Mô hình qstate clock có thể mô tả sự tương tác của các spin gián đoạn trong mạng tinh thể hai chiều. Mô hình qstate clock đã được nghiên cứu nhiều từ khá lâu và các tác giả đã đưa ra nhận định chung là: i) với q ≤ 4 thì mô hình có 1 chuyển pha (là chuyển pha bậc 2); ii) với q > 5 thì mô hình có 2 chuyển pha (đều là chuyển pha KosterlitzThouless). Gần đây, mô hình qsatte clock model thu hút được nhiều chú ý, đặc biệt là những tranh luận xung quanh sự tồn tại hay không tồn tại chuyển pha KosterlitzThouless (KT) trong trường hợp q = 5. Dựa trên biểu hiện của đại lượng mô đun xoắn (helicity modulus) với q = 4, q = 5 và q = 6, Beak và cộng sự đã chỉ ra rằng tại q = 5 không có chuyển pha KT. Tuy nhiên, dựa trên đại lượng mô đun xoắn gián đoạn (discrete helicity modulus), Kumano và cộng sự lại chỉ ra trường hợp q = 5 có chuyển pha KT. Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi khảo sát sự chuyển pha của mô hình qstate clock thông qua độ dài tương quan (correlation length), binder ratio, nhiệt dung riêng bằng phương pháp mô phỏng Monter Carlo tại q = 4, q = 5 và q = 6. Các kết quả mô phỏng của độ dài tương quan và Binder ratio chỉ ra tại q =5 xuất hiện những biểu hiện giống với kết quả tại q = 6 và khác với kết quả tại q = 4. Nghĩa là, chuyển pha trong trường hợp q =5 là chuyển pha KT.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Tạ Thành Long NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH Q-STATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MƠ PHỎNG MONTE CARLO KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành: Vật lý kỹ thuật ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Tạ Thành Long NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MƠ HÌNH q-STATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MƠ PHỎNG MONTE CARLO KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành: Vật lý kỹ thuật Cán hướng dẫn: TS Đào Xuân Việt Cán đồng hướng dẫn: TS Đặng Đình Long LỜI CẢM ƠN Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô người giúp đỡ hồn thành khóa luận này! Lời cảm ơn xin gửi đến TS.Đào Xuân Việt – Viện Tiên tiến Khoa học Công nghệ, Đại học Bách Khoa Hà Nội TS Đặng Đình Long Khoa Vật lý kỹ thuật & Công nghệ nano người thầy hướng dẫn, bảo giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Thầy người định hướng cho biết hướng đề tài hướng dẫn cho bước thực công việc Thầy dành nhiều thời gian cho tơi tơi gặp khó khăn với q trình tính tốn để giúp tơi hiểu vấn đề, nhờ tận tình bảo thầy, tơi tìm giải pháp mang lại kết xác Tơi xin cảm ơn tới tồn thể thầy giáo cán trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung Khoa Vật lý kỹ thuật & Cơng Nghệ nano nói riêng, người giảng dạy, bảo tận tình chu đáo, giúp tơi có học bổ ích tích lũy kiến thức q báu q trình học tập nghiên cứu để hồn thành khóa luận, đồng thời hoàn thiện kiến thức tảng cho công việc học tập công tác sau Cuối xin cảm ơn tất người thân, gia đình bạn bè ln ủng hộ động viên tơi tơi thực khóa luận Xin chúc tất người mạnh khỏe đạt nhiều thành công sống! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Tạ Thành Long TÓM TẮT NỘI DUNG Mơ hình q-state clock mơ tả tương tác spin gián đoạn mạng tinh thể hai chiều Mơ hình q-state clock nghiên cứu nhiều từ lâu tác giả đưa nhận định chung là: i) với q ≤ mơ hình có chuyển pha (là chuyển pha bậc 2); ii) với q > mơ hình có chuyển pha (đều chuyển pha Kosterlitz-Thouless) Gần đây, mơ hình q-satte clock model thu hút nhiều ý, đặc biệt tranh luận xung quanh tồn hay không tồn chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) trường hợp q = Dựa biểu đại lượng mô đun xoắn (helicity modulus) với q = 4, q = q = 6, Beak cộng q = khơng có chuyển pha KT Tuy nhiên, dựa đại lượng mô đun xoắn gián đoạn (discrete helicity modulus), Kumano cộng lại trường hợp q = có chuyển pha KT Để làm rõ vấn đề này, khảo sát chuyển pha mơ hình q-state clock thơng qua độ dài tương quan (correlation length), binder ratio, nhiệt dung riêng phương pháp mô Monter Carlo q = 4, q = q = Các kết mô độ dài tương quan Binder ratio q =5 xuất biểu giống với kết q = khác với kết q = Nghĩa là, chuyển pha trường hợp q =5 chuyển pha KT Từ khóa: Chuyển pha, Kosterlitz-Thouless, mơ Monte Carlo, vật liệu từ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu tơi hồn tồn khơng có chép tài liệu, cơng trình nghiên cứu người khác mà khơng có thích rõ ràng mục tài liệu tham khảo Những kết số liệu khóa luận chưa cơng bố hình thức Tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước nhà trường cam đoan Hà Nội, ngày tháng Sinh viên Tạ Thành Long năm 2018 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Góc spin với trục hồnh vị trí nút mạng i C Nhiệt dung riêng E Năng lượng kB Hằng số Boltzmann KT Kosterlitz–Thouless L Kích thước mạng m Từ độ tuyệt đối N Số nút mạng, NMC Số bước mô 10 T Nhiệt độ tuyệt đối 11 T1 Chuyển pha nhiệt độ thấp 12 T2 Chuyển pha nhiệt độ cao 13 Tc Nhiệt độ chuyển pha Curie 14 TKT Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz–Thouless 15 Hamiltonian 16 Hằng số tương tác trao đổi 17 Tổng thống kê 18 Binder ratio 19 Mô đun xoắn (helicity modulus) 20 21 Chiều dài tương quan DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG BIỂU Hình 1.1 Sự tương tác spin với bốn spin lân cận hệ Ising hai chiều Chuyển pha mô hình Ising Hình 1.2 Hình 1.3 Cặp xốy (phải) phản xoáy (trái) trật tự spin Từ trái sang phải, số hướng spin mơ hình 2D ising, 2D qstate clock, 2D XY Bức tranh chuyển pha mơ hình q-state clock model Hình 1.4 Hình 1.5 Hình 1.6 Hình 2.1 Hình 2.2 Hình2.3 Kết mơ đun xoắn liên tục Baek cho hai trường hợp q = q = Kết mô đun xoắn gián đoạn Kumano cho hai trường hợp q = q = Các góc spin mơ hình q-state clock với giá trị q = Hình 3.1 Mơ đun xoắn thể tính liên tục kích thước vừa lớn, tính khơng liên tục kích thước vơ hạn Nhiệt dung riêng với kích thước khác trường hợp chuyển pha bậc hai (và trường hợp chuyển pha KT Từ độ với kích thước khác mơ hình Ising Hình 3.2 Hình 3.3 Hình 3.4 Hình 3.5 Hình 4.1 Hình 4.2 Hình 4.3 Hình 4.4 Hình 4.5 Hình 4.6 Hình 4.7 Hình 4.8 Năng lượng cấu hình theo số bước Monte Carlo Đồ thị biểu diễn phụ thuộc nhiệt dung riêng phụ thuộc vào nhiệt độ thông qua hai cách tính khác cho trường hợp q = 4, q = q = Binder ratio với kích thước khác mơ hình q-state clock model Chiều dài tương quan tỷ đối ξ/L phụ thuộc vào nhiệt độ với kích thước mạng khác mơ hình 2D XY mơ hình Ising Đại lượng mơ đun xoắn: kết mơ kết Kumano Mô đun xoắn với trường hợp q = 4, q = q = Đạo hàm mô đun xoắn với trường hợp q = 4, q = q = TKT phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) với các kích thước L = 16, 32, 64, 128 cho trường hợp q = (a), q = (b) Nhiệt độ chuyển pha TKT xác định theo công thức (4.1) Năng lượng với trường hợp q = 4, q = q = Kết mô nhiệt dung riêng kết nhóm O Borisenko cho trường hợp q = Nhiệt dung riêng với trường hợp q = 4, q = q = Kết mô từ độ tuyệt đối kết nhóm O Borisenko cho trường hợp q = Từ độ tuyệt trường hợp q = 4, q = q = Kết mô binder ratio kết nhóm O Borisenko cho trường hợp q = Binder ratio với trường hợp q = 4, q = q = Hình 4.9 Hình 4.10 Hình 4.11 Hình Đạo hàm binder ratio với trường hợp q = 4, q = q = 4.12 TKT với các kích thước L = 16, 32, 64, 128 phụ thuộc theo 1/L cho trường hợp Hình q = , phụ thuộc theo J=;;/l2 với l = ln(bL) q = 5, q = Nhiệt độ chuyển pha TKT 4.13 Hình (cho trường hợp q = q = 6) xác định theo công thức (4.1) nhiệt độ chuyển pha Tc (cho trường hợp q = 4) xác định theo công thức (4.2) Chiều dài tương quan tỉ trường hợp q = 4, q = q = 4.13 Hình 4.14 TKT (L) với giá trị R khác phụ thuộc theo 1/L cho trường hợp q = 4, phụ thuộc theo 1/l2 với L = ln(bL) cho kích thước L = 16, 32, 64, 128 q = 4, q = 5, q = Nhiệt độ chuyển pha TKT (cho trường hợp q = q = 6) xác định công thức (4.1), nhiệt độ chuyển pha Tc (cho trường hợp q = 4) xác định công thức (4.2) (c) Hình 4.2 Mơ đun xoắn với trường hợp (a) q = 4, (b) q = 5, (c) q = Đại lượng mô đun xoắn từ trước đến biểu cho T mơ hình 2D XY hay q-state clock [CITATION Seu101 \l 1033 ] Trong q trình mơ chúng tơi lựa chọn khoảng nhiệt độ rộng so với cơng trình nghiên cứu trước, phát dấu hiệu T1 mạng q = Dấu hiệu quan sát rõ ràng thông qua đạo hàm mô đun xoắn theo nhiệt độ (a) (b) (c) Hình 4.3 Đạo hàm mô đun xoắn với trường hợp (a) q = 4, (b) q = 5, (c) q = Dễ dàng quan sát thấy tron hình 13, xất hai đỉnh tương đương với hai chuyển pha trường hợp q = với q = q = có đỉnh, thu hẹp khoảng nhiệt độ quan sát, trường hợp q = khơng có biểu T2, với q = rõ ràng Trong cơng trình trước, phần đơng nhà khoa học công nhận q = có hai chuyển pha trường hợp q = [CITATION Seu101 \l 1033 ] q trình mơ này, mô đun xoắn thể chuyển pha T q = 6, với q = khơng có dấu hiệu Như quan điểm với Kumano [CITATION Yut13 \l 1033 ] , cho đại lượng mô đun xoắn không phù hợp sử dụng để phát chuyển pha cho mơ hình q-state clock Trong phần tiếp theo, đại lượng mà dấu hiệu chuyển pha rõ ràng sử dụng để chuyển pha mơ hình Theo lý thuyết tỉ lệ kích thước hữu hạn (Finite Size Scalling), chuyển pha KT, nhiệt độ chuyển pha TKT (∞) xác định thơng qua phụ thuộc kích thước L TKT(L) dựa theo công thức sau đây[ CITATION Yuk12 \l 1033 ]: (4.1) Sử dụng công thức (4.1) cho trường hợp q = q = Chúng thu kết sau: (a) (b) Hình 4.4 TKT phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) với các kích thước L = 16, 32, 64, 128 cho trường hợp q = (a), q = (b) Nhiệt độ chuyển pha TKT xác định theo cơng thức (4.1) Trong hình 21, chúng tơi vẽ ra: T KT (L) hàm 1/l2, với l = ln(bL) làm cho phù hợp với tham số b c mơ hình q-state clock chuẩn mạng hai chiều hình vng Kết tính tốn nhiệt độ chuyển pha trình bày bảng q TKT1 TKT2 - 1.015±0.001 0.621±0.003 0.8±0.1 Bảng 4.2 Xác định nhiệt độ chuyển pha mơ hình XYh3 cho giá trị q = 5, Các nhiệt độ chuyển pha thu tương ứng với chuyển pha KT (TKT) chuyển pha bậc (Tc) 4.2 Các đại lượng khác 4.2.1 Năng lượng nhiệt dung riêng Hình 14 miêu tả lượng phụ thuộc vào nhiệt độ cho kích thước mạng L=16,32,64 128,256 cho trường hợp q = 4, q = q = (a) (b) (c) Hình 4.5 Năng lượng với trường hợp (a) q = 4, (b) q = (c) q = Đối với q = 4, nhiệt độ chuyển pha, đường đồ thị có dạng gãy khúc, kích thước cao rõ ràng Đối với q = 6, hai điểm nhiệt độ chuyển pha quan sát thấy hai đỉnh, đường kích thước khác chồng chập lên hai đỉnh này, với q = có dấu hiệu Đối với nhiệt dung riêng, dấu hiệu nhiệt độ chuyển pha quan sát rõ ràng Hình 15 bao gồm hai kết nhiệt dung riêng phụ thuộc vào β () kết mô kết O.Borisenko[CITATION Ole10 \l 1033 ], qua so sánh chứng hai kết trùng khớp Hình 4.6 Kết mơ nhiệt dung riêng (trái) kết nhóm O Borisenko (phải) cho trường hợp q = Hình 4dưới miêu tả đại lượng phụ thuộc vào nhiệt độ cho kích thước mạng L = 16, 32, 64 128, 256 cho trường hợp q = 4, q = q = (a) (b) (c) Hình 57 Nhiệt dung riêng với trường hợp (a) q = 4, (b) q = (c) q = Dễ dàng quan sát thấy q = có đỉnh q = 5, q = có hai đỉnh xuất điểm nhiệt độ chuyển pha, thể số nhiệt độ chuyển pha trường hợp Giữa nhiệt độ chuyển pha đường với kích thước khác trùng Qua hai đồ thị lượng nhiệt dung riêng, ta khẳng định q = có chuyển pha có hai chuyển pha 4.2.2 Từ độ Chúng sử dụng kết O Borisenko [CITATION Ole10 \l 1033 ] để chứng minh cho kết từ độ tuyệt đối, thông qua so sánh thấy hai kết hình 17 trùng Hình 4.8 Kết mơ từ độ tuyệt đối (trái) kết nhóm O Borisenko (phải) cho trường hợp q = Các kết phụ thuộc từ độ tuyệt đối theo nhiệt độ cho trường hợp q = 4, q = 5, q = trình bày hình 4.10 (a) (b) (c) Hình 4.9 Từ độ tuyệt trường hợp (a) q = 4, (b) q = 5, (c) q = Đối với trường hợp q = 4, từ độ rơi xuống nhiệt độ chuyển pha, dấu hiệu kích thước cao rõ ràng, dấu hiệu chuyển pha bậc Trong với trường hợp q = 5, q = 6, từ độ tuyệt đối có hai đoạn dốc đứng khoảng hai nhiệt độ chuyển pha, với chuyển pha đầu tiên, đường kích thước khác có dấu hiệu phân kỳ, hai chuyển pha đường song song với nhau, sau chuyển pha thứ hai, đường lại hội tụ giảm 0, dấu hiệu rõ ràng cho chuyển pha KT, trường hợp q = liệu quan sát không rõ ràng chuyển pha trước hai nhiệt độ chuyển pha trường hợp khác gần 4.2.2 Binder ratio Hình 19 biểu diễn phụ thuộc theo β đại lượng Binder ratio gồm kết q trình mơ kết trước nhóm O Borisenko [CITATION Ole10 \l 1033 ], hai kết trùng khớp Hình 4.10 Kết mơ Binder ratio (trái) kết nhóm O Borisenko (phải) cho trường hợp q = [CITATION Ole10 \l 1033 ] Các kết phụ thuộc Binder ratio theo nhiệt độ cho trường hợp q = 4, q = 5, q = trình bày hình 20 (a) (b) (c) Hình 61 Binder ratio với trường hợp (a) q = 4, (b) q = 5, (c) q = Đối với trường hợp q = 4, đường kích thước khác cắt điểm nhiệt độ chuyển pha, với q = q = chuyển pha T2 Khi quan sát kỹ nhiệt độ thấp, quan sát thấy q = xuất dấu hiệu khác thường T1: xuất đoạn gấp phúc sau hội tụ dần Khi so sánh với trường hợp q = 5, thấy trường hợp q = có dấu hiệu Chúng tơi tính thêm đại lượng đạo hàm Binder ratio để thấy rõ dấu hiệu T2 nhận thấy T T2 đại lượng có biểu đỉnh, thơng qua đỉnh chúng tơi tính tốn nhiệt độ chuyển pha hai chuyển pha Các kết phụ thuộc Binderratio theo nhiệt độ cho trường hợp q = 4, q = 5, q = trình bày hình 21 (a) (b) (c) Hình 4.12 Đạo hàm Binder ratio với trường hợp (a) q = 4, (b) q = 5, (c) q = Dễ dàng quan sát thấy q = có dấu hiệu đỉnh q = 5, q = có dấu hiệu hai đỉnh Khác với đạo hàm mơ đun xoắn q = khơng có dấu hiệu T1, đạo hàm Binder ratio thể rõ ràng nhiệt độ chuyển pha Qua thấy đại lượng Binder ratio phù hợp để sử dụng cho việc đánh giá chuyển pha đại lượng q = 5, thấy q = có biểu giống với trường hợp q = Theo lý thuyết tỉ lệ kích thước hữu hạn (Finite Size Scalling), chuyển pha bậc hai, nhiệt độ chuyển pha Tc (∞) xác định thông qua phụ thuộc kích thước L TKT(L) dựa theo công thức sau đây[ CITATION Ins \l 1033 ]: (4.2) Với Sử dụng công thức (4.1) cho trường hợp q = 5, q = Và công thức (4.2) cho trường hợp q = Chúng thu kết sau: (a) (b) (c) Hình 4.13 TKT với các kích thước L = 16, 32, 64, 128 phụ thuộc theo 1/L cho trường hợp q = (a), phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) q = (b), q = (c) Nhiệt độ chuyển pha TKT (cho trường hợp q = q = 6) xác định theo công thức (4.1) nhiệt độ chuyển pha T c (cho trường hợp q = 4) xác định theo công thức (4.2) Trong hình 4.14, chúng tơi vẽ ra: T KT (L) hàm 1/l 2, với l = ln(bL) làm cho phù hợp với tham số b c Tc (L) hàm 1/L Kết tính tốn nhiệt độ chuyển pha trình bày bảng 4.3 q Tc 1.1361 ± 0.0004 TKT1 TKT2 - - - 0.913 ± 0.035 0.918 ± 0.016 - 0.71 ± 0.029 0.866 ± 0.013 Bảng 4.3 Xác định nhiệt độ chuyển pha mơ hình XYh3 cho giá trị q = 5, Các nhiệt độ chuyển pha thu tương ứng với chuyển pha KT (TKT) chuyển pha bậc (Tc) 4.2.2 Chiều dài tương quan Hình 22 miêu tả chiều dài tương quan phụ thuộc vào nhiệt độ cho kích thước mạng L=16, 32, 64, 128 256 cho trường hợp q = 4, q = 5, q = (a) (b) (c) Hình 4.14 Chiều dài tương quan tỉ trường hợp q = (a) , q = (b) q = (c) Các đường kích thước khác cắt nhiệt độ chuyển pha trường hợp q = dấu hiệu chuyển pha bậc Các đường trùng hai nhiệt độ chuyển pha phân kỳ hai phía dấu hiệu hai chuyển pha KT trường hợp q = 5, q = q=8 Đối với đại lượng quan sát rõ ràng trường hợp q = có biểu hồn tồn giống với trường hợp q = Sử dụng công thức (4.1) cho trường hợp q = 5, q = Và công thức (4.2) cho trường hợp q = Chúng thu kết sau: (a) (b) (c) Hình 4.14 TKT (L) với giá trị R khác nhau, phụ thuộc theo 1/L cho trường hợp q = (a), phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) q = (b), q = (c) Nhiệt độ chuyển pha TKT (cho trường hợp q = q = 6) xác định công thức (4.1), nhiệt độ chuyển pha Tc (cho trường hợp q = 4) xác định công thức (4.2) Trong hình 4.16 b 4.16 c, biễu diễn TKT (L) hàm 1/l2, với L = ln(bL) làm cho phù hợp với tham số b c, liệu với giá trị R khác phải chồng chất đường thẳng, tham số b phụ thuộc vào R Kết tính tốn nhiệt độ chuyển pha trình bày bảng 4.4 q Tc TKT1 TKT2 1.1353 ± 0.0001 - - - 0.9132 0.9379 - 0.7062 0.8996 Bảng 4.4 Xác định nhiệt độ chuyển pha mô hình XYh3 cho giá trị q = 5, q = Các nhiệt độ chuyển pha thu tương ứng với chuyển pha KT (TKT) chuyển pha bậc hai (Tc) KẾT LUẬN Chúng tiến hành mô thành cơng mơ hình q-state clock cho trường hợp q = 4, q = q = đại lượng tính so sánh với kết từ cơng trình nghiên cứu khác Sử dụng tối ưu thuật toán Metropolish Wolff cho phương pháp mơ Monte Carlo Q trình mơ đạt đến trạng thái cân trước đại lượng tính tốn kiểm chứng qua đại lượng nhiệt dung riêng Đối với q = 5, việc sử dụng đại lượng đạo hàm mơ đun xoắn để đưa vào tính tốn khơng có xuất chuyển pha T công nhận công trình trước[CITATION Seu101 \l 1033 ], chứng tỏ đại lượng không phù hợp để đánh giá chuyển pha mơ hình q-state clock với q = Bằng cách sử dụng đại lượng khác Binder ratio đạo hàm, chiều dài liên quan, thấy dấu hiệu chuyển pha cho trường hợp q = đại lượng giống với q = chứng minh có hai chuyển pha [CITATION Seu101 \l 1033 ] Chúng kết luận q = có hai chuyển pha KT TÀI LIỆU TRÍCH DẪN Tài liệu tiếng Việt [30] Lưu Bích Linh, Phạm Văn Tỉnh, Hồng Hà, Bùi Thị Tồn Thư, Nguyễn Vũ Cẩm Bình, Nguyễn Thị Huyền , Dương Xuân Núi, Trần Nho Thọ, Lương Minh Tuấn, Nguyễn Đức Trung Kiên, Đào Xuân Việt, "Chiều dài tương quan cho mơ hình 2D XY hệ vật liệu từ”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Lâm nghiệp”, số 20/10/2017, trang 109-116, 2017 Tài liệu tiếng Anh [1] S F M E a K K D Arndt, "2D Ising Critical Behavior at an Isomorphous Structural Phase Transition in C2F6 Monolayers Physisorbed on Graphite”, Physical Review Letters, vol 80, pp 1686-1689, 1998 [2] S T Bramwell, P C W Holdsworth and M T Hutchings, "Static and Dynamic Magnetic Properties of Rb2CrCl4: Ideal 2D-XY Behaviour in a Layered Magnet”, Journal of the Physical Society of Japan, vol 64, pp 3066-3071, 1995 [3] S Faßbender, M Enderle, K Knorr, J D Noh and H Rieger, "Evidence for Kosterlitz-Thouless-type orientational ordering”, PHYSICAL REVIEW B, vol 65, p 165411, 2002 [4] Thomas Ising, Reinhard Folk, Ralph Kenna, Bertrand Berche, Yurij Holovatch, "The Fate of Ernst Ising and the Fate of his Model”, https://arxiv.org/abs/1706.01764, 2017 [5] Brush, Stephen G., "History of the Lenz-Ising Modeul”, Rev Mod Phys., vol 39, p 883, 1967 [6] Wagner, N D Mermin and H., "Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models”, Phys Rev Lett, vol 17, p 1133, 1966 [7] Thouless, J M Kosterlitz and D J, "Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems”, Journal of Physics C: Solid State Physics, vol 6, p 1181, 1973 [8] Alexander Käser, Tobias Maier, Tobias Rautenkranz, "The 2D XY model”, https://quantumtheory.physik.unibas.ch/people/bruder/Semesterprojekte2007/p6/ind ex.html#XMerminWagner, 2017 [9] Jorge V José, Leo P Kadanoff, Scott Kirkpatrick, and David R Nelson, "Renormalization, vortices, and symmetry-breaking perturbations in the twodimensional planar model”, Phys Rev B , vol 16, p 1217, 1978 [10] Cardy, John L, "General discrete planar models in two dimensions: duality properties and phase diagrams”, J Phys A: Math Gen, vol 13, pp 1507-1515, 1980 [11] G Ortiz, E Cobanera, Z Nussinov, "Dualities and the phase diagram of the pclock model”, Nuc Phys B, vol 854, p 780, 2012 [12] Yuta Kumano, Koji Hukushima, Yusuke Tomita, and Masaki Oshikawa, "Response to a twist in systems with”, Phys Rev B, vol 88, p 104427, 2013 [13] Oleg Borisenko, Gennaro Cortese, Roberto Fiore, Mario Gravina, Alessandro Papa, "Numerical study of the phase transitions in the two-dimensional Z(5) vector model”, PhysRevE., vol 83, p 041120, 2010 [14] O Borisenko, V Chelnokov, G Cortese, R Fiore, M Gravina, A Papa, "The phase transitions in 2D Z(N) vector models for N>4”, PhysRevE.85.021114, vol 85, p 021114, 2012 [15] Hwang, Chi-Ok, "Six-state clock model on the square lattice: Fisher zero approach with Wang-Landau sampling”, Phys Rev E, vol 80, p 042103, 2009 [16] Cintia M Lapilli, Peter Pfeifer, and Carlos Wexler, "Universality Away from Critical Points in Two-Dimensional Phase Transitions”, Phys Rev Lett., vol 96, p 140603, 2006 [17] Seung Ki Baek, Petter Minnhagen, and Beom Jun Kim, "True and quasi-longrange order in the generalized”, Phys Rev E, vol 80, p 060101, 2009 [18] Minnhagen, Seung Ki Baek and Petter, "Non-Kosterlitz-Thouless transitions for the”, Phys Rev E, vol 82, p 031102, 2010 [19] A Faissal Brito, José Arnaldo Redinz and J A Plascak, "Two-dimensional XY and clock models studied via the dynamics generated by rough surfaces”, PHYSICAL REVIEW E, vol 81, p 031130, 2010 [20] Kotze, Jacques, "Introduction to Monte Carlo methods for an Ising Model of a Ferromagnet.”, https://arxiv.org/abs/0803.0217v1, 2008 [21] N Metropolis et al., "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines”, Journal of Chemical Physics, vol 21, no 6, p 1087–1092, 1953 [22] Davit P.Landau, Kurt Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics 4th., Cambridge: Cambridge University Press, 2015 [23] Urs Gerber, Wolfgang Bietenholz, Fernando G Rejón-Barrera, "New insight into the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless”, J Phys.: Conf Ser, vol 651, p 012010, 2015 [24] Ha Viet Anh, Nguyen Duc Trung Kien, Pham Thanh Huy, Dao Xuan Viet, "Monte Carlo Study of Room-Temperature Ferromagnetism in C-Doped ZnO”, IEEE Transactions on Magnetics, vol 50, no 6, 2014 [25] Ji, Jian-Bo ZhangDa-Ren, "Monte Carlo simulation of the q-state clock model on a two-dimensional random lattice”, Physics Letters A, vol 151, no 9, pp 469472, 1990 [26] "Simple Ising model magnetisation simulation”, https://www.triplespark.net/sim/isingmag/ [27] D Loison , "Binder's cumulant for the Kosterlitz-Thouless transition”, Journal of Physics: Condensed Matter, vol 11, pp 401-406, 1999 [28] Institut fur Theoretische Physik, Phase Transitions - Proseminar in Theoretical Physics, ETH Zurich [29] Kawamura, Dao Xuan Viet and Hikaru, "Monte Carlo studies of chiral and spin ordering of the three-dimensional Heisenberg spin glass”, Physical Review B, vol 80, p 064418, 2009 [31] Yukihiro Komura, Yutaka Okabe, "Large-scale Monte Carlo simulation of two-dimensional classical XY model using multiple GPUs”, Journal of the Physical Society of Japan, vol 81, p 113001, 2012 ... cứu để hồn thành khóa luận, đồng thời hồn thiện kiến thức tảng cho công việc học tập công tác sau Cuối xin cảm ơn tất người thân, gia đình bạn bè ủng hộ động viên tôi thực khóa luận Xin chúc tất... chuyển pha trường hợp q =5 chuyển pha KT Từ khóa: Chuyển pha, Kosterlitz-Thouless, mô Monte Carlo, vật liệu từ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu tơi hồn tồn khơng... Long LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô người giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận này! Lời cảm ơn xin gửi đến TS.Đào Xuân Việt – Viện Tiên tiến Khoa học Công nghệ, Đại học