NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH QSTATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO

Mô hình qstate clock có thể mô tả sự tương tác của các spin gián đoạn trong mạng tinh thể hai chiều. Mô hình qstate clock đã được nghiên cứu nhiều từ khá lâu và các tác giả đã đưa ra nhận định chung là: i) với q ≤ 4 thì mô hình có 1 chuyển pha (là chuyển pha bậc 2); ii) với q > 5 thì mô hình có 2 chuyển pha (đều là chuyển pha KosterlitzThouless). Gần đây, mô hình qsatte clock model thu hút được nhiều chú ý, đặc biệt là những tranh luận xung quanh sự tồn tại hay không tồn tại chuyển pha KosterlitzThouless (KT) trong trường hợp q = 5. Dựa trên biểu hiện của đại lượng mô đun xoắn (helicity modulus) với q = 4, q = 5 và q = 6, Beak và cộng sự đã chỉ ra rằng tại q = 5 không có chuyển pha KT. Tuy nhiên, dựa trên đại lượng mô đun xoắn gián đoạn (discrete helicity modulus), Kumano và cộng sự lại chỉ ra trường hợp q = 5 có chuyển pha KT. Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi khảo sát sự chuyển pha của mô hình qstate clock thông qua độ dài tương quan (correlation length), binder ratio, nhiệt dung riêng bằng phương pháp mô phỏng Monter Carlo tại q = 4, q = 5 và q = 6. Các kết quả mô phỏng của độ dài tương quan và Binder ratio chỉ ra tại q =5 xuất hiện những biểu hiện giống với kết quả tại q = 6 và khác với kết quả tại q = 4. Nghĩa là, chuyển pha trong trường hợp q =5 là chuyển pha KT.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Tạ Thành Long

NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH

Q-STATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ

PHỎNG MONTE CARLO

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY

Ngành: Vật lý kỹ thuật

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Tạ Thành Long

NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH

q-STATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ

Tôi xin cảm ơn tới toàn thể thầy cô giáo và các cán bộ của trường Đại học Côngnghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung và Khoa Vật lý kỹ thuật & Công Nghệnano nói riêng, những người đã giảng dạy, chỉ bảo tận tình và chu đáo, giúp tôi cónhững bài học bổ ích và tích lũy những kiến thức quý báu trong quá trình học tập vànghiên cứu để hoàn thành khóa luận, đồng thời hoàn thiện những kiến thức nền tảngcho công việc học tập và công tác sau này

Cuối cùng tôi xin cảm ơn tất cả người thân, gia đình và bạn bè đã luôn ủng

hộ và động viên tôi khi tôi thực hiện khóa luận này Xin chúc tất cả mọi ngườiluôn mạnh khỏe và đạt được nhiều thành công trong cuộc sống!

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Tạ Thành Long

TÓM TẮT NỘI DUNG

Mô hình q-state clock có thể mô tả sự tương tác của các spin gián đoạn trong mạng tinh thể hai chiều Mô hình q-state clock đã được nghiên cứu nhiều từ khá lâu và các tác giả đã đưa ra nhận định chung là: i) với q ≤ 4 thì mô hình có 1 chuyển pha (là chuyển pha bậc 2); ii) với q > 5 thì mô hình có 2 chuyển pha (đều là chuyển pha

Kosterlitz-Thouless) Gần đây, mô hình q-satte clock model thu hút được nhiều chú

ý, đặc biệt là những tranh luận xung quanh sự tồn tại hay không tồn tại chuyển pha

Kosterlitz-Thouless (KT) trong trường hợp q = 5 Dựa trên biểu hiện của đại lượng

mô đun xoắn (helicity modulus) với q = 4, q = 5 và q = 6, Beak và cộng sự đã chỉ ra rằng tại q = 5 không có chuyển pha KT Tuy nhiên, dựa trên đại lượng mô đun xoắn gián đoạn (discrete helicity modulus), Kumano và cộng sự lại chỉ ra trường hợp q = 5

có chuyển pha KT Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi khảo sát sự chuyển pha của

mô hình q-state clock thông qua độ dài tương quan (correlation length), binder ratio, nhiệt dung riêng bằng phương pháp mô phỏng Monter Carlo tại q = 4, q = 5 và q = 6 Các kết quả mô phỏng của độ dài tương quan và Binder ratio chỉ ra tại q =5 xuất hiện những biểu hiện giống với kết quả tại q = 6 và khác với kết quả tại q = 4 Nghĩa là, chuyển pha trong trường hợp q =5 là chuyển pha KT.

Từ khóa: Chuyển pha, Kosterlitz-Thouless, mô phỏng Monte Carlo, vật liệu từ.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của tôi và trong đóhoàn toàn không có sự sao chép tài liệu, công trình nghiên cứu của người khác màkhông có chú thích rõ ràng trong mục tài liệu tham khảo Những kết quả và các sốliệu trong khóa luận chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào Tôi hoàntoàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này

Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên

Tạ Thành Long

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

14 T KT Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz–Thouless

DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG BIỂU

Hình 1.1 Sự tương tác của một spin với bốn spin lân cận trong hệ Ising hai

chiều và Chuyển pha trong mô hình Ising

Hình 1.2 Cặp xoáy (phải) và phản xoáy (trái) và trật tự của các spin

Hình 1.3 Từ trái sang phải, số hướng khả dĩ của mỗi spin trong các mô hình 2D ising, 2D

q-state clock, 2D XY

Hình 1.4 Bức tranh chuyển pha của mô hình q-state clock model

Hình 1.5 Kết quả mô đun xoắn liên tục của Baek cho hai trường hợp q = 5 và q = 6

Hình 1.6 Kết quả mô đun xoắn gián đoạn của Kumano cho hai trường hợp q = 5 và q = 6

Hình 2.1 Các góc khả dĩ của spin trong mô hình q-state clock với giá trị q = 5

Hình 2.2 Năng lượng của mỗi cấu hình theo số bước Monte Carlo

Hình2.3 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung riêng phụ thuộc vào nhiệt độ thông

qua hai cách tính khác nhau cho các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6

Hình 3.1 Mô đun xoắn thể hiện tính liên tục ở kích thước vừa và lớn, tính

không liên tục ở kích thước vô hạn

Hình 3.2 Nhiệt dung riêng với các kích thước khác nhau của trường hợp

chuyển pha bậc hai (và trường hợp chuyển pha KT

Hình 3.3 Từ độ với các kích thước khác nhau của mô hình Ising

Hình 3.4 Binder ratio với các kích thước khác nhau của mô hình q-state clock model

Hình 3.5 Chiều dài tương quan tỷ đối ξ/L phụ thuộc vào nhiệt độ với các kích thước mạng

khác nhau của mô hình 2D XY và mô hình Ising

Hình 4.1 Đại lượng mô đun xoắn: kết quả mô phỏng và kết quả của Kumano

Hình 4.2 Mô đun xoắn với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6

Hình 4.3 Đạo hàm mô đun xoắn với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6

Hình 4.4 T KT phụ thuộc theo 1/l 2 với l = ln(bL) với các các kích thước L = 16, 32, 64, 128 cho

trường hợp q = 5 (a), q = 6 (b) Nhiệt độ chuyển pha T KT được xác định theo công thức (4.1).

Hình 4.5 Năng lượng với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6

Hình 4.6 Kết quả mô phỏng nhiệt dung riêng và kết quả của nhóm O Borisenko cho

trường hợp q = 5.

Hình 4.7 Nhiệt dung riêng với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6

Hình 4.8 Kết quả mô phỏng từ độ tuyệt đối và kết quả của nhóm O Borisenko cho

T KT với các các kích thước L = 16, 32, 64, 128 phụ thuộc theo 1/L cho trường hợp

q = 4 , phụ thuộc theo J=;;/l 2 với l = ln(bL) tại q = 5, q = 6 Nhiệt độ chuyển pha T KT (cho trường hợp q = 5 và q = 6) được xác định theo công thức (4.1) nhiệt độ

q = 6 Nhiệt độ chuyển pha T KT (cho trường hợp q = 5 và q = 6) được xác định

định bằng công thức (4.2).

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 2

1.1 Vật liệu từ hai chiều và mô hình 2

1.2 Hiện tượng chuyển pha của các mô hình trong mạng tinh thể vuông 2

1.2.1 Mô hình 2D Ising 2

1.2.2 Mô hình 2D XY 2

1.2.3 Mô hình 2D q-state clock 2

1.3 Tranh luận xung quanh trường hợp q = 5 của mô hình q-state clock 2

1.4 Lý do chọn đề tài 2

CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP 2

2.1 Mô hình 2

2.2 Phương pháp 2

2.2.1 Phương pháp Monte Carlo 2

2.2 Trung bình hóa và phương pháp lấy mẫu đơn giản 2

2.2 Thuật toán Metropolis 2

2.2.1 Phương pháp lấy mẫu quan trọng 2

2.2.2 Thuật toán Metropolis 2

2.2.3 Thuật toán Wolff 2

2.3 Các tham số mô phỏng 2

2.4 Kiểm tra cân bằng 2

CHƯƠNG 3: CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ 2

3.1 Mô đun xoắn (Helicity modulus 2

3.2 Năng lượng 2

3.3 Nhiệt dung riêng 2

3.4 Từ độ 2

3.4 Binder ratio 2

3.5 Chiều dài tương quan (correlation length) 2

2

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ 2

4.1 Mô đun xoắn 2

4.2 Các đại lượng khác 2

4.2.1 Năng lượng và nhiệt dung riêng 2

4.2.2 Từ độ 2

4.2.2 Binder ratio 2

4.2.2 Chiều dài tương quan 2

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN 2

Tài liệu tham khảo 2

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

1.1 Vật liệu từ hai chiều và mô hình.

Vật liệu từ hai chiều có thể được mô tả bằng các mô hình lý thuyết, mỗi mô hình baogồm các spin nằm trong một mạng tinh thể hai chiều với mỗi spin tương tác với cácspin xung quanh nó Thông qua những mô hình lý thuyết này, chúng ta có thể nghiêncứu các tính chất liên quan đến pha và hiện tượng chuyển pha cuả các vật liệu từ haichiều Những mô hình hai chiều nổi tiếng có thể kể đến như mô hình Ising hai chiều

(2D Ising), mô hình XY hai chiều (2D XY) và mô hình state clock hai chiều (2D

q-state clock)

Một số vật liệu có thể được mô tả bằng các mô hình lý thuyết nêu trên:

 Đơn lớp C2F6 hấp phụ vật lý trên graphite đã được mô tả bằng mô hình 2DIsing trên mạng tinh thể tam giác, có biểu hiện của chuyển pha bậc hai[ CITATION DAr98 \l 1033 ]

 Rb2CrCl4 có những dấu hiệu của chuyển pha Kosterlitz-Thouless trên môhình 2D XY [ CITATION STB95 \l 1066 ]

 Đơn lớp CF3Br hấp phụ vật lý trên graphite có dấu hiệu của hai chuyển pha

pha Kosterlitz-Thouless Thông qua mô phỏng trên mô hình 2D q-state clock với q =6 trên mạng tinh thể tam giác [ CITATION SFa02 \l 1033 ]

1.2 Hiện tượng chuyển pha của các mô hình trong mạng tinh thể vuông.

1.2.1 Mô hình 2D Ising

Đây là mô hình đơn giản và cũng là mô hình nổi tiếng nhất, mô hình Ising đưa rabởi Wilhelm Lenz vào năm 1920, trường hợp một chiều được giải bởi Earnst Isingvào năm 1924 [ CITATION Tho17 \l 1033 ] Mỗi nút mạng trong mô hình Ising chứamột spin có hai chiều duy nhất là lên và xuống Mỗi spin tương tác với các spin xungquanh, đối với mô hình 2D Ising trong mạng tinh thể vuông, một spin tương tác vớibốn spin xung quanh nó (hình 1.1a) Năm 1944 Lars Onsager đã đưa ra lời giải chínhxác cho mô hình 2D Ising với trường hợp không có từ trường ngoài Mô hình 2DIsing cho hệ vật liệu từ gồm có hai pha là pha sắt từ và pha thuận từ (hình 1.1b), giữahai pha này tồn tại một chuyển pha bậc hai [CITATION STE67 \l 1033 ]

Mô hình 2D Ising phù hợp để mô tả các chất có phân cực mạnh, khi mà cácspin chỉ có duy nhất hai hướng lên và xuống Để mô tả các chất có phân cực yếu hơnđòi hỏi các mô hình có số hướng spin khả dĩ lớn hơn hai, hai mô hình phổ biến trong

trường hợp này là mô hình 2D XY và mô hình 2D q-state clock.

(a) (b)

Hình 2.1 : a, Sự tương tác của một spin với bốn spin lân cận trong hệ Ising hai chiều

b, Chuyển pha trong mô hình Ising

1.2.2 Mô hình 2D XY

Mô hình 2D XY tương tự mô hình 2D Ising nhưng số hướng khả dĩ của mỗispin là vô cùng thay vì hai hướng, spin của mô hình 2D XY có tính chất liên tục Môhình 2D XY mới đầu được chứng minh không có chuyển pha bởi Mermin andWagner vào năm 1966 [CITATION NDM66 \l 1033 ] Hai nhà khoa học đã chỉ rarằng mô hình này không tồn tại chuyển pha nào tại nhiệt độ hữu hạn Vào đầu nhữngnăm 1970, hai nhà khoa học J M Kosterlitz and D J Thouless đã chỉ ra mô hình 2D

XY tồn tại một chuyển pha mới giữa pha mất trật tự (paramagnetic) và pha giả trật tự(quasi-long-range order), đặt tên là chuyển pha Kosterlitz–Thouless (KT), thành côngcủa họ được ghi danh bằng giải Nobel vật lý năm 2016[CITATION Tho73 \l 1033 ]

Hình 1.2 Cặp xoáy (phải) và phản xoáy (trái) và trật tự của các spin.

Trong pha giả trật tự xuất hiện các cặp xoáy và phản xoáy trong vùng nhiệt độ thấp,trong pha mất trật tự xuất hiện các đơn xoáy trong vùng nhiệt độ cao Hai pha nàyđều là những pha mất trật tự nhưng hàm tương quan (correlation function) (3.6) củahai pha này lại khác nhau Pha mất trật tự thì hàm tương quan giảm theo quy luật hàm

mũ, còn pha giả trật tự thì hàm tương quan giảm theo quy luật hàm lũythừa[ CITATION Ale17 \l 1033 ] :

1.2.3 Mô hình 2D q-state clock

Spin của mô hình 2D Ising chỉ có hai hướng khả dĩ , spin của mô hình 2D XY có

số hướng vô hạn thì spin của mô hình 2D q-state clock có q hướng hữu hạn ( 2 ≤ q<∞),các hướng này cách đều nhau một góc 2 π q Mô hình 2D q-state clock như một mô

hình trung gian giữa hai mô hình 2D Ising và 2D XY Hình 1.3 dưới đây mô tả các

mô hình sắp xếp theo chiều tăng dần của số spin khả dĩ từ trái sang phải

Hình 1.3 Từ trái sang phải, số hướng khả dĩ của mỗi spin trong các mô hình: 2D ising (hai

hướng), 2D q-state clock với q = 4 (bốn hướng), 2D q-state clock với q = 5 (năm hướng), 2D

XY (số hướng spin khả dĩ là vô cùng)

2D Ising có chuyển pha bậc 2, 2D XY có chuyển pha KT, q-state clock là mô hình trung gian giữa 2 mô hình, vậy bức tranh chuyển pha của q-state clock như thế

nào?

Về mặt lý thuyết giải tích, năm 1977 Kadanoff và các cộng sự đã chỉ ra rằng q ≤ 4 chỉ

có một điểm chuyển pha giữa pha mất trật tự và pha trật tự, giống với chuyển pha của

mô hình Ising Ông đưa ra thêm ý kiến rằng với q ≥ 5 thì mô hình có hai chuyển pha,

nhưng không nói rõ là chuyển pha nào [CITATION Jor78 \l 1033 ] Năm 1980, John

L Cardy cho rằng cả hai chuyển pha của mô hình q-state clock model đều là chuyển

pha KT [CITATION Joh80 \l 1033 ] Như vậy, các kết quả cho thấy q ≤ 4 thì mô hình

chỉ có chuyển pha bậc 2, q ≥ 5 mô hình có hai chuyển pha KT Hình 1.4 mô tả bức tranh chuyển pha của mô hình q-state clock model Khi 2 ≤ q ≤ 4, mô hình tồn tại

chuyển pha bậc 2, q = 5 chỉ xác định được rằng có hai chuyển pha, 5 ≤ q ≤ ∞ mô hình

tồn tại 2 chuyển pha KT và khi q tiến đến ∞ ,mô hình trở thành mô hình 2D XY vàchỉ tồn tại một chuyển pha[ CITATION GOr12 \l 1033 ]

Về mặt mô phỏng, có nhiều tranh luận lớn xung quanh mô hình q = 5, đây là

ranh giới giữa các trường hợp có chuyển pha bậc 2 và các trường hợp có chuyển pha

KT Hai luồng ý kiến trái chiều xoay quanh câu hỏi: q = 5 có chuyển pha KT hay

không?

Hình 1.4 Bức tranh chuyển pha của mô hình q-state clock model

1.3 Tranh luận xung quanh trường hợp q = 5 của mô hình q-state clock.

Phần lớn các nhà khoa học cho rằng trường hợp q = 5 của mô hình q-state

clock có hai chuyển pha Kosterlitz–Thouless, chuyển pha ở nhiệt độ thấp (T1) làchuyển pha giữa pha trật tự và pha giả trật tự, chuyển pha ở nhiệt độ cao (T2) làchuyển pha giữa pha giả trật tự và pha mất trật tự [CITATION GOr12 \l 1033 ][CITATION Yut13 \l 1033 ][ CITATION Ole10 \l 1033 ], trong đó có nhóm của O

Boerisenko, kết quả của nhóm ủng hộ quan điểm rằng với q ≥ 5 mô hình tồn tại ba

pha, pha trật tự ở nhiệt độ thấp, pha mất trật tự ở nhiệt độ cao và pha giả trật tự ởgiữa hai pha trên [ CITATION OBo12 \l 1033 ]

Tuy nhiên vẫn có nhiềutranh luận xung quanh bản chất của chuyển pha này đặc biệt

là xung quanh đại lượng mô đun xoắn (xem phần 3.1), mô đun xoắn được định nghĩa

là đạo hàm bậc hai của năng lượng tự do, có thể dùng để chỉ thị cặp xoáy kép xuấthiện trong mô hình, đại lượng này tiến về 0 khi các cặp xoáy kép tách nhau ra trong

chuyển pha KT Trong các công trình nghiên cứu phản đối trường hợp q = 5 có hai

chuyển pha KT [CITATION Chi09 \l 1033 ][CITATION Cin06 \l 1033 ][CITATIONSeu09 \l 1033 ], đáng chú ý nhất là công trình của Baek và Minhagen , hai nhà khoahọc cho rằng đại lượng mô đun xoắn không tiến về 0 trong pha ở nhiệt độ cao nênchuyển pha tại T2 không phải là chuyển pha có dạng KT Để đưa thêm bằng chứng,

Baek và đồng nghiệp so sánh biểu hiện của đại lượng này giữa hai mô hình q = 5 và

q = 6 được đưa ra ở hình 1.5 [CITATION Seu101 \l 1033 ]

Hình 1.5 Kết quả mô đun xoắn liên tục của Baek cho hai trường hợp q = 5 (trái) và q = 6 (phải)

[CITATION Seu101 \l 1033 ]

Dễ dàng quan sát thấy mô đun xoắn tại q = 5 không tiến về giá trị 0 mà chỉ giảm đến một giá trị hữu hạn, khác với trường hợp tại q = 6 khi mà đại lượng này tiến về giá trị

0 Nhóm của Baek đã đưa ra kết luận q = 5 không có chuyển pha KT.

Tuy nhiên Kumano và đồng nghiệp cho rằng định nghĩa mô đun xoắn mà Baek cùngcộng sự sử dụng cho mô hình này không phù hợp với hệ có các spin gián đoạn vànhóm đưa ra định nghĩa mô đun xoắn dành riêng cho các hệ này Để tính mô đunxoắn, mỗi một spin sẽ được xoắn một góc nhất định (twist angles) Mô đun xoắn mànhóm của Baek sử dụng có góc xoáy phụ thuộc vào tọa độ x của spin đó, còn với

“mô đun xoắn gián đoạn” (discrete helicity modulus) được định nghĩa bởi nhóm củaKumano, góc xoáy là bội nguyên lần của 2 π q và kết quả mô phỏng cho thấy mô đun

xoắn này có tiến về giá trị 0 với trường hợp ba pha của q = 5 [CITATION Yut13 \l

1033 ] Kết quả của mô đun xoắn của Kumano được trình bày ở hình 1.6

Hình 1.6 Đại lượng mô đun xoắn gián đoạn của Kumano cho hai trường hợp q = 5 (trái) và q = 6

(phải) [CITATION Yut13 \l 1033 ]

Cũng như nhóm của Baek với “mô đun xoắn liên tục”, Kumano và cộng sự so sánh

biểu hiện giữa hai trường hợp q = 5 và q = 6, chỉ ra rằng đại lượng mô đun xoắn dành riêng cho hệ này có những biểu hiện giống nhau trên cả trường hợp q = 5 và q

= 6 và đi đến kết luận q = 5 cũng có hai chuyển pha KT như q = 6.

1.4 Lý do chọn đề tài.

Cả lý thuyết và mô phỏng đều đã công nhận mô hình q-state clock với q ≥ 5 có hai chuyển pha và q > 5 thì hai chuyển pha đó là chuyển pha KT Với trường hợp q =

5, đã có hai luồng ý kiến trái chiều về quan điểm này Trong đó có ý kiến cho rằng

hai chuyển pha của trường hợp q = 5 không phải là chuyển pha KT từ nhóm của Baek dựa trên đại lượng mô đun xoắn có biểu hiện không giống nhau ở q = 5 và q =

6, tuy nhiên ý kiến phản biện của Kumano và cộng sự cho rằng đại lượng này không

phù hợp cho mô hình q-state clock và nhóm của Kumano định nghĩa đại lượng mô đun xoắn riêng cho hệ này, kết quả của nhóm cho thấy biểu hiện mô đun xoắn tại q =

5 và q =6 là giống nhau.

Như vậy q = 5 có hai chuyển pha KT hay không [CITATION Two10 \l 1033 ] Để làm rõ thêm cũng như tìm câu trả lời cho trường hợp đặc biệt của mô hình q-state clock, chúng tôi tiến hành nghiên cứu các hiện tượng chuyển pha của mô hình q-state clock với q = 4, 5, 6 bằng mô phỏng sử dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng phương pháp Monte Carlo và tính toán cácđại lượng vật lý như là: năng lượng, nhiệt dung riêng, từ độ, mô đun xoắn và đạohàm, chiều dài tương quan, Binder ratio và đạo hàm

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP

2.1 Mô hình.

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu mô hình q-state clock trong mạng hai chiều

hình vuông được định nghĩa bởi Hamiltonian sau đây [CITATION Seu101 \l 1033 ]:

- J là hằng số tương tác trao đổi giữa các spin.

Với giá trị q bất kỳ, mỗi spin sẽ có q giá trị khả thi tương đương với q góc cách đều

nhau : 0, 2 π q , 2 π q (q - 1) Với q = 1, mô hình trở thành mô hình Ising (spin có 2 giá trị) ; q = ∞, mô hình trở thành mô hình 2D XY (giá trị của spin có thể là bất kỳ giá trị

nào)

Hình 2.1 Các góc khả dĩ của spin trong mô hình q-state clock với giá trị q = 5

2.2 Phương pháp.

2.2.1 Phương pháp Monte Carlo

Thuật ngữ “Mô phỏng Monte Carlo” ám chỉ bất kỳ mô phỏng nào sử dụng các

số ngẫu nhiên trong thuật toán mô phỏng Về cơ bản, cách tính toán của Monte Carlo

sử dụng một cách chặt chẽ các biến ngẫu nhiên, một quá trình ngẫu nhiên đặc trưngbởi một quá trình ngẫu nhiên khác thay đổi theo thời gian Vì vậy nó phù hợp để môphỏng các hệ mà trong đó xảy ra các quá trình ngẫu nhiễn.

Trong vật lý thống kê, khi mà mục đích chính là mô tả chính xác nhất có thể nhữngtính chất vĩ mô của một hệ vĩ mô dựa vào những đặc tính vi mô của những hạt cấutạo nên hệ, vì vậy ta phải tính được biểu thức hàm Hamilton của hệ nhưng điều này làkhông khả thi vì chỉ có thể tính gần đúng hàm Hamilton và hệ vĩ mô không bao giờ ởtrạng thái hoàn toàn dừng mà lại thay đổi theo thời gian Như vậy để tính toán đượcgần đùng chúng ta phải dùng phương pháp thống kê để tính những thăng giáng gây ra

do sự không ổn định về mặt vi mô của hệ Vì vậy, chúng ta có thể sử dụng phươngpháp Monte Carlo tạo ra các số ngẫu nhiên để biểu diễn cho những thăng giáng này,nếu coi mỗi bước Monte Carlo như một đơn vị thời gian, chúng ta có thể lấy mẫutương tự việc lấy trung bình thời gian dọc theo một quỹ đạo ngẫu nhiên của khônggian pha

2.2 Trung bình hóa và phương pháp lấy mẫu đơn giản.

Trung bình nhiệt của một đối tượng quan sát được A(x) được xác định bởi công

Xác suất này biểu thị khối lượng thống kê chính xác cấu hình x thể hiện ở trạng thái

cân bằng nhiệt động Nếu chúng ta chỉ tính trung bình nhiệt thông qua một giới hạn

M trong không gian pha, trung bình sẽ có dạng:

hưởng đến thời gian hoàn thành và độ chính xác Vì vậy cần một phương pháp lấymẫu hiệu quả hơn, tập trung vào những vùng quan trọng trong không gian pha.

2.2 Thuật toán Metropolis.

2.2.1 Phương pháp lấy mẫu quan trọng.

Khi sử dụng phương pháp lấy mẫu quan trọng, phần không gian mẫu được thuhẹp lại, nâng cao hiệu suất cũng như khoảng thời gian tính toán Nếu chúng ta sử dụng các điểm có tọa độ ngẫu nhiên x l gắn liền với xác suất P(x¿¿l)¿ trong không gian pha Phương trình (2.4) sẽ trở thành:

2.2.2 Thuật toán Metropolis

Bằng cách sử dụng một quá trình Markov, Metropolis và các cộng sự đã nghĩ

ra ý tưởng về việc mỗi trạng thái x l+1 được tạo ra từ trạng thái x l trước đó thông quaxác suất chuyển phù hợp W (x¿¿l → x l+1)¿[CITATION NMe53 \l 1033 ] Như vậy nếucoi các trạng thái x l trong không gian pha là các điểm ngẫu nhiên trong ví dụ trên, thìhình chữ nhật B chính là phân bố P(x¿¿l)¿ ∝ e−βH (x l) Phương trình cân bằng của quátrình chuyển đổi được đưa ra như sau[CITATION Jac08 \l 1033 ]:

Phương trình trên quy định rằng ở trạng thái cân bằng về nhiệt, tồn tại một xác suấtbằng nhau giữa x l → x l ' và x l ' → x l Tỉ lệ giữa xác suất W(x l → x l ') và xác suất nghịchđảo của nó W(x l ' → x l) phụ thuộc vào ∆ H =H(x l ')−H (x l):

W(x l → x l ')

W(x l ' → x l)=e

−β ∆ H

(2.8) Quá trình x l → x l ' thông thường là từ trạng thái có năng lượng cao đến trạng thái cónăng lượng thấp, tuy nhiên có những trường hợp đặc biệt khi mà chuyển từ trạng thái

năng lượng thấp đến trạng thái năng lượng cao, xác suất W(x l → x l ')được quy định nhưsau:

W(x l → x l ')={ e−β ∆ H nếu ∆ H >0

1trong các trường hợp còn lại

Như vậy xác suất chuyển đối W(x l → x l ')có phân bố P(x¿¿l)¿ của các trạng thái đãđược xác định sử dụng quá trình Markov có xu hướng tiến đến phân bố cân bằng

Sự thay đổi của phân bố xác suất theo thời gian được điều chỉnh bằng phương trìnhMarkovian Master:

Bước 4: Tạo một số ngẫu nhiên r thỏa mãn điều kiện 0 < r < 1

Bước 5: Nếu r < exp (−∆E / kBT), chấp nhận sự đổi hướng.

Bước 6: Chuyển đến vị trí tiếp theo và quay lại bước 3

2.2.3 Thuật toán Wolff

Được đặt tên theo Ulli Wolff, thuật toán này được sử dụng trong mô phỏngMonte Carlo để nâng cao hiệu quả trong quá trình mô phỏng Thay vì đổi hướng từngspin riêng biệt như thuật toán Metropolis, thuật toán Wolff cho phép đổi hướng mộtcụm các spin Cụm spin này được định nghĩa là tập hợp các spin lân cận có cùnghướng Thuật toán Wolff được thực hiện theo các bước như sau[CITATION DPL15 \

l 1033 ]:

Bước 1: Chọn một vị trí i trong mạng.

Bước 2: Nếu một spin gần j có cùng hướng với spin i, thêm spin này vào cụm

với xác suất:

Bước 3: Lập lại từ bước 2 cho spin j cho đến khi không có spin nào có thể

thêm được vào cụm nữa

Bước 4: Đổi hướng đồng thời toàn bộ cụm

Khi một spin đã được xét trong bước trước nhưng không được thêm vào cụm,thì spin này có thể được xét lần nữa trong các bước tiếp theo Spin đã là một phần củacụm thì không thể được thêm vào lần nữa

2.3 Các tham số mô phỏng.

Để tính toán được các đại lượng vật lý, hệ cần đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt sau một số bước Monte Carlo nhất định Vì vậy trong tổng số bước Monter Carlo sử dụng để tính toán các đại lượng vật lý, phần đầu tiên (không ở trạng thái cân

bằng nhiệt động) sẽ được lược bỏ Hình 9 dưới đây mô tả đại lượng E cuả một cấu

hình theo số bước Monte Carlo với nửa sau đã đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt động

Hình 2.2 Năng lượng của mỗi cấu hình theo số bước Monte Carlo

Quá trình mô phỏng được tiến hành cho các trường hợp q = 4, 5, 6, 8 trên

mạng tinh thể hình vuông có kích thước N=L × L với L= 16, 32, 64,28 và 256 Hằng

số tương tác trao đổi giữa các spin J=1 Điều kiện biên được áp dụng trên mạng hình

vuông là điều kiện biên tuần hoàn σ i=σ i +N cho các hướng khác nhau Thông số mô

phỏng được trình bày ở bảng 1, trong đó N MC là tổng số bước Monte Carlo, N T là số

giá trị nhiệt độ