Dạng 1: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số Bài 1: � � x x2 4x x2 4x �0 x2 5x x �1,x �3 � � � y� y � x x2 4x x2 4x �0 x2 3x �x �3 � � � � Với x �(�;1) U (3; �), y' 2x – hay y' 2 x – 2 Ta thấy: y' với x �(�;1 y' với x �(3; �) Với x �(1;3), y' 2x y' � x �(1;3) Tại x 1: y'(1 ) 2(1) 1,y'(1 ) 2(1) 3 � y'(1) không tồn Tại x 3: y'(3 ) 2(3) 1, y'(3 ) 2(3) 3 � y'(3) không tồn �3 � lim y lim x2 � 1 � � x�� � x��� � x x2 � x2 x y , maxy không tồn Từ bảng biến thiên suy x�� x�� � x2 x x �[1;2] � y � � � x 1 x x �[2;1] x �(1;2) , y' x x2 1 x2 x x2 � � 2 � x2 x2 � � � � �x2 y' � � x x � � x x � � �� � x x �(1;2) x �(1;2) � �x �(1;2) � �x �(1;2) x �(2;1) , y' x x2 1 x x2 x2 � x �(2;1) � x �(2;1) � � y' � � �� x �0 � x 2 2 � x x � 4 x x � Tại x 1: y'(1 ) , y'(1 ) 1� y'(1) không tồn 3 Tại x , x 2 y' khơng xác định Từ bảng biến thiên suy maxy 2 , y x�D x�D Bài 2: maxf(x) f(2) 5; f(x) f � 63 Ta có : y' 1 x 4 x x2 x 4 x � y' � x2 x � x �2 � �� � x maxy y( 2) 2; y y(2) 2 x x2 � Hàm số xác định � 2x x � �0 x y' 1 1 x 2x x2 1 x ,x �(0;2) 2x x2 2x x2 Tại hai điểm x ,x y’ không tồn � x �(0;2) � 1 x � 1 x � � � y' 0,x �(0;2) � � �� �� 2 2 2x x x 2x � 2x 4x � 2x x x � � x 2 �2 � y 0 , y 2 ,y � � suy maxf(x) , minf(x) � � x�D x�D � � y 12, max y 3 13 x� � 0;3� x�� 0;3� � � � � Bài 3: 2 , miny maxf(x) 7, minf(x) x�� x�� Chú ý: Với toán ta giải phương pháp miền giá trị sau: maxy 20x2 10x � (20 3y)x2 2(5 y)x y (1) 3x2 2x 20 � (1) có nghiệm * y 20 � y * Nếu y � � (1) có nghiệm � ' 2y2 19y 35 �0 ۣ Bài 4: 2x 2x y' Bình phương hai vế ta có phương trình hệ 2 x x x2 x y (2x 1)2[(2x 1)2 3] (2x 1)2[(2x 1)2 3] � (2x 1)2 (2x 1)2 � x thay vào (1) ta thấy 1 vơ lý Vậy phương trình y' vô nghiệm hay y' không đổi dấu �, mà y'(0) � y' x �� 64 3� Xét miền 2 x , ta có : y 25 (x 2)2 49 � x �, � � 2� x (x 2) 49 � � � � y' � (x 2) � x � � x � 25 (x 2)2 2 � � � 2� 25 (x 2) 49 � 3� � x � � 2� � � � � � 3� 2 x � x �� 2; ��� 2;5 � � � � 3� � � 2� �� (x 2)� x ��0 �� � 2� � � � � 49 25 x � � � � (x 2) 2� �49 � � � � � � 3� � (x 2)2 � � x �� � x � 25 (x 2)2 � �4 � �� � � � � � Chú ý: Vì (x2 4x 21) (x2 3x 10) x 11 � y � y2 (x 3)(7 x) (x 2)(5 x) 2r(x 3)(7 x)(x 2)(5 x) (x 3)(5 x) (x 2)(7 x) �2 Bài 5: 23 21 , y(3) * y liên tục [0;4] có đạo hàm (0;4) * y(0) , y(4) 1;1� �� t �� 0;1� Đặt t x2 ,x �� � � � Hàm số cho viết lại f t t3 4 1 t ,t �� 0;1� � � 2 Ta có f ' t 3t 12 1 t 3t 8t � �2 � t ,f � � f ' t � � � �3 � f 0 4,f 1 � t2 � Hàm số cho xác định liên tục khoảng 0;� 9x2 1 x2 2 � � 2 8x 8x � 9x x � 9x x � � Hàm số đạt giá trị lớn khoảng 0;� hàm số y x 9x2 65 f x 9x2 x đạt giá trị nhỏ khoảng 0;� Ta có: f ' x 9x 9x2 với x � 0;� Ta tìm nghiệm phương trình f ' x khoảng 0;� � x � x � � f ' x 0,x � 0; � � � �� � x 72x � 9x 9x � 2 1 x � maxy x x0 2 x0 Hàm số khơng có giá trị nhỏ x Bài 5: x y' x 2x (x 3) x2 2x � x �(3;1) � x �(3;1) 2x2 6x � y' � y' � � �� � x x 0,x 3 2x 6x � � x 2x Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: minf x BCS 45 20x2 5(9 4x2) (22 12)[32 (2x)2] � 2.3 1.2x 2x Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: BCS 45 20x2 5(9 4x2) (22 12)[32 (2x)2] � 2.3 1.2x 2x Suy y �6 2x 2x Áp dụng bất đẳng thức a b �a b ,ta có 2x 2x 2x 2x �6 2x 2x suy y �9 � (6 2x)(3 2x) �0 � y � �2x � x � �1 Dạng 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT LIÊN QUAN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1: � � 1 2cos2x với x �� ; � Ta tìm nghiệm phương trình Ta có: y� � 2� � � y' khoảng � ; � � 2� 66 � 1 2cos2x � x � � � � y� 0,x �� ; �� � � � � � x � ; 2 � � � � � � x � � 2� � � � � � � � � y� � , y � � , y� � , � 6� �6 � � 2� 0;� �� t �� 0;1� Đặt t=sinx,x �� � � � Hàm số cho viết lại: y =2t Xét f t 2t � � y � � �2 � 43 t =f t 43 0;1� t liên tục đoạn � � � Ta có : f ' t 4t2 , với t � 0;1 Ta tìm nghiệm phương trình y' � 4t2 � � t khoảng 0;1 f ' t 0,t � 0;1 � � , t � 0;1 � �1 � 2 f� � = , f 0 =0 , f 1 = 3 � 2� �1 � 2 1 max y max f= � � = t = � sinx � x x�[0;] t�[0;1] 2 � 2� y f =f 0 =0 t =0 � sinx � x �x x�[0;] t�[0;1] Bài 2: 1 sin2 2x 3sin2 2x y 1 sin2 2x sin 2x Đặt t sin2 2x, �t �1 Khi đó: y Ta có g'(t) 2. Đặt t (2 t)2 2x 1 x 4 t g(t) với �t �1, 2 t � maxy maxg(t) 3, miny 0;1� � � � t � y sint cos2t 2sin2 t sint Đặt u sint � sin1�u �sin1� y 2u2 u Ta có y' 4u 1� y' � u Bài 3: Đặt t cotx � sin2x 2tanx 1 tan2 x 2cotx 1 cot2 x 17 y 2sin2 1 sin1 2; maxy 2t 1 t2 ; cos2x t2 t2 � f(t) t2 2t t2 67 � g(x) g(x) (sin4 x 2sin2 x 1)(cos4 x 2cos2 x 1) (sin4 x 1)(cos4 x 1) sin4 xcos4 x 8sin2 xcos2 x sin4 xcos4 x 2sin2 xcos2 x u 8u u2 2u h(u) , 5u2 4u 0 u sin2 xcos2 x; �u � � h'(u) 2 (u 2u 2)2 � 1� u �� 0; � � 4� �1 � � 1� h(u) h � � � hàm số h(u) tăng � 0; �nên max � 1� �4 � 25 u�� 0; � � 4� � � h(t) h(0) 1 � 1� u�� 0; � � 4� Vậy maxg(x) ; ming(x) 1 25 Bài 4: x 0;1� 0;1� �ta có hàm số f t 1 t2 1 6t , t �� Đặt sin t � t �� � �, ta � suy y f 0, maxy 10 x�� 0; � � � x�� 0; � � � y sin4 x cos2 x sin4 x sin2 x Đặt t sin2 x,0 �t �1 0;1� Xét hàm số f t t2 t liên tục đoạn � � � 11 maxy max f t y f t 2 t�� 0;1� � � t�� 0;1 � 4 � � 5 x f ' x � x , , 6 t1 , t �� 1; 1� Đặt t sinx � f t � � t t1 t1 f t 1; 1� liên tục đoạn � � � t t1 minf x f t sinx 1 � x k2, k �Z t�� 1;1� � � Ta có : f ' x 1 2cos2x, maxf x max f t sinx � x k, k �Z t�� 1;1� � � Vì sinx cosx �sin2 x cos2 x 1,x �� Nên y 68 sin6 x cosx cos6 x sinx sinx cosx sinxcosx sinx cosx sinx cosx y sinxcosx 1 sinxcosx sin2 xcos2 x 1 sin3 x sin2x sin2x Đặt t sin2x ;0 �t �1 1 0;1� t t t liên tục đoạn � Xét hàm số : f t � � y 2cos6 x 2cos2 x Đặt t cos2 x,0 �t �1 0;1� Khi y g t 2t6 2t2 với t �� � � y Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhỏ hàm số g t với t � 0;1 Ta tìm nghiệm phương trình g' t khoảng 0;1 g' t 0,t � 0;1 � t maxy x y x 4 � � x �� �t � Đặt t sinx cosx 2cos� � 4� 0;1� đoạn � � � Ta có: g' t 6t 2; 2� Khi y g t t2 t với t �� � � 2 Bài tốn trở thành: tìm giá trị lớn nhỏ hàm số g t 3 2; 2� Ta có: g' t t2 với t � 2; đoạn � � � 2 y ,maxy � 1 sinx �0 Hàm số cho xác định � 1 cosx �0 � y � y2 sinx cosx sinx cosx sinxcosx * � � t2 x �, �t � � sinxcosx Đặt t sinx cosx 2sin � � 4� Khi * viết lại f t t t 2t t t �1 t 2,khi �t �1 � f t � �1 t 2,khi 1�t � � 69