12 TOAN 12 1718 c5 TU LUAN ONLINE

GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Chủ đề 55 KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề KIẾN THỨC CẦN NHỚ A – PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh đường thẳng d song song mp( ) ( d �( ) ) �( ) Cách Chứng minh d //d �và d � Cách Chứng minh d �(  ) (  )//( ) Cách Chứng minh d ( ) vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh mp( ) song song với mp(  ) Cách Chứng minh mp( ) chứa hai đường thẳng cắt song song với (  ) (Nghĩa đường thẳng cắt mặt song song với đường thẳng mặt phẳng kia) Cách Chứng minh ( ) (  ) song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng song song: Cách Hai mặt phẳng ( ) , (  ) có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song a b ( ) �(  )  Sx //a //b Cách  ( )//a , a �(  ) � ( ) �(  )  b //a Cách Hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Cách Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho giao tuyến song song Cách Một mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt nhau, ta giao tuyến song song Cách Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ vng góc với mặt phẳng song song với Cách Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối tứ giác đặc biệt, … Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) Cách Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( ) Cách Chứng minh d nằm trong hai mặt phẳng vng góc d vng góc với giao tuyến  d vng góc với mp lại Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt thứ Cách Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a  ( ) Cách Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng lại Cách Chứng minh d trục tam giác ABC nằm ( ) Chứng minh hai đường thẳng d d �vng góc: Cách Chứng minh d  ( ) ( ) �d � Cách Sử dụng định lí đường vng góc Cách Chứng tỏ góc d , d �bằng 90� Chứng minh hai mặt phẳng ( ) (  ) vng góc: Cách Chứng minh ( ) �d d  (  ) Cách Chứng tỏ góc hai mặt phẳng ( ) (  ) 90� Cách Chứng minh a // ( ) mà (  )  a Cách Chứng minh ( )//  P  mà      P  TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN B –CÁC CÔNG THỨC I TAM GIÁC Tam giác thường: 1 abc  pr  p ( p  a)( p  b)( p  c ) ① S ABC  BC AH  AB AC.sin A  2 4R A AG  AM ( G trọng tâm) ② S ABM  S ACM  S ABC ③ AB  AC BC ④ Độ dài trung tuyến: AM  G  ⑤ Định lí hàm số cosin: BC  AB  AC  AB AC.cos A B H M a b c A    2R ⑥ Định lí hàm số sin: sin A sin B sin C Tam giác ABC cạnh a : a canh  a  ① S ABC   4 canh � a a C B H ② AH  ③ AG  AH   A 2 3 Tam giác ABC vuông A : 1 ① S ABC  AB AC  AH BC 2 2 ② BC  AB  AC B H ③ BA2  BH BC ④ CA2  CH CB ⑤ HA2  HB.HC 1   ⑤ HA2  HB.HC ⑥ AH BC  AB AC ⑦ 2 AH AB AC AC HB AB C ⑧ ⑨ AM  BC ⑩ sin B   2 BC HC AC AB AC AB ⑪ cos B  ⑫ tan B  ⑬ cot B  BC AB AC Tam giác ABC vuông cân A A BC ① BC  AB  AC ② AB  AC  A D II TỨ GIÁC Hình bình hành: Diện tích: S ABCD  BC AH  AB AD.sin A A B H C Hình thoi: B  Diện tích: S ABCD  AC.BD  AB AD.sin A C �  120�thì tam giác ABC , ACD  Đặc biệt: � ABC  60�hoặc BAC A D A D Hình chữ nhật: S ABCD  AB AD C C B D Hình vng:  Diện tích: S ABCD  AB B  Đường chéo: AC  AB ( AD  BC ) AH Hình thang: S ABCD  C B C A B H D C GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Vấn đề KHỐI ĐA DIỆN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khối lăng trụ khối chóp  Khối lăng trụ phần không gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ  Tên gọi: khối lăng trụ + tên mặt đáy  Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp  Tên gọi: khối chóp + tên mặt đáy  Khối chóp cụt phần không gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt F S E D A B C F� D E� C D� A� B� C� KHỐI LĂNG TRỤ LỤC GIÁC A B KHỐI CHĨP TỨ GIÁC Khái niệm hình đa diện khối đa diện Khái niệm hình đa diện  Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất i Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung ii Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện  Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khái niệm khối đa diện  Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện  Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện  Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi…của hình đa diện tương ứng  Khối đa diện gọi khối lăng trụ giới hạn hình lăng trụ  Khối đa diện gọi khối chóp giới hạn hình chóp  Khối đa diện gọi khối chóp cụt giới hạn hình chóp cụt  Tương tự ta có định nghĩa khối n  giác; khối chóp cụt n  giác, khối chóp đều, khối hộp, …  Tên khối lăng trụ hay khối chóp đặt theo tên hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN d Miền Điểm Điểm ngồi  N M Ví dụ:  Các hình khối đa diện:  Các hình khối đa diện: Hai đa diện Phép dời hình khơng gian  Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M �xác định gọi phép biến hình khơng gian  Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý r  Phép tịnh tiến theo vectơ v phép biến hình biến điểm M thành điểm M �sao cho uuuuur r MM �  v Kí hiệu Tvr  Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  phép biến hình biến điểm thuộc  P  thành nó, biến điểm M không thuộc  P  thành điểm M �sao cho  P  mặt phẳng trung trực MM �  Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thành  P  gọi mặt phẳng đối xứng  H   Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M �sao cho O trung điểm MM �  Nếu phép đối xứng tâm O biến hình  H  thành O gọi tâm đối xứng H  Phép đối xứng qua đường thẳng  là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập thành nó, biến điểm M khơng thuộc  thành điểm M �sao cho  đường trung trực MM �  Nếu phép đối xứng qua đường thẳng  biến hình  H  thành  gọi trục đối xứng  H   Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  , biến đỉnh, cạnh, mặt  H  Phép dời hình biến đa diện  H  thành đa diện  H �  thành  đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H � Hai hình  Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình  Đặc biệt, hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện đa diện Lắp ghép phân chia khối đa diện Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1   H  cho  H1   H  khơng có chung điểm ta nói phân chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H  Khi ta nói ghép hai khối đa diện  H1   H  để khối đa diện  H  Ví dụ Với khối chóp tứ giác S ABCD , ta xét hai khối chóp tam giác S ABC S ACD Ta thấy rằng:  Hai khối chóp S ABC S ACD khơng có điểm chung (tức khơng tồn điểm khối chóp điểm khối chóp ngược lại)  Hợp hai khối chóp S ABC S ACD khối chóp S ABCD  Vậy khối chóp S ABCD phân chia thành hai khối chóp S ABC S ACD hay hai khối chóp S ABC S ACD lắp ghép thành khối chóp S ABCD BC Ví dụ Cho khối lăng trụ ABC A��� BC  B C mặt phẳng  A�  Cắt khối lăng trụ ABC A��� Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành hai khối đa diện A� ABC A� BCC � B� B C  BCC � B�bởi mặt phẳng  A��  Nếu ta cắt khối chóp A� BCC � B�thành hai khối chóp A� BCB� ta chia khối chóp A� CC � B� A� B C chia thành ba khối tứ diện A� ABC , A� BCB� Như khối lăng trụ ABC A��� , A� CC � B�  Nhận xét: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện B C D ta chia thành khối Ví dụ Với hình lập phương ABCD A���� tứ diện sau DC  DA���  A� ABD BCD  C� BC  BA��� A�  BDC � Một số kết quan trọng Kết 1: Một khối đa diện có mặt Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Kết 3: Cho  H  đa diện mà mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt  H  lẻ p phải số chẵn Chứng minh: Gọi m số mặt khối đa diện  H  Vì mặt  H  có p cạnh nên m mặt có pm cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai đa giác nên số cạnh pm  H  c  Vì m lẻ nên p phải số chẵn Kết 4: (suy từ chứng minh kết 3): Cho  H  đa diện có m mặt, mà mặt pm đa giác p cạnh Khi số cạnh  H  c  Kết 5: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Chứng minh:Gọi số cạnh số mặt khối đa diện c m Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa 3m 3m diện c  (có thể áp dụng kết để suy c  ) 2 Suy 3m  2c � 3m số chẵn � m số chẵn Một số khối đa diện có kết mà số mặt 4, 6, 8, 10 : + Khối tứ diện ABCD có mặt mà mặt tam giác + Xét tam giác BCD hai điểm A, E hai phía mặt phẳng  BCD  Khi ta có lục diện ABCDE có mặt tam giác + Khối bát diện ABCDEF có mặt tam giác + Xét ngũ giác ABCDE hai điểm M , N hai phía mặt phẳng chứa ngũ giác Khi khối thập diện MABCDEN có 10 mặt tam giác Kết 6: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Kết 7: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh Kết 8: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung cạnh số đỉnh phải số chẵn Tổng quát : Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh số chẵn Kết 9: Mỗi hình đa diện có cạnh Kết 10: Khơng tồn hình đa diện ó cạnh Kết 11: Với số ngun k �3 ln tồn hình đa diện có 2k cạnh Kết 12: Với số nguyên k �4 ln tồn hình đa diện có 2k  cạnh Kết 13: Không tồn hình đa diện có + Số mặt lớn số cạnh ; + Số đỉnh lớn số cạnh ; Kết 14: Tồn khối đa diện có 2n mặt tam giác Khối tứ diện có mặt tam giác Ghép hai khối tứ diện (một mặt tứ diện ghép vào mặt tứ diện kia) ta khối đa diện H có mặt tam giác Ghép thêm vào H khối tứ diện ta khối đa diện H có mặt tam giác Bằng cách ta khối đa diện 2n mặt tam giác B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu Cho hình khối sau: Hình (a) Hình (b) Hình (c) Hình (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình đa diện A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d) Câu Cho hình khối sau: Hình (a) Hình (b) Hình (c) Hình (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d) Câu Cho hình khối sau : Hình (a) Hình (b) Hình (c) Hình (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện A B C D Câu Cho hình khối sau: (a) (b) (c) (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện lồi A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d) Câu Cho hình khối sau: TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (a) (b) (c) (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi A B C D Câu (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? A Tứ diện Câu C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác (ĐỀ MINH HỌA LẦN 3) Hình đa diện hình vẽ bên có mặt? A Câu B Bát diện B 10 C 12 D 11 (ĐH VINH LẦN năm 2017) Trong khơng gian có loại khối đa diện hình vẽ Khối tứ diện Khối lập phương Bát diện Hình 12 mặt Hình 20 mặt Mệnh đề sau đúng? A Mọi khối đa diện có số mặt số chia hết cho B Khối lập phương khối bát diện có số cạnh C Khối tứ diện khối bát diện có tâm đối xứng D Khối mười hai mặt khối hai mươi mặt có số đỉnh DẠNG 2: TÍNH CHẤT CỦA HÌNH ĐA DIỆN Câu Phát biểu sau đúng? A Khối đa diện S A1 A2 An có n  mặt B Khối đa diện S A1 A2 An có n  cạnh C Khối đa diện S A1 A2 An có n đỉnh D Khối đa diện S A1 A2 An có n cạnh Câu 10 Phát biểu sau đúng? GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập A Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt C Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt Câu 11 B Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt D Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt Phát biểu sau đúng? A Hình lập phương có đỉnh, 12 cạnh, mặt B Hình lập phương có đỉnh, 12 cạnh, mặt C Hình lập phương có 12 đỉnh, cạnh, mặt D Hình lập phương có đỉnh, cạnh, 12 mặt Câu 12 Phát biểu sau đúng? A Hình bát diện có đỉnh, 12 cạnh, mặt B Hình bát diện có đỉnh, 12 cạnh, mặt C Hình bát diện có 12 đỉnh, cạnh, mặt D Hình bát diện có đỉnh, cạnh, 12 mặt Câu 13 Phát biểu sau đúng? A Hình mười hai mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt B Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 12 mặt C Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt D Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 30 mặt Câu 14 Phát biểu sau đúng? A Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt B Hình hai mươi mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt C Hình hai mươi mặt có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt D Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt Câu 15 Phát biểu sau đúng? A Nếu ABCD A���� B C D hình lăng trụ tứ giác ABCD A���� B C D hình lập phương B C D hình lăng trụ tứ giác AA� B Nếu ABCD A����  AB C Nếu ABCD A���� B C D hình lập phương ABCD A���� B C D hình lăng trụ tứ giác B C D hình lăng trụ tứ giác ABCD A���� B C D hình lập D ABCD A���� phương B C D Phát biểu sau đúng? Câu 16 Cho hình lăng trụ ABCD A���� ���� A ABCD A B C D hình hộp ABCD hình chữ nhật B Nếu ABCD A���� B C D hình hộp ABCD hình chữ nhật C Nếu ABCD A����   ABCD  B C D hình hộp AA� B C D hình hộp ABCD hình bình hành D ABCD A���� Câu 17 Trong mặt khối đa diện, số cạnh thuộc mặt tối thiểu A B C D Câu 18 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Số đỉnh số mặt hình đa diện luôn B Số đỉnh hình đa diện ln lớn C Tồn hình đa diện có số cạnh gấp hai lần số đỉnh D Tồn hình đa diện có số cạnh nhỏ Câu 19 Một hình đa diện có mặt tam giác số mặt M số cạnh C đa diện thoả mãn A 3C  M B C  M  C M �C D 3M  2C Câu 20 Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung A năm mặt B bốn mặt C hai mặt D ba mặt TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 10 Câu 21 Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho để sau điền vào chỗ trống, mệnh đề sau trở thành mệnh đề “Số cạnh hình đa diện ln .số mặt hình đa diện ấy” A lớn B C nhỏ D nhỏ Câu 22 Cho hình đa diện Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh B Mỗi mặt có ba cạnh chung C Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt D Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt Câu 23 Số đỉnh số mặt hình đa diện A lớn B lớn C lớn D lớn Câu 24 Số cạnh hình đa diện ln ln A lớn C lớn B lớn D lớn Câu 25 Trung điểm tất cạnh hình tứ diện đỉnh A hình lập phương B hình tám mặt C hình hộp chữ nhật D hình tứ diện Câu 26 Tâm mặt hình tám mặt đỉnh A hình lập phương B hình tám mặt C hình hộp chữ nhật D hình tứ diện Câu 27 Biết khối đa diện mà mặt hình tam giác Gọi n số mặt khối đa diện đó, lúc ta có A n số chia hết cho B n số chẵn C n số lẻ D n số chia hết cho Câu 28 Biết khối đa diện mà mặt hình ngũ giác Gọi C số cạnh khối đa diện đó, lúc ta có A C số chia hết cho B C số chẵn C C số lẻ D C số chia hết cho DẠNG 3: PHÉP BIẾN HÌNH B C D Ảnh đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo véctơ Câu 29 Cho hình lăng trụ ABCD A���� uuur AA�là D A Đoạn thẳng C �� B Đoạn thẳng CD C Đoạn thẳng A�� B D Đoạn thẳng BB� B C D O trung điểm đoạn thẳng AC � Câu 30 Cho hình hộp ABCD A���� Ảnh đoạn thẳng BD qua phép đối xứng tâm O C A Đoạn thẳng A�� B Đoạn thẳng B�� D C Đoạn thẳng A�� B D Đoạn thẳng BB� B C D Gọi  P  mặt phẳng qua trung điểm AC �và Câu 31 Cho hình lập phương ABCD A���� B�qua phép đối xứng mặt phẳng ( P ) vng góc với BB� Ảnh tứ giác ADC � B� B C D C Tứ giác ABC �� D D Tứ giác A�� D CB A Tứ giác ADC � B Tứ giác A���� Câu 32 Cho hình chóp S ABCD Gọi O giao điểm AC BD Phát biểu sau A Không tồn phép dời hình biến hình chóp S ABCD thành uuur B Ảnh hình chóp S ABCD qua phép tịnh tiến theo véc tơ AO C Ảnh hình chóp S ABCD qua phép đối xứng mặt phẳng  ABCD  D Ảnh hình chóp S ABCD qua phép đối xứng trục SO TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A V  a B V  a C V  a D V  64 3a Câu 51 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA  2SM , SN  NB , ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số A B C D V1 V2 Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB  25 , BC  17 , AC  26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45� Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  408 B V  680 C V  578 D V  600 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 65 ĐÁP ÁN VÀ GIẢI TRẮC NGHIỆM KHỐI ĐA DIỆN A D C B B A D B A 10 D 11 A 12 B 13 A 14 C 15 C 16 D 17 B 18 C 19 D 20 D 21 A 22 C 23 D 24 C 25 B 26 B 27 B 28 D 29 C 30 B 31 D 32 D 33 C 34 D 35 A 36 D 37 D 38 D 39 B 40 D 41 C 42 B 43 D 15 B 16 D 17 C 18 C 19 D 20 A ĐA DIỆN LỒI, ĐA DIỆN ĐỀU B A B C B B A A D 12 B 13 C 14 C 21 C 22 B 23 C 24 A 25 B 26 C 27 C 28 B 29 30 31 32 A A B C GIẢI CHI TIẾT 33 D 34 B Câu 12 10 D Chọn B 11 A Câu 24 Chọn A Câu 25 Chọn B Câu 26 Câu 27 Chọn C Chọn C Mỗi mặt có 16 hình vng nhỏ có dính sơn, có hình vng nhỏ bên dính sơn khơng trùng với khối lập phương nhỏ nên ta có tất 4.6  24 khối lập phương nhỏ có mặt dính sơn Chọn B Tứ diện có tất cạnh nên có tổng độ dài cạnh 6a Chọn C Khối bát diện có mặt tam giác cạnh a Khối đa diện  4;3 khối lập phương nên có Câu 13 Câu 16 12 cạnh Chọn C Khối  4;3 khối lập phương nên có đỉnh Chọn D Khối mười hai mặt có mặt ngũ giác đỉnh đỉnh chung ba mặt nên thuộc loại khối đa diện  5;3 Câu 17 Chọn C Khối mười hai mặt có mặt ngũ giác đỉnh đỉnh chung ba mặt nên tổng số cạnh Câu 19 12.5  20 Chọn D Khối mười hai mặt có mặt tam giác đỉnh đỉnh chung năm mặt nên có tổng số cạnh Câu 20 Chọn A Khối hai mươi mặt có mặt tam giác đỉnh đỉnh chung năm mặt nên tổng số đỉnh Câu 22 12.5  30 3.20  12 Câu 31 Câu 32 Chọn B nên có tổng diện tích Câu 33 a2  2a Chọn B 5.12  30 cạnh 2 nên có tổng độ dài 30.2  60 Chọn B Khối hai mươi mặt có 20 mặt tam giác Khối mười hai mặt có Câu 34 Câu 23 Chọn C cạnh nên có tổng diện tích 20 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 66 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 67 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ A B A D A C A C A 10 A 11 B 12 D 13 A 14 C 15 C 16 A 17 A 18 D 19 A 20 B 21 B 22 A 23 A 24 B 25 D 26 C 27 A 28 D 29 D 30 A 31 C 32 C 33 B 34 C 35 D 36 A 37 D 38 C 39 A 40 A 41 B 42 D 43 D 44 C 45 A 46 A 47 C 48 A 49 A 50 D 51 A 52 B GIẢI CHI TIẾT Câu Câu Chọn A Khi độ dài cạnh đáy tăng lên lần diện tích đáy tăng lên lần � Thể tích khối chóp tăng lên lần Chọn B Có khối đa diện là: tứ diện đều, hình lập phương, khối mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt S Câu Chọn A Câu Chọn D Câu Chọn A Câu � �SOBC  OB.OC  2a � � �h  OA  a A 2a � VO ABC  OA � SOBC  3 Câu 10 Chọn A � �S ABC  AB AC  cm � � �h  SA  cm 12 � VS ABC  SA � S ABC  cm3 3 D S H B Chọn C C Gọi H hình chiếu S lên  ABCD  Ta có: AH  a a � SH  SA2  AH  2 S ABCD  a � VS ABCD  Câu B a3 Câu 11 Chọn A a2 a3 � VS ABC  12 S ABC  C A S Chọn B � �SA  AB.tan  45   a � �S ABCD  a.2a  2a 2a � VS ABCD  SA.S ABCD  3 S C A 450 B B Câu � �SA  a � � �AB  AC.cos  45   a � S ABCD  a S B a3 � VS ABCD  SA.S ABCD  3 D Câu C C Câu 12 Chọn D Chọn C S ABCD  2a.a  2a � VS ABC  2a A D A A Chọn A C O B TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S SABC  68 a2 AB AC  2 SH  SB  BH  a D A B a3 � VS ABC  SH SABC  Câu 16 Chọn A ABH vuông A C Câu 13 Chọn A ABC vuông B � BC  S ABC A � BH  AH  AB  AC  AB  a Gọi H trung điểm AB � SH  a a D C Câu 17 Chọn A S ABCD  a Ta có: SAB � SH  AB � SH   ABC  (vì  SAB    ABC  ) A HD  AH  AD  a3 � VS ABC  SH SABC  12 S � VS ABCD  SH SABCD C H B Câu 14 Chọn C Gọi O giao điểm AC BD ABCD hình thoi � AC  BD , O trung điểm AC , BD ABO vuông O � AB  AO  OB  a a2 AC.BD  2 S C 13a 5a  a 4 S a3  Câu 18 Chọn D A a � I �SI  � B �S � � ABCD  AB AD.sin BAD  3a a3 � VS ABCD  SI S ABCD  3 Câu 19 Chọn A VS ABC SA SB  4 VS MNC SM SN D H B C Gọi H trung điểm AB SAB vng cân a Ta có: SAB cân � SH  AB � SH   ABCD  S cạnh AB  a � SH  1 1 ��  24 N C A Câu 21 Chọn B Ta có: MN //BC � B SM SN  SB SC Ta có: a3 � VS ABCD  SH S ABCD  12 VS AMN SM SN �SM �  � � VS ABC SB SC �SB �S Ta có: VS AMN  VS ABC � S AC  AB  2a SM  SB Câu 22 Chọn A B A H C C� C (vì  SAB    ABC  ) Câu 15 Chọn C ABC vuông A C M Câu 20 Chọn B Ta có: B OA� OB � OC � O  ;  ;  OA OB OC B� V OA�OB�OC � � O A�B’C ’  � � A� VO ABC OA OB OC  D S A A � BC  D H 5a B � SH  SD  HD  A B H SH  SB  BH  a S ABCD  a a3 S � VS ABCD  SH S ABCD  3 a2  BA.BC  2 S ABCD  S M N A C B GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập �h  a � � a2 �S  � A' �  600 Tam giác ABD cân có BAD nên tam giác ABD C' B' a3 � V  h.S  A 69 a ABD tam giác cạnh a � AH  C A' B' B Câu 23 Chọn A Gọi O giao điểm AC BD ABCD hình chữ nhật � OA  OB  OD Mà A� A  A� B  A� D A ' O   ABD  nên C' D' (vì A A ' O trực tâm giác ABD ) ABD vuông A � BD  � OA  OB  OD  a AA ' O vuông O � A 'O  B H AB  AD  2a � A' H  AA '2  AO  a S ABCD  AB AD  a C D A ' AH vuông H S ABCD  2S ABD  VABCDA ' B ' C ' D '  A ' O.S ABCD  3a3 a2 a2 ;  VABCDA ' B ' C ' D '  A ' H S ABC  Câu 26 Chọn C Ta có: B O D C Câu 24 Chọn B Gọi H trung điểm BC � A ' H   ABC  ABC tam giác vuông A � BC  AB  AC  2a � AH  BC  a A ' AH vuông H � A' H  SABC  AA '2  AH  a a2 AB AC  2 VABCA ' B ' C '  A ' H S ABC 3a  a AA '2  AH  BB ' C ' C a3 2 S BB ' C ' C � VA.BB ' C '  VA.BB ' C ' C Ta có: VA A ' B ' C '  VABCA ' B ' C ' � S BB ' C '  hình A' C' A C B � VA.BB ' C ' C  VABCA ' B ' C '  VA A ' B ' C '  VABCA ' B ' C ' � VABB ' C '  VABCA ' B ' C ' � VABB ' C '  VABCA ' B ' C ' Câu 27 Chọn A a �h  BB� � � a2 S  � A��� BC � A' A a3 � VA�BB �� BB � S A��� C  BC  12 � VABC A’ B’C ’  A� I S ABC  C' B' � a 3 a I  AI tan  300   �  �A� � � a � S ABC  � � �  1800  ABC �  600 Ta có: BAD hành B' Câu 28 Chọn D Câu 25 Chọn D Gọi H trọng tâm tam giác ABD � A ' H   ABCD  bình a3 C B TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 70 Gọi O tâm mặt đáy SO  mp  ABCD  Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD CD  SM �(SCD ) � � �  CD  OM �( ABCD ) � SMO Ta có: � � CD  (SCD ) �( ABCD ) � A' Câu 29 Chọn D  2a � �h  BB � � 2 �AC  BC  AB  a C' B' A C a � S ABC  AB AC  2 � VABC A’ B’C ’  BB � S ABC  a 3 2h tan  Suy ra: B = SABCD � AB = B Câu 30 Chọn A Ta có: BB ' C ' C hình bình hành 1 � S BCMN  S BB ' C ' C � VA.BCMN  VA BB ' C ' C 2 Ta có: VA A ' B ' C '  VABCA ' B ' C ' = �  600 � SAB SABCD = 4a2 Xét tam giác SAB vuông B, ta có: SB  AB tan 600  2a A' Vậy V = 8a 3 4a2 2a = 3 S C' M N B A A A' C'  B' C Câu 31 Chọn C B A 1 VA�ABC  AA� S ABC  VABC A��� BC 3 B VA�ABC A' �  VABC A��� BC C' B' C D' Câu 32 Chọn C AA� S ABD A B 1  AA� AB AD  AA� S ABCD VA’ ABD 1  VABCD A’B’C ’D’ �  VABCD A’ B’C’ D’ VA’ ABD  Câu 33 Chọn B 4h 4h3 h = tan  tan  Câu 34 Chọn C �AD  AB � AD  (SAB) � AD  SA Ta có: � �AD  SB V 1  VABCA ' B ' C ' � A.BCMN  VABCA ' B ' C ' B' 4h SO = h tan  Vậy VS.ABCD = � VA.BB ' C ' C  VABCA ' B ' C '  VA A ' B 'C '  VABCA ' B ' C ' � VA.BCMN SABCD SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM Tam giác SOM vng tại O, ta có: SO h h � OM = tan  = = OM OM tan  V= D C D 2a C Câu 35 Chọn D V= Bh = SABC A’B’C’.AA’ �BC  AB � BC  A� B Do � �BC  AA� �BC  AB �( ABC ) � BC ) Và �BC  A ' B �( A� �BC  ( ABC ) �( A ' BC ) �     � (� ABC ),( A ' BC )  � AB, A ' B  � ABA ' Ta có: SA�BC  A� B.BC 2.SA�BC 2.a   2a BC a AB  A� B.cos � ABA�  2a 3.cos 300  3a; AA�  A� B.sin � ABA�  a 3.sin 300  a � A� B GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập VABC A ' B ' C '  B.h  S ABC AA�  AB.BC AA�  IH  3a 3  3a.a.a  2 A’ �BC  AM � BC   SAM  � BC  MH Ta có: � �BC  SO Do MH đường vng góc chung SA BC 3a MH  Suy Ta có: B’ �  600 SM  BC � �  SBC  ,  ABC    SMA C 30o a a 3a a Vậy V   MB  4 16 Câu 37 Chọn D Gọi M trung điểm BC Trong mp(SAM), Kẻ MH  SA, ( H �SA) C’ A 71 a Đặt OM  x � AM  3x, OA  x B � SO  OM tan 600  x SA  Câu 36 Chọn A Gọi H, M, I trung điểm đoạn thẳng AB, AC, AM VABC A ' B ' C '  S ABC A ' H S ABC  x 3   2x   x VSAM ta Trong có: SA.MH  SO AM a2  � x 3a  x 3.3 x � x  a Ta có IH đường trung bình tam giác AMB , MB trung tuyến tam giác ABC Khi đó: AM  3x  �IH // MB � IH  AC Do đó: � �MB  AC 1 a2 a a2 VS ABC  S ABC SO   3 24 A’ a  a � AB  a S B ’ H C’ C A O H A I B B Câu 38 Chọn C Ta có tam giác ABO vng O AO  a , a M C BO  a Do �AC  A ' H � AC   A ' HI  � AC  A ' I � �AC  IH �AC  IH �( ABC ) � Mà: �AC  A ' I �( ACC ' A ') � � A ' IH góc � ( ABC ) �( ACC ' A ')  AC � gữa hai mặt phẳng  AA ' C ' C   ABCD  �� A ' IH  45� Trong tam giác tan 45� A ' HI N vng H, ta có: A' H � A ' H  IH tan 45o HI AO   tan 600 � � ABO  600 BO Suy ABD �  SAC    ABCD  �  SBD    ABCD  � SO   ABCD  Ta có: � �  SAC  � SBD   SO � Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm AB, K trung điểm BH, suy DH  AB DH  a ; OK / / DH OK  a DH  2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Suy OK  AB � AB   SOK   AD  BC  CD  Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có:  AB  2a AB.BC  a 2  S ABCD  S ABC  3a OI  SK ; AB  OI � OI   SAB  S ABC  � OI  d � O;  SAB  � � � Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: S ACD S ACD  1 a   � SO  OI OK SO 2 72 2S AM CD � AM  ACD  a CD � 3 6a Ta có: SA  AM tan SMA VS ABCD  SA.S ABCD  6a 1 VS ABCD  S ABCD SO  4.S ABO SO 3 1 a3  .OA.OB.SO  3 S S A I D M D 2a C A O B B Câu 41 Chọn B Dựng AM  CD M Dựng AH  SM H a AD  BC  AB  4a 2 Ta có: AH  Câu 39 Chọn A Gọi M trung điểm CD , SOM kẻ đường cao OH S ABCD � OH   SCD  � OH  a CD  Đặt CM  x Khi OM  x , SM  x , SO  SM  x  x Ta có: SM OH  SO.OM � x 3.a  x 2.x � x  C  AD  BC   AB  2a AB.BC  a 2  S ABCD  S ABC  3a S ABC  S ACD a S ACD  � CD  a 6, SO  a 1 VS ABCD  S ABCD SO  CD SO  6a a  2a 3 3 2S AM CD � AM  ACD  a CD Ta có: 1   � AS  2 AH AM AS VS ABCD AH AM AM  AH 2  a  SA.S ABCD  6a 3 S H A Câu 40 Chọn A Dựng AM  CD M �  600 Ta có: SMA S ABCD  AD  BC AB  4a 2 D M C B Câu 42 Chọn D Gọi M , N trung điểm AB, AC G trọng tâm ABC � �' BG  600 B ' G   ABC  � BB ',  ABC   B   GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 1 VA ' ABC  SABC B ' G  AC.BC.B ' G �' BG  600 Xét B ' BG vng G , có B 73 A' C' a (nửa tam giác đều) Đặt AB  x Trong ABC vng C có B' � B 'G  �  600 BAC � tam giác A ABC C H tam giác O AB � AC   x, BC  x M B Câu 44 Chọn C VS AMN SM SN  �  � ; VS ABC SB SC 3 VS AMN  VA.BMNC  VS ABC VA.BMNC 2 VS AMN Suy ra, Câu 45 Chọn A 3a BG  Trong BNC vuông C : BN  NC  BC Do G trọng tâm ABC � BN  9a x 9a 3a �   3x � x  �x 16 52 13 � AC  3a 13 ; BC  3a � d ( N , ( SAB )) � S BMP VN BMP  ; VC SAB � d (C,( SAB)) � S SAB d ( N , ( SAB)) NS   d (C, ( SAB)) CS , 1 S BPS  � S SAB 2 VN BMP 1  � Suy ra, V C SAB S BPM  13 3a 3a a 9a  Vậy, VA ' ABC  13 13 208 Câu 43 Chọn D Gọi M trung điểm BC , ta có  A ' AM    A ' BC  theo giao tuyến A ' M Trong  A ' AM  kẻ OH  A ' M ( H �A ' M ) � OH   A ' BC  a a2 S ABC  Xét hai tam giác vuông A ' AM OHM có góc � chung nên chúng đồng dạng M Suy ra: d  O,  A ' BC    OH  a Suy ra: OH  OM �  A' A A'M A' A �  A' A a A ' A2  AM �a � A ' A2  � �2 � � � � a � A' A  Thể tích: VABC A ' B ' C '  SABC A ' A  a a 3a  4 16 Câu 46 Chọn A S SMN SM SN  �  Ta có: S SAB SA SB Tương tự, Suy S BNP S AMP  ,  S SAB SSAB S MNP S MNP   (có thể khẳng định S SAB S SAB nhờ hai tam giác MNP BAS hai tam giác đồng dạng với tỉ số k  Do VD.MNP  (1) VD.SAB ) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VD SAB  VS DAB  VS ABCD (2) � VG1G2 G3G4  74 1 VABCD  � AB AC AD  4a 27 27 1 4a VS ABCD  SO.S ABCD  OP.tan 45� S ABCD  3 1 4a a  (3) Từ (1), (2) (3): VDMNP  Câu 49 Chọn A Dựng tam giác MNP cho C, B, D trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam giác MNP nên Câu 47 Chọn C Vì ABC tam giác vng cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, HB  HA  HC  AC  a A� H  A� A2  AH  2a  a  a � S ABC  A� VABC A��� H � BH � AC  a BC  A H � 1 MN hay AC  MN 2 Tam giác AMN vuông A (do có trung tuyến nửa cạnh tương ứng), hay AM  AN Tương tự, AP  AN AM  AP 1 Ta có S MBC  SMNP , S NCD  SMNP , 4 1 S BPD  SMNP Suy S BCD  SMNP 4 BD  Từ đó, VABCD  VAMNP Đặt x  AM AN AP ,y  ,z  m m m �x  y  4.202 �2 2 Ta có �y  z  4.21 , suy �2 2 �x  z  4.11 �x  160 �2 1 �y  1440 � xyz  1440 � VABCD  VAMNP  360m �z  324 � (AM, AN, AP đơi vng góc nên VAMNP  AM AN AP ) Câu 48 Chọn A Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh VG1G2G3G4  VABCD 27 Thật vậy, ta có (G2G3G4 ) P(CBA) VG2G3G4 ) : VCBA (tỉ số đồng dạng k  SG2G3G4 1  k  ) Từ đó: SCBA d (G1 , (G2G3G4 ))  d (G4 , ( ABC )) 1  d ( D, ( ABC )) (do G4 M  DM ) 3 Suy VG1G2G3G4 VABCD  d (G1 , (G2 G3 G4 )) SG2G3G4 1 �  � d ( D , ( ABC )) SCBA 27 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập V (a  b  c )(a  b  c )( a  b  c ) 12 75 d ( N , ( SAC )) NS   ; d (B, ( SAC )) BS S AMQ S ASC Suy VN QP C VS ABC  Câu 50 Chọn D Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho Kí hiệu x độ dài cạnh đáy 3 x x VS ABCD  Kẻ HK  CD ( K �CD ) ; Ta có SH  Kẻ HL  SK (L �SK ) Suy HL  ( SCD ) d ( A, ( SCD))  d ( H , ( SCD))  HL  Theo gt, HS � HK HS  HK 2  21 x 21 7a x �xa 7 Suy VS ABCD  3 3 x  (a 3)3  a 6 Câu 51 Chọn A Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm ( ) với đường thẳng BC , AC Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng (QNC ) , ta hai khối chóp N SMQC N QPC Ta có: VN SMQC VB ASC d ( N , ( SAC )) SSMQC  � ; d (B, (SAC )) SSAC S SMQC �AM �  � � �  S ASC �AS � VN SMQC VB ASC   10 � 27 d ( N ,(QP C )) SQPC � d (S, (A BC )) S ABC NB CQ CP 1 2 � �  ��  SB CA CB 3 27 V1 VN SMQC VN QP C 10      V VB ASC VS ABC 27 27 � V1 V 4  � 5V1  4V2 �  V1  V2 V2 Câu 52 Chọn B Gọi J chân đường cao hình chóp S.ABC; H, K L hình chiếu J cạnh � , SLJ � SKJ � AB, BC CA Suy ra, SHJ góc tạo mặt phẳng ( ABC ) với mặt phẳng (S AB) , ( SBC ) ( SAC ) Theo giả thiết, �  SLJ �  SKJ � , suy tam giác ta có SHJ vng SJH , SJL SJK Từ đó, JH  JL  JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê-rơng, ta tính diện tích S tam giác ABC S  204 Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp ABC Ta có r S 204  6 p 34 Đặt x  BH  BL , y  CL  CK , z  AH  AK �x  y  17 � Ta có hệ phương trình �x  z  25 �y  z  26 � Giải ( x; y; z )  (8;9;17) JB  JH  BH  62  82  10 Ta có �  ( SB � SBJ , ( ABC ))  45�, suy SJB tam giác vuông cân J SJ  JB  10 Thể tích V khối chóp V  SJ S ABC  680 S.ABC TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 76 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 77 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 78 MỤC LỤC KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề KIẾN THỨC CẦN NHỚ A – PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B –CÁC CÔNG THỨC Vấn đề KHỐI ĐA DIỆN .3 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Vấn đề 3: ĐA DIỆN LỒI, ĐA DIỆN ĐỀU 12 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 12 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 13 Vấn đề 3: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 16 HÌNH 1: Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật (hoặc hình vng) SA vng góc với đáy 17 HÌNH 2: Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vng A B SA vng góc với đáy 25 HÌNH 3: Hình chóp tứ giác S.ABCD 29 HÌNH 4: Hình chóp S.ABC, có SA vng góc với đáy (ABC) 34 HÌNH 5: Hình chóp tam giác S.ABC 40 HÌNH 6a: Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) .44 H6a.1 - Góc cạnh bên mặt đáy .44 H6a.2 - Góc mặt bên mặt đáy: .44 HÌNH 6b: Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng 46 H6b.1 - Góc cạnh bên mặt đáy .46 H6b.2 - Góc mặt bên mặt đáy: 46 HÌNH 7: Hình lăng trụ 49 Bài Tập Tổng Hợp Vấn Đề 52 ĐÁP ÁN VÀ GIẢI TRẮC NGHIỆM 64 ... đỉnh, 12 cạnh, mặt B Hình lập phương có đỉnh, 12 cạnh, mặt C Hình lập phương có 12 đỉnh, cạnh, mặt D Hình lập phương có đỉnh, cạnh, 12 mặt Câu 12 Phát biểu sau đúng? A Hình bát diện có đỉnh, 12. .. có 30 đỉnh, 12 cạnh, 12 mặt C Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt D Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 30 mặt Câu 14 Phát biểu sau đúng? A Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20... bát diện có đỉnh, 12 cạnh, mặt C Hình bát diện có 12 đỉnh, cạnh, mặt D Hình bát diện có đỉnh, cạnh, 12 mặt Câu 13 Phát biểu sau đúng? A Hình mười hai mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt B Hình mười