Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
1,29 MB
Nội dung
HƯỚNGDẪNGIẢI Vấn đề THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Bi 1 Gọi M trung điểm BC, suy BC ( A ' MA) nên � � � A ' MA ( A ' BC ),( ABC ) ( A ' BC ),( A ' B ' C ') 600 Gọi H hình chiếu A lên 3a Trong tam giác vng AHM ta có: AH AM a sin 600 Trong tam giác vuông AA ' M ta có: A ' M � AH d A,( A ' BC) AA ' AM tan 600 3a Vì AM AB 2AM � AB 2a � SABC a2 3 Vậy thể tích khối lăng trụ là: V AA '.SABC 3a3 2 Ta có SABC AB.AC a 2 BC M Gọi trung điểm cạnh , suy BC ( A ' MA ) � �� A ' MA ( A ' BC ), ( ABC ) 300 Do AM a � AA ' AM tan 300 a V Vậy, ABC A ' B ' C ' AA '.SABC a a2 a3 2 Đặt A ' A 2x � CM x 35 Ta có: B ' M B ' C '2 C ' M a2 x2 ; AM AC CM a2 x2 Và AB ' 4x2 a2 Vì tam giác AMB ' vng M nên ta có: B ' A AM B ' M � a2 x2 a2 x2 a2 4x2 � x a � AA ' a 2 a2 a2 a3 � VABC A ' B ' C ' AA '.SABC a 4 � Gọi ( AMB '), ( ABC) Vì hình chiếu tam giác AB ' M ( ABC ) SABC ABC nên có: cos SABC SAMB ' 2 Mà SABC a , SAB ' M AM B ' M 3a nên cos C ' I ' A ' B ' ABC Gọi I ' trung điểm A ' B ' , ( đều) C ' I ' AA ' � C ' I ' ABB ' A ' suy I� ' BC ' góc BC ' ABB ' A ' Suy I� ' BC ' 300 Ta có a C 'I ' , BC ' a sin 300 Trong BCC ' vuông: C 'I ' CC '2 BC '2 BC 2a2 � CC ' a Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' : V CC '.SABC a 36 Hạ I H AC H �AC � I H ABC ;I H đường cao tứ diện I ABC � I H / / AA ' � AC IH CI 2 4a � I H AA ' AA ' CA '3 A ' C A ' A a 5, AC AB 2a Diện tích tam giác ABC : SABC AB.BC a2 Thể tích khối tứ diện I ABC : BC 4a3 I H SABC Hạ AK A ' B K �A ' B V Vì BC ABB ' A ' nên AK BC � AK I BC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC ) AK AK 2SAA ' B A 'B AA '.AB A ' A AB 2a Bi .ABC �Tính thể tích khối chóp A� Gọi H trung điểm BC H ( ABC ) Theo ta có A� 1 AH BC AC AB a 3a2 a 2 2 2 Do A� H A� A AH 3a � A� H a .ABC VA� Vậy thể tích khối chóp A� ABC a3 A� H SABC 37 �Tính góc hai đường thẳng AA ' B ' C ' / / BB� , B�� C / / BC Do AA� nên góc hai đường thẳng AA ' B ' C ' góc hai đường thẳng BB�và BC Áp dụng Pitago cho tam giác A�� B H ta có BH cân B ' HB� A�� B A� H 2a Suy tam giác B� �� C Do B BH góc hai đường thẳng AA �và B �� BH a BB� 2.2a Gọi H trung điểm cạnh BC � A ' H ( ABC ) Tam giác vuông A ' HA : Vậy cos AH A ' A AH 3a2 3a2 3a a2 nên VABC A ' B ' C ' A ' H SABC SABC 3a a2 3a3 Gọi H tâm đáy, M trung điểm cạnh BC , SH ( ABC ) AM AB.sin 600 a � BC a Ap dụng định lí sin ta có: HA R BC 2sin 1200 a A 'H A ' A AH a SABC a2 AB.AC.sin1200 38 Vậy VABC A ' B ' C ' A ' H SABC 3a A ) A Ta có CO ( ABB�� Gọi O tâm hình bình hành ABB�� Vì CA CB nên OA OB, suy hình thoi ABB�� A hình vng Do : OA AB OC AC AO2 a Suy a2 a � OC 2 Vậy thể tích khối chóp : a3 CO.S ABA� 12 , Mà VABC A��� B C 3VC ABA� VC ABA� nên thể tích khối lăng trụ a3 Bài toán cho chiều cao lăng trụ tam giác (chính cạnh bên) Ta phải tính diện tích đáy, nên cần tìm độ dài cạnh đáy Gọi M �là trung điểm A �� B A C M� A �� B ,C� M� BB � Ta có C� � C� M� (ABB �� A ) � C� M� AB � B BC� , theo giả thiết ta có AB � AB � (BC� M� ) � AB � BM � Suy hai tam giác BB � M �và B �� AA đồng dạng, nên A �� B A� A � A �� B B � M A� A.BB � � A �� B h2 � A �� B 2h BB � B � M C' A' Thể tích khối lăng trụ M 3(h 2)2 3h3 V AA � SA ��� h BC B' Diện tích xung quanh khối lăng trụ � �� Sxq 3S AA �� B B 3.AA A B 2h VABC A��� BC Bi 1.(Bạn đọ tự vẽ hình ) Gọi M,N trung điểm BC,BA H AM �CN H hình 39 A) chiếu A �trên mặt phẳng (ABC) Góc mặt phẳng (ABB �� � mặt đáy ANC a � CN , nên ANC 600 AN 2HN a 21 3b a Vậy giá trị cần tìm b b a H HN.tan 600 Khi A � Thể tích khối lăng trụ : a3 � VABC.A ��� A H.S BC ABC Gọi H,K hình chiếu A lên BC,BC� � H B ) � AH BC� , (AK H ) BC� Ta có AH (BCC�� � AK Ta có HN Tam giác AHK vuông H AH Đặt A � A x a a nên AK 2sin Xét tam giác C� AB có C� A CB x2 a2 ,AB a a , ta tính 2sin 3.a x tan2 B Do thể tích khối lăng trụ cần tìm 3a3 K V tan Diện tích xung quanh khối lăng 3a2 trụ Sxq tan2 B' Diện tích đáy khối lăng trụ S a sin A' � Đặt A A x nên từ AK Ta có BM C� M x2 a2 , BC� BC x2 Trong BC 2asin M A C H A' C' C' B' A C 40 B Tam giác C� MB vng vng M, ta có �x2 � 2� a2 � BC x2 � x2 4a2 2(2asin )2 �4 � x2 4a2 cos � x 2a cos Thể tích khối lăng trụ V a3 sin cos Gọi H hình chiếu A � B' C' mặt phẳng (ABC) Từ điểm H hạ HI,HJ ,HK vng góc với cạnh BC,CA,AB Do mặt phẳng A' (A � AB),(A � BC),(A � CA ) nghiêng đáy góc , ta có HI HJ HK , hay H tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC B C SABC asin 2 H Vì HI BC CA AB 2(1 sin cos ) K �� H HI.tan Xét tam giác vng A � có A HI I H Jnên A � A asin 2.tan 2.a3.sin2 2.tan � V A� H.SABC 2(1 sin cos ) � � 32cos cos � � �4 � 5.(Bạn đọ tự vẽ hình ) Hạ AH BC, AH BB �(lăng trụ đứng), nên AH a C C), hạ CK AC�thì Vì tam giác ABC vng A nên BA (BB �� CK (ABC� ) � CK b Dễ thấy góc hai mặt phẳng (C� AB) (ABC) �� �CC� C AC , suy K CK b CK b ;AC cos cos sin sin 1 1 b2 , Vì nên , suy AH AB AC AB a2 cos2 ab AB b a2 sin2 ab3 SABC Vậy thể tích khối lăng trụ V CC� sin 2 b2 a2 sin2 Ta có CC� Bi 41 Gọi O giao hai đường chéo AC BD, ta có �'OB 300 AC (B ' OB) � B Gọi H hình chiếu B lên B’O, suy BH d B,(B ' AC ) d B,(D ' AC ) Do đó: BO � OC a BH sin 300 a BC BO2 a 3, BB ' BO tan 300 a 3 AC.BD 2BO.CO 2a2 a Nên VABCD.A ' B ' C ' D ' BB '.S ABCD 2a2 2a3 Mặt khác VB ' ABC VD ' ACD VCB ' C ' D ' VAA ' B ' C ' VABCD.A ' B ' CD ' 2a Nên suy VACB ' D ' VABCD.A ' B ' C ' D ' 3 Gọi K hình chiếu A lên BD, H hình chiếu A lên A ' K � S ABCD �BD AK �BD AA ' Vì � � BD ( AKA ') � BD AH Mà AH A ' K � AH ( A ' BD) a � AH Trong tam giác vng A ' AK ta có: 42 AH Suy A ' A2 A ' A2 AK a2 a2 A ' A2 3a2 AB 3a3 AD2 � A'A a Vậy VABCD.A ' B ' C ' D ' A ' A.AB.AD a a.a 3a 4 Bi Từ giả thiết ta tính BD a, A� B a 2, A� D a nên tam giác A� BD A � BD vng B Vì AB AD AA �nên hình chiếu A lên mặt phẳng ( A� BD) trùng với tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác A� BD (do tam giác vng nên H trung điểm A � D ) a a2 Ta có AH A� � A.cos 600 , S A� BA BD , thể tích BD 2 a khối tứ diện A � ABD VA� ABD 12 a3 Ta biết VABCD A���� B C D 6VA� ABD , nên VABCD A���� BCD Gọi H , I , J hình chiếu A ' lên ABCD , AB, AD �A ' H AB �AI AB Ta có � � AB A ' HI � AB HI Tương tự: HJ AD , hai tam giác vng A ' AI A ' AJ có � �AA ' chung �� � �A ' AI A ' AJ 60 � A ' AI A ' AJ 43 Mà AI AJ AA 'cos 600 a � HI H J Vậy H cách AB AD nên nằm phân giác góc � BAD , suy H �AC AH AI cos 300 a , A'H A ' A AH a a2 ; S ABCD 3 Do VABC A ' B ' C ' D ' A ' H S ABCD a ( Bạn đọc tự vẽ hình ) Gọi H,I,J hình chiếu A �lên mặt phẳng ABCD cạnh AB,AD H AB �A � � AB A � HI � AB HI Ta có � �AI AB Tương tự có HJ AD �AA �chung � Xét hai tam giác vuông A � nên AJ có �� AI A � �� AI A AJ �A � cos acos , hai tam giác A � AI A � AJ Suy AI AJ AA � AHI,AHJ nhau, nên HI HJ Vậy H cách AB AD nên nằm � � H �AC phân giác góc BAD AI acos a , A� H2 A� A AH cos2 cos2 nên cos cos cos 2 Diện tích đáy SABCD 2SABD AB.AD.sin a2 sin Vậy thể tích khối hộp thoi � VABCD.A ���� cos2 cos2 B C D A H.SABCD 2a sin 2 Bi Ta có AH ( Bạn đọc tự vẽ hình ) C Gọi H ( ) �A � H Trong tam giác A � AH ta có A � � A� H 9a 14 44 3VA � AMN Mà NB // AA �nên A� H VM.A � AA � SABC � VA �.AMN a3 AB VC.A � AB VA � ABC Ta có SAMN VA � AMN VM.A � AN A� A2 9a2 A� C a2 4a2 9a2 Ta có VH VA ' AI J VBI ME VDF NJ BI BM a DJ DN � BI CN ; � DJ 2MC a CN CM MC CN BE IB a DF JD a � BE ; � DF AA ' I A 4 AA ' J A 2 4a , AJ AD DJ 2a Suy AI AB BI Mặt khác với tứ diện vng O.ABC VO.ABC OA.OB.OC nên ta Ta có: có: VA ' AI J 1 4a 4a3 AA '.AI AJ a .2a 6 VB.EMI 1 a a a a3 ; BI BE BM 6 144 VD.I NF 1 2a a a3 DJ DN DF a 6 18 3 Vậy VH 4a a a 55 a3 144 18 144 Diện tích đáy khối lăng trụ 57 � a2 sin Vì ABCD hình thoi nên S SABCD 2SABD a.a.sin BAD , AC BD Mà lăng trụ lăng trụ đứng nên AC BB � AC (BB � DD� ) � AC BD� (1) D' BD� BD�(2), nên từ (1) (2) ta có (AB � C) Theo giả thiết AB � Gọi O giao điểm AC BD,H giao điểm OB �và BD�tại H BD�thì OB � A' B' Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABD BD2 AB AD2 2AB.AD.cos 2a2 (1 cos ) 4a2 sin2 H D Do BD 2asin � OB asin 2 Hai tam giác HB �� D HOB đồng OH OB O , dạng, nên HB � B �� D B A suy OB � 3OH OB � Tam giác vng BB � O có đường cao BH, nên OB OH.OB � , 3OB 3asin � B � B OB � OB 2asin OB � 2 Vì ta tích khối lăng trụ ABCD.A ���� B C D � VABCD.A ���� 2a3 sin sin B C D S.BB a sin 2asin 2 C' C Vì ABCD.A ' B ' C ' D ' hình hộp đứng nên mặt chéo ACC ' A ' BDD ' B ' hình chữ nhật, đó: s1 AC.AA ', 58 s2 BD.AA ' Tam giác AA ' O vuông A OA '2 AA '2 OA AA '2 AC (1) mà tam giác A 'BD vuông A ' nên s BD , thay AC , AA ' s2 BD vào (1) OA OA ' 2AA ' OA ' Suy ra: AA '2 s12 AA '2 s22 AA '2 � AA ' s22 s12 � AA ' s2 s12 Ta lại có : s1s2 AA '2 AC.BD AA '2 2S ABCD s22 s12 S ABCD � S ABCD s1s2 s22 s12 2 s2 s1 V AA ' S Vậy ABCD.A ' B ' C ' D ' ABCD s1s2 s22 s12 2s1s2 24 s22 s12 Bi 12 Gọi H hình chiếu A ' ( ABD) , J , K hình chiếu H AB, AD Áp dụng định lí cosin cho ABD : � BD2 AB AD2 2AB.AD.cos BAD � AD2 2a.AD 3a2 � AD 3a 3a2 � � SABD AB.AD.sin BAD 2 Từ giả thiết suy hình chóp A '.ABD có mặt bên hợp đáy góc 600 Nên H cách cạnh ABD TH : Nếu H nằm ABD H tâm đường tròn nội tiếp ABD 59 Góc mặt bên ABB ' A ' đáy � A ' J H 600 Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp ABD thì: r SABD p 3a 5 � A ' H r tan 600 9a 5 Từ , VABCD A ' B ' C ' D ' 6VA ' ABD A ' H SABD 27 3a3 5 TH : Nếu H nằm ngồi ABD H tâm đường tròn bàng tiếp góc � BAD ABD Gọi bán kính đường tròn bàng tiếp ABD tương ứng : SABD p BD 3a 5 � A ' H r tan 600 9a 5 Từ , VABCD A ' B ' C ' D ' 6VA ' ABD A ' H SABD 27 3a3 5 C' A' B' O H A C I B Gọi I trung điểm BC , dựng A H A 'I H �A 'I , ta có: �BC AI � BC AIA ' � BC AH � �BC AA ' � AH BC � AH A 'BC � AH d A , A 'BC a � AH A 'I � Gọi O A 'C �AC' O trung điểm đoạn AC’ , đồng thời O giao điểm AC’ với mặt phẳng A ’BC , suy 60 OC' 1� d C, A 'BC d A , A 'BC a d A , A 'BC OA d C', A 'BC Ta có : sin d C', A 'BC BC' a a 10 a a � BC' BC' sin 15 Đặt độ dài cạnh tam giác ABC x x 0 Tam giác BCC’ vuông B cho CC'2 BC'2 BC 5a x2 (1) Tam giác A ’AI vuông A ,AH đường cao tam giác này, suy 1 1 1 � 2 2 2 AH AI AA ' �a � �x � 5a x2 � � �4 � � � � � � � �2 � � 16 3a2 3x2 5a2 4x2 � 3a2 5a2 x2 3x2 5a2 4x2 � 48x4 63a2x2 15a4 � x2 a2 �x2 5a a � x a �x 16 a * Trường hợp x a 1 � CC’ 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ : V SABC CC' a a a3 a a 15 , 1 � CC' 4 Thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ : *Trường hợp x �a � � �4 � � � a 15 15a V SABC CC' � 4 256 61 C' B' A' B C O E 45 a F A a) Tính VABC.A ’B’C’ Gọi E trung điểm AB , ta có � OE AB � � AB A 'OE � AB A 'E � A 'O AB A 'O ABC � Tam giác vuông A ’EA có � A 450 nên tam giác vuông cân E suy a a A ’E AE AA ’ 2 Tam giác vuông A ’OE (vuông O ) cho a2 �1a � a2 3a2 6a2 a A 'O A 'E OE � � A 'O � � � �3 � 36 36 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ : a2 a a3 hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ V SABC A 'O b) Tính Sxq SA BB’A ’ AB.A ’E a2 � AC A 'O � AC A 'OF � AC A 'F Gọi F trung điểm AC : � AC OF � � SACC 'A ' AC.A 'F Hai tam giác vuông A ’OE A ’OF có A ’O cạnh chung , OE OF nên chúng � A 'F A 'E � SACC 'A ' 62 a2 �BC A 'O � BC A 'OA � BC AA ' � BC BB' � �BC AO Mặt khác theo tính chất hình lăng trụ BCC’B’ hình bình hành, lại có BC BB’ nên BCC’B’ hình chữ nhật, suy a a2 a 2 Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ SBCC’B’ BB’.BC AA ’.BC Sxq a2 a SA BB'A ' SACC'A ' SBCC 'B' a 2 Bi 13 a) Hạ AH BC � AH (BCC ' B ') , Vì AA ' P BCC ' B ' � d AA ', (BCC ' B ') d A, BCC ' B ' AH a Hạ CK AC ' , AB AC AB AA ' � AB ACC ' A ' � AB CK � CK ABC ' � CK d C , ABC ' b � ' Ta có AB ACC ' A ' � CAC góc hai mặt phẳng ABC ' ABC � ' Do AC CK Suy CAC sin CC ' AB b , sin CK b cos cos AH � AB SABC AC ab a2 sin2 b2 b2 a2 sin2 a2b2 b2 a2 sin2 1 ab b ab2 AB.AC 2 b2 a2 sin2 sin 2sin b2 a2 sin2 Thể tích lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là: V CC '.SABC b ab2 ab3 cos 2sin b2 a2 sin2 sin 2 b2 a2 sin2 63 b) Khi a b � V Do sin cos2 sin cos2 a3 2sin cos2 1 �2sin2 2cos2 � � 2sin cos2 cos2 � � � 2� � � V 3a3 2 Đẳng thức xảy 2sin cos � tan Vậy arctan 2 � arctan V đạt giá trị nhỏ B' A' I' C' H K 2 B I A O a C a) Tính VABC.A ’B’C’ Gọi I trung điểm AB H hình chiếu vng góc I lên CC’ Vì tam giác ABC tam giác , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên CO AB I OI OC � AB CI � AB C'CI � AB CC' � AB C'O � � CC' AB � CC' AHB � CC' IH � 64 � ACC'A ' � BCC'B' CC' � � AHB CC' � � AHB � ACC'A ' AH , AHB � BCC'B' BH � � ACC'A ' , BCC'B' HA ,HB Vi ACC’A ’ , BCC’B’ 2 nên � AHB 2 hay � AHB 2 IH cắt hai đường thẳng AB CC’ đồng thời vng góc với hai đường thẳng nên IH đoạn vng góc chung AB CC’ , suy IH d Tam giác AHB có HI đường trung tuyến đường cao nên tam giác IHA � AHB AHB cân H , suy � Gọi a độ dài cạnh tam giác ABC Trường hợp � AHB 2 Trong tam giác vuông AIH , AI IH tan dtan � a 2d tan Trong tam giác vuông IHC �a � CH CI – I H � � d d 3tan �2 � � � 2 d2 d2 3tan2 � CH d 3tan2 Hai tam giác vuông IHC C’OC có góc nhọn C chung nên đồng dạng suy 2d 3tan C'O OC IH.OC 2d 3tan � C'O 2 IH CH CH d 3tan d 3tan 3tan2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ d V SABC C’O a 3 d a2 2d 3tan 4d2 3tan2 2d 3tan 2d3 tan3 3tan2 3tan2 3tan2 (1) Trường hợp � AHB 2 Tính tương tự thay ta � � 2d3 tan3 � � �2 � 2d cot V � � 3cot2 3tan2 � � �2 � b) Tính biết 900 65 uu r uuur Gọi I’ trung điểm B’C’ , CI C 'I ' nên tứ giác CII’C’ hình bình hành Qua I’ dựng đường thẳng song song với C’O cắt đường thẳng CI K ,ta có tứ giác C’OKI’ hình chữ nhật � ABB'A ' � ABC AB � � C'IC AB � � C'IC � ABC CK , C'IC � ABB'A ' II ' � � ABB'A ' , ABC CK ,II ' I’K P C’O � I 'K ABC � I 'K CK � I 'KI vuông K � � �� I 'IK góc nhọn � CK ,II’ I 'IK � I 'I K ABB’A ’ , ABC Trường hợp � AHB 2 900 � tan cot IK 2d 3tan ,I 'K C'O I 'K 3tan2 IK OK OI C'I ' OI CI OI a 2d 3tan 3 2d 3tan � tan 3tan2 � tan2 3tan2 2d 3tan � tan 3tan2 1 2 � tan � arctan 2 Trường hợp � AHB 2 � tan2 Tính tương tự thay bới ta arccot 2 Bi 14 � � Ta có CC ' ABCD � CAC ' AC ', ABCD 30 ; 66 AC AC 'cos 300 a Dễ thấy tam giác ABC ' vuông B , suy AB AC 'sin a sin Nên BC AC AB2 �a � � � a2 sin2 �2 � � � a 4sin2 CC ' AC ' a 2 Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' : V CC '.CB.AB a3 sin 4sin2 a a 4sin2 a sin 2 �4sin2 4sin2 � Ta có : 2sin 4sin �� � � � � � 3 � 9a Nên suy V a sin 4sin a � 2sin 4sin � � � 32 � � 9a3 � 2sin 4sin2 � arcsin 32 � nên AB acos ,AD asin , suy Tam giác vuông ABD có ABD 1 diện tích tam giác ABD SABD AB.AD a2 sin 2 Tương tự ta có SCBD a sin 2 Diện tích đáy khối lăng trụ ABCD.A ���� B C D A SABCD SABD SCBD Vậy Vmax a (sin 2 sin 2) a2 sin( )cos( ) C C) (A ���� BCD) Vì (AA �� �� Nên hạ CH A C CH đường cao lăng trụ Mặt khác, AA �� C C hình thoi D B C A' H D' 67 B' C' �� � �� có A AC 600 CC A 600 nên CH CC� sin 600 AC Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABC ta có AC2 BA BC2 2BA.BC.cosB a2 � cos2 cos2 2cos cos cos( )� � � a2 cos( )cos( ) 2cos cos cos( ) a2 cos( )(cos( ) 2cos cos ) 2 a2 � cos2 ( )� � � a sin ( ) � AC asin( ) asin( ), nên thể tích cần tìm V SABCD CH a2 sin( )cos( ) .asin( ) 2 3a3 sin2 ( )cos( ) Tìm giá trị lớn V �sin2( ) �1 � Ta có � nên sin2 ( )cos( ) �1, cos( ) �1 � 3a3 V� Dấu đẳng thức xảy 450 3a3 Vậy, giá trị lớn V đạt 450 Vì hình chiếu AC�lên (ABCD) B ) là AC, lên mặt bên (BCC�� A' �� � �và AC BC�nên CAC B Do CH Do CC� dsin ,AC dcos , AB dsin ,C� B dcos D' Ta có BC d cos2 sin2 Nên hình chữ nhật A �� D CB hình vng A � C2 2BC 2, 2 2 C' A Suy V d3 sin .sin cos2 sin2 (2) B Hay d 2d (cos sin ) � 2(cos sin ) (1) D Thể tích khối hộp chữ nhật V AB.AD.AA � 68 B' C Thế sin từ (1) vào (2) ta có 3 1� � d sin cos2 d sin2 � cos � 2 2� � Theo bất đẳng thức Cauchy 1� 1 � 2 sin2 � cos �� sin2 cos2 V d 2� 2 � V Dấu đẳng thức có cos2 0,5 � 300, 300 C' A' B' A C I B a) Tính VABC.A ’B’C’ Gọi I trung điểm AB , ta có � AB CI � AB CIC' � AB CC' � � AB ABC � ABC' � � CIC' AB � � CIC' � ABC CI , CIC' � ABC' C'I � � ABC , ABC' CI,C'I � C'IC Đặt độ dài cạnh đáy hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ x x 0 CI đường cao tam giác ABC nên CI x Tam giác C’CI vuông C cho 69 CC’ CI tan x CI x tan ,C 'I cos 2.cos 1 x2 Diện tích tam giác ABC’ :SABC’ AB.C'I � S � x2 4Q cos 2 2cos Thể tích khối lăng trụ cho : x2 x 3x3 tan tan Q sin2 .cos b) Tính để V lớn 31 2 V 9Q3 sin4 .cos2 = 18Q sin sin .cos 2 V SABC CC' �1 � sin sin2 cos2 � � � 18Q �2 � Q V 3 � � � � � � Cauchy V Q 3 Q � sin2 cos2 � tan � arctan Vậy V lớn arctan B' C' D' A' d c B C a O D b A Gọi ba kích thước độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật hình hộp chữ nhật a,b,c d Gọi � A 'AC ,� BAC' ,� DAC' Trong tam giác vuông A ’AC (vuông A ’ ) , ABC’ (vuông B ) , C’DA (vuông D ) ,ta có 70 �'AC' AA ' c cos cosA AC' d AB a � cos cosBAC' AC' d AD b � cos cosDAC' AC' d � cos2 cos2 cos2 a2 b2 c2 d2 Mặt khác theo tính chất hình hộp chữ nhật ta có a2 b2 c2 � cos2 cos2 cos2 Chứng minh sin2 1 sin2 1 sin2 Góc đường chéo AC’ với mặt phẳng ABCD , ABB’A ’ , ADD’A ’ (ba mặt phẳng xuất phát từ đỉnh A ) � C'AC 1 ,� C'AB' 1 ,� C'AD' 1 Trong tam giác vuông C’CA (vuông C ) , C’B’A (vuông B’ ) , C’D’A (vuông D’ ) ta có CC' c C'B' b C'D' a sin 1 , sin 1 , sin AC' d AC' d AC' d � sin2 1 sin2 1 sin2 1 a2 b2 c2 d2 71