Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
0,99 MB
Nội dung
Số phức Trần Só Tùng CHƯƠNG IV IV CHƯƠNG SỐ PHỨC PHỨC SỐ I SỐ SỐ PHỨC PHỨC I Khái niệm số phức Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại số) : z a bi (a, b �R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vò ảo, i = –1) z số thực phần ảo z (b = 0) z ảo phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo � a a' a bi a� bi �� � (a, b, a', b'�R) Hai số phức nhau: b b' � Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b �R) biểu r diễn điểm M(a; b) hay u (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức: b b� i b b� i a bi a� a bi a� bi � a a� bi � a a� Số đối z = a + bi laø –z = –a – bi r r r r u biểu diễn z, u' biểu diễn z' u u'biểu diễn z + z’ r r u u' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : aa� ab� ba� i a bi a' b'i � �bb� k(a bi ) ka kbi (k �R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi laø z a bi �z � z ' z.z'; �1 � ; z z ; z �z' z �z'; zz z.z a2 b2 z z �2 � z số thực z z ; z số ảo z z Môđun số phức : z = a + bi uuuu r z a2 b2 zz OM z �0, z�C , z 0� z zz ' z z' z z z' z' z z' �z�z' �z z' Chia hai số phức: z' z'.z z'.z 1 z' z1 z z (z 0) z z.z z z Căn bậc hai số phức: Trang 102 z' w � z' wz z Số phức Trần Só Tùng z x yi bậc hai số phức w a bi z2 w �x2 y2 a � � 2xy b w = có bậc hai z = w �0 có hai bậc hai đối Hai bậc hai a > � a Hai bậc hai a < � a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A �0) B2 4AC �0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 bậc hai ) B � , ( 2A B 2A Chú ý: Nếu z0 C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức: z r(cos i sin) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z 0) � � r a2 b2 � a � �� cos r � b � sin � r acgumen cuûa z, (Ox,OM ) : (*) có nghiệm kép: z1 z2 z 1� z cos i sin ( �R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z r(cos i sin) , z' r '(cos ' i sin ') : z.z' rr '. cos( ') i sin( ') z r cos( ') i sin( ') z' r ' 12 Công thức Moa–vrơ: r (cos i sin) r n(cosn i sinn) , n ( n�N* ) cos i sin cosn i sinn 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: i sin ) (r > 0) có hai bậc hai là: Số phức z r(cos� � � r� cos i sin � � 2� � � � � � � � � va� r � cos i sin � r � cos� � i sin� � � � 2� � �2 � � �2 � z r (cos� i sin ) Mở rộng: Số phức (r > 0) có n bậc n là: n Trang 103 Trần Só Tùng n Số phức � k2 k2 r� cos i sin n n � � , k 0,1, , n � � VẤN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân Tìm phần thực phần ảo số phức sau: �1 � �2 � i (2 3i ) �(5 i ) a) (4�) b) i � 2i � c) 3i � i � �3 � �3 � Baøi � ��3 �1 3 i � � 2i � i d) � � ��2 �2 3 i 2 i g) 1 i i m k) i m o) 1 i 2 i �3 � � � i� e) � i � � �4 � � � h) 2i l) p) a i a a i a a i b i a Bài Thực phép toán sau: a) (1 i) (1�) b) (2 i )3 (3 i )3 i2 �1 � d) � 3i � �2 � e) (1 2i ) (1 i ) (3 2i ) (2 i ) f) (2 3i)(3 i ) i) 1 i 1 i m) q) 3i (1 2i )(1 i ) 3i 5i c) (3 4i)2 f) (2 i)6 g) (1 i)3 (2i)3 h) (1 i )100 i) (3 3i )5 Bài Cho số phức z x yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: zi a) z2 2z 4i b) iz Bài Phân tích thành nhân tử, với a, b, c R: a) a2 b) 2a2 c) 4a4 9b2 d) 3a2 5b2 e) a4 16 f) a3 27 g) a3 h) a4 a2 Bài Tìm bậc hai số phức: a) 1 3i b) 5i c) 1 6i e) i f) 7 24i g) 40 42i 2 i) k) 5 12i l) 8 6i i Trang 104 d) 5 12i h) 11 3.i m) 33 56i Số phức Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Giải phương trình sau (ẩn z): a) z z 0 b) z z 0 Baøi c) z z 2 4i e) z z 1 8i d) z z 0 f) (4 5i )z i z i g) 1 z i i) z 3z 12i h) 2i 3i z 1 i 2i k) (3 2i)2(z i ) 3i � � 3 i � 3 i m) z� � � � 1� iz � l) (2 i)z 3 i � � 2i � 3 5i 4i o) z p) (z 3i )(z2 2z 5) q) (z2 9)(z2 z 1) r) 2z3 3z2 5z 3i Bài Giải phương trình sau (aån x): a) x 3.x 0 b) x 3.x 0 c) x2 (3 i )x 3i e) 3x x g) 3x 24 i) ( x 2)5 d) 3i.x2 2x 4 i f) i.x 2i.x h) x 16 k) x2 l) x2 2(1 i )x 2i m) x2 2(2 i )x 18 4i o) ix2 4x 4 i p) x2 (2 3i )x Bài Tìm hai số biết tổng tích chúng là: 1 3i 4 4i a) 3i va� b) 2i va� Bài Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a) 3 4i b) i c) 2 5i d) 2 i e) i f) i 5 i 2 i Bài Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện ra: g) (2 i)(3 i) h) i 51 2i 80 3i 45 4i 38 i) a) z2 mz m 1 0, � k : z12 z22 z1z2 b) z2 3mz 5i 0, � k : z13 z23 18 c) x2 mx 3i 0, � k : z12 z22 Bài Cho z1, z2 hai nghiệm phương trình 1 i 2 z2 (3 2i)z 1 i Tính giá trò biểu thức sau: a) A z12 z22 Bài b) B z12z2 z1z22 Giải hệ phương trình sau: Trang 105 c) C z1 z2 z2 z1 Trần Só Tùng Số phức z1 z 4 i a) 2 z1 z 5 2i z1 z 5.i b) 2 z1 z 2.i �z1 z2 z3 � d) �z1 z2 z3 �z z z �1 �z 12 �z 8i � e) � �z � �z �z 2i z � �z12 z22 5 2i � g) � h) � �z1 z2 i �z i z Baøi Giải hệ phương trình sau: �x y 5 i �x 2y 1 2i a) � b) � 2 �x y 3 i �x y 8 8i �1 1 � i d) �x y 2 �x2 y2 1 2i � �x2 y2 6 � e) �1 �x y � �x y 5 i g) � 2 �x y 1 2i �x y h) � 3 �x y 2 3i � �z1 z2 c) �2 �z1 ( z2 ) �z �z i � f) � �z 3i � �z i � �z12 z22 4z1z2 i) � �z1 z2 2i �x y c) � �xy 7 4i �x y 3 2i � f) �1 17 i � �x y 26 26 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Xác đònh tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z z b) z z 1 i c) z z 2i z i Baøi d) 2i.z z e) 2i z z g) z i z 3i h) z 3i 1 z i f) z i) z 1 i k) z i z l) z m) z i Bài Xác đònh tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z 2i số thực b) z i số ảo c) z.z VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép toán số phức dạng lượng giác Tìm acgumen số phức sau: a) 3.i b) – 4i c) 1 3.i d) cos i sin e) sin i cos f) (1 i )(1 i ) 4 8 Baøi Thực phép tính sau: Bài Trang 106 Số phức Trần Só Tùng a) 3 cos20o i sin20o cos25o i sin25o c) cos120o i sin120o cos 45o i sin 45o cos18o i sin18o cos 72o i sin 72o e) (cos 45 i sin 45 ) g) (cos15 i sin 15 ) � � � � cos i.sin � 3� cos i.sin � b) 5� � 6� � 4� �� � � cos i sin � 3� cos i sin � d) � �� 4� � o o cos85 i sin85 f) cos 40o i sin 40o 2(cos 45o i sin 45o) h) 3(cos15o i sin15o) 2 � 2 2 � 2 2� cos i sin i sin ) � � � 3 i) k) � � 2(cos i sin ) 2� cos i sin � 2� � 2 Baøi Viết dạng lượng giác số phức sau: a) i b) 1 i c) (1 i )(1 i ) (cos d) 2.i.( i ) 1 i 1 i i e) f) i) i 2i l) 0i i k) g) sin i cos h) m) tan 5 i Viết dạng đại số số phức sau: � � cos i sin � a) cos 45o i sin 45o b) � c) cos120o i sin120o 6� � 3 i d) (2 i)6 e) f) (1 i )(1 2i) i Baøi 1 i g) 2i k) � 3 3 � cos i sin � � 4� 2� Baøi 40 � 1 i � h) 1 i 3 i) (2 2i)7.� � � 1 i � 100 1 i � � �m) l) � 17 cos i sin � � � � 1 i � � 4 � 3 i � 60 Tính: a) cos12o i sin12o 0 d) � � cos30 i sin30 � � 21 b) i 16 c) ( i ) e) (cos15o i sin15o )5 f) (1 i )2008 (1 i)2008 12 2008 3i 1 3 i 1 i g) h) i) 2 i 2i 1 2008 , bie� t z k) (cos i sin )i 5.(1 3i ) l) z z 3 z2008 Bài Chứng minh: a) sin5t 16sin5 t 20sin3 t 5sint b) cos5t 16cos5 t 20cos3 t 5cost c) sin3t 3cos2 t sin3 t d) cos3t 4cos3 t 3cost Trang 107 Trần Só Tùng Số phức II ÔN ÔN TẬP TẬP SỐ SỐ PHỨC PHỨC II Bài Thực phép tính sau: 16 � � � 1 i � b) �1 i � � � � � � � a) (2 i )(3 2i )(5 4i) 1 i � � 1 i � c) � � � � � 1 i � � 1 i � � e) (2 4i )(5 2i ) (3 4i )(6 i ) d) 3 7i 5 8i 3i 3i f) 1 i i i3 i 2009 h) 1 i i i n, (n �1) g) i 2000 i1999 i 201 i 82 i 47 k) i 5(i )7 (i )13 i 100 (i )94 Cho số phức z1 1 2i, z2 2 3i, z3 1 i Tính: i) i.i 2.i i 2000 Bài a) z1 z2 z3 d) b) z1z2 z2z3 z3z1 z z z e) z2 z3 z1 z12 z22 z32 Baøi Rút gọn biểu thức sau: c) z1z2z3 f) z12 z22 z22 z32 a) A z4 iz3 (1 2i )z2 3z 1 3i, v� � i z 2 3i 1 3 i Bài Tìm số thực x, y cho: x y a) (1 2i )x (1 2y)i 1 i b) i 3 i 3 i c) (4 3i)x2 (3 2i)xy 4y2 x2 (3xy 2y2)i Bài Tìm bậc hai số phức sau: a) 8 6i b) 3 4i c) 1 i d) 7 24i b) B (z z2 2z3)(2 z z2), v� � i z 2 � 1 i � f) � g) h) i, –i i � � 3 i � 2 � � 1 3 i 1 i i) k) l) 2 1 i 3 m) 1 i 1 i 2 1 i Baøi Tìm bậc ba số phức sau: a) i b) –27 c) 2i d) 18 6i Bài Tìm bậc bốn số phức sau: a) i 12 b) i c) 2i d) 7 24i Baøi Giải phương trình sau: a) z 125 b) z4 16 c) z3 64i d) � 1 i � e) � � 1 i � � z3 27i Trang 108 Số phức Trần Só Tùng e) z7 2iz4 iz3 f) z6 iz3 i 1 g) z10 (2 i )z5 2i Bài Gọi u1; u2 hai bậc hai z1 3 4i v1; v2 hai bậc hai z2 3 4i Tính u1 u2 v1 v2 ? Bài 10 Giải phương trình sau tập số phức: a) z b) z2 2z c) z2 4z 10 d) z2 5z e) 2z2 3z f) 3z2 2z g) (z z)(z z) h) z2 z i) z2 z k) l) z 2i +2 z 2i m) z3 z 2z 3z 3i n) 4z2 z o) iz2 (1 2i )z 1 p) (1 i )z2 11i Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức: �4z i � 4z i a) � 6 � z i �z i � b) z 5i z 3 z2 z 3 c) z2 2z 6 z2 2z 16 e) z i z2 � 2z 2 g) z2 (5 14i )z 2(12 5i ) d) z3 1 i z2 3 i z 3i f) z2 2iz 2i 1 h) z2 80z 4099 100i i) (z 3 i )2 6(z 3 i ) 13 k) z2 (cos i sin)z i cos sin Bài 12 Giải phương trình sau tập số phức: a) x2 (3 4i )x 5i 1 b) x2 (1 i )x 2 i c) 3x2 x d) x2 x 1 e) x3 1 Bài 13 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 iz2 2iz b) z3 (i 3)z2 (4 4i)z 4i Tìm m để phương trình sau: z i z2 2mz m2 2m a) Chỉ có nghiệm phức b) Chỉ có nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3 (3 i )z2 3z (m i ) có nghiệm thực Bài 16 Tìm tất số phức z cho (z 2)(z i ) laø số thực Bài 17 Giải phương trình trùng phương: a) z 8(1 i )z2 63 16i b) z4 24(1 i )z2 308 144i Baøi 14 c) z4 6(1 i )z2 5 6i z1, z2 Baøi 18 Cho hai nghiệm phương z2 1 i 2 z 3i Tính giá trò biểu thức sau: a) z12 z22 b) z12z2 z1z22 �1 � �1 � z � d) z1 � e) z2 z13 z1z23 � � �z � � � �2 z1 � �z1 z2 � Trang 109 c) z13 z23 f) z1 z2 z2 z1 trình: Trần Só Tùng Số phức Cho z1, z2 hai nghiệm phương trình: x2 x 1 Tính giá trò biểu thức sau: Bài 19 a) x12000 x22000 b) x11999 x1999 c) x1n x2n, n�N Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: z 3 a) b) z2 z2 c) z z i z Bài 20 Hãy Bài 21 tính S 1 z z2 z3 zn1 tổng biết 2 2 i sin n n Bài 22 Viết dạng lượng giác số phức sau: 2 i a) i i i i b) (1 i )(2 i ) c) 1 i � � cos i sin � d) 1 sin i cos , e) 3� f) cot i, � 6� 2 g) sin i(1 cos ), Bài 23 Tìm môđun acgumen số phức sau: z cos a) 2 2i (1 i) (1 i )6 2 2i b) (1 i )4 3 i 10 2 2i c) 1 i 3 1 i 3 n n d) sin i cos 8 e) cos i sin f) 2 3i 4 1 cos i sin g) 1 sin i cos , h) i) 3i , 0 1 cos i sin Bài 24 Tìm môđun acgumen số phức sau: a) 2 Bài 25 2i (1 i )6 b) (1 i )4 c) 1 i 3 1 i 3 n i 2i 2i Chứng minh biểu thức sau có giá trò thực: (1 i) 2 a) i 5 i 5 n � � � � c) �1 i � �1 i � � � � � n n 19 7i � �20 5i � b) � � � � � � 9 i � �7 6i � 10 5 � � � � d) �1 i � �1 i � � � � � � � � � e) �i � �i � � � � � Bài 26 Trong số phức z thoả mãn điều kiện z 3i Tìm số phức z có môđun nhỏ Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức sau: Bài 27 4i 2 6i ; (1 i)(1 2i); i 1 3 i a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân Trang 110 Số phức Trần Só Tùng b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông Bài 28 Giải phương trình sau, biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 (2 2i )z2 (5 4i)z 10i b) z3 (1 i )z2 (i 1)z i c) z3 (4 5i )z2 (8 20i )z 40i Cho đa thức P (z) z3 (3i 6)z2 (10 18i)z 30i a) Tính P (3i) b) Giải phương trình P (z) Baøi 29 Baøi 30 Giải phương trình � z 1� z � 2 �, bieát z 3 4i z � � nghiệm phương trình Bài 31 Giải phương trình sau: a) z 2z3 z2 2z 1 b) z4 2z3 z2 2z 1 d) z4 4z3 6z2 4z 15 c) z4 1 2 z3 2 2 z2 1 2 z 1 e) z6 z5 13z4 14z3 13z2 z 1 Bài 32 Giải phương trình sau: � � b) �z i � �z i � a) (z2 3z 6)2 2z(z2 3z 6) 3z2 Baøi 34 � � � � � � d) �z i � �z i � �z i � 1 �z i � �z i � �z i � 2z i �1 Chứng minh rằng: z �1 iz Cho số phức z1, z2, z3 Chứng minh: c) (z2 z 1)4 6z2(z2 z 1)2 5z4 Bài 33 2 2 2 a) z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 1 z 1 z 1 z b) 1 z1z2 z1 z2 1 z1 c) 1 z1z2 z1 z2 2 2 2 2 2 d) Nếu z1 z1 c z1 z2 z1 z2 4c2 Chaân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 111 Trần Só Tùng Số phức Trang 112