2 baitoan so (35bai) OK

DẠNG BÀI TOÁN BỐC SỐ A – CƠ BẢN Bài Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu Lời giải ìï a, b, c Ỵ A ïï Gọi số cần tìm tập S có dạng abc Trong ïí a ¹ ùù ùùợ a b;b c;c a Khi ● Số cách chọn chữ số a có cách chọn a¹ ● Số cách chọn chữ số b có cách chọn b ¹ a ● Số cách chọn chữ số c có cách chọn c ¹ a c ¹ b Do tập S có 5.5.4 = 100 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C100 = 100 Gọi X biến cố '' Số chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu '' Khi ta có số 1b2 2b4 thỏa mãn biến cố X b có cách chọn nên có tất số thỏa yêu cầu Suy số phần tử biến cố X WX = Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = = 100 25 Bài Cho tập hợp A = { 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn mà số ln ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ Lời giải Số phần tử tập S A7 = 840 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C840 = 840 Gọi X biến cố '' Số chọn ln ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ '' ● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; C42 = cách ● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; C32 = cách ● Từ bốn chữ số chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với hoán vị phần tử nên có 4! cách 2 Suy số phần tử biến cố X WX = C4 C3 4! = 432 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 432 18 = 840 35 Bài Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số 1; 2; 3; 4; Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác xuất để số chọn chia hết cho Lời giải Số phần tử S A5 = 60 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C60 = 60 Gọi A biến cố '' Số chọn chia hết cho '' Từ chữ số cho ta có gồm ba chữ số có tổng chia hết cho ( 1; 2; 3) , ( 1; 2; 6) , ( 2; 3; 4) ( 2; 4; 6) Mỗi ba chữ số ta lập 3! = số thuộc tập hợp S Suy số phần tử biến cố A WA = 6.4 = 24 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 24 = 60 Bài Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác xuất để số chọn số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ba ln chia hết cho Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 Khi ● Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn a1 ¹ ● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3; a4 ; a5; a6 tập A \ { a1} có A75 cách Do tập S có 7.A75 = 17640 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C17640 = 17640 Gọi X biến cố '' Số chọn số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ba ln chia hết cho '' Suy a6 Ỵ {1; 3; 5; 7} a3 Ỵ { 0; 6} Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố X sau: ● Trường hợp Với a3 = : chữ số a6 có cách chọn, a1 có cách chọn, ba chữ số lại có A53 cách chọn Do tường hợp có 4.6. A53 số ● Trường hợp Với a3 = : chữ số a6 có cách chọn, a1 có cách chọn, ba chữ số lại có A5 cách chọn Do tường hợp có 4.5. A53 số 3 Suy số phần tử biến cố X WX = 4.6.A5  + 4.5.A5 = 2640 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 2640 22 = 17640 147 Bài Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số có tổng chữ số số lẻ Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng a1a2a3 Khi ● Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn a1 ¹ ● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3 tập A \ { a1} có A62 cách Do tập S có 6.A62 = 180 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C180 = 180 Gọi X biến cố '' Số chọn có tổng chữ số số lẻ '' Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố X sau: ● Trường hợp Gồm chữ số lẻ hai chữ số chẵn Chọn chữ số lẻ chữ số lẻ nên có C31 cách, chọn hai chữ số chẵn chữ số chẵn có C42 Do có tất C31.C42.3! số thỏa mãn biến cố X bao gồm chữ số đứng đầu Bây ta tính riêng số chữ số thỏa mãn biến cố X có số đứng đầu, suy số có dạng 0a2a3 Chọn chữ số lẻ chữ số lẻ nên có C31 cách, chọn thêm chữ số chẵn chữ số chẵn lại có C31 cách Do có C31.C31.2! số Suy trường hợp có C31.C42.3!- C31.C31.2! = 90 số ● Trường hợp Gồm ba chữ số lẻ Chọn ba chữ số lẻ chữ số lẻ nên có C33 cách Suy trường hợp có C33.3! = số Suy số phần tử biến cố X WX = 90+ = 96 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 15 Bài Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số, chữ số đôi khác lập thành từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số 10 Lời giải Ta tính số phần tử thuộc tập S sau: ● Số số thuộc S có chữ số A53 ● Số số thuộc S có chữ số A54 ● Số số thuộc S có chữ số A55 Suy số phần tử tập S A53 + A54 + A55 = 300 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C300 = 300 Gọi X biến cố '' Số chọn có tổng chữ số 10 '' Các tập A có tổng số phần tử 10 A1 = {1; 2; 3; 4} , A2 = { 2; 3; 5} , A3 = {1; 4; 5} ● Từ A1 lập số thuộc S 4! ● Từ A2 lập số thuộc S 3! ● Từ A3 lập số thuộc S 3! Suy số phần tử biến cố X WX = 4!+ 3!+ 3! = 36 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 36 = 300 25 Bài Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4} Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập thành từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số tập S , tính xác suất để số lấy có số có chữ số Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abc Khi ● Số cách chọn chữ số a có cách chọn a¹ ● Số cách chọn thứ tự cho b; c tập A \ { a} có A42 cách Do tập S có 4.A42 = 48 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C48 = 17296 Gọi X biến cố '' số lấy có số có chữ số '' Để tìm số phần tử biến cố X ta làm sau: ● Lập luận tương tự ta S có 3.A32 = 18 số khơng có chữ số Suy có 48- 18 = 30 số có chữ số = 30 cách ● Số cách lấy số ln có chữ số C30 = 153 cách ● Số cách lấy số khơng có chữ số C18 Suy số phần tử biến cố X WX = 30.153 = 4590 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 4590 2295 = 17296 8648 Bài Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp số lẻ có chữ số đôi khác lập thành từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S , tính xác suất để lấy số nhỏ 2015 Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcd Khi ● Số cách chọn chữ số d Ỵ {1; 3; 5} có cách chọn ● Số cách chọn chữ số a Ỵ A \ { 0; d} có cách chọn ● Số cách chọn thứ tự b, c tập A \ { a; d} có A42 cách Do tập S có 3.4.A42 = 144 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C144 = 144 Gọi X biến cố '' Số chọn nhỏ 2015 '' Có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố X chữ số a= a= ● Nếu a= có số số 2013 ● Nếu a= số có dạng 1bcd Chọn d Ỵ { 3; 5} có cách chọn Chọn thứ tự b, c tập A \ {1; d} có A42 cách Suy số số thuộc dạng 1bcd có 2.A42 = 24 số Suy số phần tử biến cố X WX = 1+ 24 = 25 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 25 144 Bài Một hộp đựng 10 thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất để chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho Lời giải Không gian mẫu số cách lấy ngẫu nhiên thẻ từ 10 thẻ Suy số phần tử không gian mẫu W= C10 Gọi A biến cố '' chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho '' Để cho biến cố A xảy thẻ lấy phải có thẻ mang chữ số chữ số Ta tìm số phần tử biến cố A , tức thẻ lấy khơng có thẻ mang chữ số khơng có thẻ mang chữ số C83 cách 3 Suy số phần tử biến cố A WA = C10 - C8 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = C10 - C83 = C10 15 Bài 10 Có 20 thẻ đánh số từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Lời giải Không gian mẫu cách chọn thể 20 thẻ Suy số phần tử không mẫu W= C20 Gọi A biến cố '' thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 '' Để tìm số phần tử A ta làm sau: ● Đầu tiên chọn thẻ 10 thẻ mang số lẻ, có C10 cách ● Tiếp theo chọn thẻ thẻ mang số chẵn (không chia hết cho 10), có C84 cách ● Sau ta chọn thẻ mang số chia hết cho 10, có C21 cách Suy số phần tử biến cố A WA = C10.C8 C2 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = C10 C84.C21 560 = C20 4199 B – NAÂNG CAO Bài 11 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số chẵn có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng nghìn Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde ● Trường hợp Nếu e= có cách chọn Số cách chọn chữ số a có cách chọn Chọn thứ tự cho b, c, d tập A \ { a; 0} có A53 cách chọn Do trường hợp có 6.A53 số ● Trường hợp Nếu { 2; 4; 6} có cách chọn Số cách chọn chữ số a có cách chọn a¹ a ¹ e Chọn thứ tự cho b, c, d tập A \ { a; e} có A53 cách chọn Do trường hợp có 3.5.A53 số Suy tập S có 6.A53 + 3.5.A53 = 1260 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C1260 = 1260 Gọi X biến cố '' Số chọn có tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng nghìn '' Để b+ c = , suy { b;c} = { 0; 5} , {1; 4} , { 2; 3} ● Trường hợp Nếu { b;c} = { 0; 5} +) Có cách chọn b; c +) e chẵn nên có cách chọn chữ số { 2; 4; 6} +) Có A42 cách chọn a; d Suy có 2.3.A42 = 72 số thỏa mãn ● Trường hợp Nếu { b;c} = {1; 4} +) Có cách chọn b; c +) Với e= có A42 cách chọn a; d Với { 2; 6} có cách chọn chữ số e, có cách chọn chữ số a cách chọn chữ số d Suy có 2( A4 + 2.3.3) = 60 số thỏa mãn ● Trường hợp Nếu { b;c} = { 2; 3} tương tự trường hợp có 60 số thỏa mãn Suy số phần tử biến cố X WX = 72+ 60+ 60 = 192 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 192 16 = 1260 105 Bài 12 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên hai số từ S , tính xác suất để số chọn có tổng chữ số Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abc Khi ● Số cách chọn chữ số a có cách chọn a¹ ● Số cách chọn chữ số b có cách chọn b ¹ a ● Số cách chọn chữ số c có cách chọn c ¹ a c ¹ b Do tập S có 6.6.5 = 180 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C180 Gọi X biến cố '' Hai số chọn mà số có tổng chữ số '' Ta có chữ số có tổng chữ số gồm: { 0;1;6} , { 0;2;5} , { 0;3;4} , {1;2;4} ● Mỗi { 0;1;6} , { 0;2;5} ,{ 0;3;4} có số cách lập 3!- 1.2! = số ● Bộ {1;2;4} có số cách lập 3! = số Do có tất 3.4 + = 18 số có tổng ba chữ số Suy số phần tử biến cố X WX = C18 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 153 17 = 16110 1790 Bài 13 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn thỏa mãn tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Lời giải Số phần tử tập S A96 = 60480 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C60480 = 60480 Gọi X biến cố '' Số chọn thỏa mãn tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn '' Gọi số chọn có dạng a1a2a3a4a5a6 éa3, a4, a5 Ỵ {1; 2; 5} Theo giả thiết a3 + a4 + a5 = ị ờa , a , a ẻ 1; 3; } ê ë3 { ● Trường hợp Với a3, a4 , a5 Ỵ {1; 2; 5} , ta có cách chọn a1 ; cách chọn a2 ; 3! cách chọn a3, a4 , a5 cách chọn a6 Do có 6.5.3!.4 = 720 số ● Trường hợp Với a3, a4 , a5 Ỵ {1; 3; 4} Tương tự có 720 số Suy số phần tử biến cố X WX = 720 + 720 = 1440 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 1440 = 60480 42 Bài 14 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn đồng thời số hàng đơn vị tổng số hàng chục, hàng trăm hàng nghìn Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcd Khi ● Số cách chọn chữ số a có cách chọn a1 ¹ ● Số cách chọn thứ tự cho b; c; d tập A \ { a} có A63 cách Do tập S có 6.A63 = 720 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C720 = 720 Gọi X biến cố '' Số chọn số chẵn đồng thời số hàng đơn vị tổng số hàng chục, hàng trăm hàng nghìn '' ìï d Ỵ { 0;2;4;6} ìï d ẻ { 4;6} ị ùớ S c chn tha mãn biến cố X ïí ïï d = a + b+ c ïï d = a + b+ c ỵ ỵ ● Số có dạng abc4 , suy a + b+ c = nên tập { a;b;c} { 0;1;3} Do trường hợp có 3!- 1.2! = số ● Số có dạng abc6 , suy a + b+ c = nên tập { a;b;c} { 0;1;5} , { 0;2;4} , {1;2;3} Do trường hợp có 2( 3!- 1.2!) + 3! = 14 số Suy số phần tử biến cố X WX = +14 = 18 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 18 = 720 40 Bài 15 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có chữ số khác có tổng 18 Lời giải Số phần tử tập S A6 = 30 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C30 Gọi X biến cố '' số chọn có chữ số khác có tổng 18 '' Từ tập cho A có số { 3; 4; 5; 6} thỏa mãn 3+ + 5+ = 18 ● Có A42 = 12 số có chữ số khác lập thành từ tập { 3; 4; 5; 6} ● Giả sử ta chia 12 số thành nhóm sau: +) Nhóm I gồm số có chứa chữ số , có số +) Nhóm II gồm số không chứa chữ số , có số Khi ứng với số ab nhóm I, có số cd nhóm II thỏa mãn a + b+ c + d = 18 Suy số phần tử biến cố X WX = 6.2 = 12 WX Vậy xác suất cần tính P ( X ) = W = 12 = C30 145 Bài 16 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác đơi Tính xác suất để số chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Lời giải Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5 Khi ● Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn a1 ¹ ● Chọn chữ số từ tập { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} \ { a1} để xếp vào vị trí a2a3a4a5 có A94 cách Do có 9.A94 = 27216 số Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số 27216 số Suy số phần tử không gian mẫu W= C27216 = 27216 Gọi A biến cố '' Số có năm chữ số chọn thoả mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước '' Vì chữ số khơng thể đứng trước số nên xét tập hợp X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách xếp theo thứ tự tăng dần Suy số phần tử biến cố A WA = C9 = 126 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 126 = 27216 216 Bài 17 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác đơi Tính xác suất để số chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước chữ số đứng sau nhỏ chữ số đứng liền trước Lời giải Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5 Khi ● Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn a1 ¹ ● Chọn chữ số từ tập { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} \ { a1} để xếp vào vị trí a2a3a4a5 có A94 cách Do có 9.A94 = 27216 số Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số 27216 số Suy số phần tử không gian mẫu W= C27216 = 27216 Gọi A biến cố '' Số chọn có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước chữ số đứng sau nhỏ chữ số đứng liền trước '' Ta xét hai trường hợp: ● Trường hợp Số chọn có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước nên số chọn thuộc tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách xếp theo thứ tự tăng dần Do trường hợp có C95 = 126 số ● Trường hợp Số chọn có chữ số đứng sau nhỏ chữ số đứng liền trước nên số chọn thuộc tập X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách xếp theo thứ tự giảm dần Do trường = 252 số hợp có C10 Suy số phần tử biến cố A WA = 126+ 252 = 378 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 378 = 27216 72 Bài 18 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác đôi thỏa mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Tính xác suất để số chọn số chẵn Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abc a, b, c ● Theo giả thiết nên thuộc tập a < b< c X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ● Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách xếp thỏa a < b< c Do có C93 = 84 số Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số 84 số Suy số phần tử không gian mẫu W= C84 = 84 Gọi A biến cố '' Số chọn số chẵn '' Ta có trường hợp sau: ● Nếu c= ta chọn chữ số chữ số {1; 2; 3} để xếp vào hai vị trí a, b nên có C32 cách ● Nếu c= ta chọn chữ số chữ số {1; 2; 3; 4; 5} để xếp vào hai vị trí a, b nên có C52 cách ● Nếu c= ta chọn chữ số chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} để xếp vào hai vị trí a, b nên có C72 cách 2 Suy số phần tử biến cố A WA = C3 +C5 +C7 = 34 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 34 17 = 84 42 Bài 19 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có tất chữ số đều phân biệt chữ số lớn nằm hàng đơn vị, chữ số nhỏ nằm hàng trăm Lời giải Số phần tử tập S 6.74 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 6.7 Gọi X biến cố '' Số chọn có tất chữ số đều phân biệt chữ số lớn nằm hàng đơn vị, chữ số nhỏ nằm hàng trăm '' Mỗi gồm chữ số khác lấy từ A ● Luôn chọn số lớn cho hàng đơn vị, số nhỏ cho hàng trăm nên có C75 cách ● Ba vị trí lại có 3! cách Suy số phần tử biến cố X WX = C7 3! Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = C75.3! = 6.7 343 Bài 20 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi S tập hợp số có chữ số lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abc Khi ● Số cách chọn chữ số a có cách a¹ ● Số cách chọn chữ số b có 10 cách ● Số cách chọn chữ số c có 10 cách Do tập S có 9.10.10 = 900 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C900 = 900 Gọi X biến cố '' Số chọn có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước '' Có nghĩa a £ b £ c , ta mô tả kết thuận lợi cho biến cố X sau ● Trường hợp a < b < c tức a, b, c đôi khác có xếp Vì a¹ a < b < c nên b¹ c¹ Cứ gồm chữ số khác lấy từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ln có cách xếp thỏa mãn a < b < c Suy trường hợp có C9 số thỏa mãn ● Trường hợp a = b = c Vì a¹ a = b = c nên b¹ c¹ Suy trường hợp có C91 số thỏa mãn ● Trường hợp a = b < c Vì a¹ a = b < c nên b¹ c¹ Cứ gồm chữ số khác lấy từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ln có cách xếp thỏa mãn a = b < c Suy trường hợp có C92 số thỏa mãn ● Trường hợp a < b = c Vì a¹ a < b = c nên b¹ c¹ Cứ gồm chữ số khác lấy từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ln có cách xếp thỏa mãn a < b = c Suy trường hợp có C92 số thỏa mãn 2 Suy số phần tử biến cố X WX = C9 +C9 +C9 +C9 = 165 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 165 11 = 900 60 Bài 21 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn ln có mặt chữ số lẻ chữ số chẵn Lời giải Đặt A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde với a, b, c, d, eẻ A v a S cỏch chọn chữ số a có cách chọn ● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d, e từ tập A \ { a} có A94 cách Do tập S có 9.A94 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 9.A9 Gọi X biến cố '' Số chọn ln có mặt chữ số lẻ chữ số chẵn '' Ta mô tả không gian biến cố X sau: ● Trước hết ta đếm số dạng abcde có chữ số lẻ chữ số chẵn phân biệt tính trường hợp a= Khi ta chọn chữ số lẻ chữ số chẵn phân biệt từ tập A hoán vị chữ số đó, có C52.C53.5! số ● Tiếp theo ta xét số có dạng 0bcde b, c, d, e gồm chữ số lẻ chữ số chẵn (khác ) phân biệt Khi ta chọn chữ số lẻ chữ số chẵn (khác ) phân biệt từ tập A hoán vị chữ số đó, có C52.C42.4! số Suy số phần tử biến cố X C53.C52.5!- C42.C52.4! = 10560 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 10560 220 = 9.A94 567 Bài 22 Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có số chữ số chẵn số chữ số lẻ Lời giải Đặt A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi số cần tìm tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 với a1, a2, a3, a4, a5, a6 Ỵ A a1 ¹ ● Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn ● Số cách chọn thứ tự cho a2, a3, a4, a5, a6 từ tập A \ { a1} có A95 cách Do tập S có 9.A95 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 9.A9 Gọi X biến cố '' Số chọn ln có số chữ số chẵn số chữ số lẻ, tức có chữ số chẵn chữ số lẻ '' Ta tìm số kết thuận lợi cho biến cố X sau: ● Trong 10 số từ đến có số chẵn, số lẻ ● Số số có số chẵn, số lẻ (kể số đứng đầu) C53.C53.6! ● Số số có số chẵn, số lẻ (số đứng đầu) 1.C42.C53.5! 3 Suy số phần tử biến cố X WX = C5 C5 6!- C4 C5 5! Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = C53.C53.6!- C42.C53.5! 10 = 9.A95 21 Bài 23 Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác mà chữ số đều lớn Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có chữ số lẻ đứng kề Lời giải Vì số tự nhiên cần tìm có chữ số đều lớn nên số tự nhiên cần tìm thành lập từ tập A = { 5; 6; 7; 8; 9} Suy số phần tử tập S A55 = 120 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C120 = 120 Gọi X biến cố '' Số chọn có chữ số lẻ đứng kề '' Vì chữ số lẻ đứng kề nên gom chúng thành chữ số M ● Bước Xếp M hai chữ số chẵn lại có 3! cách xếp ● Bước Ứng với cách Bước 1, có 3! cách xếp phần tử M Suy số phần tử biến cố X WX = 3!.3! = 36 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 36 = 120 10 Bài 24 Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn ln có mặt chữ số Lời giải A = 0; ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; { } Đặt Gọi số cần tìm tập S có dạng abcd với a, b, c, d ẻ A v a Số cách chọn chữ số a có cách chọn ● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d từ tập A \ { a} có A93 cách Do tập S có 9.A93 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 9.A9 Gọi X biến cố '' Số chọn số chẵn ln có mặt chữ số '' Vì số chọn số chẵn nên d Ỵ { 0; 2; 4; 6; 8} ● Trường hợp d = Chọn vị trí vị trí lại để xếp hai chữ số , có A32 cách Chọn chữ số chữ số lại để xếp vào vị trí lại, có C71 cách Do trường hợp có 1.A32.C71 = 42 số ● Trường hợp d = +) Có vị trí để xếp chữ số Chọn chữ số chữ số lại để xếp vào vị trí lại, có A82 cách Do có 3.A82 = 168 số (kể số đứng đầu) +) Xét riêng trường hợp chữ số vị trí Khi chữ số có cách xếp, chọn chữ số chữ số lại để xếp vào vị trí lại có C71 cách Suy có 2.C71 = 14 số Tóm lại trường hợp có 168- 14 = 154 số ● Trường hợp d Ỵ { 2; 4; 6} nên d có cách chọn +) Chọn vị trí vị trí lại để xếp hai chữ số , có A32 cách Chọn chữ số chữ số lại để xếp vào vị trí lại, có C71 cách Do có 3.A32.C71 = 126 số (kể số đứng đầu) +) Xét riêng trường hợp chữ số vị trí Khi có 2! cách xếp hai chữ số cho vị trí lại Suy có 3.2! = số Tóm lại trường hợp có 126- = 120 số Suy số phần tử biến cố X WX = 42+154 +120 = 316 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 316 79 = 9.A9 1134 Bài 25 Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có chữ số đứng liền hai chữ số Lời giải Số phần tử tập S 9.A96 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 9.A9 Gọi X biến cố '' Số chọn có chữ số đứng liền hai chữ số '' Do số cần tìm phải chứa M =123 N = 321 ● Trường hợp Số cần tìm chứa M =123 +) Chọn thêm tùy ý số từ tập { 0; 4; 5; 6; 7; 8; 9} có C74 cách Cho số vừa chọn M hốn vị nên có 5! cách Suy có C74.5! = 4200 số (kể số đứng đầu) +) Xét riêng trường hợp số đứng đầu, chọn thêm tùy ý số từ tập { 4; 5; 6; 7; 8; 9} có C63 cách Cho số vừa chọn M hốn vị nên có 4! cách Suy có C63.4! = 480 số có chữ số đứng đầu Do trường hợp có 4200- 480 = 3720 số ● Trường hợp Số cần tìm chứa N = 321 Tương tự có 3720 số Suy số phần tử biến cố X WX = 3720+ 3720 = 7440 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 7440 31 = 9.A96 2266 Bài 26 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn đồng thời có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh Lời giải Số phần tử tập S 6.A6 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 6.A6 Gọi X biến cố '' Số chọn số chẵn đồng thời có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh '' Vì chữ số lẻ đứng kề nên ta gom 2 số lẻ thành số M , có C3 = M Khi biến cố X trở thành '' Số chọn số chẵn có chữ số lập thành từ tập { 0; 2; 4; 6; M } bắt buộc phải có chữ số M '' Gọi số cần chọn thỏa mãn biến cố X có dạng abcd với d Ỵ { 0; 2; 4; 6} ` ● Trường hợp d = , suy d có cách chọn +) Có vị trí để xếp chữ số M , ứng với cách xếp M có 2! cách xếp hai phần tử M +) Chọn thứ tự chữ số từ tập { 2; 4; 6} để xếp vào vị trí trống lại, có A32 cách Do trường hợp có 1.3.2!.A32 = 36 số ● Trường hợp d Ỵ { 2; 4; 6} , suy d có cách chọn +) Nếu xếp M vào vị trí nên có cách, ứng với cách xếp có 2! cách xếp hai phần tử M Chọn chữ số từ tập chữ số lại để xếp vào vị trí trống lại, có A32 cách Suy có tất 3.1.2!.A32 = 36 số +) Nếu xếp M vào vị trí thứ thứ có cách, ứng với cách xếp có 2! cách xếp hai phần tử M Chọn chữ số từ tập chữ số lại để xếp vào vị trí trống lại, có A32 cách Do 3.2.2!.A32 = 72 số (kể số đứng đầu) Xét riêng trường hợp chữ số đứng đầu có 3.2.2!.A21 = 24 số Suy có 72- 24 = 48 số Do trường hợp có 36+ 48 = 84 số Suy số phần tử biến cố X WX = 3.( 36+ 84) = 360 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 360 = 6.A64 Bài 27 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số 0; 1; chúng đứng cạnh Lời giải Số phần tử tập S 7.A75 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 7.A7 Gọi X biến cố '' Số chọn số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số 0; 1; chúng đứng cạnh '' Gọi số cần tìm thỏa biến cố X có dạng a1a2a3a4a5a6 ● Trường hợp a6 = , suy a6 có cách chọn +) Xếp chữ số 1; vào vị trí a4 a5 có cách +) Chọn thứ tự a1, a2, a3 từ tập { 3; 4; 5; 6; 7} có A53 cách Do trường hợp có 1.2.A53 = 120 số ● Trường hợp a6 = Tương tự trường hợp nên có 120 số ● Trường hợp a6 Î { 4; 6} , suy a6 có cách chọn +) Xếp chữ số 0; 1; đứng cạnh có 3.3!- 2! = 16 cách +) Chọn thứ tự hai chữ số từ tập { 3; 4; 5; 6; 7} \ { a6 } để xếp vào hai vị trí lại có A42 cách Do trường hợp có 2.16.A42 = 384 số Suy số phần tử biến cố X WX = 120+120+ 384 = 624 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 624 26 = 7.A75 735 Bài 28 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn thỏa mãn phải có ba chữ số ;4; đứng liền với hai chữ số 7; đứng liền với Lời giải Số phần tử tập S 9.A9 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 9.A9 Gọi X biến cố '' Số chọn thỏa mãn phải có ba chữ số ;4; đứng liền với hai chữ số 7; đứng liền với '' Gọi M nhóm gồm ba chữ số ;4; N nhóm gồm hai chữ số 7; Ta xét trường hợp: ● Chọn thêm hai chữ số từ { 0; 1; 2; 6; 8} có C52 cách Hai chữ số vừa chọn với M N có 4! cách xếp thứ tự Ứng với cách M có 3! cách xếp vị trí cho ;4; 5, N có 2! cách xếp vị trí cho 7; Do có tất C52.4!.3!.2! số (kể số đứng đầu) ● Xét riêng trường hợp số đứng đầu Ta chọn thêm chữ số từ {1; 2; 6; 8} có C41 cách Chữ số vừa chọn với M N có 3! cách xếp thứ tự Ứng với cách M có 3! cách xếp vị trí cho ;4; 5, N có 2! cách xếp vị trí cho 7; Do có C41.3!.3!.2! số có số đứng đầu Suy số phần tử biến cố X WX = C5 4!.3!.2!- C4.3!.3!.2! = 2592 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 2592 = 9.A9 210 Bài 29 Gọi S tập hợp số tự nhiên có hai chữ số Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S Tính xác suất để hai số chọn có chữ số hàng đơn vị giống Lời giải Số phần tử tập S 9.10 = 90 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C90 = 4005 Gọi X biến cố '' Số chọn có chữ số hàng đơn vị giống '' Ta mô tả không gian biến cố X nhưu sau: ● Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ chữ số { 0; 1; 2; 3; ; 9} ) ● Có C92 cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ chữ số {1; 2; 3; ; 9} ) Suy số phần tử biến cố X WX = 10.C9 = 360 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 360 = 4005 89 Bài 30 Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để chọn số gồm chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số số lẻ) Lời giải Số phần tử tập S 9.A98 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 9.A9 Gọi X biến cố '' Số chọn gồm chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ '' Do số đứng số lẻ nên số không đứng vị trí vị trí cuối Ta có khả ● Chọn vị trí để xếp số , có C71 cách ● Chọn số lẻ xếp vào vị trí cạnh số vừa xếp, có A52 cách ● Chọn số lẻ số lẻ lại chọn số chẵn từ { 2; 4; 6; 8} sau xếp số vào vị trí trống lại có C32.C44.6! cách 2 Suy số phần tử biến cố X WX = C7.A5 C3 C4 6! Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = C71.A52.C32.C44.6! = 9.A98 54 Bài 31 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt không lần Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn chia hết cho Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde ● Sắp chữ số vào ba vị trí, có C53 = 10 cách ● Còn lại hai vị trí, chọn chữ số chữ số {1; 2; 4; 5} xếp vào hai vị trí đó, có A42 = 12 cách Do tập S có 10.12 = 120 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C120 = 120 Gọi X biến cố '' Số chọn chia hết cho '' Có hai trường hợp xảy ra: ● Trường hợp Hai chữ số lại , có C53.2! = 20 số ● Trường hợp Hai chữ số lại , có C53.2! = 20 số Suy số phần tử biến cố X WX = 20+ 20 = 40 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 40 = 120 Bài 32 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số lập từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn chia hết cho Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde ● Ta có cách chọn vị trí cho chữ số , bốn chữ số lại có A64 cách chọn nên có 5A64 số ln có mặt chữ số (kể chữ số vị trí đầu tiên) ● Xét số có chữ số vị trí đầu tiên, có cách chọn vị trí cho chữ số , ba chữ số lại có A53 cách chọn nên có 4A53 số Do tập S có 5A64 - 4A53 = 1560 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C1560 = 1560 Gọi X biến cố '' Số chọn chia hết cho '' Ta có trường hợp: ● Trường hợp e= Khi có cách chọn vị trí cho chữ số , ba chữ số lại có A53 cách nên có 4.A53 số ● Trường hợp e= Khi a có cách chọn; b , c , d có A53 cách chọn nên có 5.A53 số 3 Suy số phần tử biến cố X WX = 4.A5 + 5.A5 = 540 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 540 = 1560 26 Bài 33 Gọi S tập tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn chia hết cho 25 Lời giải Đặt A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi số cần tìm tập S có dạng abcd ● Số cách chọn chữ số a có cách chọn a ¹ ● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d tập A \ { a} có A93 cách Do tập S có 9.A93 = 4536 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= C4536 = 4536 Gọi X biến cố '' Số chọn chia hết cho 25 '' Do a, b, c, d đôi khác abcdM25 nên cdM25 , suy cd Î { 25; 50; 75} ● Nếu cd = 50 a có cách chọn, b có cách chọn Do có 8.7 = 56 số ● Nếu cd Ỵ { 25; 75} có cách, a có cách chọn, b có cách chọn Do có 2.7.7 = 98 số Suy số phần tử biến cố X WX = 56 + 98 = 154 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 154 11 = 5436 324 Bài 34 Cho tập hợp A = { 0; 2; 3; 5; 6; 8} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có hai chữ số khơng đứng cạnh Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 ● Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn a1 ¹ ● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3; a4 ; a5; a6 tập A \ { a1} có A55 cách Do tập S có 5.A55 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu W= 5.A5 Gọi X biến cố '' Số chọn có hai chữ số không đứng cạnh '' Để tìm số phần tử biến cố X ta tìm số phần tử biến cố X , tức số chọn có hai chữ số đứng cạnh nhau: ● Trong a1a2a3a4a5a6 có vị trí để chữ số đứng cạnh vị trí đầu bên trái có khả 50a3a4a5a6 , vị trí lại hốn vị cho Do có tất cách ● Sau chọn vị trí để hai chữ số đứng cạnh nhau, ta chọn số hốn vị chữ số lại, tức có 4! cách Suy số phần tử biến cố X WX = 9.4! Suy số phần tử biến cố X WX = W- WX = 5.A5 - 9.4! Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 5.A55 - 9.4! 16 = 5.A55 25 Bài 35 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập A Tính xác suất để hai số có số có chữ số Lời giải Số số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập A A53 = 60 Trong số số khơng có mặt chữ số A43 = 24 , suy số số ln có mặt chữ số 60- 24 = 36 Không gian mẫu viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập A 1 Suy số phần tử không gian mẫu W= C60.C60 Gọi X biến cố '' Hai số viết lên bảng có số có chữ số '' Ta có hai trường hợp xảy biến cố X sau: ● Trường hợp Lần thứ viết số có chữ số , lần thứ hai viết số 1 C24 khơng có chữ số nên có C36 cách ● Trường hợp Lần thứ viết số khơng có chữ số , lần thứ hai 1 C36 viết số có chữ số nên có C24 cách 1 1 Suy số phần tử biến cố X WX = C36.C24 +C24.C36 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 1 1 C36 C24 +C24 C36 12 = 1 C60 C60 25