6 mat cau, mat tru, mat non

chơng mặt cầu, mặt trụ, mặt nón A Kiến thức cần nhớ I Mặt cầu, khối cầu Diện tích mặt cầu Thể tích khối cầu Hình cầu với bán kính R, ta có kết quả: Diện tích mặt cầu S = 4R2  ThĨ tÝch khèi cÇu V  R3 DiƯn tÝch xung quanh cđa h×nh trơ  thĨ tích khối trụ Với hình trụ có bán kính đáy R đờng cao h, ta có kết quả: Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2Rh  ThĨ tÝch khèi trơ lµ V = R2h DiƯn tÝch h×nh nãn  thĨ tÝch khèi nãn Với hình nón có bán kính đáy R, đờng sinh l đờng cao h, ta có kết quả: Diện tích hình nón Sxq = Rl  ThĨ tÝch khèi nãn lµ V = R2h B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Dạng toán 1: Diện tích mặt cầu Thể tích khối cầu Phơng pháp Do đặc thù công thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu thực theo bớc: Bớc 1: Dựa vào giả thiết tính R Bớc 2: Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Chú ý: Thông thờng gặp yêu cầu sau thực đòi hỏi "Xác định tâm bán kính tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp khối đa diện" Thí dụ Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có ba kích thớc a, b, c Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu 67 Giải Với hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD, gọi R bán kính mặt cầu Ta có: D 1 C A 'A  AC2 R = A 'C = 2 B’ A’ 1 2 2 2 A 'A  AB  BC = a b c = D 2 C Khi đó, ta lần lỵt cã: A B �1 � 2 S = 4R2 = 4 � a2  b2  c2 � =   a  b  c  (®vdt) �2 � V= 4 �1 � R =  � a2  b2  c2 � =  3 �2 � a b 2  c2  (®vtt)  NhËn xét: Với mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cần lu ý: Điều kiện cần đủ để hình lăng trụ đứng có mặt cầu ngoại tiếp đáy có đờng tròn ngoại tiếp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng cách tất đỉnh đoạn R Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ trung điểm D C đoạn thẳng nối tâm đờng tròn A I1 B ngoại tiếp hai đáy cã thĨ ’ D O C coi nã lµ giao điểm mặt A I B phẳng trung trực cạnh bên với trục OO1 Bán kính mặt cầu đợc tính dựa theo hệ thức lợng tam giác tứ giác Thí dụ Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a chiều cao h a Xác tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tơng ứng 68  Gi¶i S a Dùng SH  (ABC), suy HA = HB = HC, tức H tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC M Trong SAH dựng đờng trung trực O SA cắt SH O, ta ®ỵc: A OA = OB = OC = OS H Mặt cầu (O, OS) ngoại tiếp tứ diện E Vì SMO SHA đồng dạng nên ta có: C SA OS SM SM.SA SA SH2  AH2 SA   OS = = = = SH SA SH 2SH 2SH SH B �a � 3h2  a2 h � �3 � � = = � � 6h 2h 3h2  a2 VËy, mỈt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (O, 6h ) b Ta lần lợt có: 2 3h2 a2 �  3h2  a2 4 � � S = 4R2 = (®vdt) � 6h � = 9h2 3 4 �3h2  a2 �  3h2  a2 V  R3 � = � 6h � (®vtt) �= 162h3      NhËn xét: Với mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cần lu ý: Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy có đờng tròn ngoại tiếp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách tất đỉnh đoạn R Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao trục đờng tròn ngoại tiếp đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên Bán kính mặt cầu đợc tính dựa theo hệ thức lợng tam giác tø gi¸c 69 a  S D A O C I B ThÝ dơ Cho tø diƯn ABCD cã AD = a vuông góc với mặt phẳng (ABC), ABC vuông B AB = b, BC = c a Xác tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tơng ứng Giải a Gọi O trung điểm CD, nhận xét r»ng: AD  (ABC)  AD  AC  ACD vuông A OA = OC = OD AD  BC � D  BC  (ABD)  BC  BD � AB  BC � O  BCD vuông B OB = OC = OD Vậy, mặt cầu (O, OA) ngoại tiếp tứ diện ABCD A C Ta lần lợt có: 2 2 2 2 CD = AD + AC = AD + AB + BC = a + b + c , B CD 2 a  b  c R = OA = = b Ta lần lợt có: 2 2 2 2�  a  b  c �2 � =   a  b  c  (®vdt) S = 4R2 = � � 3  4 �1 � V  R a2  b2  c2   � a  b2  c2 �  = �2 (®vtt) �=  NhËn xÐt: Nh vËy, víi tø diện ABCD sử dụng tính chất đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông để xác định đợc điểm O cách đỉnh tứ diện Dạng toán 2: Diện tích xung quanh hình trụ Thể tích khối trụ Phơng pháp Do đặc thù công thức tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ thực theo bớc: Bớc 1: Dựa vào gi¶ thiÕt tÝnh R, h Bíc 2: TÝnh diƯn tÝch xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ thể tÝch khèi trơ  70 Chó ý: Víi khèi trơ nội tiếp ngoại tiếp sử dụng định nghĩa hình trụ tính chất khối hình liên quan Thí dụ Một hình trụ T có bán kính đáy R chiều cao R a Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần cđa h×nh trơ T b TÝnh thĨ tÝch cđa khèi trụ giới hạn hình trụ T Giải a Ta lần lợt có: Sxq = 2R R = 2R2 (®vdt) Stp = Sxq + 2B = 2R2 + 2R2 = 2R2 b Ta cã ngay: V = R2.R = R3 (®vtt)    (®vdt)  NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ĩ thùc đợc yêu toán cần nhớ đợc công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ thể tích khối trụ Thí dụ Một mặt phẳng qua trục hình trụ (T), cắt hình trụ theo thiết diện hình vuông có diện tích a2 a TÝnh diƯn tÝch xung quanh vµ diƯn tÝch toµn phần hình trụ (T) b Tính thể tích khối trụ (T) Giải a Vì thiết diện qua trục hình vuông có diện tích a nên cạnh a từ suy hình trụ có bán kính đáy a vµ chiỊu cao b»ng a Ta cã ngay: a Sxq = 2 a = a2 (®vdt) 2 �a � 3a  a   �2 � = (®vdt) Stp = Sxq + 2B = �� b Ta cã ngay: 71 a3 �a � V =  � �.a = (®vtt) �2 � Nhận xét: Nh vậy, để thực đợc yêu toán trớc tiên cần xác định độ dài đờng cao bán kính đáy hình trụ Dạng toán 3: Diện tích xung quanh hình nón Thể tích khối nón Phơng pháp Do đặc thù công thức tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón thực theo bớc: Bớc 1: Dựa vào giả thiÕt tÝnh R, h, l Bíc 2: TÝnh diƯn tÝch xung quanh, diện tích toàn phần hình nón thể tÝch khèi nãn  Chó ý: Víi khèi nãn néi tiếp ngoại tiếp sử dụng định nghĩa hình nón tính chất khối hình liên quan Thí dụ Cho ABC vuông A, AB = a, AC = b Xét hình tròn xoay (N) sinh ABC quay quanh đờng thẳng AB Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần thể tích (N) Giải Hình tròn xoay (N) sinh ABC quay quanh đờng thẳng AB hình nón có thuộc tính: Bán kính đáy R = AC = b B  ChiÒu cao h = AB = a  §êng sinh l = BC = AB2  AC2 = a2  b2 Tõ ®ã, ta lần lợt có: C' C A Sxq = Rl = b a2  b2 (®vdt) Stp = Sxq + S® = Rl + R2 = b a2  b2 + b2 = b( a2  b2 + b) (®vdt) 1 V = R2h = b2.a(®vtt) 3  72 Nhận xét: Nh vậy, để thực đợc yêu toán trớc tiên cần xác định thuộc tính độ dài hình nón (bán kính đáy, chiều cao đờng sinh) Và công việc cuối cần nhớ đợc công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón thể tích khối nón Thí dụ Cắt mặt nón (N) mặt phẳng qua trục nó, ta đợc thiết diện tam giác vuông cân cạnh a Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần thể tích hình nón (N) Giải Giả sử thiết diện ABC vuông cân đỉnh A cạnh a, từ suy hình nón dã cho có thuộc tính: Bán kính đáy chiều cao R h BC  1.AB  a A 2  §êng sinh l = AB = a Từ đó, ta lần lợt có: C B a a2 H Sxq = Rl =  (®vdt) .a  2 Stp = Sxq + S®   2 �a � a  a2 = Rl + R =   � � �2 � 2 � � (®vdt) 1 �a � a a3 V = R2h =  �  (®vtt) � � 3 � 12 �2 �  Chó ý: Các em học sinh cần nhớ lại hai định nghĩa sau: Một mặt cầu gọi ngoại tiếp hình nón mặt cầu qua đỉnh hình nón qua đờng tròn đáy hình nón Hình nón nh gọi nội tiếp mặt cầu Một mặt cầu gọi nội tiếp tiếp xúc với mặt đáy hình nón tiếp xúc với đờng sinh hình nón Khi hình nón đợc gọi ngoại tiếp mặt cầu 73 Thí dụ Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R Nếu hình nón có chiều cao b»ng h TÝnh diƯn tÝch xung quanh vµ thĨ tích hình nón Giải Thiết diện qua trục hình nón SAB cân S Trong (SIA), dựng trung trực Mx đoạn SA cắt SI O Vậy, mặt cầu (O; OS) ngoại tiếp hình nón có bán kính đáy r đờng sinh l Dựa tính chất đồng dạng tam giác, ta cã: S SO SM 1   SO.SI = SA.SM = SA SA = SA SA SI 2 M O  SA = 2SO.SI  l = SA  2hR I B A Trong SAI, ta cã:  AI2 = SA2  SI2  r  AI  2hR  h2  h(2R  h) Từ đó, ta lần lợt có: Sxq = rl =  h(2R  h) 2hR = h 2R(2R  h) (®vdt) 1 V = r2h =  h(2R  h) h  h2 (2R h) (đvtt) 3 C Các toán chọn lọc Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC, đáy tam giác cạnh a, AA = b a Xác tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ b Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tơng ứng  Gi¶i B’ A’ a Gäi G, G’ theo thø tự trọng tâm ABC G E ABC O trung điểm GG C O Vì GG trục đờng tròn ngoại tiếp ABC ABC, ta có: B A OA = OB = OC, OA’ = OB’ = OC’, G E OA = OA’, C suy ra: OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC Mặt cầu S(O, OA) ngoại tiếp hình lăng trơ ®øng ABC.A’B’C’ 74 Trong OAG, ta cã: 2 �2 � �1 � OA = AG + OG = � AE � � GG'� = �3 � �2 � 2 2  a   b  a2 b2    =        a2 b2   OA = Vậy, mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.ABC (O, a2 b2 )  b Ta lÇn lỵt cã: � a2 b2 � �a2 b2 � S = 4R = 4 �  � = 4 �  �(®vdt) � 4� �3 � � � 3 4 � a2 b2 � 4 �a2 b2 � V  R =  �  �= �  � (®vtt) � 3 � �3 � � 4� VÝ dô 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh A, AB = a, AC = b, SA = c vuông góc với mặt phẳng (ABC) a Xác tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tơng ứng Giải a Vì ABC vuông A nên trung điểm I BC tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC, dựng Ix song song với SA Trong mặt phẳng (SA, Ix) dựng đờng trung trực SA cắt Ix O, ta đợc: OA = OB = OC = OS Mặt cầu S(O, OA) ngoại tiếp tứ diện Trong AMO vuông t¹i M, ta cã: S R = OA = MA  MO2 2 x  SA  �SA � �BC �  IA    M � � � =  2 = � �2 � �2 � O 2 2 2 A SA  AB  AC a  b  c B = = I 2 C Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tø diƯn SABC lµ (O, a  b  c ) b Ta lần lợt có: 75  �1 � 2 S = 4R = 4 � a2  b2  c2 � =  a  b  c (®vdt) �2 � 4 �1 � V = R3 =  � a2  b2  c2 � =  3 �2 � a b 2  c2 (đvtt) Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối D 2003): Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đờng thẳng () Trên () lấy hai điểm A, B AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với () AC = BD = AB a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Giải Bạn đọc tự vẽ hình a Nhận xét rằng: ACD vuông A CÂD = 900 BCD vuông B  CBˆD = 900 VËy, tø diÖn ABCD néi tiếp mặt cầu đờng kính CD Do đó: R= 1 CD = 2 AC  AD = AC  AB  BD2 = b Gọi H hình chiếu vuông góc A lªn BC, ta cã: a  AH  BC  AH  (BCD)  AH = d(A, (BCD))   AH  BD a Trong ABC vuông cân A, ta có AH = BC = 2 VÝ dơ 4: Cho h×nh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = SB = a a Xác tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tơng ứng Giải a Ta lần lợt: Gọi G trọng tâm SAB, vì: SA = SB = AB = a  SAB ®Ịu 76 S G M B I A D O C G tâm đờng tròn ngoại tiếp SAB Gọi O tâm hình vuông ABCD Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, ta có IG (SAB) IO (ABCD) Vậy, mặt cầu (I, IA) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có: R = IA = IG  AG = 2 �2 SA � = OM  � �3 � � � � 2 �AB � �SA � � �2 � � � � � � � � a2 a2 a 21 =  Ta lần lợt có: = b a 21 � 7a2 S = 4R = 4 � = (®vdt) � �6 � � � 4 �a 21 � 7a3 21 V  R3 =  � = (®vtt) � � 3 � 54 �6 � VÝ dơ 5: Cho tø diƯn ABCD víi AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a a Xác tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tơng ứng Giải a Gọi I, J theo thứ tự trung điểm AD BC, ta có nhËn xÐt: CAD = BDA (c.c.c)  IC = IB  IJ lµ trung trùc cđa BC ABC = DCD (c.c.c)  JA = JD  IJ lµ trung trùc AD Vậy, ta thấy AD BC có đoạn trung trùc chung IJ ta thùc hiÖn: D c2  b2 a2 a2 c2  b2  a2 IJ2 = AJ2  AI2 = =   4 I có: Gọi O tâm mặt cầu ngo¹i tiÕp tø diƯn SABC, ta O  O  IJ A B  2  OA OC J Đặt OI = x, ta biến đổi điều kiện OA = OC2 C thµnh: IA2 + IO2 = JC2 + JO2 77 2 2 � a2 a2 � c2  b2  a2  x2   �  x � x = c  b  a  � 4 � � � c2  b2  a2 a2 a2  b2  c2  R2 = OA2 = OI2 + IA2 = =  8 � a2  b2 c2 Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diƯn ABCD lµ �O, � � � � b Ta lần lợt có: a2 b2 c2 S = 4R = 4 � � � � (a2  b2  c2) �= (®vdt) � � 4 � a2  b2  c2 V  R3 = � 3 � � � � (®vtt) � � VÝ dơ 6: Mét khối trụ có bán kính đáy a , chiều cao 2a Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ Giải Gọi I trung điểm OO' Khi đó, khối cầu ngoại tiếp khối trụ có tâm I bán kính là: R = IA = OA  OI = �OO' � OA  � � �2 � A = 3a2  3a2 = a Do đó, ta đợc: 4 VCầu = R3 = ( a )3 = 8a3 (®vtt) 3 B O I O' A' B' VÝ dô 7: Cho hình chóp tứ giác SABC cạnh a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu (S) tiếp xúc với bốn mặt hình chóp Giải S Gọi G trọng tâm ABC, suy SG trục đờng tròn nội tiếp ABC Gọi M trung điểm AB I giao điểm đờng phân giác góc SMG với SO hạ IH C vuông góc với SM, suy ra: 78 I G A H M B IH = IG (1) Ta cã nhËn xÐt: �AB  GM  AB  (SGM)  AB  IH � �AB  SG  IH  (SAB)  IH = d(I, (SAB)) Vì I thuộc SG nên I cách mặt bên hình chóp Kết hợp với (1), ta kết luận mặt cầu (I; IG) tiếp xúc với bốn mặt hình chóp S.ABC Trong SGM, ta có: IG IS   IG.MS = MG(SG  IG)  (MS + MG)IG = MG.SG MG MS MG.SG  IG = (2) MS MG Trong đó, ta lần lỵt cã: 1a a MG = CM = = ; a2 a a SG = SC2  CG2 = a2  = ; SM = 3 Thay kết vào (2), ta đợc: a a = a R = IG = a a 12  Ví dụ 8: Cho mặt cầu bán kính R hình trụ có bán kính đáy R chiều cao 2R TÝnh tØ sè thĨ tÝch cđa khèi cÇu khối trụ Giải Ta lần lợt có: Khối cầu có bán kính R nên tích lµ: 4R3 V1 =  Khèi trơ cã bán kính đáy R chiều cao 2R nên có thĨ tÝch lµ: V2 = R2h = R2.2R = 2R3 Tõ ®ã, suy ra: 4R3 V1 = = V2 2R3 79 VÝ dơ 9: Cho h×nh trụ có chiều cao bán kính đáy Một hình vuông ABCD có cạnh a hai cạnh AB CD lần lợt hai dây cung hai đờng tròn đáy Mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy hình trụ a Tính chiều cao bán kính đáy hình trụ theo a b Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình trụ Tính thể tích khối trụ Giải a Giả sử hình trụ có bán kính đáy R th× cã chiỊu cao b»ng R Gäi C', D' theo thứ tự hình chiếu vuông góc C, D xuống đờng tròn (O), ta có: 2a2 a 10 2 2 2 R  R BD = BD' + DD'  2a = 4R + R   5 a VËy, h×nh trơ có bán kính đáy chiều cao a b Ta lần lợt có: D C 4a2 a 10 a 10 Sxq  2R.h  2 = (®vdt) 5 2 �a 10 � 8a2 4a  2 � �5 � � = (®vdt) D' Stp = Sxq + 2B = C' � � O �a 10 � a 10 2a3 10 V  R h   � � � � = (®vtt) 25 � � A B VÝ dơ 10: Mét khèi hép ch÷ nhËt néi tiÕp mét khèi trơ Ba kÝch thíc cđa khèi hộp chữ nhật a, b, c Tính thể tích khối trụ Giải Ta có ba trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu AA1 = a khối trụ cã chiÒu cao h = D C AA1 = a bán kính đáy là: B 1 2 A A 1B12  C1B12 = b c R = A1C1 = 2 D1 C1 Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi trơ lµ: V = R2h = (b2 + c2)a (®vtt) A1 B Trờng hợp 2: Nếu AA1 = b khối trụ cã chiỊu cao h = AA = b vµ bán kính đáy là: 80 1 2 A 1B12  C1B12 = a c A1C1 = 2 Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi trơ là: V = R2h = (a2 + c2)b (đvtt) Trờng hợp 3: Nếu AA1 = c khối trơ cã chiỊu cao h = AA = c bán kính đáy là: 1 2 A 1B12  C1B12 = a b R = A1C1 = 2 Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi trơ lµ V = R2h = (a2 + b2)c (đvtt) R= Ví dụ 11: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vuông Mặt phẳng () song song với trục hình trụ cắt theo thiÕt diƯn ABB1A1 BiÕt mét c¹nh cđa thiÕt diƯn dây cung đờng tròn đáy căng cung 1200 diện tích xung quanh hình trụ Tính: a Diện tích toàn phần hình trụ b Diện tÝch thiÕt diƯn ABB1A1 c ThĨ tÝch h×nh trơ d Thể tích hình lăng trụ n-giác nội tiếp hình trụ e Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ Giải Gọi R bán kính đáy a Ta cã: Sxq = 2R.OO1; Stp = 2R(R + OO1) Stp 2R(R  OO1) R 3  = = + = 1 =  Stp = 4 = 2R.OO1 OO1 Sxq 2 6 b Víi thiÕt diÖn ABB1A1 ta cã: �O B  1200 , A1B1 = 2R.sin1200 = R A 1 MỈt kh¸c, ta cã: 4 = Sxq = 2R.OO1 = 2R.2R  R =  A1B1 = Do ®ã, diƯn tÝch thiÕt diƯn lµ: S = A1B1.A1A = = (®vdt) c Ta cã V = R2h = 2R3 = 2 (®vtt) 81 d Gọi A1C1 cạnh n đa giác néi tiÕp h×nh trơ, suy �O C  2 A 1 n diện tích đáy hình lăng trụ bằng: nR2 Sn = n.SA O C = n R2.sin = sin (®vdt) n n A OB KÝ hiƯu S lµ diƯn tích đáy hình trụ, ta có: 2 nR 2 Sn Vn n.sin n.sin sin = =  = n n n O1 S V C1 2 2 R A1 B 2 2 2 V.n.sin 2.n.sin n.sin  Vn = (®vtt) n = n = n 2 e Đờng tròn lớn hình cầu ngoại tiếp hình trụ đờng tròn ngoại tiếp thiết diện qua trục, bán kính mặt cầu R C = R Từ đó, ta đợc: VC = R3C = (®vtt) 3 1 Ví dụ 12: Xét hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R mà diện tích thiết diện qua trục hình trụ lớn Tính: a Thể tích V diện tích toàn phần Stp hình trụ b Thể tích hình lăng trụ n-giác nội tiếp hình trụ c Thể tích hình lăng trụ n-giác ngoại tiếp hình trụ d Diện tích thiết diện song song với trục hình trụ cách trục khoảng R Giải Gọi O, O1 tâm hai đáy hình trụ, với thiết diện qua trục OO1 tơng ứng ABB1A1 Gọi O' trung điểm OO1, suy O' tâm mặt cầu cho Kí hiệu h, r lần lợt đờng cao, bán kính đáy hình trụ, diện tích thiết diƯn qua trơc lµ: Std = 2rh Ta cã: 82 A O B O’ A' O' B' h2 h2 4R2  h2  r2 = R2  r= 4 h2  4R2  h2 4R2  h2 h = h2(4R2  h2 )   Std = = 2R2 2 tøc lµ (Std)Max = 2R2, đạt đợc khi: R2 = O'A2 = r2 + h2 = 4R2  h2  h2 = 2R2  h = R  r = R2  2R2 = R h  2 a Ta cã: �R � R3 V = r h =  � = (®vtt) R � �2 � � � 2 Stp = Sxq + 2S® �R � R = 2rh + 2r = 2 R + 2 � �2 � �= � � 3R (®vdt) b Đáy hình lăng trụ n giác néi tiÕp h×nh trơ cã diƯn nr2 2 tÝch b»ng sin , thể tích hình lăng trụ b»ng: n �R � 2 nr2 2 2 nR3 2 Vl.t = sin 2r = nr3.sin = n� sin = sin � � � n n n n c Đa giác n cạnh ngoại tiếp đờng tròn đáy hình trụ có độ dài cạnh 2r.tan , nên diện tích đáy hình lăng trụ là: n S® = n .r.2r.tan = nr2.tan (®vdt) n n Khi đó, thể tích lăng trụn giác ngoại tiếp hình trụ là: R nR3     tan V = nr tan 2r = 2nr3.tan = 2n� tan = � �2 � n n n n (đvtt) d Giả sử thiết diện MNN 1M1 MNN1M1 hình chữ nhật Gọi I trung điểm MN, ta cã: R OI = ; IM = R2 = r  2 �R � R2 R =  � �2 � � � � VÝ dơ 13: Mét khèi tø diƯn ®Ịu c¹nh a néi tiÕp mét khèi nãn TÝnh thĨ tích khối nón 83 Giải Tứ diện ABCD, gọi G trọng tâm ABC D cao h Khối nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy R vµ chiỊu víi: a R = GA = C G A B � � a a h = SG = SA  GA = a2  � � = �3 � � � Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi nãn lµ: 1 �a � a a3 V = R2h =  � = (®vtt) � � 3 � 27 �3 � VÝ dụ 14: Cho ABC vuông A, AB = a, AC = b TÝnh thĨ tÝch cđa khèi trßn xoay sinh tam giác (kể điểm trong) A quay quanh đờng thẳng BC B I A' Giải C Hạ AI vuông góc với BC, ®ã: 1 1 V = V1 + V2 = AI2BI + AI2CI = AI2(BI + CI) = AI2BC 3 3 (1) Ta cã: BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2  BC  a2  b2 (2) 1 AB2.AC2 a2b2   AI    (3) AI AB2 AC2 AB2  AC2 a2  b2 a2b2 a2b2 Thay (2), (3) vào (1), ta đợc V =  2 a2  b2 = a b a2  b2 (®vtt) S VÝ dơ 15: Một hình nón có chiều cao h bán kính đáy r Hãy tính thể tích khối cầu nội tiếp hình nón M Giải Với hình nón đỉnh S có tâm I đáy, suy SI trục đờng tròn đáy Trong (SIA), dụng cắt SI O phân giác Ax góc SAI 84 A O I B Vậy, mặt cầu (O; OI) néi tiÕp h×nh nãn Trong SIA, ta cã: OI OS SI  OI    OI SI  AI  AI(SI  OI) AI AS SI  AI AI.SI 2  OI SI  AI  AI  AI.SI  OI  = SI  AI  AI   rh h2  r2  r � 4 rh Từ đó, ta đợc V R3 =  � � (®vtt) � 3 � h2  r2  r � � VÝ dơ 16: Mét h×nh nón có đờng sinh a góc đỉnh 900 Cắt hình nón mặt phẳng () qua đỉnh cho góc () mặt đáy cđa h×nh nãn b»ng 600 TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn Giải Giả sử SAC thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 60 Gọi M hình chiếu vuông góc O lên AC, suy SMO = 600 Trong SOM vuông O, ta cã: a SO a a SM = = = ; OM = SM = � sinSMO S sin60 Trong AOM vuông M, ta có: 2 a 2  a 6  = a   AM = OA  OM =         2 a 2a  AC = 3 Khi đó, diện tích thiết diện đợc cho bởi: 1 a 2a a2 S = SM.AC = = (®vdt) 2 3 A M O C B  AM = 85 ... � � 6h 2h 3h2 a2 Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (O, 6h ) b Ta lần lợt có: 2 �3h2  a2 �  3h2  a2 4 � � S = 4R2 = (®vdt) � 6h � = 9h2 3 4 �3h2  a2 �  3h2  a2 V  R3 � = � 6h �... 16: Một hình nón có đờng sinh a góc đỉnh 900 Cắt hình nón mặt phẳng () qua đỉnh cho góc () mặt đáy hình nón 60 0 Tính diện tích thiết diện Giải Giả sử SAC thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 60 ... chiếu vuông góc cđa O lªn AC, suy SMO = 60 0 Trong SOM vuông O, ta có: a SO a a SM = = = ; OM = SM = � sinSMO S sin60 Trong AOM vuông M, ta có: 2  a 2  a 6  = a   AM = OA  OM =    