Giải bài tập:
Bài 1:
Trong các số phức z thỏa mãn z + − + − −4 3i z 8 5i = 2 38
Tìm giá trị nhỏ nhất của z − −2 4i
A
1
2
B
5 2
Cách giải của bạn Phạm Minh Tuấn
Ta có:
z + − + − −i z i = ⇔ x+ + −y + x− + −y =
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
( ) ( )
2 2
≤ + + + − + − + −
Suy ra:
( ) (2 )2
z − − i = x− + y− ≥
MAX MIN SỐ PHỨC CAUCHY - BUNYAKOVSKY
MINKOWSKI
Trang 3Bài 2 – [Tác giả Phạm Minh Tuấn]
Cho số phức z thỏa mãn
z− − i =
, tìm z để biểu thức
2
P= +z − −z i
đạt giá trị lớn nhất
Giải
Ta có:
z − − i = ⇔ −x + y− =
Biểu diễn hình học của P: w2
2
X + − X i−
r 10000 100i+
Kết quả là: 40203⇒ =P 4x+2y+3
Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
( 2 2) 2 2
P= x+ y+ = x− + y− + ≤ + x− + −y +
− + − = =
→Đáp án là A
Trang 4Cho số phức z thỏa mãn
3 3
1 2
z z
+ ≤
Tìm max của
1
z z
+
Giải
Ta có:
3
3 3
3
+ = + + +
(Hằng đẳng thức)
Mặt khác, theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có: a b+ ≤ +a b
Do đó:
3
+ = + + + ÷≤ + + + ≤ + +
Đặt
1
x z
z
= +
, khi đó ta được:
x ≤ + x⇔ x − x− ≤
2
(x 2)(x 1) 0 x 2
Suy ra:
1 2
z
z
+ ≤
Vậy max
1
2
z
z
+ =
Trang 5Bài 4 – [Tác giả Phạm Minh Tuấn]
Cho các số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn
1 2 3
z z z = + i
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = z + z + z
A Pmin =1
B
min
1 3
C Pmin =3
D Pmin =2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
P≥ z z z
Mặt khác:
z z z = + i⇒ z z z = ⇒ z z z =
3
P
⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra khi z1 = z2 = z3 =1
Trang 6Cho 2 số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 + = +z2 8 6i
và z1 − z2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z1 + z2
A 5 3 5+
B 2 26 C 4 6 D 34 3 2+
Giải:
Công thức:
Áp dụng công thức trên ta có: 2 2 ( 2 2)
z + z + −z z = = z + z
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
2 26
MaxP
→Đáp án đúng là B
Trang 7Bài 6 – Câu 48 đề minh họa lần 3
Xét các số phức z thỏa mãn
z + − + − −i z i =
Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z− +1 i
Tính P m M= +
A 13+ 73
B
5 2 2 73
2 +
C 5 2 + 73
D
5 2 73 2
+
Giải:
Ta có:
z + − + − −i z i = ⇔ x+ + −y + − x + − y =
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho vế trái của đẳng thức phía trên, ta có:
VT ≥ x+ + − x + − + −y y = =VP
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x+2)(7− y) (= y−1)(4−x)
[ 2;43]
y x
x
= +
⇔ ∈ −
Suy ra:
2
z − + =i x + x+ = x+ + ≥
÷
Trang 8( ) (4) 73
(Tác giả: Phạm Minh Tuấn)