0D1 3 các phép toán trên tập hợp tự luận đáp án chi tiết

Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP § CÁC PHÉP TOÁN TẬP HP A TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOAT SÁCH GIÁO KHOA  Giao hai tập hợp - Giao của hai tập hợp: A  B   x x  A và x  B   Hợp hai tập hợp - Hợp của hai tập hợp: A  B   x x  A hoặc x  B  A B A B  Hiệu phần bù hai tập hợp - Hiệu của hai tập hợp: A \ B   x x  A và x  B  A B - Phần bù: Cho B  A C A B  A\B B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Các ví dụ minh họa minh họa.a Ví dụ 1: Xác định tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng A = { ; 1; 2; 3; 4} B = { ; 4; 8; 12;16} C = { 1;2;4;8;16} Lời giải tham khảo Ta có tập hợp A, B,C được viết dạng nêu tính chất đặc trưng là A = { x Ỵ N | x £ 4} B = {x Ỵ N | xM4 và x £ 16} Lưu ý: Khi muốn xác định tập hợp cách nêu tính chất đặc trưng, cần nhìn kỹ vào tập hợp cho đề bài dựa vào vốn kiến thức Tốn học biết, để phát hiện tính chất đặc trưng của tập hợp C = {2n | n £ và n Ỵ N } Ví dụ Tập A  1; 2;3;5;6 Có tập của A gồm hai phần tử Để giải bài toán, liệt kê tất các tập của tập A gồm hai phần tử, đếm số tập này Hãy thử tìm cách giải khác Lời giải tham khảo : Các tập gồm hai phần tử là : Lưu ý: Nếu tập A có n phần tử (n ≥ 2) : Trang -1- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP  1; 2 ,  1;3 ,  1; 4 ;  1;5 ;  1;6 ;  2;3 ,  2;5 ;  2;5 ;  2;6 ;  3; 4 ;  3;5 ;  3;6 ;  4;5 ;  4;6 ;  5;6 có n  n  1 tập gồm hai phần tử  Số tập có k phần tử là n(n  1)(n  2) (n  k  1) Cnk  1.2 k Vậy, có tất 15 tập hợp n!  Cách Ứng với phần tử của A, ta lập được tập của A (gồm k !(n  k )! phần tử cách kết hợp phần tử với phần tử cịn lại Vì A có (Số Tổ hợp chập k của n phần tử nên ta lập được 5 30 tập Trong cách đếm này, phần tử) tập được đếm lần, Chẳng hạn  1; 2 và  2;1 , thực chất là 5 15 Vậy số tập có hai phần tử là Ví dụ 3: Cho A = { - 4;- 2;- 1;2;3;4} và B = { x Ỵ Z | x £ 4} Tìm  tập hợp X cho a) X Ì B \ A b) A Ì X Ì B c) A È X = B với X có bốn phần tử Lời giải tham khảo : Ta có ìï x £ ìï - £ x £ ïí Û ïí Û x Ỵ { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4} ïï x Ỵ Z ùù xẻ Z ợ ợ Suy B = { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4} a) Ta có B \ A = { - 3;0;1} Suy X Ì B \ A tập hợp X là Ỉ, { - 3} , { 0} , { 1} , { - 3;0} , { - 3;1} , { 0;1} , { - 3;0;1} b) Ta có { - 4;- 2;- 1;2;3;4} Ì X Ì { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4} suy tập hợp X là { - 4;- 2;- 1;2;3;4} , { - 4;- 2;- 3;- 1;2;3;4} , { - 4;- 2;- 1;0;2;3;4} {{- 4;- 2;- 1;1;2;3;4} , { - 4;- 2;- 3;- 1;0;2;3;4} , { - 4;- 2;- 3;- 1;1;2;3;4} 4;- 2;- 1;0;1;2;3;4} , {- 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4} c) Ta có A È X = B với X có bốn phần tử tập hợp X là { - 4;- 3;0;1} ,{ - 3;- 2;0;1} , { - 3;- 1;0;1} , { - 3;0;1;2} , {- 3;0;1;3} , { - 3;0;1;4} Ví dụ 4: Cho tập hợp: A = { x Ỵ R |( x2 + 7x + 6) ( x2 - 4) = 0} B = { x Ỵ N |2x £ 8} C = {2x + 1|x Ỵ Z và - £ x £ 4} a) Hãy viết lại tập hợp A, B, C dạng liệt kê phần tử Trang -2- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP b) Tìm A È B, A Ç B, B \ C , C A È B ( B \ C ) c) Tìm (A È C ) \ B Lời giải tham khảo : a) · Ta có: ( x2 + 7x + 6) ( x2 - 4) = éx2 + 7x + = éx = - éx = - ê ê Û ê Û hoặc êx2 - = êx = êx = - ê ê ê ë ë ë A = 6; 2; ;2 { } Vậy ìï x Ỵ N ìï x Ỵ N · Ta có ïí Û ïí Û x Ỵ { 0,1,2,3,4} ïï 2x £ ïï x £ ỵ ỵ B = ;1 ;2 ;3 ;4 { } Vậy ìï x Ỵ Z · Ta có ïí Û x Ỵ { - 2, - 1,0,1,2,3,4} ïï - £ x £ ỵ Suy C = { - 3;- 1;1;3;5;7;9} b) Ta có: A È B = { - 6;- 2;- 1;0;1;2;3;4} , A Ç B = { 2} , B \ C = { 0;2;4} C A È B ( B \ C ) = ( A È B ) \ ( B \ C ) = { - 6;- 2;- 1;1;3} c) Ta có: A È C = { - 6;- 3;- 2;- 1;1;2;3;5;7;9} Suy (A È C ) \ B = { - 6;- 3;- 2;- 1;5;7;9} Bài tập luyện tập Bài 1.27: Xác định tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng A = { - 4;- 3;- 2;- 1;0 ; 1; 2; 3; 4} , B = { ; 3; 5; 7; 9} , C = { 0;1;4;9;16;25} Bài 1.28: a) Trong tập sau đây, tập nào là tập của tập nào A = { 1;2;3} B = { n Ỵ N n < 4} C = ( 0;+¥ ) D = { x Ỵ R 2x2 - + = 0} b) Tìm tất tập X thoả mãn bao hàm thức sau; { 1;2} Ì X Ì { 1;2;3;4;5} ìï ü 14 ï Ỵ Zïý Bài 1.29: Cho tập hợp A = ïí x Ỵ ¡ | ùợù ùỵ x +6 ù a) Hóy xỏc định tập A cách liệt kê phần tử b) Tìm tất tập của tập hợp A Bài 1.30: Cho A = { x Ỵ ¡ | ( x4 - 16) ( x2 - 1) = 0} và B = { x Ỵ N | 2x - £ 0} Tìm tập hợp X cho a) X Ì B \ A b) A \ B = X Ç A với X có hai phần tử Bài 1.31: Cho tập A = { - 1;1;5;8} , B ="Gồm ước số nguyên dương của 16" Trang -3- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP a) Viết tập A dạng tính chất đặc trưng của phần tử Viết tập B dạng liệt kê phần tử b) Xác định phép tốn A Ç B, A È B, A \ B Bài 1.32: Cho tập hợp E = { x Ỵ N | £ x < 7} A = { x Ỵ N | ( x2 - 9) ( x2 – 5x – 6) = 0} và B = {x Ỵ N | x là số nguyên tố nhỏ 6} a) Chứng minh A Ì E và B Ì E b) Tìm C E A ; C E B ; C E (A È B ) c) Chứng minh : E \ (A Ç B ) = ( E \ A ) È ( E \ B )  DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN Phương pháp giải · Chuyển bài tốn ngơn ngữ tập hợp · Sử dụng biểu đồ ven để minh họa tập hợp · Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức (hoặc phương trình hệ phương trình) từ tìm được kết bài tốn Trong dạng tốn này ta kí hiệu n ( X ) là số phần tử của tập X Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 biết chơi đá cầu hoặc cầu lơng, biết có 25 em biết chơi đá cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi hai Hỏi lớp 10A1 có em biết đá cầu? em biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu? Lời giải tham khảo : Dựa vào biểu đồ ven ta suy số học sinh biết đá cầu là 25 - 15 = 10 Số học sinh biết đánh cầu lông là 30 - 15 = 15 Do ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 + 15 + 15 = 40 Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh có 25 em thích mơn Văn, 20 em thích mơn Tốn, 18 em thích mơn Sử, em khơng thích mơn nào, em thích ba mơn Hỏi số em thích mơn ba mơn Lời giải tham khảo : Gọi a,b,c theo thứ tự là số học sinh thích mơn Văn, Sử, Tốn; x là số học sịnh thích hai mơn là văn và tốn y là số học sịnh thích hai mơn là Sử và tốn z là số học sịnh thích hai mơn là văn và Sử Ta có số em thích mơn là 45 - = 39 Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình 25 15 30 Lưu ý: Nhận xét: Với A, B,C là tập ta ln có · n( A È B ) = = n( A ) + n( B ) - n( A Ç B ) · n(A È B È C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) - n(A Ç B ) - n(B Ç C ) - n(C Ç A) + n ( A Ç B Ç C ) Trang -4- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP c x 25(V) 20(T) y a z b 18(S) (1) ïìï a + x + z + = 25 ïï (2) ï b + y + z + = 18 í ïï c + x + y + = 20 (3) ïï ïïỵ x + y + z + a + b + c + = 39 (4) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có a + b + c + 2( x + y + z ) + 15 = 63 (5) Từ (4) và (5) ta có a + b + c + 2( 39 - - a - b - c ) + 15 = 63 Û a + b + c = 20 Vậy có 20 em thích mơn ba mơn Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi mơn Tốn, 15 học sinh giỏi mơn Lý và 11 học sinh giỏi mơn Hóa Biết có học sinh vừa giỏi Toán và Lý, học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, học sinh vừa giỏi Hóa và Tốn, có 11 học sinh giỏi hai mơn Hỏi có học sinh của lớp a) Giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa b) Giỏi mơn Tốn, Lý hoặc hóa Lời giải tham khảo : Gọi T , L , H lần lượt là tập hợp học sinh giỏi môn Tốn, Lý, Hóa B là tập hợp học sinh giỏi hai mơn Theo giả thiết ta có 16(T) 8(TH) 11(H) 9(LT) 6(LH) 15(L) Trang -5- Toán trắc nghiệm n( T ) BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP = 16, n ( L ) = 15, n ( H ) = 11, n ( B ) = 11 n ( T I L ) = 9, n ( L I H ) = 6, n ( H I T ) = và a) Xét tổng n(T Ç L ) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) phần tử của tập hợp T Ç L Ç H được tính ba lần ta có n(T Ç L ) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) - 3n ( T Ç L Ç H ) = n ( B ) Hay n( T Ç L Ç H ) = = é n(T Ç L ) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) - n ( B ) ù û= 3ë Suy có học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa b) Xét n ( T I L ) +n ( L I T ) phần tử của tập hợp T Ç L Ç H được tính hai lần số học sinh giỏi mơn tốn là n( T ) - é n T I L ) +n ( H I T ) - n ( T Ç L Ç H ) ù ê ú ë( û = 16 - ( + - 4) = Tương tự ta có Số học sinh giỏi mơn Lý n( L ) - é n T I L ) +n ( L I H ) - n ( T Ç L Ç H ) ù ê ú ë( û = 15 - ( + - 4) = Số học sinh giỏi mơn Hóa n( H ) - é n H I T ) +n ( L I H ) - n ( T Ç L Ç H ) ù ê ú ë( û = 11 - ( + - 4) = Suy số học sinh giỏi môn Tốn, Lý hoặc hóa là + + = Ví dụ Trong khoảng thời gian định, địa phương, Đài khí tượng thủy văn thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: ngày; Số ngày lạnh: ngày; Số ngày mưa và gió: ngày; Số ngày mưa và lạnh : ngày; Số ngày lạnh và có gió: ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: ngày Vậy có ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)? Lời giải tham khảo : Ký hiệu A là tập hợp ngày mưa, B là tập hợp ngày có gió, C là tập hợp ngày lạnh Theo giả thiết ta có: n ( A ) = 10, n ( B ) = , n ( C ) = 6, Trang -6- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP n(A Ç B ) = 5, n(A Ç C ) = 4, n(B Ç C ) = 3, n(A Ç B Ç C ) = Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ) Ta cần tính n(A È B È C ) Xét tổng n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) : tổng này, phần tử của A giao B, B giao C, C giao A được tính làm hai lần nên tổng n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) ta phải trừ tổng n(A Ç B ) + n(B Ç C ) + n(C Ç A) Trong tổng n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) được tính n ( A Ç B Ç C ) lần, n(A Ç B ) + n(B Ç C ) + n(C Ç A) được tính n ( A Ç B Ç C ) lần Vì vậy n(A È B È C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) - n(A Ç B ) - n(B Ç C ) - n(C Ç A) + n ( A Ç B Ç C ) = 10 + + - (5 + + 3) + = 13 Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày Bài tập luyện tập Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi mơn : Anh, Tốn, Văn Có em giỏi Văn, 10 em giỏi Anh, 12 em giỏi Toán, em giỏi Văn và Toán, em giỏi Toán và Anh, em giỏi Văn và Anh, em giỏi ba mơn Hỏi nhóm có em? Bài 1.34: Có 40 học sinh giỏi, em giỏi mơn Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Toán, 20 em giỏi Anh Có em giỏi hai mơn Văn, Tốn; Có em giỏi hai mơn Tốn, Anh; Có em giỏi hai mơn Anh, Văn Hỏi: Có em giỏi ba mơn Văn, Tốn, Anh? Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, trường kết số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc sau: Về mơn Tốn: 48 thí sinh; Về mơn Vật lý: 37 thí sinh; Về mơn Văn: 42 thí sinh; Về mơn Tốn hoặc mơn Vật lý: 75 thí sinh; Về mơn Tốn hoặc mơn Văn: 76 thí sinh; Về mơn Vật lý hoặc mơn Văn: 66 thí sinh; Về mơn: thí sinh Vậy có học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về: a) Một môn? b) Hai môn? c) mơn?  DẠNG TỐN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON Phương pháp giải Trang -7- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP · Để chứng minh A Ì B Lấy " x, x Ỵ A ta chứng minh x Ỵ B · Để chứng minh A = B ta chứng minh + A Ì B và B Ì A hoặc " x, x Ỵ A Û x Ỵ B Các ví dụ minh họa ìï p ü ï Ví dụ 1: Cho tập hợp A = ùớ + kp, k ẻ Z ùý, ùợù ùỵ ù ỡùù 2p ỹ ỡù 2p kp ỹ ù ï B =í+ kp, k Ỵ Z ïý và C = ùớ + , k ẻ Z ùý ùợù ùỵ ùợù ùỵ ù ù a) Chng minh A = B b) A Ì C Lời giải tham khảo : p a) · Ta có " x ẻ A ị $k0 ẻ Z : x = + k0p suy p 2p x = - p + ( k0 + 1) p = + ( k0 + 1) p 3 Vì k0 Ỵ Z ị k0 + ẻ Z ú x Î B suy A Ì B (1) 2p + k0p suy 2p p x =+ p + ( k0 - 1) p = + ( k0 - 1) p 3 Vỡ k0 ẻ Z ị k0 - Ỵ Z x Ỵ A suy B Ì A (2) Từ (1) và (2) suy A = B p b) Ta có " x ẻ A ị $k0 ẻ Z : x = + k0p suy 2( k0 + 1) p p 2p 2( k0 + 1) p x = - p+ =+ 3 Vì k0 Î Z Þ 2( k0 + 1) Î Z x Ỵ C Suy A Ì C Ã " x ẻ B ị $k0 ẻ Z : x = - Lưu ý: Với k là biến chy Z , ta cú: k0 ẻ Z ị 2k0 ẻ Â 2( k0 + 1) ẻ Z - k0 ẻ Â Hai tõp A va B thot nhìn khác nhau, thực chúng Điều này sau, gặp nhiều phần giải phương trình lượng giác Tập nghiệm của cùng phương trình lượng giác có cách ghi khác thực chất là Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp Chứng minh a) ( A \ B ) Ì A b) A Ç ( B \ A ) = Æ c) A È ( B \ A ) = A È B Lời giải tham khảo : ìï x Ỵ A Þ xỴ A a) Ta có " x, x Ỵ A \ B Û ïí ïï x Ï B ỵ Trang -8- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Suy ( A \ B ) Ì A ìï x Ỵ A ïï ìï x Î A Û ïí x Î B Û x Î ặ b) Ta cú x ẻ A ầ ( B \ A ) Û ïí ïï x Ỵ ( B \ A ) ïï ỵ ïïỵ x Ï A Suy A ầ ( B \ A ) = ặ c) Ta có éx Ỵ A ê é xỴ A é êïì x Ỵ B Û êx Ỵ A Û x Ỵ A È B x Ỵ A È ( B \ A) Û ê Û êïí êx Ỵ ( B \ A ) êx Ỵ B ê ê êï x Ï A ë ë êỵï ë Ví dụ 3: Cho tập hợp A, B và C Chứng minh a) A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) b) A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) c) A Ç ( B \ C ) = ( A Ç B ) \ C Lời giải tham khảo : ïìï x Ỵ A ìï x Ỵ A ï xỴ B Û ïí é a) Ta có x ẻ A ầ ( B ẩ C ) ïí ïï x Ỵ B È C ïï ê ê ỵ xỴ C ïïỵ ê ë éìï x Ỵ A ờùớ ờù x ẻ B ộx ẻ A ầ B ùợ ờỡù x ẻ A ờx Î A Ç C Û x Î ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ê êï ờớù x ẻ C ởợù Suy A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) éx Î A ê é xÎ A ê x Î A ẩ B ầ C ( ) ờx ẻ B ầ C ờờùỡù x ẻ B b) Ta cú ờớù x ẻ C ờợù ùỡù ộx Î A ïï ê ì ïê êx Î B Û ïï x Ỵ A È B Û x Ỵ A È B Ç A È C Û ïí ë ( ) ( ) í ïï éx Ỵ A ïï x Ỵ A È C ỵ ê ïï ê x Ỵ C ïỵï ë ê Suy A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) Lưu ý: Các kết Ví dụ 3, là tính chất quan trọng của phép tốn tập hợp Đó là tính chất phân phối phép toán giao với hợp a) b) Tính phân phối của phép hợp với phép hiệu c) Các kết Ví dụ a) b) cịn được gọi là cơng thức Dermorgan ïìï x Ỵ A ïìï x Ỵ A ï Û ïí x Ỵ B c) Ta có x Ỵ A Ç ( B \ C ) Û í ïï x Ỵ B \ C ïï ỵ ïïỵ x Ï C Trang -9- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP ùỡ x ẻ A ầ B ùớ x ẻ (A ầB) \ C ùù x ẽ C ợ Suy A Ç ( B \ C ) = ( A Ç B ) \ C Bài tập luyện tập Bài 1.36: Cho A = {x Ỵ N | x chia hết cho 4}, B = {x Ỵ N | x chia hết cho 6} và C = {x Ỵ N | x chia hết cho 12} a) Chứng minh A Ì C và B Ì C b) A È B = C c) A Ë B ìï p ü ìï 11p ü ï ï + k2p, k Ỵ Z ïý và Bài 1.37: Cho tập hợp A = ïí - + k2p, k Ỵ Z ùý , B = ùớ ùợù ùỵ ùợù ùỵ ù ù ỡùù p kp ỹ ù C = + , k ẻ Z ùý ùợù ùỵ ï a) Chứng minh A = B b) A Ì C Bài 1.38: Cho tập hợp A Ì B, C Ì D Chứng minh a) A È C Ì B È D b) A Ç C Ì B Bài 1.39: Cho tập hợp A, B và C Chứng minh c) C B A È A = B a) ( A \ B ) È ( B \ A ) = ( A È B ) \ ( A Ç B ) b) A \ ( B Ç C ) = ( A \ B ) È ( A \ C ) c) A \ ( B È C ) = ( A \ B ) Ç ( A \ C )  DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC Phương pháp giải · Để tìm A Ç B ta làm sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần điểm đầu mút của tập hợp A, B lên trục số - Biểu diễn tập A, B trục số (phần nào khơng thuộc tập gạch bỏ) - Phần khơng bị gạch bỏ là giao của hai tập hợp A, B · Để tìm A È B ta làm sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần điểm đầu mút của tập hợp A, B lên trục số - Tô đậm tập A, B trục số - Phần tơ đậm là hợp của hai tập hợp A, B · Để tìm A \ B ta làm sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần điểm đầu mút của tập hợp A, B lên trục số - Biểu diễn tập A trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc tập B trục số - Phần khơng bị gạch bỏ là A \ B Các ví dụ minh họa Trang -10- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP Ví dụ 1: Cho tập hợp: A = { x Ỵ R |x < 3} B = { x Ỵ R |1 < x £ 5} C = { x Ỵ R |- £ x £ 4} a) Hãy viết lại tập hợp A, B, C kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn b) Tìm A È B, A Ç B, A \ B c) Tìm ( B È C ) \ ( A Ç C ) Lời giải tham khảo : a) Ta có: A = ( - ¥ ;3) B = ( 1;5ù û b) · Biểu diễn trục số Suy A È B = ( - ¥ ;5ù û ù C =é ë- 2;4û ( ) ]////////  : là tập hợp số nguyên  : là tập hợp số hữu tỷ - Khoảng: b  x   a  x  b :  ( a; b) +   ( a; )  x   a  x :   (  ; b)  x   x  b : ////( )\/\/\/\]\/\/\/\ - Đoạn:  a; b   x   a x b : - Nửa khoảng:   a; b   x   a x  b : · Biễu diễn trục số Suy A \ B = ( - ¥ ;1ù û  : là tập hợp số tự nhiên khơng có  : là tập hợp số tự nhiên số  (  ; ) : là tập hợp số thực · Biểu diễn trục số Suy A Ç B = ( 1;3) Lưu ý: Cần nắm vững khái niệm tập  với quy cách biễu diễn hình học chúng - Tập hợp của  : *         Trong đó: ( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \   a; b  x    a  x b :   a;   x   a x : c) Bằng cách biểu diễn trục số ta có é ù A ÇC = é ë- 2;3) và B È C = ë- 2;5û ù Suy ta có ( B È C ) \ ( A Ç C ) = é ë3;5û  Nhận xét: Việc biểu diễn trục số để tìm phép tốn tập hợp ta làm giấy nháp và trình bày kết vào   ; b  x    x b : Với dạng toán này cần quan tâm kỹ vị trí đầu mút để tránh sai sót, làm xác của bài giải và làm điểm số của bài thi Ví dụ 2: Xác định tập số sau và biểu diễn trục số: é ù a) ( - 4;2ù b) ( 0;3) È é ûÇ ë0;4) ë1;4û ù é ù ù c) é d) ¡ \ é ë- 4;3û\ ë- 2;1û ë1;3û Lời giải tham khảo : é é ù a) Ta có ( - 4;2ù ûÇ ë0;4) = ë0;2û Biểu diễn tập trục số là / / / / /[ ù ù b) Ta có ( 0;3) È é ë1;4û= ( 0;4û Biểu diễn tập trục số là / / / / ( ]/ / / / / / ]/ / / / / / Trang -11- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP ù é ù é ù c) Ta có é ë- 4;3û\ ë- 2;1û= ë- 4;- 2) È ( 1;3û Biểu diễn tập trục số là / / /[ )/ / / /( ù d) Ta có ¡ \ é ë1;3û= ( - ¥ ;1) È ( 3; +¥ Biểu diễn tập trục số là ]/ / / ) )[/ / / /]( Ví dụ 3: Cho tập hợp A = ( - ¥ ;m) và ù B =é ë3m - 1;3m + 3û Tỡm m a) A ầ B = ặ b) B Ì A c) A Ì C ¡ B d) C Ă A ầ B ặ Li gii tham khảo : Ta có biểu diễn trục số tập A và B hình vẽ a) Ta có A ầ B = ặ m Ê 3m - Û m ³ Vậy m ³ là giá trị cần tìm b) Ta có B Ì A Û 3m + < m Û m < Vậy m < là giá trị cần tìm c) Ta có C ¡ B = ( - ¥ ;3m - 1) È ( 3m + 3;+¥ ) Suy A Ì C ¡ B Û m £ 3m - Û m ³ )/ / / / / / / / / / / / /[ ]/ / / / là giá trị cần tìm d) Ta có C ¡ A = é ëm; +¥ ) Vậy m ³ suy C Ă A ầ B ặ m Ê 3m + Û m ³ Vậy m ³ - 3 là giá trị cần tìm Bài tập luyện tập Bài 1.40: Xác định tập hợp A È B, A \ C , A Ç B Ç C và biểu diễn trục số tập hợp tìm được biết: Trang -12- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP a) A = { x Ỵ R - £ x £ 3} , B = { x Ỵ R x ³ 1} ,C = ( - ¥ ;1) b) A = { x Ỵ R - £ x £ 2} , B = { x Ỵ R x ³ 3} ,C = ( - ¥ ;0) Bài 1.41: Cho tập A = [-1; 2), B = (-3; 1) và C = (1; 4] a) Viết tập A, B, C dạng tính chất đặc trưng của phần tử và biểu diễn chúng trục số b) Xác định phép tốn A Ç B, B È C , A \ B Bài 1.42: Cho hai tập hợp A = é ë0;4) , B = { x Ỵ ¡ / x £ 2} Hãy xác định tập hợp A È B, A Ç B, A \ B Bài 1.43: a) Cho A = { x Ỵ R | - £ x < } B={ x Î R | - < x < hoặc < x £ 6} C={ x Ỵ R | x ³ 2} Tìm A Ç B, A È C , B \ C và biểu diễn cách lấy kết trục số b) Cho A = ( - ¥ , - 2) , B = [2m + 1, +¥ ) Tìm m để A È B = R Bài 1.44: a) Tìm m để ( 1;mù ỷầ ( 2; +Ơ ) ặ ỡù x Ê ïï b) Viết tập A gồm phần tử x thỏa mãn điều kiện ïí x + ³ dạng tập số ïï ïïỵ x < ù B = én; n + 1ù.Tìm điều kiện của số m và n để A ∩ B = Æ m; m + 2ú Bài 1.45: Cho A = é ê ê ú ë ûvà ë û é ù m+1 ú và B = ( - ¥ ;- 2) È é2; +¥ ) Tìm m để Bài 1.46: Cho tập hợp A = êm - 1; ë ê ú ë û a) A Ì B b) A Ç B = Ỉ Bài 1.47: Cho hai tập khác rỗng : A = ( m – 1;4ù û, B = ( –2 ;2m + 2) , với m Ỵ R Xác định m để : a) A Ç B ¹ Ỉ ; c) B Ì A ; b) A Ì B ; d) (A Ç B ) Ì (- 1; 3) HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Bài 1.27: Ta có tập hợp A, B,C được viết dạng nêu tính chất đặc trưng là A = { x Ỵ N | x £ 4} , B = {x Ỵ N |x là số lẻ nhỏ 10}, C = {n2 | n là số tự nhiên nhỏ 6} Bài 1.28: a) A Ì B, A Ì C , D Ì C b) {1;2}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;2;5}, {1;2;3;4}, {1;2;3;5}, {1;2;4;5}, {1;2;3;4;5} 14 14 £ Bài 1.29: a) Ta có x ³ suy < x +6 14 14 14 Ỵ Z nên = hoặc =2 Mặt khác x +6 x +6 x +6 64 Hay x = hoặc x = 9 Trang -13- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP ïì 64ïü Vậy A = ïí ; ïý ïỵï 9 ùùỵ ùỡ 1ùỹ ùỡ 64ùỹ ùỡ 64ùỹ b) Tt tập của tập hợp A là Ỉ, ùớ ùý, ùớ ùý, ùớ ; ùý ùợù 9ùỵ ù ùợù ùỵ ù ùợù 9 ùỵ ù Bi 1.30:: Ta có A = { - 2;- 1;1;2} và B = { 0;1;2;3;4} a) Ta có A \ B = { 0;3;4} Suy X Ì A \ B tập hợp X là Ỉ, { 0} , { 3} , { 4} , { 0;3} , { 0;4} , { 3;4} , { 0;3;4} b) Ta có A \ B = { - 2;- 1} với X có hai phần tử X = { - 2;- 1} Bài 1.31: a) Ta có A = { x Ỵ ¡ ( x + 1) ( x - 1) ( x - 5) ( x - 8) = 0} B = { 1; 2; 4; 8; 16} b) Ta có A Ç B = {1;8}, A È B = { - 1; 1; 2; 4; 5; 8; 16}, A \ B = { - 1; 5} Bài 1.32: a) Ta có E = { 1;2;3;4;5;6} A = { 3;6} và B = { 2;3;5} Suy A Ì E và B Ì E b) Ta có C E A = E \ A = { 1;2;4;5} ; C E B = E \ B = { 1;4;6} A È B = { 2;3;5; 6} Þ C E (A È B ) = E \ ( A È B ) = { 1; 4} c) Ta có A ầ B = { 3} ị C E (A Ç B ) = E \ ( A Ç B ) = { 1;2;4; 5;6} E \ A = { 1;2;4;5} ;E \ B = { 1;4;6} Þ Suy E \ (A Ç B ) = ( E \ A ) È ( E ( E \ A) È ( \ B) E \ B ) = { 1;2;4;5;6} Bài 1.33: Ký hiệu A là tập hợp học sinh giỏi Anh, T là tập hợp học sinh giỏi toán, V là tập hợp học sinh giỏi Văn Theo giả thiết ta có: n ( V ) = 8, n ( A ) = 10 , n ( T ) = 12, n(V Ç T ) = 3, n(T Ç A) = 4, n(V Ç A) = 5, n(A Ç B Ç C ) = n(V È A È T ) = n ( V ) + n ( A ) + n ( T ) - n(V Ç A) - n(A Ç T ) - n(T ÇV ) + n ( V Ç A Ç T ) + 10 + 12 - - - + = 20 Vậy nhóm có 20 em Bài 1.34: Ký hiệu A là tập hợp học sinh giỏi Anh, T là tập hợp học sinh giỏi toán, V là tập hợp học sinh giỏi Văn Theo giả thiết ta có: n ( V ) = 22, n ( T ) = 25 , n ( A ) = 20, n(V Ç T ) = 8, n(T Ç A) = 7, n(V Ç A) = 6, n(A È B È C ) = 40 Trang -14- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP n(V È A È T ) = n ( V ) + n ( A ) + n ( T ) - n(V Ç A) - n(A Ç T ) - n(T ÇV ) + n ( V Ç A Ç T ) Þ n ( V Ç A Ç T ) = n(V È A È T ) - n ( V ) - n ( A ) - n ( T ) + n(V Ç A) + n(A Ç T ) + n(T Ç V ) 40 - 22 - 25 - 20 + + + = 14 Vậy có 14 em học giỏi ba mơn Bài 1.35: Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp học sinh xuất sắc mơn Tốn, mơn Vật Lý, môn Văn Gọi a, b, c lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn mơn Tốn, mơn Vật Lý, mơn Văn Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai mơn mơn Tốn và môn Vật Lý, môn Vật Lý và môn Văn, mơn Văn và mơn Tốn Dùng biểu đồ Ven đưa hệ phương trình ẩn sau: ìï a + x + z + = 48 ïï ïï b + x + y + = 37 ïï ïï c + y + z + = 42 Û í ïï a + b + x + y + z = 71 ïï ïï a + c + x + y + z = 72 ïï b + c + x + y + z = 62 ïỵ ìï a = 28 ïï ïï b = 18 ïï ïï c = 19 í ïï x = ïï ïï y = ïï z = 10 ïỵ B(37) b A(48) x y a C(42) z c ĐS: a) 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn b) 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn c) 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn éx Ỵ A éx M4 ê Û 12 Û x Ỵ C Bài 1.36 · " x Ỵ A È B Û ê êx Ỵ B êx M6 Û x M ê ê ë ë Suy A È B = C A Ì C và B Ì C · Ta có x = 4M4 ị x ẻ A nhng 4M6 ị x = Ï B A Ë B p Bài 1.37: a) · Ta có " x Ỵ A ị $k0 ẻ Z : x = - + k02p suy p 11p x = - + 2p + ( k0 - 1) 2p = + ( k0 - 1) 2p 6 Vì k0 Ỵ Z ị k0 - ẻ Z ú x Î B suy A Ì B (1) 11p + k02p suy 11p p x= - 2p + ( k0 + 1) 2p = - + ( k0 + 1) 2p 6 Vì k0 Ỵ Z Þ k0 + Ỵ Z x Ỵ A suy B Ì A (2) Từ (1) và (2) suy A = B · " x Î B Þ $k0 Î Z : x = Trang -15- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP p + k02p suy p p p p ( 4k0 - 1) p x=- + + k02p = + 2 Vì k0 Ỵ Z Þ 4k0 - Ỵ Z x Ỵ C Suy A Ì C éx Î A Bài 1.38: a) Ta có " x, x Î A È C Û ê êx Î C ê Vi x ẻ A vỡ A è B ị x ẻ B ị x ẻ B ẩ D Suy A È C Ì B È D ïì x ẻ A ị xẻ A b) Ta cú " x, x ẻ A ầ C ùớ ùù x ẻ C ợ Vỡ A è B ị x ẻ B Suy A Ç C Ì B éìï x Ỵ B êïí éx Ỵ C B A ê Û ê c) " x, x Ỵ C B A È A Û ê êïïỵ x Ï A Û x Î B x Î A ê êx Î A ë ê ë Suy C B A È A = B b) Ta cú " x ẻ A ị $k0 Ỵ Z : x = - éïì x Ỵ êïí êï x Ï éx Ỵ A \ B ê " x , x Ỵ A \ B È B \ A Û Û ( ) ( ) êx Ỵ B \ A ờờợùùỡ x ẻ Bi 1.39: a) Ta cú ê êï ë êíï x Ï êỵï ë ïìï éx Î A ïï ê ì ïê êx Î B Û ïï x Ỵ A È B Û A È B \ A Ç B Û ïí ë ( ) ( ) í ïï éx Ï A ïï x Ï A Ç B ỵ ê ïï ê ïỵï ë êx Ï B Suy ( A \ B ) È ( B \ A ) = ( A È B ) \ ( A ầ B ) ỡù x ẻ A ïï ìï x Ỵ A xÏ B Û ïí é b) " x, x Ỵ A \ ( B Ç C ) Û ïí ïï x Ï B Ç C ïï ê êx Ï C ỵ ïïỵ ë ê éìï x Ỵ A êïí êï x Ï B éx Ỵ A \ B ïỵ ê Û ê Û êìï x Ỵ A êx Ỵ A \ C Û x Î ( A \ B ) È ( A \ C ) ê êï ë êíï x Ï C ê ëỵï A B B A Trang -16- Tốn trắc nghiệm c) " x, x Ỵ ìï ìï x Ỵ ïï ïí ïï ï x Ï Û ïí ïỵ ïï ỡùù x ẻ ùù ù ùùợ ợù x ẽ BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP ïìï x Ỵ A ïìï x Ỵ A ï A \ ( B ÈC ) Û í Û ïí x Ï B ïï x Ï B È C ï ỵ ïïỵï x Ï C A B ïì x Ỵ A \ B Û ùớ x ẻ ( A \ B) ầ( A \ C ) ïï x Ỵ A \ C A î C ù é Bài 1.40: a) Có A = é ë- 1;3û và B = ë1;+¥ ) é ù AÈB =é ë- 1; +¥ ) , A \ C = ë1;3û, A Ç B Ç C = f ù é b) Có A = é ë- 2;2û và B = ë3; +¥ ) ù é é ù ẰB =é ë- 2;2ûÈ ë3; +¥ ) , A \ C = ë0;2û, A Ç B Ç C = f Bài 1.41: a) Ta có: A = [- 1; 2) = {x - £ x < 2}, B = (- 3; 1) = {x - < x < 1} C = (1; 4] = {x < x £ 4} b) Ta có A Ç B = [ - 1;1), B È C = (- 3; 4) \ {1}, A \ B = [1; 2) é ù é é ù Bài 1.42: A = é ë0;4) , B = ë- 2;2û, A È B = ë- 2;4) , A Ç B = ë0;2û, A \ B = ( 2;4) Bài 1.43: a) A Ç B = é ë- 1;0) È ( 1;5) A ÈC = é ë- 1; +¥ - b) A È B = R Û 2m + < - Û m < Bài 1.44: a) ( 1; mự ỷầ ( 2; + Ơ ) ặ thỡ m > ) B \ C = ( - 2;0) È ( 1;2) ìï x £ ïï b) Viết tập A gồm phần tử x thỏa mãn điều kiện ïí x + ³ dạng tập số ïï ïïỵ x < ìï x £ ïï Có ïí x + ³ Û ïï ïïỵ x < ìï x £ ïï ïí x ³ - ùù ùợù x < ỡù x ẻ (- ¥ ; 3] ïï ïí x Ỵ [ - 1; + Ơ ) (biu din trờn trc s) ùù ùợù x ẻ (- Ơ ; 0) x ẻ (- ¥ ; 3] Ç [ - 1; + ¥ ) ầ (- Ơ ; 0) x ẻ [ - 1; 0) Vậy A = é ë- 1; 0) ém - n < - Bài 1.45: ê êm - n > ê ë Trang -17- Toán trắc nghiệm Bài 1.46: Điều kiện để tồn tập hợp A là m - < BÀI GIẢNG CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP m+1 Û m < (*) ém + éA Ì ( - ¥ ;- 2) ém < - ê - ỵ ỵ Với điều kiện (*), ta có : a) A ầ B ặ m < 2m + Û m > - So sánh với (*) ta thấy giá trị m tha yờu cõu A ầ B ặ la –2 < m < ïì m - ³ - ïì m ³ - Û ïí Û m > So sánh (*) ta thấy giá trị m thỏa mãn yêu cầu b) A Ì B Û ïí ïï 2m + > ïï m > ỵ ỵ A Ì B là < m < ïì m - £ - ïì m £ - Û ïí Û m £ - So sánh với (*) ta thấy giá trị m thỏa mãn c) B Ì A Û ïí ïï 2m + £ ïï m £ ỵ ỵ u cầu B Ì A là - < m £ - ìï m - ³ - 1 Û £ m £ (thỏa (*)) d) (A Ç B ) Ì (- 1; 3) Û ïí ïï 2m + £ î ********************************************************************************* Trang -18-