xn sau: n =0 Cách Tìm bán kính hội tụ R sau xét ± R ∞ Cách Xét chuỗi trị tuyệt đối ∑ |an xn | áp dụng quy tắc xét hội tụ n =0 chuỗi dương Quy tắc tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa a n +1 = ρ (hoặc lim n→∞ an n→∞ thừa tính theo cơng thức Định lí 35 Giả sử lim     ρ R = +∞    0 n | an |) bán kính hội tụ chuỗi lũy < ρ < +∞ ρ = ρ = +∞ Ví dụ 74 Tìm bán kính hội tụ chuỗi: ∞ xn n2 n =1 ∑ ∞ xn n=0 n! ∑ ∞ ∑ nn x n n =1 Giải Ta có ( n + 1)2 =1 n→∞ n2 Vậy bán kính hội tụ chuỗi R = ρ = lim 77 4.4 CHUỖI HÀM Nguyễn Văn Kiên Ta có n! = lim =0 n → ∞ ( n + 1) ! n → ∞ ( n + 1) ρ = lim Như bán kính hội tụ chuỗi R = +∞ Ta có ρ = lim √ n n→∞ nn = lim n = +∞ n→∞ Bán kính hội tụ chuỗi R = hay chuỗi hội tụ x=0 Ví dụ 75 Tìm miền hội tụ chuỗi ∞ ( x − 1) n 2n ( n + ) n =1 ∑ ∞ n ( x + 2) n n =1 ∑ ∞ ∑ n =1 n+1 2n − n ( x − 2)2n ∞ n(ln x )n n =1 ∑ Giải Xét chuỗi ∞ ∑ n =1 ( x − 1) n 2n ( n + ) Dùng tiêu chuẩn Đalămbe ta có lim n→∞ ( x − ) n +1 2n ( n + ) | x − 1| = n n + 2 ( n + 2) ( x − 1) Để chuỗi hội tụ | x − 1| < ⇔ −2 < x − < ⇔ −1 < x < + Tại x = −1 chuỗi trở thành ∞ (−1)n ∑ n+1 n =1 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit 78 4.4 CHUỖI HÀM Nguyễn Văn Kiên + Tại x = chuỗi trở thành ∞ n+1 n =1 ∑ chuỗi phân kỳ 1 ∼ , n→∞ n+2 n Kết luận: Miền hội tụ chuỗi [−1, 3) Xét chuỗi ∞ ∑ n =1 n ( x + 2) n Sử dụng tiêu chuẩn Đalămbe ta có lim n→∞ Với n ( x + 2) n = n + | x + 2| (n + 1)( x + 2) < ⇔ < | x + 2| ⇔ x < −3 x > −1 | x + 2| chuỗi hội tụ + Tại x = −3 chuỗi trở thành ∞ ∞ (−1)n = ∑ n(−1)n ∑ n n =1 n =1 Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Lebnit + Tại x = −1 chuỗi trở thành ∞ n n =1 ∑ Chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ chuỗi (−∞, −3] ∪ (−1, +∞) Xét chuỗi ∞ ∑ n =1 n+1 2n − n ( x − 2)2n Ta có lim n→∞ Với n n+1 2n − n ( x − 2)2n = lim n→∞ n+1 ( x − 2)2 ( x − 2)2 = 2n − √ √ ( x − 2)2 < ⇔ 2− < x < 2+ 2 79 4.4 CHUỖI HÀM chuỗi hội tụ Tại x = ± √ Nguyễn Văn Kiên chuỗi trở thành ∞ ∑ n =1 Ta có lim n→∞ n n+1 2n − 2n + 2n − n ∑ n =0 = lim + n→∞ Chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ chuỗi (2 − Xét chuỗi √ 2, + ∞ ∑ n =1 Ta có ∞ 2n = √ 2n + 2n − 2n − n n √ = e3 = 2) n(ln x )n n(ln x )n lim = n→∞ ( n + 1)(ln x )n+1 | ln x | Nếu 1 < ⇔ < | ln x | ⇔ < x < x > e | ln x | e chuỗi hội tụ + Tại x = chuỗi trở thành e ∞ ∞ (−1)n ∑ n(−1)n = ∑ n n =1 n =1 Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Lebnit + Tại x = e chuỗi trở thành ∞ n n =1 ∑ Chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ chuỗi (0, ] ∪ (e, ∞) e Các tính chất chuỗi lũy thừa ∞ Giả sử chuỗi ∑ an xn có bán kính hội tụ R > có tổng S(x) ta có n =0 tính chất sau: • Tổng S( x ) hàm liên tục khoảng (− R, R) 80 4.5 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN Nguyễn Văn Kiên • Tổng S( x ) hàm khả tích đoạn [ a, b] nằm (− R, R) b ∞ b ∑ S( x )dx = a a n =0 an x n dx = ∞ b ∑ an n =0 a x n dx Đặc biệt, chuỗi x ∞ x ∑ S( x )dx = n =0 ∞ an x n dx = ∑ x an n =0 ∞ x n dx = ∑ an n =0 x n +1 , x ∈ (− R, R) n+1 có bán kính hội tụ R ∞ • Chuỗi lũy thừa ∑ nan xn−1 có bán kính hội tụ R, tổng S(x) hàm khả n =1 ∞ vi khoảng (− R, R) S ( x ) = ∑ nan xn−1 n =1 4.5 4.5.1 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Điều kiện để hàm khai triển thành chuỗi Lũy thừa ∞ Giả sử chuỗi lũy thừa ∑ an xn có bán kính hội tụ R > có tổng hàm f (x) n =0 ∞ f (x) = ∑ an x n , ∀ x ∈ ( x0 − R, x0 + R) n =0 Khi theo tính chất chuỗi lũy thừa ta suy f ( x ) hàm khả vi cấp f ( x0 ) = a0 ∞ f (x) = ∑ nan xn−1 ⇒ f ( x0 ) = a1 n =1 ∞ f (x) = ∑ n ( n − ) a n x n −2 ⇒ f ( x0 ) = 2!a2 n =2 Tiếp tục trình ta nhận f (n) ( x0 ) = n!an Và từ ta ∞ f (x) = ∑ n =0 f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n n! (4.4) Bài toán ngược lại cho hàm f ( x ) xác định U, liệu có chuỗi lũy thừa với tâm x0 ∈ U mà tổng hàm f ( x ) Nếu có chuỗi lũy thừa ∞ f ( n ) ( x0 ) phải chuỗi ∑ ( x − x0 )n Ta có định nghĩa n! n =0 81 4.5 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN Nguyễn Văn Kiên Định nghĩa 25 Giả sử f ( x ) hàm khả vi cấp lân cận điểm x0 chuỗi ∞ ∑ n =0 f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) n ( x − x0 ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + + ( x − x0 )n + n! 1! n! gọi chuỗi Taylor hàm số f ( x ) điểm x0 Nếu x0 = 0, chuỗi ∞ ∑ n =0 f (0) f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n x = f (0) + x + + x + n! 1! n! gọi chuỗi Maclaurin hàm f ( x ) Định nghĩa 26 Ta nói hàm f ( x ) khai triển thành chuỗi Taylor x0 khoảng hội tụ chuỗi Taylor f ( x ) có tổng f ( x ) ∞ f (x) = ∑ n =0 f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n n! Vấn đề đặt với điều kiện hàm f ( x ) khai triển thành chuỗi Taylor Không phải hàm khả vi vô hạn khai triển thành chuỗi Taylor Như biết, f ( x ) khả vi đến cấp n + lân cận điểm x0 ta có cơng thức: f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) n + R n ( x ) 1! n! Trong Rn ( x ) = f ( n +1) ( c ) ( x − x0 )n+1 , c nằm x x0 ( n + 1) ! Như vậy, f khả vi vơ hạn khai triển theo công thức Taylor cấp Ta có định lý Định lí 36 Giả sử f ( x ) hàm có đạo hàm cấp lân cận U ( x0 ) điểm x0 Khi điều kiện cần đủ để hàm f ( x ) khai triển thành chuỗi Taylor x0 lim Rn ( x ) = 0, ∀ x ∈ U ( x0 ) n→∞ Trong nhiều trường hợp để kiểm tra điều kiện lim Rn ( x ) = khó khăn Do n→∞ ta thường áp dụng điều kiện đủ sau Định lí 37 Nếu lân cận U ( x0 ) điểm x0 hàm số có đạo hàm cấp tồn số M > cho | f (n) ( x )| < M với ∀ x ∈ U ( x0 ), ∀n > hàm f khai triển thành chuỗi Taylor x0 82 4.5 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN 4.5.2 Nguyễn Văn Kiên Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc • f ( x ) = e x Ta có | f (n) ( x )| = |e x | < er , ∀ x ∈ (−r, r ) , r tùy ý Như e x khai triển thành chuỗi lũy thừa (−r, r ) Do r tùy ý nên e x khai triển thành chuỗi lũy thừa toàn R ex = + x + x2 x3 xn + + + + − ∞ < x < ∞ 2! 3! n! • f ( x ) = sin x Ta có | f (n) ( x )| = | sin x + nπ | < 1, ∀ x ∈ R, n = 1, 2, Như f ( x ) = sin x khai triển thành chuỗi Maclaurin R x3 x5 x7 x2n+1 + − + + (−1)n + 3! 5! 7! (2n + 1)! sin x = x − • f ( x ) = cos x Tương tự hàm sin x, ta có khai triển R hàm cos x x2 x4 x6 x2n + − + + (−1)n + 2! 4! 6! (2n)! cos x = − • f ( x ) = (1 + x )α , α ∈ R Người ta chứng minh khoảng (−1, 1) hàm số f ( x ) = (1 + x )α khai triển thành chuỗi Maclaurin Bằng cách tính tốn trực tiếp, ta có khai triển (1 + x )α = + αx + α(α − 1) (α − n + 1) x n α ( α − 1) x + + + 2! (n)! Hai trường hợp đặc biệt = − x + x2 − x3 + + (−1)n x n + 1+x = + x + x2 + x3 + + x n + 1−x • f ( x ) = ln(1 + x ) Theo ta có: = − x + x2 − x3 + + (−1)n x n + 1+x Theo tính chất chuỗi lũy thừa x dx = 1+x 83 x ∞ ∑ (−1)n xn dx n =0 4.5 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN ∞ ln(1 + x ) = Nguyễn Văn Kiên x n +1 ∑ (−1)n n + + ln(1 + 0) n =0 Vậy ta có khai triển ln(1 + x ) = x − x2 x3 xn + − + (−1)n−1 + − < x < n Ví dụ 76 Khai triển thành chuỗi Maclaurin hàm số f ( x ) = sin2 x f ( x ) = arctan x f ( x ) = f ( x ) = (1 − x )2 3x − + 5x − 2x2 Giải Ta có 2n 1 ∞ cos(2x ) n (2x ) = − ∑ (−1) sin x = − 2 2 n =0 (2n)! 2 Ta có (arctan x ) = = − x2 + x4 − x6 + + (−1)n x2n + , x ∈ (−1, 1) + x2 Tích phân hai vế [0, x ] ⊂ (−1, 1) ⇒ arctan x = x (1 − x2 + x4 − x6 + + (−1)n x2n + )dx = arctan + x − x3 x5 x7 x2n+1 + − + + (−1)n + 2n + Vậy arctan x = x − Ta có x3 x5 x7 x2n+1 + − + + (−1)n + , x ∈ (−1, 1) 2n + 1 = (1 − x )2 1−x = (1 + x + x2 + + x n + ) , x ∈ (−1, 1) = + 2x + 3x2 + + nx n−1 + 84 4.5 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN Ta có f (x) = Nguyễn Văn Kiên 3x − = + x + − 2x + 5x − 2x2 n 2 x x2 nx = − + (− ) = − + + x+3 31+ x 3 32 3n với −1 < x < hay −3 < x < 3 = + (2x ) + (2x )2 + + (2x )n + − 2x với −1 < 2x < hay − Vậy f (x) = 1