CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài tốn 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Bài 1: Hàm số đạt cực đại điểm x = với giá trị cực đại hàm số y(0) = −1 hàm số đạt cực tiểu điểm x = với giá trị cực tiểu hàm số y(2) = Bài 2: Hàm số đạt cực tiểu x = − ,yCT = y ( −2) = −9 ; hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ = y ( 1) = 2 Ta có: y' = 3x2 + 6x + = 3(x + 1)2 ≥ ∀x ⇒ Hàm số khơng có cực trị Hàm số đạt cực đại x = 1;y ( 1) = 29 14 đạt cực tiểu x = 2;y ( 2) = Bài 3: Cách (dùng định lý 2, xét dấu y’) Hàm số đạt cực đại điểm x = ±1 với giá trị cực đại hàm số y(±1) = hàm số đạt cực tiểu điểm x = với giá trị cực tiểu hàm số y(0) = Cách (dùng định lý ) y'' = −12x2 + = −4(3x2 − 1) y''( ±1) = −8 < suy x = ±1 điểm cực đại hàm số yCĐ = y''( 0) = > suy x = điểm cực đại hàm số yCT = Hàm đạt cực đại x = −2 với giá trị cực đại hàm số y(−2) = 25 , hàm số khơng có cực tiểu y'(1) = Nhận xét Trong toán này, định lý khơng khẳng y''(1) = định điểm x = có phải điểm cực trị hàm số hay không 15 Điểm cực đại hàm số x = −1, yCĐ = y'(2) = Nhận xét Trong tốn này, định lý không khẳng y''(2) = định điểm x = có phải điểm cực trị hàm số hay không Hàm đạt cực đại x = −2 , y ( −2) = 25, hàm số khơng có cực tiểu Bài tốn 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC Bài 1: 37 Ta có y = 1+ (x − 1) ⇒ y' = x−1 (x − 1)2 Hàm số đạt cực tiểu x = 1,yCÑ = Hàm số đạt điểm cực đại điểm x = 0,y ( 0) = , hàm số đạt điểm cực tiểu điểm x = 1,y ( 1) = −2 Bài 2: x− x2 − 4x + − (x − 2) y' = x2 − 4x + x2 − 4x + 2x x + − (x2 + 20) y' = x+1 = 2 x − 4x + 6(x − 4x + 6) > 0,∀x ∈ ¡ 2 x + = 4x(x + 1) − (x + 20) = 3x + 4x − 20 2x x + 2x x + x > −1 y' = ⇔ ⇔ x= 3x + 4x − 20 = Bài 3: Hàm số đạt cực đại điểm x = , y ( ) ( 2) = đạt cực tiểu điểm x = − 2, y − = −2 Ta có: y' = − x x −3 = x2 − − x x −3 ⇒ y' = ⇔ x2 − = x x ≥ ⇔ ⇔ x = hàm số khơng có đạo hàm x = ± 4(x − 3) = x Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 2, y(2) = , hàm số khơng có cực đại Bài 4: Hàm số đạt điểm cực đại điểm x = 0,y ( 0) = , hàm số đạt điểm cực tiểu điểm x = 1,y ( 1) = −2 Hàm số có điểm cực đại x = , y ( 0) = 3 Bài 5: Ta có: y' = 2x − + 2x + ,y' = ⇔ x = x2 − x + x2 + x + 3 −x + 2 y' = − x + 4x − + x + ÷ −x2 + 4x − 3 −x2 + 4x − + x + ÷(−x + 2) −2x2 + x = = , x ∈ (1;3) 2 − x + 4x − −x + 4x − 38 x ∈ (1;3) x ∈ (1;3) y' = ⇔ ⇔ 9⇔ x= −2x + x = x = ∨ x = Vậy hàm số đạt cực đại x = , y = 15 15 CĐ 16 Bài tốn 03: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1: π π + k ,k ∈ ¢ π π π −8 k = 2n y'' = −8sin2x ⇒ y'' + k ÷ = −8sin + kπ ÷ = 2 4 2 8 k = 2n + 1 Ta có : y' = 4cos2x ⇒ y' = ⇔ cos2x = ⇔ x = Vậy hàm số đạt cực đại điểm x = x = π + nπ , π y + nπ ÷ = −1 đạt cực đại 4 π π π π + ( 2n + 1) , y + ( 2n + 1) ÷ = −5 4 2 3 x x x x x x sin + cos = sin2 ÷ + cos2 ÷ = sin2 + cos2 ÷ − 3sin2 cos2 4 4 4 4 4 x 1− cosx + 3cosx = 1− sin2 = 1− = 4 x = 2kπ y' = − sinx ⇒ y' = ⇔ sinx = ⇔ ,k ∈ ¢ x = (2k + 1)π 6x 6x 3 y'' = − cosx,y''(2kπ) = − cos(2kπ) = − < 8 Suy hàm số đạt cực đại điểm x = 2kπ ,k ∈ ¢ ,yCĐ = 3 y''[(2k + 1)π] = − cos π = > 8 Bài 2: Ta có : y' = − sinx sinx + cosx cosx = 1− 3sin2 x sinx sinx π x ∈ 0; ÷ π ⇔ sinx = * ( ) Trên khoảng 0; ÷: y' = ⇔ 2 sin2 x = Tồn góc β cho sin β = , ( *) ⇔ x = β 39 Với sin β = y ( β ) = cosβ sinβ = cosβ = Suy hàm số đạt cực đại x = β , y ( β ) = 12 12 với sin β = y = cos3 x+sin3 x + 3sin2x = ( cosx + sinx) ( 1− cosx.sinx) + 3sin2x Vì 1 ( 2− 2cosx.sinx) = 2( 2− sin2x) > Nên y = cosx + sinx ( 1− cosx.sinx) + 3sin2x 1− cosx.sinx = Đặt t = cosx + sinx ⇒ cosx.sinx = t −1,0 ≤ t ≤ 2 3 Khi y = f ( t) = − t3 + t2 + t − , 0≤ t ≤ 22 3 Ta có : y' = −t2 + 2t + = − ( t − 1) > 0,∀t ∈ 0; 2 , suy hàm số không 2 có cực trị Bài tốn 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ Bài 2: uuuu r uuu r AM = NB Cách 1: AM = AN Cách 2: ( d ) cần tìm qua trung điểm AB vng góc AB ( ) Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ Bài tốn 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ HOẶC KHƠNG CĨ CỰC TRỊ Bài 1: Ta có: y' = 3mx2 + 6mx − m + Hàm số có đạo hàm điểm nên x0 điểm cực trị hàm số đạo hàm phải Vậy hàm số có cực trị y' = phải có nghiệm y' đổi dấu qua nghiệm * Nếu m = ⇒ y' = > ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số khơng có cự trị * Nếu m ≠ Khi y' tam thức bậc hai nên y' = có nghiệm đổi dấu qua nghiệm ⇔ y' = có hai nghiệm phân biệt hay m < m > Ta có y' = 4mx3 − 2( m − 1) x y' = ⇔ x = 2mx2 + m − = ( *) Hàm số có cực trị phương trình y' = có nghiệm y' đổi dấu x qua nghiệm Khi phương trình 40 2mx2 + m − = ( *) vơ nghiệm hay có nghiệm kép x = m = m = m ≤ ⇔ m ≠ ⇔ ⇔ m < ∨ m ≥ m ≥ ∆ ' = −2m ( m − 1) ≤ y ′= 2x3 − 2mx = 2x(x2 − m) y ′= ⇔ x = x2 = m Đồ thị hàm số cho có cực tiểu mà khơng có cực đại ⇔ phương trình y ′= có nghiệm ⇔ m ≤ Bài 2: Bài 3: Hàm số có cực trị ⇔ y' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = m2 − 4m + > với m Vậy hàm số ln có cực trị với m • Với m = ta có y = −x2 + x − 1, ta thấy hàm số đạt cực đại x = Suy m = thỏa u cầu tốn • m ≠ , ta có: y' = ⇔ mx2 − 2x + 1− 2m = (*) Hàm số cho có cực trị phương trình (*) có hai nghiệm ∆ ' = 1− m(1− 2m) > ⇔ ⇔ 2m2 − m + > với m phân biệt khác m − + − 2m ≠ m Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình x2 + 2mx + m2 − 2m + = có ∆ ' = 2m − > ⇔ m> hai nghiệm phân biệt khác − m ⇔ −2m + ≠ + Nếu m = y = x2 − ⇒ hàm số có cực trị Hàm số có cực trị phương trình m 1− m2 > ⇔ ⇔ −1< m < mx2 − 2x + m = có hai nghiệm phân biệt khác m ≠0 m − m + Nếu m ≠ hàm số xác định ∀x ≠ Bài 4: f '(x) = x2 + 2x + 3a ; g'(x) = x2 − x + a Ta cần tìm a cho g′ (x) có nghiệm phân biệt x1 < x2 f ′ (x) có nghiệm phân biệt x3 < x4 cho ∆1′ = 1− 3a > ; ∆ = 1− 4a > a < x1 < x3 < x2 < x4 ⇔ ⇔ (*) ′ ′ x < x < x < x f x f x < ( ) ( ) 2 ′ ′ f x f x < ( ) ( ) Ta có: f′ ( x1 ) f′ ( x2 ) < ⇔ g′ ( x1 ) + 3x1 + 2a g′ ( x2 ) + 3x2 + 2a < ⇔ < a< ( 3x1 + 2a) ( 3x2 + 2a) < ⇔ 9x1x2 + 6a( x1 + x2 ) + 4a2 = a( 4a + 15) < ⇔ − 15 Bài 6: 41 b ≠ b2 − a2b =0 y'(0) = b2 a ≠ − b ⇒ ⇒ 2 Điều kiện cần : 2 y'(1) = a + 2ab + b − a b = b − a b = a2 + 2ab + b2 − a2b = (a + b)2 b ≠ b ≠ b ≠ a= − a ≠ − b a ≠ − b a ≠ − b ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 b − a = b = a b = a b = a2 + 2ab = a + 2b = a + 2a2 = y'(0) = c = c = a = y(0) = d = d = b = −3 ⇒ ⇒ ⇒ y'(2) = 12a + 4b + c = 3a + b = c = y(2) = −2 8a + 4b + 2c + d = −2 8a + 4b + = −2 d = a = 1,b = − 3,c = ,d = Kiểm lại : Khi thỏa mãn toán Bài tốn 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM Bài 1: y' = ⇔ x = m x = m + 2, y ( m) = m y ( m + 2) = m − Gọi A ( m;m) , B( m + 2;m − 4) , suy AB = + 16 = = số M(−2; −3 + m) , N(0;m + 1) với m ⇒ MN = ( + 2) + ( m + 1+ − m) = 20 A(m;2m3 + 3m2 + 1), B(m + 1;2m3 + 3m2) ⇒ AB = Bài 2: Hàm số đạt cực tiểu x = y'(2) = ⇒ + 4(2m − 1) + m − = ⇒ m = Kiểm lại Ta có y'' = 2x + 2(2m − 1) Khi m = y'' = 2x + 2, suy y''( 2) = > Hàm số đạt cực tiểu x = 1⇒ y'(1) = ⇔ 6m − = ⇔ m = Khi y''(1) = 10m − = > ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = 11 ⇒ y' = 1− Ta có: y = x + y'' = x+ m (x + m) (x + m)3 Cách 1: Vì hàm số có đạo hàm điểm x ≠ − m nên để hàm đạt cực = ⇔ m = 0;m = −2 tiểu x = trước hết y'(1) = 1− (1+ m)2 * m = ⇒ y''(1) = > ⇒ x = điểm cực tiểu ⇒ m = thỏa yêu cầu toán * m = −2 ⇒ y'(1) = −1 < ⇒ x = điểm cực đại ⇒ m = −2 khơng thỏa u cầu tốn Cách 2: Bài toán khẳng định y''(1) ≠ nên ta trình bày: 42 y'(1) = ⇒ m= Hàm số đạt cực tiểu x = ⇔ y''(1) > Hàm số đạt cực đại x = −1⇒ y'(−1) = ⇔ 1+ m− (m − 1)2 =0 ⇔ m2 − m − = ⇔ m = −1,m = • m = −1⇒ y''(−1) = −1< ⇒ x = −1 điểm cực đại • m = ⇒ y''(−1) = > ⇒ x = −1 điểm cực tiểu Bài 3: 1 d = m2 − m + = m − ÷ + ⇒ mind = ⇔ m = 2 Yêu cầu toán ⇔ 2m + m + 1− = ⇔ 3m − = ⇔ m = 2,m = − 3 Gọi A ,B điểm cực trị ta có : A(1− m; −2 − 2m3); B(1+ m; −2 + 2m3) Điểm O cách hai điểm A ,B ⇔ OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔ m = ± Bài 4: Đường thẳng ( d ) qua cực trị có phương trình ( m ≠ 0) 2( m − 9) x − 3y + 4( m − 3) = ( ) d A ,( d ) = 2( m − 9) 1− 3.( −4) + 4( m − 3) 2( m − 9) + ( −3) ( ) Theo toán d A ,( d ) = 12 265 ⇔ = 6m − 18 4m2 − 72m + 333 m− 4m2 − 72m + 333 = 265 Bình phương hai vế, rút gọn ta được: 249m − 1302m + 1053 = Bài 5: g ( x) = x2 − 2x + m2 − 3m + Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình g ( x) = 0,x ≠ có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác ∆ '> ⇔ ⇔ 1< m < g ( 1) ≠ x = 1− − m2 + 3m − 2,y = 1− m + − m2 + 3m − 1 Khi y' = ⇔ 2 x2 = 1+ − m + 3m − 2,y2 = 1− m − −m + 3m − 2 y1.y2 = 5 m − ÷ − ≥ − ⇒ y1.y2 = − m = 5 5 5 Bài 6: Ta có: y' = m + ⇒ đồ thị hàm số có hai cực trị ⇔ m < x 43 A(− 44 ;2 −m), B ; −2 −m ÷ , AB2 = + 16(− m) ≥ 16(−m) = 16 −m −m −m −m