Cơ học đất - Chương 3

cơ học đất là một ngành của cơ học ứng dụng chuyên nghiên cứu về đất. Hầu hết các công trình xây dựng đều đặt trên đất, nghĩa là dùng đất làm nền cho các công trình, số khác các công trình

3.1

Chương 3

ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 3.1 Khái niệm

Vấn đề xác định ứng suất trong đất có ý nghĩa quan trọng đối với việc xác định độ bền, ổn định và biến dạng của đất dưới tác dụng của tải trọng ngoài và trọng lượng bản thân của đất Khi giải quyết vấn đề này, đến nay trong cơ học đất người ta vẫn sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính Để xác định ứng suất theo lý thuyết này những phương trình và quan hệ trong lý thuyết đàn hồi đều có thể sử dụng được đối với đất vì nó xây dựng trên quan hệ biến dạng tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng Muốn vậy thì nền đất được thiết kế không ở trạng thái ứng suất giới hạn và tải trọng tác dụng phải nằm trong giới hạn tỷ lệ, vì rằng ở trạng thái ứng suất giới hạn quan hệ giữa ứng suất và biến dạng không còn là quan hệ đường thẳng nữa Khi vùng cân bằng giới hạn phát triển lớn, ví dụ khi nền đất chịu tải trọng rất lớn của công trình thì việc sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính sẽ không còn phù hợp nữa

Những đều kiện phụ thêm để có thể sử dụng quy luật phân bố ứng suất của các vật thể biến dạng tuyến tính là không có sự phân bố lại những thành phần trong đất, tức là nguyên lý biến dạng tuyến tính chỉ thích hợp với giai đoạn ban đầu (khi trạng thái của đất chưa bị phá hoại) và giai đoạn kết thúc (ở trạng thái ổn đinh tĩnh học của đất và để xác định ứng suất trong khung cốt đất)

3.2 phân bố ứng suất – trường hợp bài toán không gian

3.2.1 Bài toán cơ bản – Tác dụng của lực tập trung thẳng đứng

Chúng ta xem xét tác dụng của lực tập trung thẳng đứng P trên bề mặt bán không

gian vô hạn của khối đất (như hình 3-1) Lấy 1 điểm M trong nền đất có toạ độ ( Rβ, ) Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với bán kính R và xác định trị số ứng suất σR tác dụng lên nó

Nếu điểm M càng xa điểm đặt lực P thì chuyển vị của nó càng nhỏ, khi R cố định

thì nó phụ thuộc vào góc β , có thể viết được biểu thức sau:

S cosβ

Với K1 là hệ số tỷ lệ; S là chuyển vị của điểm M

Tương tự xét điểm M1 nằm trên bán kính đó cách M một đoạn dR, chuyển vị của điểm M1 sẽ là:

Hình 3_ 1 Sơ đô tác dụng của lực tập trung

3.2

+= cosβ

Lúc đó biến dạng tương đối của đoạn dR sẽ là:

Bỏ qua vi phân dR ta có:

Trong đó: 21.KK

α là hệ số tỷ lệ

Để xác định hệ số α ta xét cân bằng của bán cầu tâm là điểm đặt của lực P như

hình 3-2

Hình 3_ 2 Sơ đồ ứng suất pháp dưới tác dụng của lực tập trung

Điều kiện cân bằng cần sẽ là: Tổng hình chiếu của tất cả các lực lên trục thẳng đứng bằng 0, tức là:

− /20

Thay trị số σR từ biểu thức (d) và dF từ biểu thức (f) vào (e) và biến đổi ta được:

3.3

= /20

2 sin cos

= /20

Chiếu ứng suất pháp σR lên mặt phẳng song song với mặt phẳng giới hạn như trên hình 3-3a và gọi nó là σR':

σR'= R.cosVì

Chiếu σR' lên phương của 3 trục toạ độ ta có (hình 3-3b): );'cos(' Rz

);'cos(' Ry

Chúng ta thấy rằng ứng suất pháp σZ và ứng suất tiếp τzy,τzx trên các mặt phẳng song song với mặt phẳng giới hạn không phụ thuộc vào các hệ số biến dạng (E0,µ0) của bán không gian Còn biểu thức σx,σy,τxy là phụ thuộc vào hệ số biến dạng và phức tạp hơn Chúng ta chỉ dẫn ra các công thức tính tổng ứng suất θ tại một điểm trong bán không gian vô hạn và công thức tính chuyển vị của 1 điểm trên mặt bán không gian

(z = R =r là các công thức thường dùng trong các chương sau

3.4

Tổng ứng suất chính:

Chuyển vị thẳng đứng:

Trong đó: 2001−µ

µ là hệ số biến dạng hông, tương tự như hệ số Poisson

Trong việc tính toán độ lún, ứng suất σzcó ý nghĩa quan trọng, để thuận tiện cho việc tính ứng suất này người ta biến đổi công thức và lập bảng để tính toán

Thay

Đặt:

Ta có:

z =

Ứng suất σz là ứng suất nén thẳng đứng, người ta lập bảng để tra hệ số K khi biết tỷ số r/z (bảng 8), trong đó r là khoảng cách nằm ngang, z là khoảng cách thẳng đứng từ

điểm đặt lực đến điểm tính ứng suất

Nếu như bề mặt có một số lực tập trung P1, P2, P3 (hình 3-3) thì ứng suất nén σz tại điểm M có thể xác định theo nguyên lý cộng tác dụng

3.5

Hình 3_ 3 Sơ đồ tác dụng của một số lức tập trung

, tra từ bảng 8

Mặc dù trong thức tế không có trường hợp tải trọng tập trung thuần tuý nhưng kết quả do Bussinet nêu ra trên đây là bài toán cơ bản dùng để tính toán ứng suất trong đất của tải trọng thực tế

3.2.2 Tác dụng của lực tập trung nằm ngang

Khi có lực tập trung nằm ngang Q đặt trên bề mặt song song với mặt phẳng bán không gian giới hạn, Ceruttic (năm 1858) đã lập được công thức tính các thành phần ứng suất tại điểm M có toạ độ (x,y,z) (như hình vẽ 3-4)

Hình 3_ 4 Sơ đồ tác dụng của tải trọng ngang Q

xzRQ

3.6

zy =Còn tổng ứng suất chính:

Khi đã tính toán được các thành phần ứng suất do lực thẳng đứng P và lực nằm ngang Q thì có thể dễ dàng xác định được ứng suất do tải trọng nghiêng gây ra

3.2.3 Phân bố ứng suất trong trường hợp tải trọng cục bộ phân bố đều

Hiện nay những tính toán chính xác trong trường hợp này chỉ có thể thực hiện được khi tải trọng phân bố đều theo diện chịu tải chữ nhật (hình 3-5)

Hình 3_ 5 Sơ đồ tải trọng phân bố đểu diện tích chịu tải chữ nhật

Tiến hành chia diện chịu tải, lấy một phân tố dF thì có thể coi như tổng tải trọng tác dụng lên diện tích dF là lực tập trung có trị số p.dF Theo công thức 3-3 trị số ứng suất

phương thẳng đứng σz tại điểm M bất kỳ thuộc bán không gian dưới tác dụng của phân

tố dF=dx.dy sẽ là:

53 .2

3 bb

π

1 bzl

D = + +

Giá trị của ứng suất nén dưới các điểm góc của tải trọng phân bố đều hình chữ nhật cho phép xác định nhanh chóng ứng suất nén dưới bất kỳ điểm nào của bán không gian Để lập bảng cho tính toán, công thức 3-10, 3-11 được biển đổi thành công thức 3-10’, 3-11’:

So sáng công thức (3-10) và công thức (3-11) có thể rút ra kết luận sau: ứng suất nén σz dưới điểm góc của tải trọng phân bố hình chữ nhật tại điểm có độ sâu z bằng 1/4 ứng suất σz dưới tâm của diện chịu tải tại độ sâu z/2 tức là:

zf

[KghbeMKgMecfKghagMKgMgfd ]p

3.2.3 Ảnh hưởng của diện tích tải trọng đến sự phân bố ứng suất

Những tính toán ứng suất cho thấy rằng: diện chịu tải càng lớn thì sự giảm ứng suất theo chiều sâu càng chậm

Hình 3_ 7Thí dụ về ảnh hưởng của độ lớn diện tích tải trọng đến sự phân bố ứng suất theo chiểu sâu

3.9

Ví dụ như trên hình 3-7, nếu ngoài tải trọng 1 còn có tải trọng 2 và 3 thì ứng suất nén σz tại điểm M sẽ tăng lên nhưng mức độ tăng của σz do tải trọng 2 và 3 gây nên tại điểm M sẽ nhỏ hơn là do tải trọng 1 gây nên vì khoảng cách giữa chúng đến M là lớn hơn

3.2.4 Phương pháp cộng tổng các phân tố

Đối với những diện tích chịu tải bất kỳ (ví dụ như hình cong, hình đa giác ) thì phương pháp điểm góc đối với diện chịu tải hình chữ nhật không dùng được Khi đó ta dùng phương pháp cộng tổng các phân tố sẽ trình bày sau đây:

Chia diện tích chịu tải trọng ra thành nhiều diện tích nhỏ sao cho tải trọng tác dụng lên mỗi phân tố được chia ra có thể coi là những lực tập trung đặt tại trọng tâm của các phân tố đó Khi đó ứng suất nén thẳng đứng σz tại điểm M ở độ sâu z được xác định theo nguyên lý cộng tác dụng

∑== n

P _ là tải trọng tác dụng lên phân tố thứ i bằng cường độ của tải trọng nhân với

diện tích của phân tố;

z_ độ sâu của điểm cần tính ứng suất; n_ số các phân tố được chia ra

Việc so sánh kết quả tính ứng suất theo công thức 3-19 với các kết quả của phương pháp chính xác cho thấy rằng: khi diện chịu tải được chia ra có chiều dài lo nhỏ thua 1/2 khoảng cách từ trung tâm của phân tố đó đến điểm đang xét (R0) thì sai số chừng 6% Còn khi:

:3/10 ≤

sai số không vượt quá 3% :

4/10 ≤

sai số không vượt quá 2%

Cần phải nói thêm rằng: phương pháp cộng tổng các phân tố không dùng được để xác định ứng suất khác và trong nhiều trường hợp (ví dụ khi tính toán ảnh hưởng về độ lún của những móng lân cận) thì cần tính thêm các ứng suất ngang nữa

3.3 phân bố ứng suất trong trường hợp bài toán phẳng

Những công trình kéo dài ví dụ như móng băng dưới cột, móng dưới tường, tường chắn, đê đập, nền đường, thì ở bất kỳ điểm nào (trừ phần rìa của công trình dài khoảng 2-3 lần chiều rộng) phân tố ứng suất trên các tiết diện thẳng góc với trục kéo dài là như nhau Trong trường hợp này ta có bài toán là bài toán phẳng và các thành phần σz,σy,τ

trong mặt phẳng thẳng góc với trục kéo dài ZOY không phụ thuộc vào các hệ số biến

3.10

dạng (mô đun tổng biến dạng, mô đun biến dạng ngang) Sau đây ta dẫn ra các phương pháp tính ứng suất thương dùng

3.3.1 Tác dụng của tải trọng phân bố đều

Đối cới trường hợp tải trọng phân bố đều có cương độ là p vô hạn theo phương trục x vuông góc với mặt phẳng đang xét ZOY như trên hình vẽ 3-8

Hình 3_ 8 Tác dụng của tải trọng phân bố đểu trong bài toán phẳng

Sử dụng kết quả tính ứng suất dưới tải trọng đường thẳng theo trục x ta có: ⎟⎠⎞⎜

(cos2 2 cos2 1)cos

.sin2 1

Dấu “+” trước β2 đối với điểm M nằm ngoài băng tải trọng còn dấu “-“ khi điểm M nằm trong băng tải trọng (ví dụ tại vị trí M’) Biểu thức 3-20 đã được lập bảng để tính ứng suất theo công thức sau:

Trong đó:

K , , phụ thuộc vào

bz , (tra bảng 11)

Hình 3_ 9 Elíp ứng suất tác dụng của tải trọng hình băng.

3.3.3 Tải trọng phân bố theo quy luật tam giác

Một trong các dạng tải trọng phân bố không đều của bài toán phẳng là phân bố theo quy luật tam giác Ở đây chỉ dẫn ra các công thức đơn giản để tính ứng suất nén thẳng đứng σz tác dụng lên những mặt phẳng nằm ngang song song với mặt phẳng giới hạn (hình 3-10)

3.12

Hình 3_ 10 Ứng suất tải trọng hình băng phân bố theo quy luật tam giác.

Cần chú ý là khi tải trọng phân bố đều thì bài toán đối xứng qua gốc toạ độ thường được đặt ở giữa và khi tính toán không cần phân biệt dấu của y vì bài toán là không đối xứng Khi lập bảng người ta cũng có thể đặt trục z ở mút p = 0, cũng có thể đặt giữa băng tải trọng; bảng 12 để tra cứu K ứng với trường hợp trục z đặt ở đầu mút p = 0

Hình 3-10 b,c biểu diễn các biểu đồ ứng suất trên tiết diện thẳng đứng và nằm ngang trong nền; từ đó chúng ta thấy rằng ứng suất nén thẳng đứng cực đại sẽ nằm trên đường thẳng đứng đi qua gần trọng tâm của tải trọng tam giác

3.3.4 Tác dụng của tải trọng bất kỳ biến đổi theo quy luật đường thẳng

Trường hợp quan trọng là tải trọng hình băng có tiết diện tam giác, hình thang Ở dưới đây chỉ nêu ra phương pháp dùng biểu đồ Attecber để tìm ra ứng suất nén σz:

Trong đó: ),(

I = , xác định dựa trên biểu đồ Attecber; a là chiều dài của phần tải trọng tam giác;

b là phần chiều dài của tải trọng hình chữ nhật, z là chiều sâu của điểm đang xét Giá trị của I được xác định như là tổng đại số của các hệ số tương ứng với các thành phần tải trọng bên trái và bên phải so với trục thẳng đứng đi qua điểm đang xét

Có thể sử dụng bài toán tải trọng phân bố đều và bài toán tải trọng phân bố dạng tam giác để giải quyết bài toán tải trọng phân bố theo quy luật hình thang

3.13

3.4 phân bố ứng suất do trọng lượng bản thân đất

Chúng ta xét trong chương này ứng suất trong đất do tác dụng của tải trọng ngoài ở các dạng khác nhau tác dụng lên trên nền đất Để có được ứng suất toàn phần tác dụng lên đất ta cần tính toán đến ứng suất do trọng lượng bản thân của đất gây ra

Từ mặt đất nằm ngang ứng suất do trọng lượng bản thân của đất sẽ tăng lên theo chiều sâu:

= zz

Khi trọng lượng riêng không đổi theo chiều sâu (γ =const):

Trong đó:

γ lần lượt là trọng lượng riêng và chiều dày của lớp đất thứ i