phương trình hamilton jacobi, biến tác dụng và biến góc biến đoạn nhiệt

Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Biến đoạn nhiệt Sinh viên : Hoàng Văn Hưng Nguyễn Lê Hoàng Ngày 19 tháng 11 năm 2011 Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Mục lục Phương trình Hamilton-Jacobi Hamilton khơng phụ thuộc tường minh vào thời gian Hamilton phụ thuộc vào thời gian Dao động tử điều hòa Chất điểm trường hấp dẫn Bài toán Kepler Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Bài tốn : Con lắc đơn với biên độ nhỏ Hạt chuyển động từ trường Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Nếu Hamiltonian phụ thuộc vào biến tắc αk mà khơng có chứa khác βk phương trình chuyển động trở thành: α˙ k = − ¯ ∂H = 0, αk = constant ∂βk ¯ ∂H = constant = γk ⇒ βk = γk t + δk β˙ k = ∂αk (101) (102) Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Tìm hàm sinh S (αk , qk ): pk = ∂S ∂S , βk = ∂qk ∂αk (103) ¯ (αk ) mà độc lập với thay đổi Hamiltonian H (pk , qk ) thành H βk Điều có nghĩa S phải thõa mản phương trình đạo hàm riêng sau:   ∂S ¯ (αk ) = E (αk ) H , qk = H (104) ∂qk Phương trình 104 phương trình Hamilton-Jacobi Để nhấn mạnh vế phải 104 tổng lượng hệ gọi E Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Để tìm ý nghĩa vật lý S tính dS/dt, X ∂S X ∂S X X X dS = q˙k + α˙ k = pk q˙k + βk α˙ k = pk q˙k dt ∂qk ∂αk k k k k k (105) Trong sử dụng (6.103) (6.101) Từ (6.105) rằng: Z tX S= pk q˙k dt = I (106) k I tích phân chuyển động định nghĩa (5.405) Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Nếu Hamiltonian vào thời gian đưa vào thời gian biến q0 , sử dụng phương trình Hamiltonian: H (pk , qk , q0 ) + p0 = Hàm sinh S¯ (qk , αk , q0 , α0 ) dẫn phương trình   ¯ ∂ S¯ ∂S =0 , qk , q0 + H ∂qk ∂q0 hay  ¯  ∂S ∂ S¯ H , qk , t + =0 ∂qk ∂t Phương trình(6.109) phương trình Hamilton-Jacobi (107) (108) (109) Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt ¯ Để tìm ý nghĩa vật lý S¯ tính dS/dt s s s X X ∂ S¯ ∂ S¯ ∂ S¯ dS¯ X ∂ S¯ = q˙k + α˙ k + q˙0 + α˙ = pk q˙k +p0 dt ∂qk ∂αk ∂q0 ∂α0 k=1 k=1 k=1 (110) hay, Z tX Z t Z tX S¯ = (pk q˙k + p0 )dt = (pk q˙k − H)dt = Ldt k k (111) Nếu H không phụ thuộc cách tường minh vào thời gia, H số mà biểu thị E, (6.111) dẫn đến (6.104) S¯ = I − Et = S − Et (112) Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Mối quan hệ hm Hamilton-Jacobi v hm súng ca phng trỡnh Schrăodinger Xột trường hợp chiều Hamilton: H= p2 + U (q) 2m cỏi m dn ti phng trỡnh Schrăodinger − ~2 ∂ ψ + U (q) ψ = E 2m q Thay th phng trỡnh Schrăodinger ph thuộc thời gian ψ = eiS/~ (113) Chúng ta tìm phương trình   i~ ∂ S ∂S − + U (q) = E − 2m ∂q 2m ∂q Khi ~ → dẫn tới Hamilton-Jacobi chiều [xem (6.114)] Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Trong trường hợp chiều Hamiltonian H (p, q) = p2 + U (q) 2m từ dẫn đến phương trình Hamilton-Jacobi  ∂S ∂q 2 + 2mU (q) = 2mE (α) = 2mα (114) chọn E (α) = α (115) Phương trình Hamilton-Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Tích phân vế phương trình (6.114) ta tìm được: Z qp S= 2m (α − U )dq Sử dụng phương trình (6.103) có Z qr m ∂S = dq β= ∂α (α − U) q0 p= p ∂S = 2m (α − U ) ∂q (116) (117) (118) Từ (6.101) (6.102) dẫn α = constant β= ¯ ∂H = 1, β = t − t0 ∂α (6.117) đến (6.120) nghiệm tổng quát (119) (120) .. .Phương trình Hamilton- Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Mục lục Phương trình Hamilton- Jacobi Hamilton khơng phụ thuộc tường minh vào thời gian Hamilton. .. − ∂r r ∂θ 4πε0 r r sin θ ∂ϕ (138) Phương trình Hamilton- Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt Tách biến phương trình có phương trình ∂S3 = α3 = constant = pϕ , S3... qk , t + =0 ∂qk ∂t Phương trình( 6.109) phương trình Hamilton- Jacobi (107) (108) (109) Phương trình Hamilton- Jacobi Biến tác dụng biến góc Adiabatic Invariants - Biến đoạn nhiệt ¯ Để tìm ý nghĩa