HÌNH KHÔNG GIAN HĐBM AN GIANG 2013

HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Chuyên đề : HUỲNH DUY KHÁNH §1 CÁC CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH a) DIỆN TÍCH ĐA GIÁC • Hình vng cạnh a có diện tích • Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích • Tam giác vng có hai cạnh góc vng a,b có diện tích • Tam giác thường biết cạnh đáy chiều cao a a a a b a hA b b hA a a • Hình thoi biết hai đường chéo a,b • Hình bình hành biết cạnh a đường cao hA • Hình thang hai đáy a,b chiều cao h • Một số cơng thức khác tính diện tích tam giác Định lý Cosin Định lý sin Hệ thức lượng tam giác vuông tích khối KHỐI hộp chữĐA nhật tích ba kích thước b) Thể THỂ TÍCH DIỆN Thể tích khối chóp phần ba tích số diện tích mặt đáy chiều cao Trang40 Thể tích khối lăng trụ tích số diện tích đáy chiều cao lăng trụ HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013 c) TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỊNH LÝ Cho tam giác ABC đường thẳng d cắt AB,AC B’,C’ ĐỊNH LÝ Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt cạnh SA,SB,SC A’B’C’ d) THỂTÍCH KHỐI TRỊN XOAY § THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trang41 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Dạng 1: Tính thể tích khối chóp Cách giải: Xác định đường cao khối chóp tính độ dài đường cao Tính diện tích đáy khối chóp Chú ý: Hình chóp có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bài Tính thể tích tứ diện ABCD có cạnh a Lời giải: Gọi H hình chiếu A lên mp(BCD) ⇒AH đường cao tứ diện, tứ diện nên AB=AC=AD suy HB=HC=HD hay H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD H trọng tâm tam giác BCD Kẻ BH cắt CD M ta có A B D H M C Tam giác AHB vuông H nên ta được: thể tích tứ diện ABCD Bài Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a góc cạnh bên cạnh đáy kề 45o S Lời giải: Gọi H hình chiếu S lên mp(SBC) ⇒SH đường cao tứ diện, khối chóp nên SA=SB=SC suy HA=HB=HC hay H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H trọng A C tâm tam giác ABC Nối AH cắt BC M ta có M trung điểm BC H B Tam giác SBC cân có hai góc 45o nên tam giác vng Trang42 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013 Tam giác SHM vng H Bài Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh bên cạnh đáy a Lời giải: Giả sử có hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi H hình S D A chiếu S lên mặt phẳng ABCD SA=SB=SC=SD suy H HA=HB=HC=HD suy H tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD hay H giao điểm hai đường chéo C B ; Tam giác SHA vuông H nên Vậy Dạng Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Cách giải Đường cao khối chóp cạnh bên vng với đáy Tìm cách tính diện tích đáy chiều cao Bài Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC) đáy ABC tam giác vng B Gọi H,K hình chiếu A lên SB,SC cho SA=AB=BC=a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Chứng minh SC⊥ AH c) Tính thể tích khối chóp S.AHK Lời giải S K H A C B a) Trang43 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013 b) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA suy BC ⊥ (SAB)⇒ BC⊥ AH Mặt khác AH ⊥ SB suy AH ⊥ (SBC) ⇒AH ⊥ SC c) Ta tính thể tích khối chóp S.AHK theo ta có tam giác AHK vuông H ∗ Tam giác SAB vuông cân có AH đường cao ∗ Tam giác SAK vng A có AK đường cao Vậy diện tích đáy khối chóp S.AHK Chiều cao khối chóp Thể tích khối chóp S.AHK (Ta giải tỉ số thể tích) Bài Cho tứ diện S.ABC có SA⊥ (ABC) đáy ABC tam giác cân A cho SA=AB=a góc ABC=α Gọi H, K hình chiếu A lên SB SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a α b) Tính thể tích khối chóp A.BCKH Lời giải: a) Vì tam giác ABC cân A nên b) Tam giác SAB SAC vuông cân A nên H,K trung điểm SB,SC sử dụng tỉ số thể tích ta Vậy Trang44 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SC ⊥ (ABCD) cho SA= Gọi H hình chiếu C lên SB, K trung điểm SD S K a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh tam giác CHK c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH Lời giải: D H C a) Tam giác SAC vuông C ⇒ B A b) Tam giác SCB vuông cân C nên CH đường cao đường trung tuyến, mặt khác tam giác SCB tam giác SCD nên CH=CK= Vì H,K trung điểm SB,SD nên HK đường trung bình tam giác SBD ⇒ HK= BD= tam giác CHK c) Ta sử dụng tỉ số thể tích khối chóp S.CBD khối chóp S.CHK Vậy Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , AB=BC=a,AD = 2a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Lời giải: S a) N M A b) M,N trung điểm SA,SD ⇒ MN//AD MN=1/2 ADvậy MN//BC MN=BC hay BCMN hình bình hành Mặt khác BC⊥AB,BC⊥SA ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥BM Vậy BCMN hình chữ nhật B D C Trang45 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 với SH chiều cao khối chóp Vì M trung điểm SA nên với AH’ chiều cao tam giác vuông cân ABM Vậy Chú ý: giải tốn tỉ số thể tích Dạng Tính thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Cách giải Đường cao khối chóp nằm giao tuyến mặt bên mặt đáy vng góc Tìm cách tính chiều cao diện tích đáy Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đáy AD BC Mặt phẳng SAD vng góc với mặt đáy hình chóp cho AB=BC=CD=a, SA=SD=AD=2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.ABC S Lời giải a) Kẻ SH vng góc AD (SAD)⊥(ABCD) nên SH⊥(ABCD) SH đường cao khối chóp Mặt khác SA=SD=AD nên H trung điểm AD B SH= D H A C Nối HB,HC tứ giác ABCH hình bình hành AH song song BC ta lại có AB=BC nên AHBC hình thoi AB=HC=a hay tam giác HCD Vậy ABCD lục giác b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH diện tích tam giác ABC với diện tích tam giác ABH Trang46 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Vậy Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 45o ,SA=SB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD S Lời giải: Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD) (SAB) ⊥(ABCD) nên H nằm AB mặt khác SA=SB nên H trung điểm AB góc H A B SCH góc hợp cạnh bên SC mp đáy C D Tam giác HBC vuông B Vậy Dạng 4: Thể tích khối chóp Cách giải: Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp khối chóp tam giác Xác định chân đường cao nằm vị trí mặt đáy Nếu hình chóp có cạnh bên chân đường cao nằm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, mặt bên hợp với đáy góc chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy D Bài Cho tứ diện ABCD biết ABC tam giác vuông A có ; cho tam giác DBC vng C (bài tốn u cầu học sinh phải có nhận xét tốt chân đường cao khối chóp có ba cạnh bên nhau) B I Tính thể tích tứ diện theo a A Lời giải: Gọi I hình chiếu D lên mp(ABC) DA=DB=DC nên I trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng ABC suy I trung điểm BC Tam giác DBC vng cân D nên Trang47 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A cho AB=3; AC=4 góc hợp mặt bên mặt đáy 60o tính thể tích khối chóp (bài tốn u cầu HS có nhận xét tốt chân đường cao cơng thức diện tích tam giác ) Lời giải: Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC) Từ H kẽ HA’,HB’,HC’ vng góc với BC,CA,AB góc SA’H, SB’H, SC’H góc tạo mặt bên mặt đáy.do góc 60o nên HA’=HB’=HC’ hay H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S C A' B H B' C' Ta có A Độ dài đường cao hình chóp A' C' B' C A B H Dạng Tính thể tích khối lăng trụ Cách giải Đường cao lăng trụ đứng độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên hình chiếu đỉnh lên mặt đối diện Tìm cách tính chiều cao diện tích đáy Trang48 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Bài Tính thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh bằnga Đáp số Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ biết mp(A’BC) tạo với đáy góc 30o tam giác A’BC có diện tích tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: (Mục đích học sinh nhớ lại cơng thức diện tích đa giác chiếu) Kẽ AH ⊥ BC lăng trụ nên AA’⊥(ABC) suy A’H⊥BC hay Tam giác ABC cạnh a nên Tam giác AA’H vuông A nên Vậy thể tích lăng trụ Bài tập Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a AC’=2a Tính thể tích khối lăng trụ Bài tập Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh Gọi O’ tâm tam giác A’B’C’ Biết O’ hình chiếu B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên lăng trụ Tính thể tích khối lăng trụ Bài tập Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp cạnh bên mặt đáy 60o biết tam giác A’B’C’ vuông B’, A’B’=3, B’C’=4 B’H’ đường cao tam giác A’B’C’ H’ hình chiếu điểm B lên (A’B’C’) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ §3 THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Dạng tốn1: Tính thể tích, diện tích khối nón Cách giải: Xác định đường cao bán kính khối nón Áp dụng cơng thức phù hợp Trang49 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Bài 1: Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình chóp Lời giải: Lục giác ABCDEF cạnh a nên nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=a Xét tam giác SAD có SA=SD=2a=AD suy tam giác SAD đường cao S đường cao hình chóp F A O E B D C Bài 2: Một hình nón có đường sinh a góc đỉnh 90o Cẳt hình nón mặt phẳng (P) qua đỉnh cho góc (P) đáy hình nón 60o a) Tính thể tích diện tích tồn phần khối nón b) Tính diện tích thiết diện Lời giải: a) Giả sử ta có hình nón đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAB gọi M trung điểm AB S Góc đỉnh hình nón 90o nên OSA=45o suy OS=OA= O A C M B b) Tam giác SAB cân S có M trung điểm AB SM⊥AB Tam giác OAB cân O OM ⊥AB góc (P) đáy hình nón góc SMO tam giác SOM vng Trang50 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 tam giác OAM vuông M Bài 3: Cho hình nón sinh tam giác cạnh a quay quanh đường cao Một khối cầu tích thể tích khối nón khối cầu có bán kính bao nhiêu? Lời giải: Khối nón sinh tam giác cạnh a nên có bán kính R=a/2 chiều cao Gọi R’ bán kính khối cầu bán kính khối cầu Dạng tốn2: Tính thể tích, diện tích khối trụ Cách giải: Xác định đường cao bán kính khối trụ Áp dụng công thức phù hợp Bài 1: Thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh 2a a) Tính thể tích diện tích xung quanh khối trụ theo a b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ B' Lời giải: a) Thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a nên hình trụ có bán kính R=a chiều cao h=2a A' C' O' D' B C A O D b) Giả sử có lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp khối trụ ABCD hình vng có đường chéo 2a B O' A O Trang51 A' M HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013 Vậy thể tích lăng trụ Bài 2: Một khối trụ có bán kính R chiều cao a) Tính diện tích tồn phần thể tích khối trụ theo R b) Cho hai điểm A,B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 30o Tính khoảng cách AB trục hình trụ Lời giải: a) b) Từ A kẻ đường sinh AA’//OO’ , gọi M trung điểm A’B OO’//AA’ suy góc hợp AB trục hình trụ góc A’AB Mặt khác OO’//(A’AB) nên khoảng cách trục OO’ AB khoảng cách từ O đến mp(A’AB) độ dài đoạn OM B' Tam giác AA’B vuông A’ O' A O A C' B Tam giác OA’M vng M C Vậy khoảng cách trục hình trụ AB Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao 2a a) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ Lời giải : a) Tam giác ABC cạnh a nên có đường cao bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trang52 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Thể tích khối trụ b) Gọi I trung điểm trục hình trụ OO’ bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ Bài 4: Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ Lời giải : B' Ta có nhận xét có ba khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật A' ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB=a,AD=b,AA’=c C' O' Ta giả sử khối trụ ngoại tiếp có đáy nằm mp(ABCD) D' Khi bán kính khối trụ Và chiều cao khối trụ AA’=c C B O A D Thể tích khối trụ Như thể tích khối trụ Dạng 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tìm điểm cách đỉnh hình chóp Tìm đoạn mà đỉnh nhìn đoạn góc vng Tìm giao trục đường tròn đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC) đáy ABC tam giác vuông cân B gọi H,K hình chiếu A lên SB,SC Cho SA=AB=a a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK Trang53 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Lời giải: S a) Gọi I trung điểm SC ta có SA⊥(ABC) ⇒ SA⊥AC tam giác SAC vuông A ⇒IS=IA=IC (trung tuyến nửa cạnh huyền) CB⊥AB, CB⊥SA ⇒CB⊥(SAB) ⇒CB⊥SB tam giác SBC vuông B ⇒IS=IC=IB Vậy I cách đỉnh tứ diện hay I tâm mặt cầu K H A C B ngoại tiếp khối đa diện băn kính b) Gọi O trung điểm AC Tam giác ABC vuông A ⇒OA=OB=OC Tam giác AKC vuông K ⇒OA=OC=OK Vì AH⊥SB; AH⊥BC ⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥HC Tam giác AHC vuông H ⇒OA=OC=OH Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên S Gọi A’B’C’D’ trung điểm SA,SB,SC,SD Chứng minh điểm ABCD.A’B’C’D’ thuộc mặt cầu , tìm tâm bán kính mặt cầu đó.( thay giả thiết cạnh bên A' D' D A B' C' H giả thiết cạnh bên có độ dài a) C B Lời giải: Gọi H tâm hình vng ABBCD hình chóp nên SH ⊥(ABCD) ⇒SH trục đường tròn đa giác đáy, măt khác A’B’C’D’//ABCD A’B’C’D’ hình vuông ⇒SH ⊥(A’B’C’D’) SH qua H’ kà giao điểm hai đường chéo hình vng A’B’C’D’ SH trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy khối chóp cụt Ta chứng minh ABCD.A’B’C’D’ thuộc mặt cầu tâm H Thật SA=SC=AC= nên tam giác SAC ⇒HA’= Mặt khác H thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đai đa giác ABCD A’B’C’D’ nên HA=HB=HC=HD=HA’=HB’=HC’=HD’ điểm ABCD.A’B’C’D’ thuộc mặt cầu có tâm H bán kính Trang54 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013 Dạng Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Lăng trụ nội tiếp mặt cầu lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Tâm mặt cầu ngoại tiếp trung điểm đoạn nối tâm hai đường tròn đáy Bài 1: Cho lăng trụ tam giác có cạnh bên cạnh đáy a Tính thể tích diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ Lời giải Giả sử có lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi O O’ tâm đường tròn ngoại tiếp hai hai đáy ABC A’B’C’ Gọi I trung điểm OO’ I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ A' O' Xét tam giác IOA vuông O ta có C' B' I O A B Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân A Biết góc hợp B’C mặt phẳng đáy 60o BC=a Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ Trang55 C ... tỉ số thể tích ta Vậy Trang44 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SC ⊥ (ABCD) cho SA= Gọi H hình chiếu C lên SB, K trung... hợp Trang49 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ơn tập TN THPT2013 Bài 1: Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình. .. góc (P) đáy hình nón góc SMO tam giác SOM vng Trang50 HĐBM Tốn An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013 tam giác OAM vng M Bài 3: Cho hình nón sinh tam giác cạnh a quay quanh đường cao