NGUYỄN PHÚ NAM (HINH GIAI TICH 12)

“PHÂN DẠNG TỐN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI” (CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO) Một số dạng toán Dạng Viết phương trình mặt phẳng(Q) chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) Phương pháp tìm lời giải mp(Q) chứa d vng góc với mp(P), nên mp(Q) qua A ( A ∈ d ) có vtpt nQ = u d , n P Suy phương trình mp(Q) [ ] x = − 2t  Ví dụ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d:  y = + 3t vuông z = t  góc với mp(P): 2x − y + z − = Lời giải Ta có: đường thẳng d qua A(1; 1; 0) có vtcp u d = ( − 2;3;1) , mp(P) có vtpt n P = ( 2;−1;1) (Q) chứa d vng góc với (P), qua A(1;1;0) có vtpt n Q = u d , n P = ( 4;4;− 4) phương trình mặt phẳng (Q): 4( x − 1) + 4( y − 1) − 4z = hay x + y − z − = [ ] Dạng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ ( ∆ d chéo nhau) Phương pháp tìm lời giải mp(P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ , nên (P) qua A ( A ∈ d ) có vtpt n P = u d ,u Δ Suy phương trình mp(P) [ ] Ví dụ Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d: x song với đường thẳng ∆ : = y −1 z −1 = −2 x −1 y − z = = song Lời giải Ta có: d qua A(1; 2; 0) có vtcp u d (1;2;1) , ∆ có vtcp u ∆ = ( 2;1;−2) Suy (P) qua A(1; 2; 0) có vtpt n P = u d , u ∆ = ( − 5;4;−3) Vậy phương trình mp(P) là: − 5( x − 1) + 4( y − 2) − 3z = hay − 5x + y − 3z − = [ ] Dạng Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng (P) Phương pháp tìm lời giải Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vng góc với (P) Tìm giao điểm H d (P) hình chiếu vng góc M lên (P) Ví dụ Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(1; 2; -3) lên mặt phẳng (P): x + y – 3z +5 = Lời giải: Đường thẳng d qua M vng góc với (P) có vtcp  x = 1+ t r  u = ( 1;1; − 3) ⇒ d :  y = + t ( t ∈ R )  z = − − 3t  H = d ∩ ( P ) ⇒ + t + + t − 3( − − 3t ) + = ⇔ t = − 17 ⇒ 11  18  H − ; ;   11 11 11   18  Vậy tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(1; 2; -3) lên (P) H − ; ;   11 11 11  Dạng Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d Phương pháp tìm lời giải Phương pháp 1: Viết phương trình mp(P) qua M vng góc với d Tìm giao điểm H d (P) hình chiếu vng góc M lên d Phương pháp 2: Viết phương trình tham số d, suy tọa độ H theo tham số t MH ⊥ u véctơ phương d Giải pt: MH u = ⇒ t ⇒ tọa độ H Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(-1; -1; 1) lên đường x = + t  thẳng d :  y = + t z = −3 − 3t  Lời giải: ( yêu cầu học sinh giải hai phương pháp) H(1 + t;2 + t;−3 − 3t ) ∈ d , H hình chiếu vng góc M lên d ⇔ MH ⊥ u (1;1;− 3) ⇔ MH.u = ⇔ ( t + 2) + ( t + 3) − 3( − − 3t ) = ⇔ t = − 17  18  ⇒ H − ; ;  11  11 11 11  Dạng Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng d Phương pháp tìm lời giải Tìm hình chiếu vng góc H M lên d, giả sử M(xm; ym; zm), H(xH; yH; zH) Khi điểm M’ đối xứng với M qua d M’(2xH – xm; 2yH – ym; 2zH – zm) Ví dụ Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M(2; 3; 1) qua đường thẳng d: x + y −1 z +1 = = −2 Lời giải  x = −2 + t  Ta có d :  y = + 2t ⇒ H( − + t;1 + 2t;−1 − 2t ) ∈ d H hình chiếu vng góc z = −1 − t   M lên d ⇔ MH ⊥ u (1;2;− 2) ⇔ ( − + t ) + 2( − + 2t ) − 2( − − 2t ) = ⇔ t = ⇒ H − 14 17 17  ; ;−   9 9  46 43  ⇒ M '  − ; ;−   9  Dạng Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (P) Phương pháp tìm lời giải Tìm hình chiếu vng góc H M lên (P), giả sử M(xm; ym; zm), H(xH; yH; zH) Khi điểm M’ đối xứng với M qua (P) M’(2xH – xm; 2yH – ym; 2zH – zm) Ví dụ Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M(0;1;-2) qua mp(P) có phương trình: 2x + y + z – = Lời giải: x = 2t  Đường thẳng d qua M vuông góc với (P) có vtcp u = ( 2;1;1) ⇒ d :  y = + t z = −2 + t  H = d ∩ ( P ) ⇒ 4t + + t − + t − = ⇔ t =  1 ⇒ H 3; ;−  ⇒ M ' ( 6;4;1)  2 Dạng Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mp(P).( d khơng vng góc với (P) khơng nằm (P)) Phương pháp tìm lời giải Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d ( Q ) ⊥ ( P ) Hình chiếu vng góc d lên (P) đường thẳng d' = ( Q ) ∩ ( P ) Phương pháp 2: Lấy hai điểm A, B thuộc d, tìm hình chiếu vng góc H1 A H2 B (P) Đường thẳng d’ cần tìm qua H1 H2 Phương pháp 3: Nếu d cắt (P) A, lấy B thuộc d, B ≠ A , tìm hình chiếu vng góc H B (P), đường thẳng d’ cần tìm qua A H x = − 2t  Ví dụ Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d có pt:  y = + 3t z = t  x − y + z − = mp(P): Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d (P) Lời giải ( yêu cầu học sinh giải phương pháp) Đường thẳng d cắt mp(P) điểm A(1; 1; 0), lấy B( - 1;4;1) ∈ d Đường thẳng x = −1 + 2t'  qua B vng góc với (P) có pt:  y = − t ' ⇒ H( − + 2t' ;4 - t' ;1 + t') hình z = + t '  chiếu B lên (P) ⇔ 2( − + 2t ') − ( − t ') + + t '−1 = ⇔ t ' = ⇒ H(1;3;2) x =  Suy d’ qua A(1; 1; 0) có vtcp AH = ( 0;2;2) ⇒ d':  y = + 2t z = t  Dạng Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu song song đường thẳng d lên mp(P) theo phương ∆ cắt (P) Phương pháp tìm lời giải TH1: Nếu d// ∆ hình chiếu song song d lên (P) theo phương ∆ điểm H = d ∩ ( P) TH2: Nếu d ∆ không song song Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d song song với ∆ Hình chiếu song song d lên (P) theo phương ∆ d' = ( Q ) ∩ ( P ) Phương pháp 2: Lấy hai điểm A, B phân biệt, thuộc d Tìm hình chiếu song song A’ B’ A B lên (P) theo phương ∆ Hình chiếu song song d lên (P) theo phương ∆ d’ qua A’ B’ Chú ý: Nếu d cắt (P) lấy A giao điểm d (P) Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu song song đường x = 3t x−1 y+1 z+  = = thẳng d:  y = t lên mp(P): x – 2y + 2z – = theo phương ∆ : z = + 3t  Lời giải (yếu cầu học sinh giải theo phương pháp) Ta có: d cắt (P) A(0; 0; 1), lấy B(3 ; ; 4) thuộc d x = + t  Đường thẳng ∆' qua B song song với ∆ có phương trình:  y = + t z = + 3t  gọi B’ giao điểm ∆' (P)  1 ⇒ + 2t '− 2(1 + t ') + 2( + 3t ') − = ⇔ t ' = − ⇒ B'  ;− ;   2 Suy đường thẳng d’ cần tìm qua A B’ có vtcp u = 6.AB' = ( 4;−1;−3) Vậy đường thẳng d’ có phương trình là: x y z −1 = = −1 − Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt d1, d2 với d1, d2 chéo khơng qua M Phương pháp tìm lời giải Phương pháp 1: Viết phương trình mp(P) qua M chứa d1, mp(Q) qua M chứa d2 Xét d = ( P ) ∩ ( Q ) Nếu d cắt d1 d2 đường thẳng d đường thẳng cần tìm Nếu d//d1 d//d2 tốn vô nghiệm Phương pháp 2: Viết d1, d2 dạng tham số, lấy M1 thuộc d1 theo tham số t1, M2 thuộc d2 theo tham số t2 Tìm t1, t2 để M, M1, M2 thẳng hàng, đường thẳng d cần tìm qua M có vtcp u = M 1M ( M, M1, M2 thẳng hàng tồn số k ≠ cho MM = k MM ) Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 3; 0) d cắt  x = t1  d1 :  y =  z = −5 + 2t   x = + 2t  d2 : y = − t z = + t  ( t1 , t ∈ R ) Lời giải ( yêu cầu học sinh giải theo phương pháp) Ta có: M ( t ;2;−5 + 2t ) ∈ d1 ; M (1 + 2t ;3 − t ;4 + t ) ∈ d MM = ( t − 1;−1;−5 + t ) ; MM = ( t ;− t ;4 + t )  t1 − = 2k.t uuuuur uuuuur  MM1 = k.MM  −1 = − kt ⇔ ⇔ M, M1, M2 thẳng hàng   k ≠  −5 + 2t1 = k ( + t ) k ≠  Vơ nghiêm Vậy khơng có d thỏa mãn Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d cắt d1, d2 song song với ∆ Phương pháp tìm lời giải Phương pháp 1: Viếtuphương trình tham số d1 theo t1, d2 theo t2 uuu r Lấy M ∈ d1 ; N ∈ d ⇒ MN theo t1, t2 Xác định t1,t2 cho MN // ∆ ⇒ đường thẳng d cắt d1,d2 song song với ∆ đường thẳng qua hai điểm M,N Phương pháp 2: Gọi M(x0; y0; z0) là giao điểm d d1 d nhận vtcp ∆ vtcp ⇒ phương trình tham số d theo x0, y0, z0 d d cắt d2 suy hệ  có nghiệm ⇒ x0, y0, z0 ⇒ phương trình d d Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d cắt d1, d2 song song với ∆ biết  x = −4 + t  phương trình d  y = −7 + 9t ; z = t  x −1 y + z − d2 : = = ; x = + t  ∆ : y = + 2t z = − t  Lời giải (yêu cầu học sinh giải theo phương pháp)  x = − + 5t x = + t   d  y = − + t ; d :  y = − + 4t ⇒ M( − + 5t ;− + 9t ; t ) ∈ d ; N(1 + t ;− + t ;2 + 3t ) ∈ d z = t  z = + 3t   ⇒ MN = ( t − 5t + 5;4 t − t + 5;3t − t + 2)  MN = k.u ∆ MN // ∆ ⇔   M ∉ ∆ ( 17   t1 =  t − 5t + = k  23 k ≠ 0, u ∆ = (1;2;− 1)   ⇒  t − t + = 2k ⇔  t = 16 3t − t + = − k    107 k =  ) 53  x = + t  97   53 97 17  ⇒ M ; ;  ∉ ∆ ; ⇒ d :  y = + t 8 8   17 z = − t  Dạng 11 Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với d1, cắt d2 M khơng thuộc d1,d2 Phương pháp tìm lời giải Phương pháp 1: Viết d2 dạng tham số t, lấy N thuộc d2 theo t Tìm t để MN vng góc với d1, suy đường thẳng d qua M N Phương pháp 2: Viết phương trình mp (P) qua M vng góc với d1, mp(Q) qua M chứa d2 Xét d = ( P ) ∩ ( Q ) Nếu d cắt d2 đường thẳng d đường thẳng cần tìm Nếu d//d2 tốn vơ nghiệm Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 2; 0) vng góc với d1 : x −1 y +1 z + x y z +1 = = = , cắt d : = 2 −8 13 Lời giải (yêu cầu học sinh giải theo phương pháp)  x = 3t  ⇒ N( 3t;−8t;−1 + 13t ) ∈ d ⇒ MN = ( 3t − 1;−8t − 2;−1 + 13t ) Ta có: d :  y = −8t z = −1 + 13t  uuuur uur  MN.u1 = 56 88  uuuur  MN ⊥ d1 ⇔  uur ⇔ ( 3t − 1) − 16t − − + 13t = ⇔ t = ⇒ N  7; − ; ÷ ⇒ MN 3 3   u1 = ( 2;2;1) Suy d qua M(1; 2; 0) có vtcp Dạng 12 Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo Phương pháp tìm lời giải Phương pháp 1: Viết d1, d2 dạng tham số t1, t2 lấy M ∈ d1 , N ∈ d ⇒ MN theo t1,t2 MN đường vng góc chung d1, d2 MN.u = MN ⊥ d ⇔ ⇔ ⇒ t , t ⇒ MN ( u , u vtcp d1,d2) MN.u = MN ⊥ d Phương pháp 2: Gọi u , u vtcp d1,d2, suy đường vng góc chung d có vtcp u = u , u Viết phương trình mp(P) chứa d1 //d, mp(Q) chứa d2 song song với d suy d = ( P ) ∩ ( Q ) ( viết d dạng tham số) [ ] Ví dụ Viết phương trình đường vng góc chung  x = + 2t x = + t   d :  y = + t ; d  y = − + 2t  z = − + 3t  z = + 3t   Lời giải (yêu cầu học sinh giải theo hai phương pháp) Gọi u = ( 2;1;3) , u = (1;2;3) vtcp d1,d2 M(1 + 2t ;2 + t ;−3 + 3t ) ∈ d1 N( + t ;−3 + 2t ;1 + 3t ) ∈ d ⇒ MN = ( t − t + 1;2t − t − 5;3t − 3t + ) 29  t1 =    MN ⊥ d1 2( t − t + 1) + ( 2t − t − 5) + 3( 3t − 3t + 4) =  MN.u = ⇔ ⇔ ⇔  MN ⊥ d ( t − t + ) + ( t − t − ) + ( t − t + ) = 25 MN.u =  2  t =  67 47 20 x− y− z− 67 47 20 8     = = ⇒ M ; ; , MN =  − ;− ;  ⇒ ( MN ) : −1 −1  9 3  3 3 Một số dạng toán nâng cao Dạng 13 Cho hai điểm A B phân biệt Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B cách A khoảng lớn Phương pháp tìm lời giải Gọi H hình chiếu vng góc A mp(P) Ta có tam giác ABH vng H d ( A, ( P ) ) = AH ≤ AB Vậy khoảng cách lớn H trùng B, (P) mặt phẳng qua B vng góc với AB, suy phương trình mp(P) Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B(1; 2; -1) cách A(-2;1;3) khoảng lớn Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc A mp(P) Ta có tam giác ABH vng H d( A, ( P ) ) = AH ≤ AB Vậy khoảng cách lớn H trùng B, (P) mặt phẳng qua B có véctơ pháp tuyến n = AB = ( 3;1;−4) Suy phương trình mp(P) là: 3( x − 1) + ( y − ) − 4( z + 1) = Hay 3x + y – 4z – = Dạng 14 Cho hai điểm A, B phân biệt mp(P) qua B Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mp(P) qua B cách A khoảng lớn , nhỏ Phương pháp tìm lời giải Lớn nhất: Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng ∆ Ta có tam giác ABH vuông H d( A, ( ∆ ) ) = AH ≤ AB Vậy khoảng cách lớn H trùng B, ∆ đường thẳng qua B nằm (P) vng góc với AB, suy ∆ có vtcp u = n P , AB Nhỏ nhất: Gọi K hình chiếu vng góc A mp(P) Ta có d( A, ( ∆ ) ) = AH ≥ AK Vậy khoảng cách nhỏ H trùng K, đường thẳng ∆ qua hai điểm B, K Chú ý: để viết phương trình đường thẳng ∆ ta có hai cách sau: Cách Tìm hình chiếu vng góc K A (P), từ viết phương trình đường thẳng ∆ qua B, K Cách Tìm tọa độ véctơ phương ∆ u = n P , n P , AB [ ] [ [ ] Ví dụ Viết phương trình đường thẳng ∆ qua B(1; 1; 1) vng góc với x đường thẳng d : = y −1 z −1 = cách điểm A(2; 0; 1) khoảng lớn Lời giải Gọi (P) mặt phẳng qua B vuông góc với d, suy (P) có vtpt n P = (1;1;2) Khi đường thẳng ∆ nằm mp(P), qua B cách A khoảng lớn Gọi H hình chiếu A đường thẳng ∆ Ta có tam giác ABH vng H d( A, ( ∆ ) ) = AH ≤ AB Vậy khoảng cách lớn H trùng B, ∆ đường thẳng qua B nằm (P) vng góc với AB, suy ∆ có vtcp u = n P , AB , với [ ] AB = ( − 1;1;0 ) ⇒ u = ( − 2;−2;2 ) ⇒ ∆ : x −1 y −1 z −1 = = 1 −1 Dạng 15 Cho điểm A đường thẳng ∆ khơng qua A Viết phương trình mp(P) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Phương pháp tìm lời giải Gọi H hình chiếu vng góc A mp(P), K hình chiếu vng góc A ∆ Ta có ΔAKH Vng H d ( A,( P ) ) = AH ≤ AK không đổi Vậy d ( A,( P ) ) lớn H ≡ K Khi mp(P) chứa ∆ vng góc với AK x = t  Ví dụ Cho điểm A(1; 1; 2) đường thẳng ∆ :  y = + t ( t ∈ R ) Viết phương z = − t  trình mặt phẳng (P) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Lời giải Đường thẳng ∆ qua M0(0 ; ; 0) có vtcp u ∆ = (1;1;−1) Gọi K hình chiếu vng góc A ∆ K ( t;1 + t;− t ) ⇒ AK = ( t − 1; t;− t − )   Vì AK.u = nên (t – 1) + t – ( – t – 2) = ⇔ t = − ⇒ AK =  − ;− ;−  3 3   Gọi H hình chiếu vng góc A (P), ta có: d( A, ( P ) ) = AH ≤ AK không đổi Vậy d( A, ( P ) ) lớn H ≡ K Do mp(P) cần tìm qua M0(0;1;0) có vtpt n = −3AK = ( 4;1;5) Vậy phương trình mp(P) là: 4x + y + 5z – = Dạng 16 Cho mp(P) điểm A thuộc (P), đường thẳng d không song song với (P), không nằm (P), không qua A Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mp(P) qua A cho khoảng cách ∆ đường thẳng d lớn Phương pháp tìm lời giải Gọi d’ đường thẳng qua A song song với d, B giao điểm d với (P) Gọi H hình chiếu B mp(d’, ∆ ) Khoảng cách d ∆ BH Gọi C hình chiếu vng góc B d’ Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn H ≡ C Khi đường thẳng ∆ có véctơ phương u ∆ = n P , BC Chú ý : Có thể thay véctơ BC véctơ AK , K hình chiếu vng góc A đường thẳng d [ ] Ví dụ Cho mp(P) : x + y + z – = 0, điểm A(1 ; ; -1) đường thẳng x y −1 z = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, nằm (P) cho khoảng cách ∆ d lớn d: Lời giải Gọi d’ đường thẳng qua A song song với d, B giao điểm d với (P) Gọi H hình chiếu B mp(d’, ∆ ) Suy khoảng cách d ∆ BH Gọi C hình chiếu vng góc B d’ Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn H ≡ C Khi đường thẳng ∆ có véctơ phương u ∆ = n P , BC uuur uuur Gọi K hình chiếu vng góc A đường thẳng d, suy BC = −AK [ ] K ( t;1 + 2t; t ) ∈ d, AK = ( t − 1;2t; t + 1) , AK ⊥ u d ⇔ ( t − 1) + 2.2t + ( t + 1) = ⇔ t = ⇒ AK = ( − 1;0;1) [ ] Suy đường thẳng ∆ cần tìm qua A(1; 1; -1) có vtcp u ∆ = n P , AK = (1;−2;1) Vậy phương trình đường thẳng ∆ là: x −1 y −1 z +1 = = −2 Dạng 17 Cho hai điểm A, B mp(P) Tìm toạ độ điểm M thuộc mp(P) cho MA + MB nhỏ Phương pháp tìm lời giải Xác định vị trí tương đối A B mp(P) : - Nếu AB//(P) A, B phía (P) - Nếu đường thẳng AB cắt (P) M0 : + M0 chia đoạn AB theo tỉ số k > M A = k.M B , k > A B nằm phía (P) + M0 chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k < M A = k.M B , k < A B nằm khác phía (P) Tìm M - Nếu A, B khác phía (P) thì: với M thuộc (P) ta có MA + MB ≥ AB Do MA + MB nhỏ A, M, B thẳng hàng hay M ≡ M = ( AB ) ∩ ( P ) - Nếu A, B phía (P) : Tìm A’ đối xứng với A qua (P), ta có MA + MB = MA' + MB ≥ A' B Do MA + MB nhỏ A’, M, B thẳng hàng hay M = ( A' B ) ∩ ( P ) ( ) ( ) 10 Ví dụ Cho A(1 ; ; 2), B(2 ; -1 ; 3) Tìm M thuộc (P) : x – 2y + z – = để MA + MB nhỏ Lời giải x = + t  Ta có AB = (1;−1;1) ⇒ phương trình đường thẳng AB :  y = − t z = + t  Gọi M0 giao điểm đường thẳng AB mp(P), suy : + t − 2( − t ) + + t − = ⇔ t = 5   1 1 3 3  ⇒ M  ;− ;  ⇒ M A =  − ; ;− , M B =  ;− ;  ⇒ M A = − M B 4 4   4 4 4 4  Suy A, B khác phía đồi với (P) Do với M thuộc (P) ta có : MA + MB ≥ AB 5 9 Vậy MA + MB nhỏ AB M ≡ M  ;− ;  4 4 Dạng 18 Cho hai điểm A, B mp(P) Tìm toạ độ điểm M thuộc mp(P) cho MA − MB lớn Phương pháp tìm lời giải Xác định vị trí tương đối A B (P)(như dạng 5) Tìm M - Nếu A, B phía (P) với M thuộc (P) ta có : MA − MB ≤ AB Do MA − MB lớn M ≡ M = ( AB ) ∩ ( P ) - Nếu A, B khác phía (P) : Tìm A’ đối xứng với A qua (P), ta có MA − MB = MA' − MB ≤ A' B Do MA − MB lớn M = ( A' B ) ∩ ( P ) Chú ý : Bài toán vô nghiệm AB // (P) A’B // (P) Ví dụ Cho A(1 ; ; 2), B(2; -1; 3) Tìm M thuộc (P): x – 2y + z – = cho MA − MB lớn Lời giải x = + t  a có AB = (1;−1;1) ⇒ phương trình đường thẳng AB :  y = − t z = + t  Gọi M0 giao điểm đường thẳng AB mp(P), suy : + t − 2( − t ) + + t − = ⇔ t = 5   1 1 3 3 ⇒ M  ;− ;  ⇒ M A =  − ; ;− , M B =  ;− ;  ⇒ M A = − M B 4 4 4 4       Suy A, B khác phía đồi với (P) Gọi H hình chiếu vng góc A (P) Đường thẳng qua A vng góc với (P) có phương trình : x = + t  y = −2 t z = + t  11  13  ⇒ H  ;− ;  6  4 7 Do H trung điểm AA’ nên ta có A'  ;− ;  3 3 Khi MA − MB = MA'−MB ≤ A' B ⇒ MA − MB lớn M, A’, B thẳng H ∈ ( P ) ⇒ + t − 2( − 2t ) + + t − = ⇔ t = hàng, hay M giao điểm đường thẳng A’B mp(P) x = + t  2 2 Ta có : A' B =  ;− ;  ⇒ phương trình đường thẳng A’B :  y = −1 − t 3 3 z = + t    M = ( A' B) ∩ ( P ) ⇒ + t − 2( − − t ) + + 2t − = ⇔ t = − ⇒ M1;− ;2      Vậy MA − MB lớn M1;− ;2    Dạng 19 Cho điểm A, B, C mp(P) Tìm điểm M (P) cho a.MA + b.MB + c.MC nhỏ (với a + b + c ≠ ) Phương pháp tìm lời giải Tìm điểm I cho a.IA + b.IB + c.IC = , a.MA + b.MB + c.MC = a + b + c MI Suy a.MA + b.MB + c.MC nhỏ M hình chiếu vng góc I (P) Ví dụ Cho điểm A(0 ; ; 1), B(2; 3; 1), C(2; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + 2.MB + 3.MC nhỏ Lời giải Gọi I(x; y; z) cho x = − x + 2( − x ) + 3( − x ) =    IA + 2.IB + 3.IC = ⇒ 1 − y + 2( − − y ) + 3(1 − y ) = ⇔ y = 1 − z + 2(1 − z ) + 3(1 − z ) =    z = Khi ta có : MA + 2.MB + 3.MC = MI , MA + 2.MB + 3.MC nhỏ M hình chiếu I (P) x = + t   Đường thẳng d qua I vng góc với (P) có phương trình :  y = + t  z = + t M giao điểm d (P), suy  17 11  + t + + t − = ⇔ t = ⇒ M ; ;  6 6  17 11  Vậy điểm M thoả mãn M ; ;  6 6 2+t+ 12 Dạng 20 Cho hai đường thẳng d1, d2 phân biệt khơng song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 tạo với d2 góc lớn Phương pháp tìm lời giải Vẽ đường thẳng d song song với d2 cắt d1 K Gọi A điểm cố định d H hình chiếu A (P) Ta có góc d2 (P) góc ∠AKH Kẻ AT ⊥ d , ( T ∈ d ) Khi tam giác HKT vuông T, Nên cos∠AKH = HK KT ≥ ( khơng đổi) AK AK Vậy góc ∠AKH lớn HK = HT, hay H ≡ T Do mp(P) cần tìm chứa d1 vng góc với mp(d1,d2) Hay có véctơ pháp tuyến n P = u , u , u với u1 , u véctơ phương d1 d2 [ [ Ví dụ Cho hai đường thẳng d : ] x y −1 z x −1 y z = = ; d2 : = = Viết phương 1 1 trình mp(P) chứa d1 tạo với d2 góc lớn Lời giải Ta thấy hai đường thẳng d1 d2 phân biệt không song song với Theo kết ta có : [ ] [ [ ] u = (1;1;2 ) , u = (1;1;1) ⇒ u , u = ( − 1;1;0 ) ⇒ n P = u , u , u = ( − 2;−2;2 ) Vậy phương trình mp(P) : − 2x − 2( y − 1) + 2z = hay x + y − z − = Dạng 21 Cho mp(P) điểm A thuộc (P), đường thẳng d không song song hay nằm (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P) qua A tạo với đường thẳng d góc bé nhất, lớn Phương pháp tìm lời giải Vẽ đường thẳng d’ qua A song song với d Trên d’ lấy B khác A cố định Hình chiếu vng góc B ∆ (P) theo thứ tự H K Khi ta có : BH BK ≥ AB AB Do ∠( d, ∆ ) nhỏ H ≡ K , hay ∆ đường thẳng AK ∠( d, ∆ ) = ∠BAH , sin∠( d, Δ) = sin∠BAH = [ [ Ta thấy véctơ phương ∆ lúc u ∆ = n P , n P , u d Còn đường thẳng ∆ tạo với d góc lớn 900, Suy ∆ có véctơ phương u ∆ = n P , u d [ ] ] Ví dụ Cho mp(P) : x + y + z – = 0, điểm A(1 ; ; -1) đường thẳng d : x y −1 z = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, nằm mp(P) 13 cho góc ∆ d bé Lời giải Ta thấy A thuộc mp(P), mp(P) có vtpt n P = (1;1;1) , đường thẳng d có vtcp u d = (1;2;1) Theo kết ta có đường thẳng ∆ qua A(1 ; ; -1) có vtcp [ [ ] u ∆ = n P , n P , u d = (1;−2;1) x −1 y −1 z +1 = = −2 Vậy đường thẳng ∆ cần tìm có phương trình Dạng 22 Cho đường thẳng d mp(Q) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d tạo với mp(Q) góc bé nhất, lớn Phương pháp tìm lời giải Đường thẳng d qua M0(x0 ; y0 ; z0) có vtcp u mp(P) qua M0 có vtpt ( ) n P = ( A; B; C ) A + B + C > ⇒ ( P ) : Ax + By + Cz − Ax0 − By0 − Cz = n P ⊥ u  α Gọi góc giứa (P) (Q), ta có :  α nhỏ cos α cosα = cos n , n  P Q ( ) lớn từ suy n P ⇒ ptmp( P ) Còn mp(P) tạo với (Q) góc lớn 900, suy mp(P) có [ véctơ pháp tuyến n P = n Q , u d Ví dụ Cho đường thẳng d : ] x y +1 z − = = mp(Q) : 2x – y – 2z – = −1 Viết phương trình mp(P) chứa d tạo với mp(Q) góc nhỏ Lời giải Đường thẳng d qua M0(0 ; -1 ; 2) có vtcp u = ( − 1;2;1) (P) chứa d nên M0 thuộc (P) n P = ( A; B; C) ( A + B + C > 0) ⇒ ( P ) : Ax + By + Cz + B − 2C = n P ⊥ u ⇔ −A + 2B + C = (1) Gọi α góc giứa (P) (Q), ta có : ( ) cos α = cos n P , n Q = π Nếu B = α = Nếu B ≠ ⇒ cos α = 2A − B − 2C A + B + C 2 5B + 4BC + 2C t= C C + + 2  B  B B = C B = t + 4t + = (1) 2( t + 1) + ≤ π   Do α ∈ 0;  ⇒ α nhỏ  2 14 cos α = B = − C B = − C ⇒ t = −1 ⇒  ⇔ − A + B + C = A = − C Chọn C = - suy A = B = Vậy phương trình mp(P) : x + y – z + = Bài tập ôn luyện Bài Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mp(P) : x + y – 3z + = a) Tìm hình chiếu vng góc điểm M(1 ; ; -3) mp(P) b) Tìm điểm đối xứng với điểm N(2 ; -1 ; 3) qua mp(P) Bài Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1 ; ; -1) đường thẳng d: x −1 y − z + = = 1 −3 a) Tìm hình chiếu vng góc H điểm A đường thẳng d b) Tìm điểm A’ đối xúng với điểm A qua đường thẳng d Bài Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) : x + 2z − = 0, ( β) : 5x − y − 2z − = Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d mp(P) : 2x – y + z – = Bài Cho đường thẳng d : x −1 y +1 z + = = mp(P) : x – 2y + 2z – = Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu song song d mp(P) x = 3t  theo phương ∆ :  y = −8t z = −1 + 13t  Bài Cho đường thẳng d1 giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) : y − = 0, ( β) : 2x − z − = d2 : x −1 y − z − = = −1 Viết phương trình đường thẳng d qua M(1 ; ; 0) cắt d1,d2  x = + 3t x−3 y+5 z−5  = = Bài Viết phương trình đường thẳng d cắt d1 :  y = − + 4t, d : z = + t  x + y +1 z −1 = = song song với ∆ : −2 x − y −1 z +1 = = d2 giao tuyến hai 2 mặt phẳng ( α ) : x + y + z + = 0, ( β) : x + y − z − = Bài Cho hai đường thẳng d : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 2;0) vng góc với d1 cắt d2 Bài Viết phương trình đường vng góc chung gai đường thẳng x = + t x −1 y − z +  d :  y = −3 + t d1 : = = z = + 3t  15 Bài 10 Cho A(1 ; ; 3), B(4 ; ; 5) Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) cho a) MA + MB nhỏ b) MA − MB lớn Bài 11 Cho A(-7; 4; 4), B(-6; 2; 3) mp(P): 3x – y – 2z + 19 = Tìm M ∈ ( P ) cho: a) MA + MB nhỏ b) MA − MB lớn x = − t  Bài 12 Cho A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) đường thẳng d:  y = −2 + t , t ∈ R z = t  a) Viết phương trình mp(P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn b) Viết phương trình mp(Q) chứa d tạo với mp(Oxy) góc nhỏ c) Viết phương trình mp(R) chứa đường thẳng d tạo với trục Oy góc lớn d) Trong số đường thẳng qua A cắt d, viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách từ B đến lớn nhất, nhỏ Bài 13 Cho điểm A(1; 1; -1), mp(P): x + y + z – = đường thẳng  x = −1 + t  d :  y = −1 + t z = −1 + t  a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, nằm mp(P) cho khoảng cách ∆ d lớn b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, nằm (P) cho góc ∆ d lớn nhất, nhỏ c) Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d khoảng cách từ A đến (Q) lớn d) Viết phương trình mp( α ) chứa đường thẳng d tạo với mp(P) góc lớn nhất, nhỏ Bài 14 Cho ba điểm A(0 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 1), C(4 ; ; 1) mp(P) có phương trình : x + y + z – = a) Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + 2.MB + MC đạt giá trị nhỏ b) Tìm điểm M (P) cho 2.MA + MB − 2MC đạt giá trị nhỏ x = + t  Bài 15 Cho họ đường thẳng ∆ m :  y = + (1 − m ) t z = + mt  ( t ∈ R) a) Tìm m để ∆ m tạo với trục hồnh góc bé nhất, lớn b) Tìm m để khoảng cách ∆ m trục Oy lớn 16 III Thực nghiệm 1) Kết thực tế giảng dạy Sau dạy cho học sinh nhận thấy em say mê có hứng thú học tập, khơng thấy vẽ lúng túng gặp số tốn hình nâng cao trước Bước đầu số em lúng túng phân tích tìm lời giải, sau số dạng, số ví dụ, em chủ động làm lên bảng trình bày lời giải, đưa nhiều cách giải khác Điều chứng tỏ em hiểu rõ chất hình học dạng tốn Kết kiểm tra, đánh giá Lớp Sĩ số < 5đ % 5-6,5 % 7-8,5đ % 9-10đ % 12A3 49 6,12 10 20,41 20 40,82 16 32,65 12A4 50 6,00 11 22,00 19 38,00 17 34,00 12A1 45 15,5 22 48,89 11 24,44 11,11 2) Kết trao đổi đề tài bạn đồng mơn trường Sau giảng dạy thấy có hiệu rõ rệt, chủ động trao đổi với nhóm học sinh đội tuyển HSG tốn số đồng nghiệp dạy khối 12 trường, nhận đồng tình, tán thành cao Một số đồng chí tổ sử dụng chuyên đề để dạy cho học sinh, kết : Đa số học sinh sau học tài liệu tự tin có hứng thú với tốn hình học giải tích Kết lần khẳng định tính hiệu cao, tính thiết thực đề tài PHẦN IV KẾT LUẬN Trên số kinh nghiệm q trình giảng dạy mơn hình học lớp 12, chương III – Phương pháp toạ độ không gian Đây chuyên đề quan trọng đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng Tôi tiến hành dạy cho học sinh lớp 12A3, 12A4, 12A12 trường THPT Lương Đắc Bằng đạt kết tốt, giúp em hệ thống kiến thức dạng tốn chương này, đơng thời nhớ lại dạng tốn hình học khác có liên quan Khơng dừng lại đó, mà qua việc phân dạng toán nêu phương pháp tìm lời giải hình thành số kĩ tư tìm lời giải tốn Tuy nhiên q trình phân dạng tốn chưa thể vét hết dạng tập phần này, hình thành tài liệu ơn luyện có hiệu cho học sinh 17 Qua nội dung trình bày tơi mong nhận góp ý, bổ sung đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2011 Người viết Nguyễn Phú Nam 18 ... nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2011 Người viết Nguyễn Phú Nam 18