Baigiang Giải Tích 1.PDF

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI BỘ MƠN TỐN GIẢI TÍCH NGUYỄN VĂN KIÊN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Giới hạn liên tục hàm biến 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn hàm biến 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Vô bé 1.2.4 Vô lớn 12 Tính liên tục hàm biến 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.3.2 Tính chất hàm liên tục 13 1.3.3 Phân loại điểm gián đoạn 15 1.3 Đạo hàm vi phân hàm biến 17 2.1 Đạo hàm vi phân cấp 17 2.1.1 Đạo hàm cấp 17 2.1.2 Vi phân cấp 20 Đạo hàm vi phân cấp cao 22 2.2.1 Đạo hàm cấp cao 22 2.2.2 Vi phân cấp cao 24 2.2.3 Hàm cho theo tham biến 24 Các định lý hàm khả vi 26 2.3.1 Định lý Fermat 26 2.3.2 Định lý Rolle 26 2.3.3 Định lý Lagrange 26 2.3.4 Định lý Cauchy 27 Công thức Taylor 28 2.2 2.3 2.4 MỤC LỤC 2.5 2.4.1 Công thức Taylor 28 2.4.2 Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc 28 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 30 2.5.1 Quy tắc L’Hospital 30 2.5.2 Một số dạng giới hạn cách tính 30 Tích phân hàm biến 34 3.1 Tích phân bất định 34 3.1.1 Nguyên hàm 34 3.1.2 Bảng nguyên hàm 35 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân không xác định 36 3.1.4 Tích phân số lớp hàm 39 Tích phân xác định 44 3.2.1 Định nghĩa 44 3.2.2 Công thức Newton-Leibniz 45 3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 47 Ứng dụng tích phân 49 3.3.1 Ứng dụng tính diện tích 49 3.3.2 Ứng dụng tính độ dài đường cong 50 3.3.3 Ứng dụng tính thể tích vật thể trịn xoay 52 Tích phân suy rộng 52 3.4.1 Tích phân suy rộng loại 52 3.4.2 Tích phân suy rộng loại 58 3.4.3 Tích phân suy rộng chứa loại loại 62 3.2 3.3 3.4 Nguyễn Văn Kiên Lý thuyết chuỗi 64 4.1 Khái niệm chuỗi số 64 4.1.1 Định nghĩa 64 4.1.2 Điều kiện cần chuỗi số hội tụ 66 4.1.3 Các tính chất chuỗi số hội tụ 67 Chuỗi số dương 67 4.2.1 Khái niệm 67 4.2.2 Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương 68 Chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất ký 72 4.2 4.3 MỤC LỤC 4.4 4.5 4.6 Nguyễn Văn Kiên 4.3.1 Chuỗi đan dấu 72 4.3.2 Chuỗi có dấu 73 Chuỗi hàm 74 4.4.1 Chuỗi hàm miền hội tụ chuỗi hàm 74 4.4.2 Chuỗi lũy thừa 76 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 81 4.5.1 Điều kiện để hàm khai triển thành chuỗi Lũy thừa 81 4.5.2 Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc 83 Chuỗi Fourier 86 4.6.1 Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn 86 4.6.2 Khai triển Fourier hàm số cách thác triển chẵn, lẻ 89 Tài liệu tham khảo 91 Chương Giới hạn liên tục hàm biến 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn hàm biến 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D = ( a, x0 ) ∪ ( x0 , b) Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có giới hạn A x → x0 với e > bé tùy ý tồn số δ = δ(e) > cho với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ | f ( x ) − A| < e Khi ta viết lim f ( x ) = A x → x0 Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim (3x − 1) = x →2 3x − = x →2 x + lim Giải Cho e > bé tùy ý Xét | f ( x ) − 5| = |3x − − 5| = 3| x − 2| < e ⇔ | x − 2| < Chọn δ = e với x thỏa mãn | x − 2| < δ |3x − − 5| < e Như lim (3x − 1) = x →2 e 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Cho e > bé tùy ý Xét 3x − 4x − x − 2| | x − 2| | f (x) − | = | − |= | |= | | M | f ( x ) − A| < e Khi ta viết lim f ( x ) = A x →+∞ Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có giới hạn A x → −∞ với e > bé tùy ý tồn số M = M (e) < cho với x thỏa mãn x < M | f ( x ) − A| < e Khi ta viết lim f ( x ) = A x →−∞ Ví dụ Chứng minh 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3x − =3 x →+∞ x + 3x + = x →+∞ 2x − Nguyễn Văn Kiên lim lim Giải Cho e > bé tùy ý Xét | f ( x ) − 3| = | 4 3x − − 3| = | |=| | < e ⇔ x > − 1, ∀ x > x+1 x+1 x+1 e Chọn M = max{ − 1, 0} với x > M e | Vậy 3x − − 3| < e x+1 3x − =3 x →+∞ x + lim Cho e > bé tùy ý Xét 3x + 5 | f (x) − | = | − |=| | < | | < e ⇔ x > , ∀x > 2 2x − 4x − 3x 3e Chọn M = max{ , 2} với x > M 3e | Vậy 3x + − | (lớn tùy ý), tồn số δ = δ( M) cho với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ f ( x ) > M Ta viết lim f ( x ) = +∞ x → x0 Giới hạn phía Cho hàm số f ( x ) xác định tập D = ( a, x0 ) 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Định nghĩa Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn trái A x → x0 với e > bé tùy ý tồn số δ = δ(e) > cho với x thỏa mãn < x0 − x < δ | f ( x ) − A| < e Khi ta viết lim f ( x ) = A, (hoặc x → x0− lim x → x0 −0 f ( x ), f ( x0 − 0)) Cho hàm số f ( x ) xác định tập D = ( x0 , b) Định nghĩa Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn phải A x → x0 với e > bé tùy ý tồn số δ = δ(e) > cho với x thỏa mãn < x − x0 < δ | f ( x ) − A| < e Khi ta viết lim f ( x ) = A, (hoặc x → x0+ lim x → x0 +0 f ( x ), f ( x0 + 0)) Trong trường hợp x0 = ta ký hiệu giới hạn trái giới hạn phải tương ứng lim f ( x ); x →−0 lim f ( x ) x →+0 Ví dụ Tính giới hạn phía hàm số sau x → ( 2x + x > f (x) = −x x ≤ Giải Ta có lim f ( x ) = lim (2x + 1) = x →1+ x →1+ lim f ( x ) = lim (− x ) = −1 x →1− x →1− Ta chứng minh hàm f ( x ) có giới hạn x → x0 giới hạn trái giới hạn phải điểm tồn 1.2.2 Tính chất Định lí Giả sử tồn giới hạn lim f ( x ) = A, lim g( x ) = B Khi x → x0 x → x0 • lim [k f ( x )] = kA , k=const x → x0 • lim [ f ( x ) + g( x )] = A + B x → x0 • lim [ f ( x ) g( x )] = AB x → x0 f (x) g x → x0 ( x ) • lim = A B, B 6= 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Định lí Giả sử tồn giới hạn lim f ( x ) = A, lim g( x ) = B Nếu tồn số x → x0 x → x0 δ > cho f ( x ) ≤ g( x ) với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ A ≤ B Định lí Giả sử tồn giới hạn lim g( x ) = lim h( x ) = A số δ > cho x → x0 x → x0 g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) với x thỏa mãn < | x − x0 | < δ lim f ( x ) = A x → x0 Ví dụ Chứng minh giới hạn sau tính chất kẹp lim x sin x →0 Giải: Ta có =0 x ≤1 x ⇒ −| x | ≤ x sin ≤ | x | x −1 ≤ sin mà lim | x | = x →0 Vậy lim x sin x →0 1.2.3 =0 x Vô bé Định nghĩa f ( x ) gọi VCB x → x0 lim f ( x ) = x → x0 Ví dụ f ( x ) = x2 VCB x → f ( x ) = sin( x − 1) VCB x → Các tính chất vơ bé Giả sử f ( x ) g( x ) vô bé x → x0 Khi • f ( x ) + g( x ), f ( x ) g( x ) vô bé x → x0 • k f ( x ), k số, vô bé x → x0 • f ( x )h( x ), với h( x ) bị chặn lân cận x0 , vô bé x → x0 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên So sánh vô bé Gỉa sử f ( x ) g( x ) VCB x → x0 Xét giới hạn lim x → x0 f (x) =k g( x ) • Nếu k = ta nói f ( x ) VCB bậc cao g( x ) x → x0 ký hiệu f ( x ) = o ( g( x )), x → x0 • Nếu k = ta nói f ( x ) g( x ) VCB tương đương, ký hiệu f ( x ) ∼ g ( x ), x → x0 • Nếu k 6= 0, ta nói f ( x ) g( x ) VCB bậc, ký hiệu f ( x ) = O( g( x )), x → x0 • Nếu giới hạn khơng tồn f ( x ) g( x ) VCB không so sánh Các VCB tương đương x → sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x arctan x ∼ x e x − ∼ x ln( x + 1) ∼ x (1 + mx )α − ∼ mαx − cos x ∼ x2 Một cách tổng quát sin u( x ) ∼ u( x ) u( x ) → x → x0 tương tự với biểu thức cịn lại cơng thức √ √ √ Ví dụ sin x ∼ x x → x → x → ln(1 + sin x2 ) ∼ sin x x → sin x2 → x → arctan( x − 2)2 ∼ ( x − 2)2 x → ( x − 2)2 → x → ... 3.3.3 Ứng dụng tính thể tích vật thể trịn xoay 52 Tích phân suy rộng 52 3.4.1 Tích phân suy rộng loại 52 3.4.2 Tích phân suy rộng loại... 45 3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 47 Ứng dụng tích phân 49 3.3.1 Ứng dụng tính diện tích 49 3.3.2 Ứng dụng... hàm 35 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân khơng xác định 36 3.1.4 Tích phân số lớp hàm 39 Tích phân xác định 44 3.2.1