Cơ học đất - Chương 5

cơ học đất là một ngành của cơ học ứng dụng chuyên nghiên cứu về đất. Hầu hết các công trình xây dựng đều đặt trên đất, nghĩa là dùng đất làm nền cho các công trình, số khác các công trình

Chương 5

LÝ THUYẾT VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT GIỚI HẠN CỦA ĐẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ

(Sức chịu tải của nền đất)

5.1.Khái niệm.

Trạng thái ứng suất giới hạn của đất tại một điểm đang xét là trạng thái ứng suất mà chỉ cần tăng thêm một tải trọng rất nhỏ thì trạng thái cân bằng của đất sẽ bị phá vỡ và làm cho đất mất trạng thái ổn định Khi trong khối đất tải trọng vượt quá tải trọng giới hạn thì

sẽ xuất hiện mặt trượt, đứt gãy hoặc lún sập và độ bền giữa các hạt và nhóm hạt trong khối đất bị phá vỡ Trạng thái ứng suất như vậy là hoàn toàn không cho phép khi dùng đất làm nền công trình, môi trường và vật liệu xây dựng Muốn vậy thì khi thiết kế công trình phải tính toán được tải trọng cho phép lớn nhất tác dụng lên khối đất mà ứng với nó thì đất vẫn còn ở trạng thái cân bằng nghĩa là chưa bị mất ổn định hay chưa bị phá hoại theo độ bền của nó

Những vấn đề về độ bền, ổn định của nền công trình, của mái dốc và áp lực đất lên vật chắn là phần quan trọng trong lý thuyết cân bằng giới hạn của cơ học đất Khởi đầu của lý thuyết này là những công trình nghiên cứu của Coulomb và Prandtl Sau đó vào những năm 1940 - 1950 các nhà khoa học Xô Viết như Xokolovxki, Berezantxev… đã có những đóng góp cho việc giải các phương trình vi phân cân bằng giới hạn Các kết quả

đó đã tạo điều kiện cho việc giải các bài toán sức chịu tải, độ bền ổn định của nền công trình, mái dốc, áp lực đất lên tường chắn mà chúng ta sẽ xét đến trong chương này

5.2 Các pha trạng thái ứng suất giới hạn của đất

5.2.1 Những quá trình cơ học trong đất

Chúng ta sẽ nghiên cứu những quá trình cơ học xảy ra trong đất dưới tác dụng của tải trong cục bộ với độ lớn tăng dần ví dụ như thí nghiệm bàn nén có kích thước nhất định và tải trọng tác dụng lên nó tăng dần Trong trường hợp này, những quá trình cơ học xảy ra sẽ phức tạp hơn nhiều so với khi đất chịu nén 1 chiều trong máy nén Trong máy nén, mẫu đất chỉ bị nén mà không có khả năng nở hông, mẫu đất chịu tác dụng ứng suất pháp Còn dưới tác dụng của tải trọng truyền lên bàn nén thì nền đất không những chịu ứng suất pháp mà còn chịu ứng suất tiếp (ứng suất cắt), mà những ứng suất tiếp đó khi đạt giá trị tới hạn thì sẽ gây ra hiện tượng trượt cục bộ Vì thế khi chịu tác dụng của tải trọng cục bộ thì biến dạng nén tắt dần và các biến dạng cắt tăng dần mà dưới một cường

độ ngoại lực nhất định sẽ dẫn đến hiện tượng chảy dẻo, phồng trồi, lún sập…

Hình 5-1a là đường cong biến dạng của đất dưới tác dụng cục bộ trên mặt đất tăng lên từng cấp một

Nếu như cường độ tải trọng nhỏ, đất còn giới hạn tính dính thì đoạn đầu của đường cong biến dạng gần như là đường thẳng (đoạn OA), khi độ bền cấu trúc chưa bị phá vỡ thì đất chỉ biến dạng đàn hồi và độ lún của mặt nén sẽ bị phục hồi hoàn toàn khi dỡ tải

Ở cấp tải trọng tiếp theo (hoặc là ngay ở cấp tải trọng đầu tiên ) nếu độ bền cấu trúc

đã bị phá vỡ thì sẽ xuất hiện sự nén lại của đất dưới tác dụng của tải trọng, tức là giảm thiểu hệ số rỗng của đất ở một bộ phận dưới diện chịu tải Những kết quả thí nghiệm trực tiếp cho thấy rằng: tồn tại một trị số nhất định của tải trọng ứng với các quá trình cơ học diễn ra trong đất

Hình 5_ 1 Quan hệ giữa biến dang và áp lực.

a Đường cong biến dạng khi ta gia tải từng cấp một

b Kết thúc giai đoạn nén và chuyển sang giai đoạn cắt

c Đường trượt và nêm cứng khi vùng cân bằng giới hạn phát triển

5.2.2 Các pha trạng thái ứng suất

Pha đầu tiên của trạng thái ứng suất được gọi là “pha nén”, trong pha này có thể cho rằng quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ tuyến tính Khi tải trọng tăng lên thì xuất hiện vùng biến dạng dẻo ở mép móng, ở đó ứng suất ở trạng thái căn bằng giới hạn Khi tải trọng tiếp tục tăng lên thì bắt đầu pha thứ hai của trạng thái ứng suất được gọi là

“pha trượt”; quan hệ ứng suất và biến dạng trong pha này luôn luôn là không tuyến tính

ở cuối “pha nén” và đầu “pha trượt” ở ngay dưới mặt nén hay đáy móng hình thành nhân cứng hình nêm nó ép phôi ra xung quanh và đẩy trồi lên mặt đất gọi là “pha đất trồi” Trong pha này trạng thái ứng suất và biến dạng có thể được xác định theo lý thuyết cân bằng giới hạn

5.2.3 Những mặt trượt

Khi nền đất ở trạng thái cân bằng giới hạn tùy thuộc vào chiều sâu đặt móng và độ chặt của đất mà hình thành mặt trượt ở các trạng thái khác nhau Chúng ta xét dạng mặt trượt của các trường hợp sau:

1 Móng nông: (khi h/b <1/2) Khi tải trọng cực hạn lớn hơn sức chịu tải của nền đất thì đất bị đẩy trồi lên trên mặt (đường 1)

2 Móng đặt sâu trung bình (khi h/b = 1/2÷2) thì mặt trượt trong nền có dạng chữ S và đất cũng bị đẩy trồi lên trên mặt (đường 2)

3 Móng sâu (khi h/b = 2÷4) thì đất không bị đẩy trồi lên trên mặt, vùng giới hạn cắt phát triển đến mặt móng làm biến dạng khối đất xung quanh móng (đường 3)

4 Móng đặt rất sâu (khi h/b >4) thì vùng biến dạng không phát triển đến mặt đáy móng

mà xuất hiện hiện tượng lún sập của nền tức là móng bị lún đột ngột với một đại lượng đáng kể và thường không cho phép trong thiết kế nền móng

Hình 5_ 3 Biến dạng của đất thay đổi theo thời gian trong pha trượt

Bây giờ chúng ta xét đến quan hệ biến dạng của đất theo thời gian trong pha trượt Trên bất kỳ đường cong nào (hình 5-3) biến dạng của pha trượt cũng được chia làm 3 giai đoạn:

- Đoạn 1 (oa1; oa2; oa3 và oa4) ứng với hiện tượng từ biến không có hoặc không xác định

- Đoạn 2 (a1b1; a2b2; a3b3 và a4b4) tốc độ biến dạng là const

dt

ds = , có hiện tượng từ biến dạng dẻo

- Đoạn 3 (b1c1; b2c2; b3c3 và b4c4) tốc độ biến dạng là =∞

dt

ds

, đất bị chảy nhão

Biểu đồ cũng cho tha thấy rằng khi ngoại lực càng lớn thì tốc độ chảy dẻo càng nhanh Nếu ta nối các điểm b1, b2, b3 và b4 tương ứng với thời gian xuất hiện sự chảy dẻo nhanh thì ta được đường cong “độ bền lâu dài” Dùng đường cong này có thể xác định được áp lực tối thiểu mà với áp lực đó thì sự chảy dẻo của đất sẽ giảm dần và tắt dần (sau khi độ bền cấu tạo của đất được phục hồi), áp lực đó gọi là “độ bền lâu dài của đất”

5.3 Phương trình vi phân cân bằng giới hạn của đất

5.3.1 Góc nghiêng lớn nhất

Hình 5_ 4 Sơ đồ ứng suất tại một điểm

Dưới tác dụng của tải trọng cục bộ trên mặt đất tại một điểm M bất kỳ của đất trên

mặt mn nghiêng một góc α với mặt phẳng nằm ngang sẽ xuất hiện đồng thời những ứng

suất pháp và ứng suất tiếp Ngoài ra đối với đất dính còn phải kể đến ảnh hưởng lực dính

ϕ

ε

tg

c

P = , còn đối với đất cát thì Pε =0 Tổng quát là trên mặt mn có các ứng suất pháp

ε

ε

σ + và ứng suất tiếp P τα; ứng suất toàn phần σ nghiêng một góc θ với ứng suất pháp

(hình 5-4)

Khi góc α thay đổi thì giá trị những thành phần ứng suất cũng sẽ biến đổi và khi

ứng suất tiếp đạt tới những giá trị nhất định nào đó so với ứng suất pháp thì xảy ra hiện

tượng trượt Như vậy điều kiện cân bằng giới hạn tại điểm đang xét là:

) ( ε ε

hoặc

f

P ≤ + ε

α

α

σ

τ

(5-2)

Từ hình vẽ 4-5 ta có:

ϕ σ

τ

ε α

P =

Trong đó: góc θ là góc nghiêng của ứng suất toàn phần Khi góc α thay đổi thì góc

θ thay đổi Góc nghiêng θmax khi đất đạt trạng thái cân bằng giới hạn là khi θmax =ϕ

(trong đó ϕ là góc ma sát trong của đất)

5.3.2 Những điều kiện cân bằng giới hạn

Hình 5_ 5 Biểu đồ ứng suất cắt

a Đối với đất rời; b Đối với đất dính

1) Đối với đất rời:

Theo hình vẽ 5-5a ta có giá trị của góc nghiêng θmax khi đường bao OE tiếp xúc với

đường tròn ứng suất Như kết quả của Đ2-4 ta có liên hệ giữa các ứng suất pháp chính:

ϕ σ

σ

σ σ

sin

2 1

2

+

−

(5-4) Trong đó:

_ , 2

1 σ

σ là những ứng suất chính tại điểm đạng xét;

_ϕ góc ma sát trong của đất

Điều kiện (5-4) là điều kiện cân bằng giới hạn đối với đất rời, biến đổi lượng giác

biểu thức này ta được:

ϕ

ϕ σ

σ

sin 1

sin 1

1

−

Hoặc:

) 2 45 (

2 1

σ

σ

±

Công thức (5-6) được áp dụng rộng rãi khi tính áp lực đất lên tường chắn, dấu (+)

trong công thức là ứng với áp lực đất bị động còn dấu (-) là ứng với áp lực đất chủ động

Đối với bài toán phẳng người ta thường biểu diễn các ứng suất chính qua các thành

phần ứng suất σz,σy,τyz, khi đó điều kiện cân bằng (5-4) trở thành:

ϕ σ

σ

τ σ

2

2 2

sin )

(

4 ) (

= +

−

−

z y

yz y

2) Đối với đất dính:

Theo hình 5-5b và sử dụng kết quả từ Đ2-4 ta có:

ϕ σ

σ

σ σ

ε

sin 2

2 1

2

+ +

−

Do đó:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

2 sin

2

Thay

ϕ

ε

tg

c

P = và biến đổi ta được:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ °+ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ °± +

2 45 2 2 45

2 2 1

ϕ ϕ

ϕ σ

σ tg ctg (5-10)

Đối với bài toán phẳng tương tự như đối với đất rời, đối với đất dính ta có điều kiện

cân bằng giới hạn biểu diễn qua σz,σy và τyz như sau:

ϕ ϕ

σ σ

τ σ

2

2 2

sin )

cot 2 (

4 ) (

= +

+

+

−

g c

z y

yz y

z

Vòng tròn ứng suất giới hạn cho phép xác định phương của những mặt trượt Ta nối

OE tiếp xúc với đường tròn đường kính AB = σ1−σ2 thì đoạn thẳng AE chỉ phương của

mặt trượt

Từ hình vẽ 5-5b ta có:

BCE = 2β = 90°+ϕ do đó

2

45 ϕ

Vậy tại mỗi điểm trong khối đất đạt trạng thái cân bằng giới hạn thì có một mặt

trượt đi qua phương của mặt trượt nghiêng một góc ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ °−

±

2

45 ϕ

với phương của ứng suất

chính nhỏ nhất σ2 hoặc là nghiêng một góc ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ °−

±

2

45 ϕ

với phương của ứng suất chính lớn σ 1

5.3.3 Những phương trình vi phân cân bằng giới hạn

5.3.3.1 Bài toán phẳng:

Trong trường hợp chung của trạng thái giới hạn đối với bài toán phẳng người ta xét

sự cân bằng của phân tố đất hình vuông trong hệ tọa độ vuông góc yOz, chiều dương của

Oz hướng theo chiều tác dụng của trọng lực Phân tố đất có cạnh dy và dz chịu tác dụng

của các ứng suất σz,σy và τ và trọng lượng bản thân (hình 5-6) yz

Hình 5_ 6 Sơ đồ ứng suất tác dụng trong bài toán phẳng

Trạng thái cân bằng của phân tố đất được biểu thị bởi hai phương trình vi phân cân

bằng tĩnh và một phương trình cân bằng giới hạn được F.Kotter đưa ra sau đây:

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

= +

+

+

−

=

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂ +

∂

ϕ ϕ

σ σ

τ σ

σ

σ τ

γ

τ σ

σ

2 2

2

sin cot

2 4 0

g c

z

y z

yz y

z y

y yz

y

yz z

z

(5-11)

Hệ phương trình vi phân cân bằng giới hạn (5-11) đã được Xokolovxki giải vào

năm 1942 Kết quả của nó được sử dụng rộng rãi trong tính toán sức chịu tải của nền, ổn

định của mái dốc và áp lực đất lên vật chắn

5.3.3.2 Bài toán không gian:

Bài toán không gian chỉ có hệ phương trình vi phân cân bằng đối với hai bài toán

đối xứng trục Đối với bài toán này người ta dùng hệ tọa độ hình trụ tròn (r,θ) với các ký

hiệu của các thành phần ứng suất như trên hình 5-7

Hình 5_ 7 Sơ đồ ứng suất trong trường hợp không gian đối xứng trục

Hệ phương trình vi phân cân bằng trong trường hợp này như sau:

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

= +

+

+

−

= +

∂

∂ +

∂

∂

=

− +

∂

∂ +

∂

∂

ϕ ϕ

σ σ

τ σ

σ

γ τ τ σ

σ σ τ

2 2

2 2

sin cot

2 4

0

g c r r

r z

rz z

r

rz r

rz z

z

r z

rz r

r

(5-12)

Ngoài ra do đối xứng trục nên những ứng suất tiếp theo các mặt kinh tuyến bằng

không và ứng suất σθ là ứng chính

3

σ

Phương trình (5-12’) bổ sung vào hệ phương trình (5-12) để biến chúng thành hệ

phương trình tĩnh học xác định Hệ phương trình này do giáo sư Berezantxev lập ra và

giải cho bài toán không gian của lý thuyết cân bằng giới hạn

5.4 Tải trong tới hạn tác dụng lên nền

Khi xét biến dạng của nền đất dưới tác dụng của tải trọng cục bộ trên mặt đất ta

thấy khi tải trọng tăng lên nền đất trải qua các giai đoạn nén chặt, hình thành vùng biến

dạng dẻo rồi đến chỗ nền đất bị phá hoại Từ quan hệ biến dạng và tải trọng ta có 2 giá trị

giới hạn của tải trọng:

- Tải trọng giới hạn thứ nhất I

gh

P ứng với lúc nền đất kết thúc giai đoạn nén chặt và xuất hiện vùng biến dạng dẻo ở mép móng Đại lượng của tải trọng giới hạn thứ

nhất được gọi là tải trọng tới hạn ban đầu và nó là an toàn đối với nền móng công

trình

- Tải trọng giới hạn thứ hai ứng với khi dưới đáy móng hình thành những vùng cân

Để xác định tải trọng tới hạn lên nền chúng ta xét trường hợp tải trọng phân bố đều

trên băng có chiều rộng b, tải trọng hông q = hγ (γ là trọng lượng riêng của đất, h là

chiều sâu đặt móng) như trên hình 5-8

Hình 5_ 8 Sơ đồ tải trọng tác dụng của tải trọng hình băng

Tại điểm M ở độ sâu Z ứng suất thẳng đứng σzd do trọng lượng bản thân đất gây ra

bằng:

) (h z

và ứng suất nằm ngang do trọng lượng bản thân đất gây ra là:

zd

Trong đó ξ0 là hệ số áp lực hông của đất, vì nó xuất hiện biến dạn dẻo nên giả thiết

1

0 =

ξ và

) (h z

zd

Vì σxd,σzd là các ứng suất chính nên bất kỳ phương nào ứng suất do trọng lượng

bản thân của đất gây ra đều bằng γ.(h+z) Đây là giả thuyết về sự phân bố ứng suất do

trọng lượng bản thân đất theo quy luật thuỷ tĩnh

Từ kết quả xác định trị số ứng suất chính dưới tải trọng hình băng kể cả ứng suất do

trọng lượng bản thân đất gây ra ta có ứng suất chính tại điểm M như sau:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+ +

−

−

=

+ +

+

−

=

) (

) sin (

) (

) sin (

2

1

z h h

p

z h h

p

γ α α

π

γ σ

γ α α

π

γ σ

(5-16)

Thay σ1,σ2 ở biểu thức 5-16 vào điều kiện cân bằng giới hạn 5-9:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

2 sin

2 1

ta được:

ϕ γ

γ α π

γ ϕ α

π

γ

cos )

( sin sin

c h

h p h

p

z = +

−

−

−

−

(5-17) hoặc:

ϕ γ

α ϕ

α γ

π

γ

g

c h h

p

sin

sin (

−

Phương trình 5-18 cho trị số độ sâu Z của điểm M bất kỳ nằm trong vùng biến dạng

dẻo là hàm số của góc nhìn α Muốn tìm chiều sâu lớn nhất của vùng biến dạng dẻo Zmax

thì ta phải tìm cực đại của hàm Z theo biến α

0 1 sin

cos

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−

=

ϕ

α πα

γ α

h p d

dz

Tìm được: α = π −ϕ

2 Thay vào ta có:

g

2

ϕ ϕ

− +

N.P.Puzưrevxki (năm 1929) là người đầu tiên giải bài toán này và đã tính tải trọng

móng Cho Zmax = 0, từ công thức 5-19 ta có:

h g

g c h

2 cot

) cot (

ϕ ϕ

ϕ γ

− +

+

Tải trọng p0 tính theo công thức 5-20 là tải trọng rất an toàn vì vùng biến dạng dẻo

mới bắt đầu xuất hiện, bởi vậy có một số phương pháp xác định tải trọng giới hạn với

những phạm vi biến dạng dẻo đã phát triển

Kinh nghiệm thực tế cho thấy có thể lấy Zmax lớn hơn mà không ảnh hương tới sự

lam việc của nền đất, trong quy phạm thiết kế nền nhà và công trình quy định lấy:

4

max

b

Thay 5-21 vào công thức 5-19 tính được P Zmax tương ứng mà quy phạm gọi là áp lực

tiêu chuẩn lên nền R tc

h g

c h b g

4 cot

γ π

ϕ ϕ

γ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + +

− +

Như đã xét ở trên, tải trọng giới hạn thư hai II

gh

P mới chính là tải trọng giới hạn của nền đất vì nó tương ứng với trạng thái nền đất bị mất khả năng chịu tải

Tải trọng giới hạn được dùng trong việc tính toán ổn định của nề đất vì khi tải trọng

tác dụng lớn hơn tải trọng giới hạn thì đất sẽ bị trượt theo một mặt trượt nào đó, dẫn tới

hiện tượng đất trồi (khi móng đặt nông) hoặc trượt ngầm, lún đột ngột (khi móng đặt

sâu)

Để tính toán tải trọng giới hạn người ta sử dụng các phương trình vi phân cân bằng

giới hạn đưa ra trong mục 5.3

Năm 1920, L.Prandtl đã giải hệ phương trình vi phân của bài toán phẳng với điều

kiện coi đất là không trọng lượng tức γ =0 Tải trọng thẳng đứng giới hạn theo lời giải

của L.Prandtl như sau:

ϕ ϕ

ϕ

g c p

sin 1

sin 1 ) cot

−

+ +

Theo lời giải của L.Prandtl đường trượt có dạng như trên hình 5-9

Hình 5_ 9 Sơ đồ lưới đường trượt theo lời giải của L.Pratdtl

Vùng trượt được chia làm ba phần Trong phần I hai họ đường trượt là những đoạn

thẳng làm với đường thẳng đứng một góc bằng ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

±

2 4

ϕ π

Trong phần II, họ đường trượt thứ nhất là những đường xoắn logarit có điểm cực tại mép móng và xác định theo

phương trình:

ϕ

θtg

e r

0

Còn họ đường trượt thứ hai là những đoạn thẳng xuất phát từ cực Trong phầm III,

hai họ đường trượt là những đoạn thẳng làm với đường trẳng đứng một góc bằng

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

±

2

4

ϕ

π

Năm 1942, V.V.Xokolovxki đã đưa ra lời giải hệ phương trình vi phân cân

bằng giới hạn cho bài toán phẳng có xét đến trọng lượng của đất Năm 1952

V.B.Berezantxev đã phát triển phương pháp của Xokolovxki cho bài toán không gian

Ngoài ra còn K.Tezaghi, Conquot – Keresel, Skempton cũng đã có những cống hiến có

giá trị cho việc phát triển lý thuyết cân bằng giới hạn Sau đây ta sẽ xét đến các phương

pháp thường dùng để tính toán sức chịu tải của nền