Cơ học đất - Chương 3

cơ học đất là một ngành của cơ học ứng dụng chuyên nghiên cứu về đất. Hầu hết các công trình xây dựng đều đặt trên đất, nghĩa là dùng đất làm nền cho các công trình, số khác các công trình

3.1

Chương 3

ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 3.1 Khái niệm

Vấn đề xác định ứng suất trong đất có ý nghĩa quan trọng đối với việc xác định độ bền, ổn định và biến dạng của đất dưới tác dụng của tải trọng ngoài và trọng lượng bản thân của đất Khi giải quyết vấn đề này, đến nay trong cơ học đất người ta vẫn sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính Để xác định ứng suất theo lý thuyết này những phương trình

và quan hệ trong lý thuyết đàn hồi đều có thể sử dụng được đối với đất vì nó xây dựng trên quan hệ biến dạng tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng Muốn vậy thì nền đất được thiết kế không ở trạng thái ứng suất giới hạn và tải trọng tác dụng phải nằm trong giới hạn tỷ lệ, vì rằng ở trạng thái ứng suất giới hạn quan hệ giữa ứng suất và biến dạng không còn là quan hệ đường thẳng nữa Khi vùng cân bằng giới hạn phát triển lớn, ví dụ khi nền đất chịu tải trọng rất lớn của công trình thì việc sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính sẽ không còn phù hợp nữa

Những đều kiện phụ thêm để có thể sử dụng quy luật phân bố ứng suất của các vật thể biến dạng tuyến tính là không có sự phân bố lại những thành phần trong đất, tức là nguyên lý biến dạng tuyến tính chỉ thích hợp với giai đoạn ban đầu (khi trạng thái của đất chưa bị phá hoại) và giai đoạn kết thúc (ở trạng thái ổn đinh tĩnh học của đất và để xác định ứng suất trong khung cốt đất)

3.2 phân bố ứng suất – trường hợp bài toán không gian

3.2.1 Bài toán cơ bản – Tác dụng của lực tập trung thẳng đứng

Chúng ta xem xét tác dụng của lực tập trung thẳng đứng P trên bề mặt bán không

gian vô hạn của khối đất (như hình 3-1) Lấy 1 điểm M trong nền đất có toạ độ ( Rβ, ) Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với bán kính R và xác định trị số ứng suất σR tác dụng lên nó

Nếu điểm M càng xa điểm đặt lực P thì chuyển vị của nó càng nhỏ, khi R cố định

thì nó phụ thuộc vào góc β , có thể viết được biểu thức sau:

R K

S cosβ

1

Với K 1 là hệ số tỷ lệ; S là chuyển vị của điểm M

Tương tự xét điểm M1 nằm trên bán kính đó cách M một đoạn dR, chuyển vị của điểm M1 sẽ là:

Hình 3_ 1 Sơ đô tác dụng của lực tập trung

3.2

dR R K S

+

= cosβ

1

Lúc đó biến dạng tương đối của đoạn dR sẽ là:

) (

cos cos

)

1 1

1

dR R R

K dR

K dR R R dR

S S

R

+

= +

−

=

−

Bỏ qua vi phân dR ta có:

2

1.cos

R

K

R

β

Vì công nhận quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ tuyến tính nên:

2 2

2 1

cos

cos

R R

K K

R

β α

β

Trong đó:

2

1.K K

=

α là hệ số tỷ lệ

Để xác định hệ số α ta xét cân bằng của bán cầu tâm là điểm đặt của lực P như

hình 3-2

Hình 3_ 2 Sơ đồ ứng suất pháp dưới tác dụng của lực tập trung

Điều kiện cân bằng cần sẽ là: Tổng hình chiếu của tất cả các lực lên trục thẳng đứng

bằng 0, tức là:

− /2 0

0

cos

π

β

Ở đây dF là diện tích mặt cầu hình vành khăn:

β β

Thay trị số σR từ biểu thức (d) và dF từ biểu thức (f) vào (e) và biến đổi ta được:

3.3

∫

= /2

0

2 sin cos

2

π

β β β

= /2

0

2

3

2 ) (cos cos 2

π

πα β

β

P

Tính α từ biểu thức (g):

π

α

2

3P

= Như vậy ứng suất theo phương bán kính trên mặt phẳng vuông góc với nó sẽ là:

β π

2

3 2

R

P

Chiếu ứng suất pháp σR lên mặt phẳng song song với mặt phẳng giới hạn như trên

hình 3-3a và gọi nó là σR':

β σ

σR'= R.cos

Vì

R

z

=

β

2

3 '

R

Pz

Chiếu σR' lên phương của 3 trục toạ độ ta có (hình 3-3b):

)

;' cos(

' R z

R

)

;' cos(

' R y

R

)

;' cos(

R

Vì

R

x x R

y y R

z

suất:

5

3 2

3

R

Pz

5

2 2

3

R

Pyz

5

2 2

3

R

Pxz

Chúng ta thấy rằng ứng suất pháp σZ và ứng suất tiếp τzy,τzx trên các mặt phẳng

song song với mặt phẳng giới hạn không phụ thuộc vào các hệ số biến dạng (E0,µ0) của

bán không gian Còn biểu thức σx,σy,τxy là phụ thuộc vào hệ số biến dạng và phức tạp

hơn Chúng ta chỉ dẫn ra các công thức tính tổng ứng suất θ tại một điểm trong bán

không gian vô hạn và công thức tính chuyển vị của 1 điểm trên mặt bán không gian

)

,

0

(z = R =r là các công thức thường dùng trong các chương sau

3.4

Tổng ứng suất chính:

3 0 3

2

R

z P

z y

π σ σ σ σ σ σ

Chuyển vị thẳng đứng:

R C

P

W z

π

Trong đó:

2 0

0

1−µ

= E

C gọi là hệ số biến dạng tuyến tính;

0

E là mô đun tổng biến dạng;

0

µ là hệ số biến dạng hông, tương tự như hệ số Poisson

Trong việc tính toán độ lún, ứng suất σzcó ý nghĩa quan trọng, để thuận tiện cho

việc tính ứng suất này người ta biến đổi công thức và lập bảng để tính toán

Thay

2 / 1 2 2

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

= +

=

z

r z

r z

2 2 / 5 2 1

2

3

z z

r

P

z

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

π σ

Đặt:

2 / 5 2 1

2

3

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

z r

P K

π

Ta có:

2

z

P K

z =

Ứng suất σz là ứng suất nén thẳng đứng, người ta lập bảng để tra hệ số K khi biết tỷ

số r/z (bảng 8), trong đó r là khoảng cách nằm ngang, z là khoảng cách thẳng đứng từ

điểm đặt lực đến điểm tính ứng suất

Nếu như bề mặt có một số lực tập trung P 1 , P 2 , P 3 (hình 3-3) thì ứng suất nén σz tại

điểm M có thể xác định theo nguyên lý cộng tác dụng

3.5

Hình 3_ 3 Sơ đồ tác dụng của một số lức tập trung

2

3 3 2

2 2 2

1

z

P K z

P K z

P K

σ

Trong đó:

K 1 , K 2 , K 3 là hệ số phụ thuộc vào

z

r z

r z

r1 2 3

, , tra từ bảng 8

Mặc dù trong thức tế không có trường hợp tải trọng tập trung thuần tuý nhưng kết quả do Bussinet nêu ra trên đây là bài toán cơ bản dùng để tính toán ứng suất trong đất của tải trọng thực tế

3.2.2 Tác dụng của lực tập trung nằm ngang

Khi có lực tập trung nằm ngang Q đặt trên bề mặt song song với mặt phẳng bán không gian giới hạn, Ceruttic (năm 1858) đã lập được công thức tính các thành phần ứng suất tại điểm M có toạ độ (x,y,z) (như hình vẽ 3-4)

Hình 3_ 4 Sơ đồ tác dụng của tải trọng ngang Q

2 5 2

3

xz R

Q

3.6

ϕ ϕ

ψ π

2cos sin cos 2

3

z

Q

ϕ ϕ

ψ ψ π

2 cos sin sin cos 2

3

z

Q

zy = Còn tổng ứng suất chính:

3

0) 1 (

R

x r

Khi đã tính toán được các thành phần ứng suất do lực thẳng đứng P và lực nằm

ngang Q thì có thể dễ dàng xác định được ứng suất do tải trọng nghiêng gây ra

3.2.3 Phân bố ứng suất trong trường hợp tải trọng cục bộ phân bố đều

Hiện nay những tính toán chính xác trong trường hợp này chỉ có thể thực hiện được

khi tải trọng phân bố đều theo diện chịu tải chữ nhật (hình 3-5)

Hình 3_ 5 Sơ đồ tải trọng phân bố đểu diện tích chịu tải chữ nhật

Tiến hành chia diện chịu tải, lấy một phân tố dF thì có thể coi như tổng tải trọng tác

dụng lên diện tích dF là lực tập trung có trị số p.dF Theo công thức 3-3 trị số ứng suất

phương thẳng đứng σz tại điểm M bất kỳ thuộc bán không gian dưới tác dụng của phân

tố dF=dx.dy sẽ là:

5

3 2

3

R

dy dx p z

d z

π

Lấy tích phân biểu thức (a) trên toàn diện chịu tải chữ nhật ta có:

∫ ∫

− −

1 1

1

5

3 2

3 b b l

l z

R

dy dx p z

π

3.7

Egorov cùng một số người khác đã tiến hành tính tích phân công thức (3-9) tính

được trị số σz dưới các điểm đặc biệt của diện chịu tải Theo lời giải đó, ứng suất thẳng

đứng tại điểm M có độ sâu z dưới tâm O của diện tích chịu tải:

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

+ +

+ +

=

2 2 1 2 2 1

1 1 2

1

2 1 2 2

2 2 1

2 1 1 1

arcsin

2

2

z b z l

b l b

l z D

z b l D

z b l p

O

Còn ứng suất nén tại điểm bất kỳ trên đường thẳng đứng đi qua điểm góc C của

diện chịu tải:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

+ +

+ +

=

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

arcsin

2

b l b

l z D

z b l D

z b l p

C

Trong công thức 3-10 và 3-11:

P_ cường độ của tải trọng phân bố;

z_ chiều sâu của điểm tính ứng suất

1

2

1 b z l

D = + + Giá trị của ứng suất nén dưới các điểm góc của tải trọng phân bố đều hình chữ nhật

cho phép xác định nhanh chóng ứng suất nén dưới bất kỳ điểm nào của bán không gian

Để lập bảng cho tính toán, công thức 10, 11 được biển đổi thành công thức 10’,

3-11’:

p K

O

Còn ứng suất dưới điểm góc:

p

K C

So sáng công thức (3-10) và công thức (3-11) có thể rút ra kết luận sau: ứng suất

nén σz dưới điểm góc của tải trọng phân bố hình chữ nhật tại điểm có độ sâu z bằng 1/4

ứng suất σz dưới tâm của diện chịu tải tại độ sâu z/2 tức là:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2 4

1 )

O

Công thức 3-12 cho phép lập một bảng chung để xác định K 0 và K C (Bảng 9) trong

đó khi xác định ứng suất tại điểm có độ sâu z thì:

)

;

2 ( 0

b

l b

z f

)

; (

4

1

b

l b

z f

“Phương pháp điểm góc” để xác định ứng suất nén σz khi diện chịu tải được phân

ra các hình chữ nhật nhỏ như trong các trường hợp sau (hình 3-6):

Hình 3_ 6 Sơ đồ sủa dụng phương pháp điểm góc tính ứng suất

3.8

1- Điểm M nằm ngay trên một cạnh của diện chịu tải hình chữ nhật;

2- Điểm M nằm trong diện tích chịu tải;

3- Điểm M nằm ngoài diện tích chịu tải

Trong trường hợp thứ nhất (hình 3-6a):

[K g abeM K g Mecd ]p

Trong trường hợp thứ 2 (hình 3-6b):

[K g ahMg K g hbeM K g Mecf K g Mfgd ]p

Trong trường hợp thứ 3 (hình 3-6c,d):

TH 3-a

[K g hbeM K g Mecf K g hagM K g Mgfd ]p

TH 3-b

3.2.3 Ảnh hưởng của diện tích tải trọng đến sự phân bố ứng suất

Những tính toán ứng suất cho thấy rằng: diện chịu tải càng lớn thì sự giảm ứng suất

theo chiều sâu càng chậm

Hình 3_ 7Thí dụ về ảnh hưởng của độ lớn diện tích tải trọng

đến sự phân bố ứng suất theo chiểu sâu

3.9

Ví dụ như trên hình 3-7, nếu ngoài tải trọng 1 còn có tải trọng 2 và 3 thì ứng suất

nén σz tại điểm M sẽ tăng lên nhưng mức độ tăng của σz do tải trọng 2 và 3 gây nên tại

điểm M sẽ nhỏ hơn là do tải trọng 1 gây nên vì khoảng cách giữa chúng đến M là lớn

hơn

3.2.4 Phương pháp cộng tổng các phân tố

Đối với những diện tích chịu tải bất kỳ (ví dụ như hình cong, hình đa giác ) thì

phương pháp điểm góc đối với diện chịu tải hình chữ nhật không dùng được Khi đó ta

dùng phương pháp cộng tổng các phân tố sẽ trình bày sau đây:

Chia diện tích chịu tải trọng ra thành nhiều diện tích nhỏ sao cho tải trọng tác dụng

lên mỗi phân tố được chia ra có thể coi là những lực tập trung đặt tại trọng tâm của các

phân tố đó Khi đó ứng suất nén thẳng đứng σz tại điểm M ở độ sâu z được xác định theo

nguyên lý cộng tác dụng

∑

=

= n

i

i i z

z

P K

Trong đó:

i

K _ hệ số phân bố ứng suất của phân tố thứ i xác định theo bảng 8 phụ thuộc vào

tỷ số r i /z; r i là khoảng cách từ điểm đang xét đến trọng tâm phân tố trên mặt bằng;

i

P _ là tải trọng tác dụng lên phân tố thứ i bằng cường độ của tải trọng nhân với

diện tích của phân tố;

z_ độ sâu của điểm cần tính ứng suất;

n_ số các phân tố được chia ra

Việc so sánh kết quả tính ứng suất theo công thức 3-19 với các kết quả của phương

pháp chính xác cho thấy rằng: khi diện chịu tải được chia ra có chiều dài lo nhỏ thua 1/2

khoảng cách từ trung tâm của phân tố đó đến điểm đang xét (R0) thì sai số chừng 6%

Còn khi:

: 3 /

1

0 ≤

o

R

l

sai số không vượt quá 3%

: 4 /

1

0 ≤

o

R

l

sai số không vượt quá 2%

Cần phải nói thêm rằng: phương pháp cộng tổng các phân tố không dùng được để

xác định ứng suất khác và trong nhiều trường hợp (ví dụ khi tính toán ảnh hưởng về độ

lún của những móng lân cận) thì cần tính thêm các ứng suất ngang nữa

3.3 phân bố ứng suất trong trường hợp bài toán phẳng

Những công trình kéo dài ví dụ như móng băng dưới cột, móng dưới tường, tường

chắn, đê đập, nền đường, thì ở bất kỳ điểm nào (trừ phần rìa của công trình dài khoảng

2-3 lần chiều rộng) phân tố ứng suất trên các tiết diện thẳng góc với trục kéo dài là như

nhau Trong trường hợp này ta có bài toán là bài toán phẳng và các thành phần σz,σy,τ

trong mặt phẳng thẳng góc với trục kéo dài ZOY không phụ thuộc vào các hệ số biến

3.10

dạng (mô đun tổng biến dạng, mô đun biến dạng ngang) Sau đây ta dẫn ra các phương

pháp tính ứng suất thương dùng

3.3.1 Tác dụng của tải trọng phân bố đều

Đối cới trường hợp tải trọng phân bố đều có cương độ là p vô hạn theo phương trục

x vuông góc với mặt phẳng đang xét ZOY như trên hình vẽ 3-8

Hình 3_ 8 Tác dụng của tải trọng phân bố đểu trong bài toán phẳng

Sử dụng kết quả tính ứng suất dưới tải trọng đường thẳng theo trục x ta có:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

2

1 2 sin 2

1

cos

2

2 1

2 1 2

1

2

β β

β β π β β π

β

P d

p

z

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

2

1 2 sin 2

1

sin

2

2 1

2 1 2

1

2

β β

β β π β β π

β

P d

p

(cos2 2 cos2 1) cos

sin

2 1 2

β β

π β β β π

β

−

=

Dấu “+” trước β2 đối với điểm M nằm ngoài băng tải trọng còn dấu “-“ khi điểm M

nằm trong băng tải trọng (ví dụ tại vị trí M’) Biểu thức 3-20 đã được lập bảng để tính

ứng suất theo công thức sau:

p

K z

σ

p

K y

p

K yz

τ

Trong đó:

yz y

K , , phụ thuộc vào

b y

b z , (tra bảng 11)

3.11

Sử dụng công thức 3-20’ cho phép tính giá trị ứng suất trong đất, từ đó vẽ các biểu

đồ ứng suất và các đường thẳng ứng suất

3.3.2 Những ứng suất chính

Đối với những điểm nằm trên trục thẳng đứng đi qua điểm giữa của băng tải trọng thì các góc β1 = β2 và theo công thức 3-20 ta có:

0 ) 2 cos 2

.(cos

π

Tức là với những điểm này ứng suất σz,σy sẽ là những ứng suất chình (σ1,σ2) vì ứng suất tiếp τ =0 Còn đối với các điểm khác thuộc nền đất, người ta còn chứng minh được rằng: tại mỗi điểm phương của ứng suất chính trùng với đường phân giác của góc nhìn α của điểm đó, còn phương của ứng suất chính thứ hai vuông góc với phân giác đó Trị số của các ứng suất phụ thuộc vào góc nhìn α như sau:

) sin (

z p

) sin (

z

Từ công thức (3-21) có thể xây dựng các elip ứng suất dưới tải trọng hình băng phân bố đều (hình 3-9), nó cho ta hình ảnh của trạng thái ứng suất trong nền

Hình 3_ 9 Elíp ứng suất tác dụng của tải trọng hình băng.

3.3.3 Tải trọng phân bố theo quy luật tam giác

Một trong các dạng tải trọng phân bố không đều của bài toán phẳng là phân bố theo quy luật tam giác Ở đây chỉ dẫn ra các công thức đơn giản để tính ứng suất nén thẳng đứng σz tác dụng lên những mặt phẳng nằm ngang song song với mặt phẳng giới hạn (hình 3-10)

3.12

Hình 3_ 10 Ứng suất tải trọng hình băng phân bố theo quy luật tam giác.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

π

y p

Trong đó:

α là góc nhìn tính bằng rađian; δ là góc tạo thành bởi cạnh góc nhìn với phương

thẳng đứng

Công thức 3-22 có thể viết lại như sau:

p K

Cần chú ý là khi tải trọng phân bố đều thì bài toán đối xứng qua gốc toạ độ thường

được đặt ở giữa và khi tính toán không cần phân biệt dấu của y vì bài toán là không đối

xứng Khi lập bảng người ta cũng có thể đặt trục z ở mút p = 0, cũng có thể đặt giữa băng

tải trọng; bảng 12 để tra cứu K ứng với trường hợp trục z đặt ở đầu mút p = 0

Hình 3-10 b,c biểu diễn các biểu đồ ứng suất trên tiết diện thẳng đứng và nằm

ngang trong nền; từ đó chúng ta thấy rằng ứng suất nén thẳng đứng cực đại sẽ nằm trên

đường thẳng đứng đi qua gần trọng tâm của tải trọng tam giác

3.3.4 Tác dụng của tải trọng bất kỳ biến đổi theo quy luật đường thẳng

Trường hợp quan trọng là tải trọng hình băng có tiết diện tam giác, hình thang Ở

dưới đây chỉ nêu ra phương pháp dùng biểu đồ Attecber để tìm ra ứng suất nén σz:

p I

Trong đó:

) , (

z

b z

a f

I = , xác định dựa trên biểu đồ Attecber; a là chiều dài của phần tải trọng

tam giác;

b là phần chiều dài của tải trọng hình chữ nhật, z là chiều sâu của điểm đang xét

Giá trị của I được xác định như là tổng đại số của các hệ số tương ứng với các

thành phần tải trọng bên trái và bên phải so với trục thẳng đứng đi qua điểm đang

xét

Có thể sử dụng bài toán tải trọng phân bố đều và bài toán tải trọng phân bố dạng

tam giác để giải quyết bài toán tải trọng phân bố theo quy luật hình thang