Ngân hàng đề thi Giải tích 1.pdf

Tài liệu Ngân hàng đề thi Giải tích 1.

1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: GIẢI TÍCH 1 Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN THỜI GIAN : 120 phút MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4) A. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM (V.I) 1. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị hàm số ( ) 2xf xx  . 2. Tính đạo hàm của hàm số 3(sin )( ln )y x x x x  . 3. Tính đạo hàm của hàm số 3 2sin( )y x x . 4. Tính đạo hàm của hàm số 2ln2xyx    . 5. Tính đạo hàm của hàm số  sin ln(cos )y x. 6. Tính đạo hàm của hàm số  sinlnxy e x . 7. Tính đạo hàm của hàm số 2ln 1y x x   . 8. Tính đạo hàm của hàm số  2arctgxy x e . 9. Cho hàm số ( ) 2 1y f x x  , tính đạo hàm '(5)f. 10. Tính tích phân sau cotgsinxI dxx. 11. Tính tích phân sau 21 sin 2sinxI dxx . 2 12. Tính tích phân sau tgcosxI dxx. 13. Tính tích phân sau 30arctgI x xdx. 14. Tính tích phân sau 216xxeI dxe. 15. Tính tích phân sau ln 201xI e dx . 16. Tính tích phân sau 1ln1 lnexI dxx x. 17. Tính tích phân sau arctg211xeI dxx. 18. Tính tích phân sau 2xI xe dx . 19. Tính 21cos sintd x xdxdtx 20. Tính tích phân sau 2lneedxx x B. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM (V.II) 1. Tìm giới hạn 2lim( 2)cotg3( 2)xL x x  . 2. Tìm giới hạn 21lnlim2xxLx x  . 3. Tìm giới hạn  tg0lim 1 cosxxL x . 4. Tìm giới hạn  120limxxxL x e . 5. Tìm giới hạn 401 1lim41xxLxe    . 3 6. Tìm giới hạn 30limsinxxLx x 7. Tìm giới hạn 01 1limsin 3 3xLx x     8. Tìm giới hạn sau 243 20211limxxxxx. 9. Tìm giới hạn sau 1sin 20lim( cos )xxx x. 10. Tìm giới hạn sau xxxx230sincoscoslim . 11. Cho hàm số ln( 1) ln(1 ) khi 1, 0( ) khi 0x xx xf xxa x    Tìm hằng số a để hàm số liên tục tại 0x . 12. Cho hàm số khi 0( ) khi 0ax bxe exf xxc x  Tìm hằng số c để hàm số liên tục tại x = 0 . 13. Cho hàm số 21sin khi 0( )0 khi 0x xf xxx. Hàm số có khả vi tại 0x  không? Nếu khả vi hãy tìm '(0)f. 14. Một tấm bìa hình vuông có chiều dài mỗi cạnh 12cm. Cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông bằng nhau để dựng thành hình hộp như hình vẽ sau. Tình thể tích lớn nhất của hình hộp. 15. Cho hàm số 211xy , hãy tính (2004)(0)y . 16. Tính vi phân hàm số xxyln 17. Chứng minh 1xe x  , 0x 4 18. Chứng minh 212xxe x  , 0x 19. Tính vi phân hàm số 1ln2x aya x a 20. Tính ( )( )ny x, biết 2siny x C. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM (V.III) 1. Cho hàm số 221xyx a. Tính dy tại x=1 b. Tìm cực trị của hàm số. 2. Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn  a,0 a. Chứng minh rằng 0( ) ( )a aof x dx f a x dx   b. Dùng kết quả trên, hãy tính 40ln(1 tg )x dx 3. Cho hàm số 1 cos khi 0( )ln( 1) khi 0x xf xx x x    a. Tìm '(0)f b. Chứng minh rằng không tồn tại "(0)f. 4. Cho hàm số xxy2ln a. Tính vi phân tại x = e với 1,0x . b.Tìm cực trị của hàm số. 5. Một quả cầu có bán kính 5 cm với sai số 0,01cm. Ước lượng sai số tối đa của thể tích quả cầu. 6. Cho hàm số 12xxy a. Tính dy tại 0x . 5 b. Tính ( )( )ny x. 7. Cho tích phân suy rộng 21arctg xdxx a. Chứng minh tích phân đã cho hội tụ. b. Tính tích phân đó. 8. Cho tích phân suy rộng 230xx e dx a. Chứng minh tích phân đã cho hội tụ. b. Tính tích phân đã cho. 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 12 xy , 221xy  và 5y. 10. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 26 5 0x y y    quanh trục Ox. 11. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường 22 xxy  và 0y quanh trục Ox. 12. Tính tích phân suy rộng 45441dxx. 13. Cho tích phân suy rộng 221dxx x a. Chứng minh rằng tích phân hội tụ b. Tính tích phân đã cho. 14. Tính các tích phân sau a. 2cos (1 cotg )dxx x b. 333231xxdx 15. Tìm giá trị bé nhất, lớn nhất của hàm số xbxay122 , với 0,0,10  bax 6 16. a. Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình 3112xyx  , từ 1x đến 4x b. Xét sự hội tụ của tích phân 02sindxxx 17. Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình )1ln(2xy  , từ 21x đến 21x 18. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường xy1 và 522  yx b. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 30xx e dx 19. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3xy  và 2yx  b. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 20xedxx 20. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3xy  , xy  và xy 2 b. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 111xe dxx D.LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM (V.IV) 1. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát 2na n n n  . b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 212( 3)nnnxn. 2. a. Chuỗi số sau có hội tụ không? Nếu hội tụ hãy tính tổng 2211nn 7 b. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau 12(4 8)nnnxn 3. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số 211ln(1 tg )nn . b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 318nnnxn . 4. a. Chuỗi số sau có hội tụ không? Nếu hội tụ hãy tính tổng 2 119 4n nn  b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 2 10( 2)2 1nnxn. 5. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số 11sin2nnn b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 21( !)( 3)(2 )!nnnxn . 6. Chứng minh rằng 120(2 )2!nxnxxen. Từ đó hãy tính tổng 02 ( 1)!nnnn. 7. Cho hàm số 21( ) ln2 2f xx x . a. Khai triển hàm số thành chuỗi các luỹ thừa của 1x . b. Tính tổng 0( 1)1nnSn. 8. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số 212 cosnnn . b. Khai triển thành chuỗi Mclaurin hàm số( ) chf x x . 9. 8 a. Xét sự hội tụ của chuỗi số 212nnnn. b. Khai triển thành chuỗi Mclaurin hàm số 21( )3 2f xx x  . 10. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát 1 1ln lnsinnan n  b. Khai triển thành chuỗi Mclaurin hàm số 2( ) ln( 5 6)f x x x   11. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số 11 ( 1)1nnnn  b. Khai triển hàm số xxf1)(  thành chuỗi Taylor tại lân cận 3x 12. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát 2.4.6 .(2 )nnnan b. Khai triển hàm số xxf2sin)(  thành chuỗi Mclaurin 13. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát 2lnnnan b. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát 21( ) ( 1)2 1nnnnu x xn     14. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát 3( ) (3 1)nnu x n x  15. Cho hàm số khi 02( ) khi 2x xf xx x      a. Khai triển hàm số theo các hàm số sin. b. Tính tổng 211(2 1)nSn. 9 16. Cho hàm số 22( ) 1xf x   với x . a. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier. b. Tính tổng 211nSn. 17. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số ( ) sin2xf x , với  x 18. Cho hàm số 2)( xxf  với  x0. a. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier. b. Từ đó hãy tính tổng 211nSn. 19. Cho hàm số )()( xxxf  với ),0(x a. Khai triển hàm số đã cho theo các hàm số sin. b. Tính tổng 30( 1)(2 1)nnSn. 20. Cho hàm số 2)( xxf  với ),(x. a. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier. b. Tính tổng 21( 1)nnSn. . phân sau 216 xxeI dxe. 15 . Tính tích phân sau ln 201xI e dx . 16 . Tính tích phân sau 1ln1 lnexI dxx x. 17 . Tính tích phân sau arctg 211 xeI dxx.. dxx. 11 . Tính tích phân sau 21 sin 2sinxI dxx . 2 12 . Tính tích phân sau tgcosxI dxx. 13 . Tính tích phân sau 30arctgI x xdx. 14 . Tính tích