Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng r Bài 1: Ta có v = (3;4) véctơ phương dm uuuu r r Mặt khác, MN = nên k = ±1 Nếu k = −1 Vì M ,N thuộc dm nên MN = k.v uuuu r u u u u r r r MN = − v ⇔ NM = v Vì khơng cần xem xét thứ tự hai điểm M với N uuuu r r nên ta cần xét trường hợp MN = v r r Xét phép tịnh tiến Tv Gọi (C') = Tv (C) (C') : y − = (x − 3)3 − 3(x − 3) + ⇔ y = x3 − 9x2 + 24x − 11 Vì M ∈ (C) nên N = Tvr (M ) ∈ Tvr (C) = (C') Do đó, N giao điểm (C) (C') Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C') x3 − 3x + = x3 − 9x2 + 24x − 11 Phương trình có hai nghiệm x = x= * Khi x = 35 11 ta N ; ÷ Vì N ∈ dm nên m = 27 27 235 151 ta N ; ÷ Vì N ∈ dm nên m = 27 27 11 151 Kiểm tra ta thấy m = m = dm cắt (C) ba điểm phân biệt 27 27 uuuu r r r Bài 2: Vì MN song song với trục hồnh nên MN = k.i = (k;0) , với i = (1;0) * Khi x = véctơ đơn vị trục hồnh Khi ta có MN = k r Xét phép tịnh tiến theo véctơ v = (k;0) Gọi (C k ) ảnh (C) qua Tvr (C k ) : y = (x − k)3 − 3(x − k) + Vì N = Tvr (M) ∈ Tvr (C) = (C k ) nên N giao điểm (C) (C k ) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C k ) 3x2 − 3k.x + k2 − = Phương trình có nghiệm ∆ = −3k2 + 36 ≥ ⇔ k ≤ Khi k = (C) (C k ) có điểm chung N ( ) 3;3 ( ) Khi k = −2 (C) (C k ) có điểm chung N − 3;3 Vậy MN = k lớn k = ±2 Vậy, hai điểm cần tìm N ( ) ( ) ( ) 3;3 M − 3;3 N − 3;3 M ( ) 3;3 70 Bài 3: Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị ( C ) , gọi I ( x0;0) uur x = x0 + X OI Chuyển : ( Oxy ) → ( IXY ) = y = Y Phương trình ( C ) hệ tọa độ : Y = ( x + x0 ) − 4( x + x0 ) + 7( x + x0 ) − 6( x + x0 ) + 4 ( ) ( ) ( ) ⇔ Y = X + ( 4x0 − 4) X + 6x02 − 5x0 X + 4x03 − 5x02 + 7x0 − X + x04 − 4x03 + 7x02 − 6x0 + Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không : 4x0 − = ⇔ 4x03 − 5x02 + 7x0 − = ⇒ x0 = x0 − 4x0 + 7x0 − 6x0 + = Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x = Bài 4: Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị ( C ) , gọi I ( x0;0) uur x = x0 + X OI Chuyển : ( Oxy ) → ( IXY ) = y = Y Phương trình ( C ) hệ tọa độ : ( ) ( ) Y = X + ( 4x0 + 4) X + 6x02 + 3x0 + m X + 4x03 + 12x02 + 2mx0 X + x04 + 4x03 + mx02 4( x0 + 1) = x = −1 ⇒ Để hàm số chẵn : 4x0 + 120 + 2mx0 = m = Dạng 2: Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Bài 1: Hàm số viết lại : y = 1− x+ Giả sử ( C ) có tâm đối xứng I ( x0;y0 ) uur OI x = x0 + X Chuyển : ( Oxy ) → ( IXY ) = y = y0 + Y Phương trình ( C ) hệ : Y + y0 = 1+ 71 1 ⇔ Y = − y0 + 1+ X + ( x0 + 1) ( x0 + X ) + 1− y0 = x0 = −1 ⇒ ⇔ I ( −1;1) Để hàm số lẻ : x0 + = y0 = 1 Hàm số viết lại : y = x + 1+ x−1 Giả sử ( C ) có tâm đối xứng I ( x0;y0 ) uur OI x = x0 + X Chuyển : ( Oxy ) → ( IXY ) = y = y0 + Y Phương trình ( C ) hệ : Y + y0 = ( x0 + X ) + 1+ 1 ⇔ Y = X + ( x0 + 1− y0 ) + X + ( x0 − 1) ( x0 + X ) − x0 + 1− y0 = x0 = ⇒ ⇔ I ( 1;2) Để hàm số lẻ : x0 − = y0 = Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I ( 1;2) Bài 2: Ta có y' = 3x2 − 6x , y'' = 6x − y'' = ⇔ x = Hoành độ điểm I thuộc ( C ) x = 1,y ( 1) = −1 Vậy I ( 1; −1) ∈ ( C ) uur Công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tuyến theo vectơ OI x = X + Phương trình ( C ) hệ tọa độ IXY : y = Y − Y − = ( X + 1) − 3( X + 1) + ⇔ Y = X − 3X Vì hàm số lẻ nên đồ thị ( C ) nhận gốc toạ độ I làm tâm đối xứng y' = 3x2 − 6x ⇒ y'( 1) = −3 Phương trình tiếp tuyến đường cong ( C ) điểm I hệ tọa độ Oxy : y = y'( 1) ( x − 1) + y ( 1) = −3( x − 1) − ⇔ y = g ( x) = −3x + ( ) Xét hàm h ( x) = f ( x) − g ( x) = x − 3x + − ( −3x + 2) = ( x − 1) ¡ Dễ thấy h ( x) < 0,x < Điều chứng tỏ khoảng ( −∞;1) đường cong ( C ) nằm h ( x) > 0,x > phía tiếp tuyến điểm I ( C ) khoảng ( 1;+∞ ) đường cong ( C) nằm phía tiếp tuyến Bài 3: Hàm số cho xác định liên tục ¡ Ta có : y' = 3x2 − 2( m + 3) x + + 3m y'' = 6x − 2( m + 3) 72 ∆' > y, Đồ thị hàm số có cực trị điểm I nằm trục Ox ⇔ y( x ) = u m + − + 3m > ) ( ) ( ⇔ m + 3 m + 3 m + 3 − m + ( ) ÷ ÷ + ( + 3m) ÷ − 2m = m2 − 3m + > ⇔ ⇔ m = 0,m = 3,m = 2 2m − 9m + = Dạng 3: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng Bài 1: Ta có : y' = 3x2 − 6x + 3m, y'' = 6x − y'' = ⇔ 6x − = ⇔ x = ⇒ I ( 1;6m + 2) 1 = ⇒ m= Để đồ thị có tâm đối xứng I : 6m + = Vậy với m = , đồ thị có tâm đối xứng I Gọi J giao hai tiệm cận , J ( 2;m + 4) Để đồ thị có tâm đối xứng I 2 = ⇒ m = −3 ta buộc J trùng với I , nghĩa ta có hệ : m + = Vậy với m = −3 , đồ thị có tâm đối xứng I Bài 2: Ta có : y' = − 3x2 6x + 6mx ⇒ y'' = − + 6m m m ( ) 6x + 6m = ⇒ x = m2 ⇒ I m2;2m5 − m m2 = m = ±1 ⇔ ⇔ m = ±1 Để đồ thị có tâm đối xứng I 2m − = m = Vậy với m = ±1 , đồ thị có tâm đối xứng I Bài 3: Với y''=0 ⇔ − Với m = ⇒ (C 2) : y = x3 − 5x2 + 6x + Gọi A(a;a3 − 5a2 + 6a + 3), B(b;b3 − 5b2 + 6b + 3) hai điểm thuộc (C) đối a = − b a = − b ⇔ xứng qua O ⇒ 3 a − 5a + 6a + = − b + 5b − 6b − a = Vậy hai điểm thuộc (C) đối xứng qua O : 73 33 33 A ; ÷ B − ; − ÷ 5 5÷ 5 ÷ Gọi M(x1;y1), N(x2;y2) hai điểm thuộc (C) x ,x ≠ x1,x2 ≠ M ,N đối xứng qua Oy ⇔ x1 = − x2 ⇔ x1 = − x2 y = y 2 x1 + 2m = ( ∗) Yêu cầu tốn ⇔ ( ∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔ −2m > ⇔ m < Vậy m < giá trị cần tìm Dạng 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với đường cong qua điểm qua đường thẳng Bài 1: Gọi điểm A x;x − 1− ÷∈ ( C ) ,B( x';y') ∈ ( C') x + 2 Khi A chạy ( C ) qua điểm I , B chạy ( C') , ( C') đối xứng với ( C ) qua I A B đối xứng qua I x = −2 − x' 1 x = 2xI − x' ⇔ ⇒ ⇔ − y' = −2 − x'− 1− ; ⇔ − y' = −x'− + −2 − x'+ x' y = 2yI − y' y = − y' Vậy, ( C') có phương trình : y = x + − x x4 − 3x2 + ,B( x';y') ∈ ( C') 2 Khi A chạy ( C ) qua điểm I , B chạy ( C') , ( C') Gọi điểm A ( x;y ) ∈ ( C ) ⇒ y = đối xứng với ( C ) qua I A B đối xứng qua I x = 2.0 − x' ( −x') − −x' + ⇔ y' = − x'4 + 3x'2+ ⇒ − y' = ( ) 2 y = 2.2 − y' 4 Vậy, ( C') có phương trình : y = − x + 3x2 + 2 Bài 2: Gọi A ( x;y ) thuộc ( C ) B( x';y') thuộc ( C') Nếu ( C') đối xứng với ( C ) qua d , A B đối xứng qua d 74 y − y' ÷ = −1 y − y' = −2( x − x') ( 1) kAB.kd = −1 x − x' y − y' = −2( x − x') ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ I ∈ d x + x' − 2 y + y' − = x + x'− 2( y + y') − = y + y' = ( x + x'+ 2) ( 2) ÷ y + 2x = y'+ 2x' 5y = −3y'+ 4x'+ ⇔ ⇒ 2y − x = x' − 2y' + 5x = 3x'+ 4y'− Từ phương trình hàm số : 10 10 5y = 5x + + ⇒ 4x'− 3y'+ = 4y'+ 3x'− + + 5x + 10 4y'+ 3x'− + 10 x− Gọi A ( x;y ) thuộc ( C ) B( x';y') thuộc ( C') đồng thời đối xứng với A qua Ox Khi : x = x' y = − y' ( C') : y = 1− x − Do A thuộc ( C ) : − y' = −2x'( + x') ⇔ y' = − −2x'( + x') Phương trình ( ∗) phương trình ( C') : y = ( ∗) −2x( + x) Nếu ( C ) cắt ( C') phương trình hoành dộ điểm chung : x ≤4 y = 2x( − x) x − 2) ( y2 2 2 ⇔ ⇔ y = −2x + 8x ⇒ y + x − 4x + = ⇔ + =1 y = − −2x( + x) 2 y = −2x − 8x ( ) x − 2) y2 Vậy, ( C ) cắt ( C') E-Líp : ( + =1 Bài 3: ( C’) = Tur ((C)) u u r Gọi M’ (x’;y’) ảnh điểm M(x;y) qua phép tịnh tiến vectơ u = (1;2) ,ta có uuuuu r u r x'− x = x = x'− MM ' = u ⇔ ⇔ y'− y = y = y'− M ∈ (C) ⇔ y = x3 − 3x + ⇔ y'− = (x'− 1)3 − 3(x'− 1) + ⇔ y'− = x'3− 3x'2 + 3x'− 1− 3x'+ ⇔ y' = x'3− 3x'2 + ⇔ M ' ∈ (C') : y = x3 − 3x2 + Vậy phương trình (C’) : y = x3 − 3x2 + Gọi M’ (x’;y’) ảnh M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(- 1;1), ta có x + x' = 2xI = −2 x = −2 − x' ⇔ I trung điểm MM’ ⇔ y + y' = 2yI = y = − y' 75 M ∈ (C) ⇔ y = x3 − 3x + ⇔ 2– y’ = ( −2– x’) − 3( − 2– x’) + ⇔ M ' ∈ (C') : y = x3 + 6x2 + 9x + uur Cách khác : Tịnh tiến OI Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục IXY x = X + xI = X − Công thức chuyển hệ tọa độ : y = Y + yI = Y + Đối hệ trục IXY , phương trình (C) : Y + = ( X − 1) – 3( X – 1) + ⇔ Y = (X − 1)3 − 3(X − 1) = F ( X ) (C’) đối xứng với (C) qua gốc tọa độ I ,suy phương trình ( C’) : Y = − F ( − X ) ⇔ Y = − ( −X – 1) + 3( − X – 1) Suy phương trình (C’) hệ trục Oxy : y − 1 = − ( − x – 2) + 3( − x – 2) ⇔ y = x3 + 6x2 + 6x + 3 Gọi M(x’;y’) ảnh M(x;y) qua phép đối xứng qua đường thẳng (d) : x + x' = x = − x' ⇔ x = ,ta có y = y' y = y' M(x,y) ∈ (C) ⇔ y = x3 − 3x + ⇔ y' = (4 − x')3 − 3(4 − x') + ⇔ y' = −x'3+ 12x'2 − 45x'+ 53 ⇔ M ' ∈ (C') : y = −x3 + 12x2 − 45x + 53 Vậy phương trình ( C’) : y = −x + 12x − 45x + 53 uuu r Cách khác Tịnh tiến OE với E(2;0) Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục EXY x = X + xE = X + Công thức chuyển hệ tọa độ : y = Y + yE = Y Đối với hệ trục EXY: Phương trình (d) : X = Phương trình (C) : Y = ( X + 2) − 3( X + 2) + = G ( X ) (C’) đối xứng với (C) qua trục tung EY , suy phương trình (C’) : Y = G ( − X ) = ( − X + 2) – 3( − X + 2) + Suy phương trình (C’) hệ trục Oxy Y = ( 4– x) – 3( 4– x) + = − x3 + 12x2 − 45x + 53 Bài 4: y'( 2) = ⇔ b = 12a − 12 ⇒ y ( a) = −2a + 12a − 12a + y'' = ⇔ x = a ( ) Theo toán ta có I a; −2a + 12a − 12a + I ∈ y = −2x3 + 11x2 − 6x − suy ( a − 3) = ⇔ a = ⇒ b = 24 76 Thử lại thấy thỏa ( ) uuu r uur 2 I −a;a − b ABOI hình bình hành AB = OI ⇔ a = 2,b = 77 ... − 6( x + x0 ) + 4 ( ) ( ) ( ) ⇔ Y = X + ( 4x0 − 4) X + 6x02 − 5x0 X + 4x03 − 5x02 + 7x0 − X + x04 − 4x03 + 7x02 − 6x0 + Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không : 4x0 − = ⇔ 4x03 −... trình ( C ) hệ tọa độ : ( ) ( ) Y = X + ( 4x0 + 4) X + 6x02 + 3x0 + m X + 4x03 + 12x02 + 2mx0 X + x04 + 4x03 + mx02 4( x0 + 1) = x = −1 ⇒ Để hàm số chẵn : 4x0 + 120 + 2mx0 = m = Dạng 2: