KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP: 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15/4/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) Cho số thực a dãy số xn n�0 với x0 a xn 1 a) Khi a xn2 với số tự nhiên n xn2 Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn b) Khi a � 0;1 Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, AB AC , đường cao AH trực tâm điểm K Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC D, E BD BE Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB F , G CF CG Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC điểm P P �H a) Chứng minh điểm G, H , P, E thuộc đường tròn b) Chứng minh đường thẳng BF , CD, PK đồng quy điểm Bài (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn điều kiện sau: f x f y f f x f y với x, y �� Bài (4,0 điểm) Các số a, b, c nguyên, c �0 thỏa mãn điều kiện a n 2n ước b n c với số nguyên dương n a) Chứng minh c c b) Khi c Chứng minh a b không đồng thời số phương Bài (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bát giác lồi A1 A2 A8 thỏa mãn: Có tất góc nhau, đỉnh điểm nguyên, A1 A2 song song với trục Ox , biên bát giác có 16 điểm nguyên kể đỉnh Gọi n1 , n2 , , n8 số điểm nguyên nằm bên cạnh A1 A2 , A2 A3 , , A8 A1 (điểm nằm cạnh AB điểm nằm cạnh AB khác hai điểm A B , điểm nguyên điểm có hồnh độ tung độ ngun) a) Tính diện tích bát giác theo n1 , n2 , , n8 b) Tìm diện tích lớn bát giác A1 A2 A8 HẾT -(Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm) http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Họ tên thí sinh: Số báo danh: ………………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN LỚP:11 ĐÁP ÁN (Đáp án gồm 06 trang) Bài 1: (4,0 điểm)_chuyên ĐHSP Hà Nội Cho số thực a dãy số xn n�0 với x0 a xn 1 c) Khi a xn2 với số tự nhiên n xn2 Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn d) Khi a � 0;1 Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Ý ĐÁP ÁN a Ta có xn 1 xn ĐIỂM 2,0đ xn xn 1 xn xn2 0,5đ Do quy nạp ta xn � 0;1 , n �� 0,5đ xn2 l2 l � l l 2l Từ xn 1 , chuyển qua giới hạn ta xn2 l2 � l l 1 l � l Do lim xn 0,5đ Từ suy dãy xn giảm bị chặn nên tồn l lim xn , l x0 b 0,5đ Với a � 0;1 , ta có xn a, n �� suy lim xn a Với a � 0;1 , ta có xn 1 xn xn xn 1 xn Do quy nạp ta xn2 xn � 0;1 , n �� dãy số xn giảm 2,0đ 0,5đ 0,5đ Kết hợp với dãy xn bị chặn nên tồn l lim xn , l x0 a 0,5đ xn2 l2 l � l l 2l , chuyển qua giới hạn ta 2 xn2 2l � l l 1 l � l Do lim xn 0,5đ Từ xn 1 Bài 2: (4,0 điểm)_chuyên Hùng Vương, Phú Thọ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cho tam giác ABC nhọn, AB AC , đường cao AH trực tâm điểm K Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC D, E BD BE Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB F , G CF CG Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC điểm P P �H c) Chứng minh điểm G, H , P, E thuộc đường tròn d) Chứng minh đường thẳng BF , CD, PK đồng quy điểm Ý a ĐÁP ÁN Điểm 2,0đ Ta có �AHB 900 suy điểm A, G , B , H , F nằm đường tròn Do tứ giác AGHF nội tiếp � KG.KF KA.KH (1) Ta có �AHC 900 suy điểm A, E , C , H , D nằm đường tròn Do tứ giác ADHE nội tiếp � KD.KE KA.KH (2) Từ (1) (2) ta KD.KE KG.KF suy tứ giác GDFE nội tiếp � �GDF �GEF 1800 (3) Ta có AB trung trực GF � AG AF , AC trung trực DE � AD AE � A tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác GDFE Suy �GEF �GAF �BAF (4) Tứ giác DHPF nội tiếp nên �FDP �FHP , tứ giác ABHF nội tiếp nên �FHP �BAF � �FDP �BAF (5) Từ (4) (5) ta �GEF �FDP (6) Từ (3) (6) ta � �GDF �FDP 1800 � A, D, P thẳng hàng Tương tự P, F , E thẳng hàng Ta có �GHP �AHP �AHG 900 �AHG 900 �AFG 900 900 �BAF suy �GHP 1800 �BAF (7) Từ (4) (7) suy �GHP 1800 �GEP � tứ giác GHPE nội tiếp b 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ Ta có HP trục đẳng phương DHPF GHPE , DF trục đẳng 0,5đ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phương DHPF GDFE , GE trục đẳng phương GDFE GHPE suy HP, GE , DF đồng quy điểm S Xét tam giác SEP có EB, GP, SF đồng quy suy SPBC 1 � E SPBC 1 � GFKC 1 (8) Xét tam giác KBC kết hợp với (8) ta BF , CD, PK đồng quy điểm 1,0đ 0,5đ Bài (4,0 điểm)_chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn điều kiện sau: f x f y f f x f y với x, y �� ĐÁP ÁN Thay y f x � f x f f x f f x f f x 1 suy tồn số nguyên a cho f a 1 Thay y a ta f x f a f f x f a � f x 1 f f x , x �� (1) ĐIỂM 4,0đ 0,5đ 0,5đ Thay x f x y x ta f f x f x f f f x f x 1 0,5đ � f f f f x f x 1, x �� (2) Từ (1) (2) ta f f x f x 1, x �� � f x f x f 1, x �� (3) Từ (3) ta f x f x f x 1 f x 1 , x �� 0,5đ � f x f x 1 f x f x 1 , x �� � f x f x 1 f 1 f , x �� (4) Từ (4) n nguyên dương ta f n f n f 1 f (5) Từ (4) n nguyên dương ta f n f n 1 f 1 f suy f n f n f 1 f (6) Từ (5) (6) suy f x f x f 1 f cx d , x �� Thử lại phương trình cho ta f x cy d f cx d cy d 1, x, y �� 1,0đ 1,0đ � c x cy d d c cx d d cy d 1, x , y �� � cx c y cd d c x cd d cy d 1, x, y �� � c0 � � c c2 �� c0 � � �2 � �d 1 � �� c c � �� � c � � c 1 � � cd d cd � � cd d � � � d 1 � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do f x 1, x �� f x x 1, x �� Bài (4,0 điểm)_chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương Ý a ĐÁP ÁN c � mod a b c mod a (1) Ta có b Theo giả thiết ta 3n 3n n n 2n n n 2n b3n c chia hết cho a a a a suy b3n c n n n 3n n chia hết cho a suy b �c mod a n 3n n n n n n 0,5đ (2) Từ (1) (2) ta c �c mod a với số nguyên dương n Suy c3 c chia hết cho a n 2n với số nguyên dương n Do ĐIỂM 2,0đ 0,5đ n c0 � c3 c � � Kết hợp với c �0 ta c � 0;1 c �1 � 0,5đ 0,5đ b 2,0đ Khi c Giả sử a, b số phương a x , b y ; a, b ��* Khi x n n ước y n với số nguyên dương n 2n n Bây ta xây dựng số nguyên tố p cho p x p không ước số y n Lấy 2n p lấy p đủ lớn để a, p b, p theo định lí Fermat ta x n 2n x p 1 ta cần chọn số nguyên tố p thỏa mãn p 1 2� mod p p 1 p 1 �1 p 1 1,0đ mod p Như 1 mod p (1) Từ (1) theo tiêu chuẩn Fermat ta cần chọn số nguyên tố p lẻ cho khơng số phương mod p Ta có p 1 �2 � � � � 1 � p 8k p 8k �p � Như để chọn số nguyên tố p lẻ cho khơng số 0,5đ phương mod p ta lấy p �3 mod p �5 mod Do có vơ hạn số nguyên tố dạng 8k nên chọn p �3 mod p a, p b theo 2n n phân tích ta x �0 mod p 0,5đ 2n p 1 Mặt khác y y �2 mod p Do �0 mod p vơ lí Vậy giả sử ban đầu sai hay a, b không đồng thời số phương Bài (4,0 điểm)_chuyên Thái Bình Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bát giác lồi A1 A2 A8 thỏa mãn: Có tất góc nhau, đỉnh điểm nguyên, A1 A2 song song với trục Ox , biên bát giác có 16 điểm nguyên kể đỉnh Gọi n1 , n2 , , n8 số điểm nguyên nằm bên cạnh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A1 A2 , A2 A3 , , A8 A1 (điểm nằm cạnh AB điểm nằm cạnh AB khác hai điểm A B , điểm ngun điểm có hồnh độ tung độ nguyên) c) Tính diện tích bát giác theo n1 , n2 , , n8 d) Tìm diện tích lớn bát giác A1 A2 A8 Ý a ĐÁP ÁN Điểm 2,0đ Ta có n1 n2 n8 16 Số điểm nguyên đoạn thẳng A1 A6 số điểm nguyên đoạn thẳng A1 A8 , A8 A7 , A7 A6 số điểm nguyên đoạn thẳng A1 A6 số điểm nguyên đoạn thẳng A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 suy n2 n3 n4 n6 n7 n8 Tương tự n1 n2 n8 n4 n5 n6 Diện tích hình chữ nhật bao đa giác S1 n2 n3 n4 3 n1 n2 n8 3 Diện tích bốn tam giác vng cân bốn đỉnh hình chữ nhật nằm bên đa giác 1 1 2 2 n2 1 n4 1 n6 1 n8 1 2 2 S S S Do diện tích đa giác S2 b 1,0đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ �n1 n2 n8 n2 n3 n4 � S1 �� � suy � � Ta có S2 � n2 n4 n6 n8 sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta 0,5đ 2 �n n n n n n � S ��1 � n2 n4 n6 n8 (1) � � Ta có n1 n2 n8 n2 n3 n4 n1 n2 n8 n2 n3 n4 n1 n2 n8 n4 n5 n6 n2 n3 n4 n6 n7 n8 0,5đ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 n1 2n2 2n8 2n4 n5 2n6 n3 n7 n2 n4 n6 n8 (2) 2 Từ (1) (2) ta �1 � �2 n2 n4 n6 n8 � 2 �x 20 � S �� � n2 n4 n6 n8 � � x , � � � � � � x n2 n4 n6 n8 � x � 0;8 0,5đ 2 �x 20 � Ta có � � x 31 x 16 x �31 (do x � 0;8 ) 16 � � Dấu đẳng thức xảy x 8, n2 n4 n6 n8 2, n1 n3 n5 n7 (Như hình vẽ trên) Vậy max S 31 0,5đ Hết -LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng chấm điểm cho phần http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chia hết cho a a a a suy b3n c n n n 3n n chia hết cho a suy b �c mod a n 3n n n n n n 0,5đ (2) Từ (1) (2) ta c �c mod a với số nguyên dương n Suy c3 c chia... báo danh: ………………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN LỚP:11 ĐÁP ÁN (Đáp án gồm 06 trang) Bài 1: (4,0 điểm)_chuyên... HP trục đẳng phương DHPF GHPE , DF trục đẳng 0,5đ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phương DHPF GDFE , GE trục đẳng phương GDFE GHPE suy