Max min

§ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT  NHỎ NHẤT TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa GIả sử hàm số f xác định tập hợp (   ) a)Nếu tồn điểm x0  cho f(x)  f( x0 ) x f( x0 ) gọi giá trị lớn hàm số f M= số M = , kí hiệu : maxf(x) D b)Nếu tồn điểm x0  cho f(x) ≥ f( x0 ) x = f( x0 ) gọi giá trị nhỏ hàm số f : m = số m , kí hiệu minf(x) D  Muốn chứng tỏ số M( m) giá trị lớn ( giá trị nhỏ ) hàm số f tập hợp cần rõ :  f(x) M ( f(x) ≥ m ) với a) x cho  x b) tồn điểm f( x0 ) = M ( f( x0 ) =m)  Quy ước : Khi nói giá trị lớn hay nhỏ f mà không nói trê ta hiểu giá trị lớn hay nhỏ f tập xác định Phương pháp  Cách : Hàm số liên tục [a; b] – Giải phương trình f’(x) = nghiệm x1; x2; ;xn[a;b] – Tính f(x1); f(x2); ; f(xn); f(a); f(b) – So sánh giá trị tìm minf(x) ; maxf(x) D D  Cách : D  [a; b] hàm số không liên tục / [a; b] Lập bảng biến thiên  Cách : Biện luận phương trình – Tìm điều kiện phương trình f(x) = y có nghiệm x[a; b] – Tập hợp giá trị miền giá trị f(x) [a;b]  Ngoài sử dụng phép biến đổi, đẳng thức,… bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki,… Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu đoạn [a; b] hàm số đồng biến nghịch biến đoạn Do f(x) đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đầu mút đoạn Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số liên tục / [a; b] |1| y = x3 – 3x2 [1; 3]  Hàm số xác định nên liên tục [1; 3] x  �[ 1; ] �  y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) ; ta có y’=  � x2 � y = y(3) = , m = y = y(2) = -4  y(2) = – 4; y(1) = – 2; y(3) = 0.Vậy: M = max [ 1; ] [ 1; ] f(x)  - x2 [–2; 2]  Hàm số xác định nên liên tục  - ;2  f'(x)  x - x2 Ta có f’(x) =  x =  [–2; 2]; 2  f(0) = 2; f(–2) = 0; f(2) = Do đó: - x  x = ± 2; max - x  x =0 [ 2;2] [ 2;2] (có thể lập bảng biến thiên hàm số f đoạn  - ;2 Từ bảng biến thiên , ta kết quả) Cách 2:  x   - ;2 , ta có :  x    x2   4  x2     - x2    - x2    f(x)  Ta lại có f(x) = với x =  f(x) = với x = - x2  x = ± 2; max - x  x = Do : [ 2;2] [ 2;2] y  x   x  Điều kiện  x �0 � 2 �x �2  Hàm số xác định nên liên tục D = [–2; 2]  1  y� x 4x  � 1 y� �x �0  �  x2  x � �  x2  x2  x2 � x �x y  y( 2) = 2; y  y(  2) =   y( 2)  2, y ( 2)  2, y (2)  Vậy max [ 1; ] [ 2;2] 2x  [0; 2]  D =  \ {–1}  Hàm số xác định nên liên tục [0; 2] x 1   0, x �[0 ; 2] Ta có y(0) = – ; y(2) =  y� ( x  1)2 Vậy: max y  y(2) = ; y  y(0) =  y= [0;2] y = x  sin2x [   y’ = – 2cos2x [ 0; ]     ; ]  Hàm số xác định nên liên tục [  ; ] 2 2 y�  �  2cos x  � cos2 x      � x  � +k  chọn x = �  [  ; ] 6 2         )  , y( )   , y(  )   , y( )  6 6 2 2     y  y( )  , m = y  y(  )   Vậy: M = max     2 2 [ ; ] [ ; ]  y(  2 2 (TN04) y = 2sinx  sin3 x [0; ]  Hàm số xác định nên liên tục [0; ]  Đặt t = sinx với x  [0; ]  t  [0; 1] Ta có y = 2t  t = g(t) 1 y�   4t , y �  �  4t  � t  � t  ( t �0) 2 g( )= 2 2 , g(0) = , g(1) = 3 2 1  t = � sin x  �x 2 m = y  ming = g(0) = t = � sin x  � x  �x   KQ: M = max y  max g = g( [0; ] [0;1] [0; ] )= [0;1] y = x  x  x  [–1; 1]  Hàm số xác định nên liên tục [–1;1] x 0 � y�  x  12 x  x , y �  � x[ x  x  2]  � � x � 1 � x  �[1;1] � y(0) = 1, y(1) = , y(  1)  10 KQ: M = max y  y() = 10 , m = y  y(0) = [ 1;1] Ví dụ 2: Tìm GTLN_GTNN hàm số có D ≠ [a; b] y  x  2x   BBT D=  2x  , y � 0  y� � 2x   � x  ng co� GTLN Min y = y(1) = Vậy: Kho� � y  4x  3x D=  y�  12x  12x = 12x2 (1 x)  Bảng biến thiên y�  � 12x2 (1 x)  � x  0,x  y = y(1) = ; Kho� ng co� GTNN Vậy: M =max � [ 1;1] y  x Ta co� :x+ 4 v�� i x > Ca� ch 1: A� p du� ng b�t Co� si cho hai so� d��ng x va� x x 4 �2۳ xΥ x x Da� u "=" xa� y � x = y , x (0;+ ) � x  � x  Va� y : M = max y  (0;+�) x Ca� ch : D  (0;�) y�  1 x , y�  � 1 x  � x2  � x  Bảng biến thiên Va� y : Kho� ng co� GTLN ; m =min y = y(2) = (0;�) y  x 3 x y�  3 x  TX� : D = (  �; 3] x 3 x Bảng biến thiên   3x 3 x , y�  �  3x  � x  Va� y : M =max y = y(2) = Kho� ng co� GTNN � x tre� n n�� a khoa� ng (2;3] x2 3 TX� : D = (2;3]; y�   0, v�� i x �(2;3] (x  2)2 y Va� y : Kho� ng co� GTLN ; m =min y = y(3) = (2;3] x  x  tre� n n�� a khoa� ng (  1;+�)  Bảng biến thiên x 1 TX�: D = (  1;+�) y y�  x  2x  �  x  2x  � ; y� (x  1)2 � x0 � x  2 � KQ: M =max y = y(0) = Kho� ng co� GTNN (1;�) Bài tập tự luyện Tìm GTLN : a/ y = x2 + 5x +6 Tìm GTNN : a/ y = (x+2)2 / x (x > 0) Tìm GTLN; GTNN : b/ y = 2x33x4 b/ y = x2 + 2/x (x > 0) a/ y = x3 + 3x29x+3 [–4; 4] b/ y = |x2+3x+2| [–10; 10] c/ y =  2x [–1;1] d/ y = x+sin2x [0; ] Chu vi hình chử nhật p = 36 Dựng hình chử nhật có diện tích lớn Trong hình chử nhật có diện tích 24, tìm hình có chu vi nhỏ 6.Tìm GTLN; GTNN : a/ y = x4  3x3  2x2 + 9x [2; 2] b/ y = 3x+ 10-x c/ y = (x+2) 4-x d/ y = (3x) x  / [0;2]