Về định lý hilbert thứ 17

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC PHAN VĂN DÂN V— ĐÀNH LÍ HILBERT THÙ 17 LUŠN VĂN TH„C Sß TỐN HÅC THÁI NGUN - NĂM 2017 Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC PHAN VĂN DÂN V— ĐÀNH LÍ HILBERT THÙ 17 Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ c§p Mã sè: 60 46 01 13 LUN VN THC Sò TON HC NGI HẻNG DN KHOA HÅC TS Nguy¹n Văn Hồng THÁI NGUN - NĂM 2017 i Mưc lưc Líi c£m ơn Líi mð đ¦u KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 1.1 Mð rëng trưíng 1.2 Bªc siêu vi»t 1.3 Ôi số, ỗng cĐu Ôi số 4 ĐÀNH LÍ HILBERT THÙ 17 2.1 Mët sè ví dư liên quan đ¸n Bài tốn thù 17 cõa Hilbert 2.2 Đành lý Artin - Cassels - Pfister 2.3 Lý thuy¸t cõa Artin Bài tốn thù 17 cõa Hilbert 2.3.1 Trưíng thüc hình thùc 2.3.2 Đành lý Sylvester v· trưíng đóng thüc 2.3.3 Bài toán thù 17 cõa Hilbert 7 15 20 20 24 29 Kát luên 34 Ti liằu tham khÊo 35 Líi c£m ơn Luªn văn đưđc thüc hi»n tÔi Trớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc Thỏi Nguyờn v hon thnh dợi sỹ hợng dăn cừa TS Nguy¹n Văn Hồng Tác gi£ xin đưđc bày tä lòng biát n chõn thnh v sõu sc tợi ngới hợng dăn khoa hồc cừa mỡnh, ngới ó t vĐn ã nghiờn cựu, dnh nhiãu thới gian hợng dăn v tên tình gi£i đáp nhúng thc mc cõa tác gi£ st q trình làm luªn văn Tác gi£ hồc têp ủc rĐt nhiãu kián thực chuyờn ngnh bờ ích cho công tác nghiên cùu cõa b£n thân Tác gi£ xin bày tä lòng c£m ơn sâu sc tợi cỏc thƯy giỏo, cụ giỏo ó tham gia giÊng dÔy lợp Cao hồc Toỏn K9b2 (khúa 20152017); Nh trớng phòng chùc cõa Trưíng; Khoa Tốn – Tin, trớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc Thỏi Nguyên quan tâm giúp đï tác gi£ suốt thới gian hồc têp tÔi trớng Tỏc giÊ cng xin gûi líi c£m ơn sâu sc tỵi Trung tâm Nghiên cùu Phát triºn giáo dưc H£i Phòng giỳp ù, tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi giỳp tụi có thº hồn thành luªn văn Tác gi£ xin gỷi lới cÊm n tợi têp th lợp Cao håc Tốn K9b2 (khóa 2015–2017) ln đëng viên giúp đï tác gi£ r§t nhi·u q trình håc tªp, nghiên cùu Ci cùng, tơi xin gûi líi c£m n chõn thnh tợi gia ỡnh, bÔn bố, lónh Ôo n v cụng tỏc v ỗng nghiằp ó ởng viờn, giỳp ù v tÔo iãu kiằn tốt nhĐt cho tụi håc tªp nghiên cùu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác gi£ Phan Văn Dân Mð đ¦u Mởt nh lớ nời tiáng cừa Lagrange núi rơng vợi méi sè ngun dương a đ·u biºu di¹n đưđc thành têng cõa sè phương Vì vªy, ngưíi ta quan tõm án cõu họi liằu rơng cú th m rëng v§n đ· cho đa thùc Xét đa thùc h» sè thüc n bi¸n f ∈ R[x1 , xn ] Sü tương tü cõa gi£ thi¸t a ≥ tốn đèi vỵi sè ngun, đưđc thay th¸ bði gi£ thi¸t f (x1 , , xn ) ≥ vỵi måi giá trà cõa x1 , , xn ∈ R Mët đa thùc f th¸ đưđc gåi đa thùc nûa xác đành dương, ta vi¸t tt psd Nm 1885, Minkowski ó trỡnh bƯy tÔi buời bÊo vằ luên ỏn vã cỏc dÔng bêc hai ó khng nh giÊ thuyát rơng "tỗn tÔi mởt a thực thuƯn nhĐt, thỹc, psd, cú bêc > v số bián > mà khơng têng bình phương cõa cỏc a thực thỹc thuƯn nhĐt" TÔi buời bÊo vằ luªn án này, ngưíi nhªn xét Hilbert ph£n biằn lÔi kát luên cừa Minkowski, nhng ú ụng khụng a ủc mởt dăn chựng cử th no Tuy nhiên Hilbert tun bè r¬ng ơng bà thuy¸t phưc bði sü khám phá cõa Minknowski cho trưíng hđp vỵi n = 3, trưíng hđp đáng ý Năm 1888, Hilbert chùng minh gi£ thuy¸t cừa Minknowski bơng cỏch ch sỹ tỗn tÔi cừa mët đa thùc f cho f psd, thüc, f khơng thº vi¸t thành têng cõa bình phương cõa đa thùc Ngồi ơng nghiên cựu sõu hn v xem xột vĐn ã biu diạn đa thùc psd f ∈ R[x1 , , xn ] thành têng bình phương cõa hàm húu t¿ R(x1 , , xn ), phát biºu Đành lí thù 17 cõa mình, là: N¸u f ∈ R[x1 , , xn ] psd, f têng cõa bình phương cõa hàm húu t¿ R(x1 , , xn ) Chú ý r¬ng n¸u ta xét C, ð ta khơng có quan hằ thự tỹ, ú ta thĐy rơng mội đa thùc C[x1 , , xn ] đ·u mët têng cõa bình phương cõa hàm húu t¿ Bài toán thù 17 cõa Hilbert đưđc gi£i quy¸t vào năm 1926 bði Artin, ơng chùng minh mët đành lí Chùng minh ú cng mang án sỹ bt Ưu cho mởt số chừ ã mợi cừa hỡnh hồc Ôi số thỹc Ý tưðng chùng minh cõa Artin đưđc mơ t£ sơ bë sau M°c dù trưíng R (ho°c têng quát hơn, b§t kì "trưíng đóng thüc") có nh§t mët cách sp thù tü, trưíng hàm R(x1 , , xn ) có nhi·u cách sp thù tü khác N¸u f khơng têng cõa bình phương R(x1 , , xn ), s³ có mët cách sp thù tü R(x1 , , xn ) mà f ph¦n tû âm Khi đó, có mët "phép đ°c bi»t hóa" f (a1 , , an ) ph¦n tû âm, chìa khóa cõa chùng minh Mưc đích cõa luªn văn trình bày chi ti¸t chùng minh cõa Artin cho Đành lý thù 17 cõa Hilbert Trưỵc trình bày chùng minh đó, luªn văn dành mët thíi lưđng đáng kº đº trình bày mët sè ví dư điºn hình có liên quan đ¸n tốn, ví dư v· nhúng đa thùc psd có biºu di¹n đưđc thành têng bình phương cõa đa thùc, ho°c nhúng đa thùc psd khơng biºu di¹n đưđc thành têng bình phương cõa nhúng đa thùc Luên gỗm hai chng Chng trỡnh by mởt sè ki¸n thùc v· lý thuy¸t trưíng Chương nëi dung cõa luªn văn Mưc 2.1 trình bày nhúng ví dư liên quan đ¸n Bài tốn 17 cõa Hilbert Mửc 2.2 têp trung trỡnh by chi tiát chựng minh cõa Artin v· líi gi£i cho Bài tốn 17 cõa Hilbert Mưc 2.2 đưđc chia làm mưc nhä Mưc 2.2.1 trình bày v· sð lý thuy¸t v· trưíng thüc hình thùc Mưc 2.2.2 trình bày v· Đành lý Sylvester v· sè nghi»m phân bi»t cõa đa thùc trưíng đóng thüc Mưc 2.2.3 trình bày líi gi£i cho Bài tốn 17 cõa Hilbert, chùng minh cõa Artin Chương KI˜N BÀ THÙC CHU‰N Trong chương đưa mët sè ki¸n thực chuân b vã m rởng trớng, bêc siờu viằt, Ôi số, ỗng cĐu Ôi số, m rởng hỳu hÔn, m rởng Ôi số, bao úng Ôi số Nhỳng kián thùc đưđc dùng đº chùng minh cho k¸t qu£ ð chương sau 1.1 Mð rëng trưíng Đành nghĩa 1.1.1 (i) Cho F mët trưíng K mët trưíng chùa F Khi quan h» F ⊆ K gåi mët mð rëng trưíng, kí hi»u K/F (ii) Gi£ sû K/F mët mð rëng trưíng Khi K mët F -khơng gian véc tơ Ta kí hi»u [K : F ] = dimF K gåi bªc cõa mð rëng K/F Bê đ· 1.1.2 Cho F mët trưíng, f (x) ∈ F [x] đa thùc b§t kh£ quy đ°t K = F [x]/(f (x)) Khi K mët trưíng chùa F mët trưíng con, K chùa mët nghi»m cõa f (x), ta có [K : F ] = deg(f (x)) Đành nghĩa 1.1.3 Cho E/F mët mð rëng trưíng α1 , , αn ∈ E Trưíng bé nh§t cõa E chùa F chùa α1 , , αn , đưđc kí hi»u F (α1 , , αn ) đưñc gåi mð rëng cõa F b¬ng cách ghép thêm ph¦n tû α1 , , αn Méi ph¦n tû ω tùy ý cõa F (α1 , , n ) cú dÔng thng cừa hai ph¦n tû cõa F [α1 , , αn ], tùc ω= f (α1 , , αn ) g(α1 , , αn ) f (α1 , , αn ), g(α1 , , αn ) ∈ F [α1 , , αn ] g(α1 , , αn ) = Đành nghĩa 1.1.4 (i) Mët mð rëng trưíng E/F đưđc gåi mð rởng hỳu hÔn náu [E : F ] l mởt số hỳu hÔn (tực l [E : F ] < ∞) (ii) Mët mð rëng trưíng E/F mð rëng Ôi số náu mồi phƯn tỷ cừa E ãu l phƯn tỷ Ôi số trờn F nh ngha 1.1.5 (i) Mởt trớng E ủc gồi l trớng úng Ôi số náu mồi a thực bêc dng vợi hằ tỷ E đ·u có nghi»m E (ii) Mët bao úng Ôi số cừa mởt trớng F l mởt m rởng Ôi số cừa F m nú l trớng úng Ôi số, kớ hiằu bao úng Ôi số cừa F F Đành nghĩa 1.1.6 (i) Cho F trưíng Mët đa thùc f (x) ∈ F [x] gåi l a thực tỏch ủc náu mồi nhõn tỷ bĐt kh£ quy cõa f F [x] khơng có nghi»m bëi (ii) Cho mð rëng trưíng E/F Mët ph¦n tû α ∈ E gåi ph¦n tû tách đưđc F n¸u siêu vi»t F ho°c đa thùc tèi tiºu cõa đa thùc tách đưđc F Đành lý 1.1.7 (Đành lý ph¦n tû ngun thõy) Cho mð rëng trưíng E/F vỵi F trớng vụ hÔn v E = F (1 , , αn ) Gi£ sû α1 , , n l cỏc phƯn tỷ Ôi số F , αi ph¦n tû tách đưđc F vỵi måi i = 2, , n Khi ú tỗn tÔi phƯn tỷ ∈ E cho E = F (θ) 1.2 Bªc siêu vi»t Đành nghĩa 1.2.1 Cho mð rëng trưíng E/F S tªp cõa E Tªp S đưđc gồi l ởc lêp Ôi số trờn F náu vợi måi đa thùc khác không p(x1 , , xn ) ∈ F [x1 , , xn ], s1 , , sn ∈ S (t§t c£ phân bi»t), ta đ·u có p(s1 , , sn ) = M»nh đ· 1.2.2 Cho mð rëng trưíng E/F v S E l têp ởc lêp Ôi số trờn F Khi ú S l tối Ôi náu v ch náu E/F (S) l m rởng Ôi số Đành nghĩa 1.2.3 (i) Cho mð rëng trưíng E/F Mët tªp S ⊂ E cho S têp ởc lêp Ôi số tối Ôi trờn F ủc gåi mët sð siêu vi»t cõa E/F (ii) Bªc siêu vi»t cõa mët mð rëng trưíng E/F lüc lưñng cõa mët sð siêu vi»t cõa nú, kớ hiằu tr.deg(E/F ) 1.3 Ôi số, ỗng cĐu Ôi số nh ngha 1.3.1 (i) Cho F l trớng Mởt F Ôi số A l mởt vnh giao hoỏn A cú n v cho cú mởt ỗng cĐu vnh tứ F án A (ii) Cho cỏc F Ôi số A v B Mởt F ỗng cĐu cừa cỏc F Ôi số A v B l mởt ỏnh xÔ f : A → B cho f ánh xÔ F tuyán tớnh v f (xy) = f (x)f (y) vỵi måi x, y ∈ A k ≥ Tø ta tìm đưđc ma trªn cõa ϕ  2m        T 0  − 2m 0   0 0    0 0  Suy kí sè cõa ϕ b¬ng Đành lý 2.3.13 (Artin-Schreier) Cho K mët trưíng sp thù tü, cho L, L0 bao đóng thỹc cừa K Khi ú tỗn tÔi nhĐt mët đ¯ng c§u σ : L → L0 mð rëng cõa 1K b£o tồn quan h» thù tü Chùng minh Trong trưíng đóng thüc, đi·u ki»n x > y l tng ng vợi iãu kiằn phƯn tỷ x − y mët bình phương Do måi đ¯ng c§u σ : L → L0 đ·u b£o tồn quan hằ thự tỹ Trớng L l Ôi số trờn K , v lĐy phƯn tỷ tựy ý L Khi α mët nghi»m cõa đa thùc b§t kh£ quy f K Đành lý 2.3.12 suy r¬ng f có sè nghi»m L L0 L§y nghi»m α1 < < αn α10 < < αn0 Trong L, ta chån ph¦n tû ti cho ti2 = αi+1 − αi Khi theo đành lý v· ph¦n tû nguyờn thừy, suy tỗn tÔi L cho K (α1 , , αn , t1 , , tn−1 ) = K (θ) vỵi θ mët nghi»m cõa mët đa thùc b§t kh£ quy K g Trong L0 , đa thùc g có sè nghi»m L Đ°c bi»t, g có mët nghi»m θ0 ∈ L0 Khi ú tỗn tÔi mởt ng cĐu K () K (θ0 ) mð rëng cõa 1K θ 7→ θ0 Đ¯ng c§u mët phép nhúng σ : K (θ) = K (α1 , , αn , t1 , , tn1 ) L0 Ta thĐy rơng (i ) = αi0 (vì σ chuyºn mët nghi»m cõa f thành mët nghi»m cõa f , σ(αi+1 ) − σ(αi ) = σ(ti2 ) > Tø có b§t đ¯ng thùc σ(α1 ) < < σ(αn ), so sánh chúng vỵi dãy < < αn0 , suy α0 σ(αi ) = α0i vỵi måi i) Tø suy r¬ng K (α1 , , n ) ta cú ỏnh xÔ l xỏc nh nh§t Đ°c bi»t, £nh cõa α xác đành nhĐt Bõy giớ, bơng cỏch sỷ dửng bờ ã Zorn, ta có thº tìm đưđc mët đ¯ng c§u trưíng nh§t giúa L L0 mð rëng cõa 1K Bây gií ta chùng minh r¬ng måi trưíng sp thù tü đ·u có mët bao đóng thüc Đành lý 2.3.14 Cho K trưíng sp P thù tü, K mð rëng cu£ khụng cú mối quan hằ dÔng = i a2 vợi i l cỏc phƯn tỷ dng cừa i K ∈ K Khi trưíng L (nhên ủc tứ K bơng cỏch ghộp thờm vo cỏc cn bêc hai cừa mồi phƯn tỷ dng cừa K ) mët trưíng thüc hình thùc Chùng minh GiÊ sỷ trỏi lÔi rơng trớng L khụng l trớng thüc hình thùc P Khi có đ¯ng thùc dÔng = i vợi bi L Do ú, L, ta có mèi b P quan h» dÔng = i vợi i l cỏc phƯn tỷ dương K bi ∈ L λi b2 Theo giÊ thiát ta suy rơng khụng phÊi mồi bi ãu thuởc K Do ú tỗn tÔi mởt sè ngun dương nhä nh§t r cho có mët quan hằ dÔng nh ó ch l ỳng vợi cỏc bi K ( à1 , , µr ) µ1 , , àr l cỏc phƯn tỷ dng cõa K √ Ta mô t£ bi ð dÔng bi = xi + yi àr ú xi , yi thc trưíng √ √ K ( µ1 , , µr−1 ) Khi X X √ √ X 2 λi (xi + yi µr ) = λi (x + y µr ) + µr −1 = xi y i i i P √ √ √ N¸u xi yi = µr ∈ K ( µ1 , , àr1 ), iãu ny mõu thuăn vợi tớnh cüc tiºu cõa r Do X X λi xi + λi µriy ), −1 = √ ú i v i àr l cỏc phƯn tỷ dng cõa K xi , yi ∈ K ( µ1 , , √ µr−1 ) Đi·u ny cng mõu thuăn vợi giÊ thiát vã tớnh cỹc tiºu cõa r H» qu£ 2.3.15 Måi trưíng sp thù tü K đ·u có mët bao đóng thüc Chùng minh Đ°t K = K Vì K , khụng cú mối quan hằ dÔng = P i vợi cỏc i dng Do ú trớng L nhên ủc tø K b¬ng cách ghép λi a thêm vào cỏc cn bêc hai cừa mồi phƯn tỷ dng cừa K trưíng thüc hình thùc Khi bao đóng thüc cõa L bao đóng thüc cõa K u c¦u H» qu£ 2.3.16 Cho K mët trưíng sp thù tü K mët mð rëng cõa K Mët cách sp thù tü cõa K có thº đưđc mð rëng đ¸n K n¸u ch náu P khụng cú mối quan hằ dÔng = λi ai2 K , vỵi λi ph¦n tû dương cõa K ∈ K Chựng minh Náu cú quan hằ nh dÔng ch¿ ta khơng thº mð rëng mët cách sp thù tü tø K đ¸n K Gi£ sû khơng có quan h» th¸ Khi ta xây düng mët trưíng thüc hình thùc L chùa K Xét bao đóng thüc L0 cõa L Cách sp thù tü cõa L0 c£m sinh mët thù tü cõa K thäa mãn yêu c¦u 2.3.3 Bài tốn thù 17 cõa Hilbert Mưc ci ta chựng minh rơng, náu mởt hm hỳu t r(x1 , , xn ) khơng âm vỵi måi giá trà thüc cõa x1 , , xn , có thº biºu di¹n đưđc thành têng bình phương cõa hàm húu t¿ thüc Chùng minh không ch¿ cho R mà cho mët trưíng đóng thüc b§t kì L Đành lý s³ h» qu£ cõa mët đành lý khác khó dưỵi Đành lý 2.3.17 (Artin-Lang) Cho L mët trưíng đóng thüc K = L(α1 , , αn ) mët m rởng hỳu hÔn sinh cừa L v nú l trưíng sp thù tü cho thù tü cõa K hÔn chá trờn L trựng vợi thự tỹ cừa L Khi ú tỗn tÔi mởt ỗng cĐu LÔi số ϕ : L[α1 , , αn ] → L cho ϕ|L = 1L Chùng minh Trợc hát, ta xột trớng hủp bêc siờu viằt cõa K L Ta có thº gi£ sû α1 = x ph¦n tû siêu vi»t L Khi K = L(x)(α2 , , αn ) måi ph¦n tû cõa K đ·u thäa mãn phương trình đa thùc L[x] có h» tỷ cao nhĐt l 1, c biằt cỏc phƯn tỷ α2 , , αn vªy Tø đó, K = L(x)(α2 , , αn ) vỵi α2 , , αn cỏc phƯn tỷ Ôi số trờn L(x) Do ú theo nh lý phƯn tỷ nguyờn thừy, tỗn tÔi y K cho K = L(x)(y) = L(x)[y] (vì y Ôi số trờn L(x)) Ngoi y thọa ng thực dÔng y l + c1 (x)y l1 + + cl (x), vỵi c1 (x), , cl (x) ∈ L[x] Ta gi£ sû ð õy rơng l l số nhọ nhĐt cú th ủc Xét đa thùc f (X, Y ) = Y l + c1 (X )Y l−1 + + cl (X ) vợi cỏc bián l X v Y ối vợi mội cp phƯn tỷ a, b L cho f (a, b) = 0, ta có mởt ỗng cĐu cừa cỏc LÔi số : L[x, y] → L cho bði σ(x) = a, σ(y) = b σ cè đành måi ph¦n tû cõa L Ta s ch rơng cú vụ hÔn cp a, b ∈ L vªy (tùc phương trình f = cú vụ hÔn nghiằm) Cho LK l bao đóng thüc cõa K Đa thùc f (Y ) = f (x, Y ) ∈ L(x)[Y ] có mët nghi»m y LK , theo nh lý 2.3.12 vã kớ số cừa dÔng vát không gian ∼ L(x)[Y ]/(f ) ∼= L(x)[y] = K (coi đ¯ng c§u L(x)) ∼ dương (vỡ kớ số Đy bơng số nghiằm phõn biằt cừa f (Y ) LK ) Do ú dÔng vát ϕ L(x)−khơng gian K có thº đưa đưđc v· dÔng chộo vợi cỏc phƯn tỷ h1 (x), , hs (x) ∈ L[x] đưíng chéo Trên mët trưíng đóng thüc L, b§t kì đa thùc đ·u phân tích đưđc thành nhân tû tuy¸n tính v cỏc nhõn tỷ bêc bĐt khÊ quy Cỏc nhõn tỷ bêc bĐt khÊ quy cú dÔng (x + α)2 + β vỵi α, β ∈ L Do chúng ph¦n tû dương cõa L(x), v vợi mồi a L cỏc phƯn tỷ (a + α)2 + β ∈ L dương L§y x − λ1 , , x t l tĐt cÊ cỏc nhõn tỷ tuyán tớnh phân tích cõa đa thùc h1 (x), , hs (x) Ta sp thù tü cho ph¦n tû x, λ1 , , λt ∈ L(x) Mët sè tình huèng sau có thº x£y < λi < x < λj ho°c < λi < x ho°c x < λj < LĐy a l mởt phƯn tỷ cừa L thäa mãn b§t đ¯ng thùc λi < a < λj ho°c λi < a ho°c a < λj (lu ý rơng cú vụ hÔn phƯn tỷ a nh vêy) Khi ú dĐu cừa hk (a) v hk (x) trùng vỵi måi k = 1, , s Do ú kớ số cừa dÔng bơng vợi kớ số cừa dÔng cú cỏc phƯn tỷ ớng chéo h1 (a), , hs (a) Ta ch rơng, vợi hƯu hát a, ta cú dÔng vát a trờn khụng gian L[Y ]/(f (a, Y )) cú th a ủc vã dÔng chộo vợi cỏc ph¦n tû h1 (a), , hs (a) trờn ớng chộo chớnh Thêt vêy, lĐy A(x) = (aij (x)) l ma cừa dÔng ối vợi c sð 1, Y, , Y l−1 B(x) = (bij (x)) ma trªn cho (B(x))T A(x)B(x) = diag(h1 (x), , hs (x)) Khi ú, náu det B(a) = v khụng mău sè cõa hàm húu t¿ bij (x) bà triằt tiờu tÔi x = a, thỡ ta cú (B(a))T A(a)B(a) = diag(h1 (a), , hs (a)) Do ú phƯn cũn lÔi ủc thọa vỡ ta thĐy rơng A(a) l ma cừa dÔng a sð 1, Y, , Y l1 Vỡ vêy, cú vụ hÔn cỏc phƯn tỷ a ∈ L cho d§u cõa ϕa dương Vợi tĐt cÊ cỏc a nh vêy, a thực f (a, Y ) có mët nghi»m b ∈ L, tùc l f (a, b) = Vêy cú vụ hÔn c°p (a, b) ∈ L × L thäa mãn f (a, b) = Như ta nhªn xét lúc trợc, ối vợi mội cp bĐt kỡ (a, b) nh vêy, cú mởt ỗng cĐu cừa cỏc LÔi số : L[x, y] → L Ta s³ ch¿ r¬ng hƯu hát cỏc ỗng cĐu nh vêy ãu m rởng đưđc tỵi L[x, y, α2 , , n ] L[x, y] pi Nhc lÔi rơng , , αn ∈ L[α1 , , αn ] = K = L(x)[y], qi αi = (x,y ) , vỵi pi , qi đa thùc h» tû L L§y q = q1 q(x) n Theo cách xây düng cõa σ ta có σ(q(x)) = q(a) = vợi hƯu hát a (vỡ ch cú hỳu hÔn nghiằm cừa q m thụi) Trong nhỳng trớng hủp ú, cỏc ỗng cĐu ãu cú th m rëng đưđc tỵi L[x, y][ q(x) ] ⊇ L[x, y, α2 , , αn ] ⊇ L[α1 , , αn ] = K Vi»c chuyºn tø trưíng hđp bªc siêu vi»t cõa K L sang trưíng hđp bªc siêu vi»t m ≥ đưñc thüc hi»n bði cách quy nÔp theo m GiÊ sỷ sỹ tỗn tÔi ỗng cĐu nh yờu cƯu ó ủc chựng minh vợi mồi trớng K mà có bªc siêu vi»t L ch°t ch³ nhä m Xét mët trưíng K = L(α1 , , αn ) có bªc siêu vi»t L m Chån mët trưíng trung gian F cho L ⊆ F ⊆ K bêc siờu viằt cừa K trờn F l LĐy LF ⊆ LK bao đóng thüc cõa F K Khi bªc siêu vi»t cõa LK trờn LF l bơng 1, v ú tỗn tÔi mởt ỗng cĐu cừa cỏc LF Ôi số : LF [α1 , , αn ] → LF Bêc siờu viằt cừa LF trờn L bơng m − 1, bªc siêu vi»t cõa trưíng L(ψ(α1 ), , ψ(αn )) ⊆ LF L khơng vưđt q m − Rõ ràng r¬ng mët thù tü cõa LF c£m sinh mët thù tü cõa trưíng L(ψ(α1 ), , (n )) Do ú tỗn tÔi mởt ỗng cĐu cừa cỏc LÔi số : L[(1 ), , ψ(αn )] → L Và lúc thu hàp cừa ỏnh xÔ hủp thnh v lờn Ôi số L[x1 , , xn ] ⊆ LF [x1 , , xn ] l ỗng cĐu nh ta yờu cƯu, tực l ỗng cĐu |L[x1 , ,xn ] Bõy giớ s³ d¹ dàng đº chùng minh đành lý cõa Artin v· hàm húu t¿ không âm Đành nghĩa 2.3.18 Cho k mët trưíng sp thù tü Hàm húu t¿ p(x1 , , xn ) r(x1 , , xn ) = q(x1 , , xn ) , vỵi p, q ∈ k[x1 , , xn ], đưđc gåi khơng âm n¸u r(a1 , , an ) ≥ vỵi måi a1 , , an ∈ k cho q(a1 , , an ) = Đành lý dưỵi líi gi£i cho toán thù 17 cõa Hilbert Đành lý 2.3.19 (Artin) Cho L mët trưíng đóng thüc, cho r ∈ L(x1 , , xn ) mët hàm húu t¿ khơng âm Khi r biºu di¹n đưđc thành têng cõa bình phương cõa ph¦n tû cõa L(x1 , , xn ) Chựng minh GiÊ sỷ trỏi lÔi rơng r khụng l têng bình phương cõa ph¦n tû cõa L(x1 , , xn ) Khi tø bờ ã 2.3.10 suy tỗn tÔi mởt thự tỹ cõa trưíng L(x1 , , xn ) cho có r < Ta biu diạn r dợi dÔng thng số tối giÊn p/q vỵi p, q ∈ L[x1 , , xn ] Xột mởt LÔi số L[x1 , , xn , ] q(x1 , , xn ) chùa r Kí hi»u Ln l bao Ln tỗn tÔi mởt ) ủc chựa cõa L(x1 , , xn , γ) đóng thüc cõa trưíng sp thù tü L(x1 , , xn ) Khi ph¦n tû γ cho γ = −r > Trưíng L(x1 , , xn , Ln thù tü cõa Ln c£m sinh mët thù tỹ Theo nh lý Artin-Lang tỗn tÔi mởt ỗng cĐu ϕ : L[x1 , , xn , mà mð rëng cõa 1L q(x1, , xn ) γ, ] → L, γ Rõ ràng ϕ(γ)ϕ( ) = ϕ(q)ϕ( ) = Do ϕ(γ) = ϕ(q) = γ q Suy ta có ϕ(r) = −ϕ(γ ) = −(ϕ(γ))2 < Nhưng ϕ(r) = p(a1 , , an ) , vỵi = ϕ(xi ) q(a1 , , an ) Ð q(a1 , , an ) = ϕ(q) = B§t đ¯ng thùc r(a1 , , an ) < mõu thuăn vợi giÊ thiát cừa nh lý Đèi vỵi trưíng sp thù tü tùy ý, đành lý cõa Artin có thº sai Tuy nhiên vỵi mët c£i ti¸n chút chùng minh đành lý 2.3.19, ngưíi ta thu đưđc k¸t qu£ sau cho trưíng sp thù tü tùy ý Đành lý 2.3.20 Cho k trưíng sp thù tü L bao đóng thüc cõa N¸u hàm húu t¿ r ∈ k(x1 , , xn ) thäa mãn r(a1 , , an ) ≥ vỵi måi a1 , , an ∈ L, r có thº biºu di¹n đưđc thành têng bình phương cõa ph¦n tû cõa k(x1 , , xn ) Chùng minh N¸u r khơng têng cõa bình phương cõa ph¦n tû cõa k(x1 , , xn ), thỡ tỗn tÔi mởt thự tỹ trờn k(x1 , , xn ) mà vỵi thù tü ta có r < L§y L0 bao đóng thüc cõa trưíng sp thù tü k(x1 , , xn ) Ta có thº gi£ sû r¬ng L L0 Trong L0 , tỗn tÔi mởt ph¦n tû γ cho γ = −r > Trong LÔi số L[x1 , , xn , q(x1, , xn ) γ, ] ⊆ L0 , γ ta xác đành mët thù tü c£m sinh bði thù tü L0 Lêp luên cũn lÔi chớnh xỏc nh chựng minh cừa nh lý 2.3.19 Kát luên ã ti luên ó trỡnh by mởt số vĐn ã sau: (1) Trỡnh by mởt số kián thực chuân b vã lý thuyát trớng (1) Trỡnh by mởt biu diạn ủc thíi mët sè ví thành têng sè ví dư kinh điºn v· đa thùc khơng âm mà có thº thành têng cõa bình phương cõa đa thực, ỗng dử vã a thực khụng õm nhng khụng biºu di¹n đưđc bình phương cõa đa thùc đưđc trình bày (2) Trình bày v· Lý thuy¸t cõa Artin liên quan đ¸n trưíng thüc hình thùc trình bày đành lý cõa Sylvester v· trưíng đóng thüc (3) Ci trình bày chi ti¸t cho líi gi£i cõa Bài tốn thù 17 cõa Hilbert đành lý cõa Artin-Lang (Đành lý 2.3.17) đành lý cõa Artin (Đành lý 2.3.19) Tø suy r¬ng måi đa thực n bián hằ số thỹc m khụng õm vợi måi giá trà thüc cõa bi¸n đa thùc têng bình phương cõa hàm húu t vợi hằ số thỹc cừa n bián Ti li»u tham kh£o [1] V V Prasolov, "Polynomials" (Algorithms and computation in Mathematics, Volume 11), Translated from the Russian by Dimitry Leites; 978-3-540-40714-0; Springer-Verlag [2] S Lang, Algebra, third edition Graduate Texts in Mathematics, 211 Springer-Verlag, New York, 2002 xvi+914 pp ... 4 ĐÀNH LÍ HILBERT THÙ 17 2.1 Mët sè ví dư liên quan đ¸n Bài tốn thù 17 cõa Hilbert 2.2 Đành lý Artin - Cassels - Pfister 2.3 Lý thuy¸t cõa Artin Bài tốn thù 17 cõa Hilbert 2.3.1... Artin v· líi gi£i cho Bài tốn 17 cõa Hilbert Mưc 2.2 đưđc chia làm mưc nhä Mưc 2.2.1 trình bày v· sð lý thuy¸t v· trưíng thüc hình thùc Mưc 2.2.2 trình bày v· Đành lý Sylvester v· sè nghi»m phân... −tuy¸n tính f (xy) = f (x)f (y) vỵi måi x, y ∈ A 8 Chương ĐÀNH LÍ HILBERT THÙ 17 2.1 Mët sè ví dư liên quan đ¸n Bài tốn thù 17 cõa Hilbert Đành nghĩa 2.1.1 Mët đa thùc f (x1 , , xn ) ∈ R[x1 ,